1 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题04 反比例函数与几何图形的综合问题
常考题型·精准突破
题型1 反比例函数与三角形的综合问题（重）
题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
题型3 反比例函数与矩形的综合问题（高频）
题型4 反比例函数与菱形的综合问题
题型5 反比例函数与正方形的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 反比例函数与三角形的综合问题
1．
【答案】(1)(
)
4,2 ，
4
y
x
=
(2)3
5
−
【详解】（1）解：如图，连接CD，
∵三角形ABC 为等腰直角三角形，斜边AB
x
∥轴，点D 为AB 的中点，
∴CD
AB
⊥
，AD
BD
=
，
45
CAB
CBA
=
=
，
∴
45
ACD
=
，
∴ADC
是等腰直角三角形，
∴AD
CD
=
，
∵
(
)
2,0
C
，
∴
2
AD
CD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
2,2
D
，
∴
(
)
4,2
B
，
2 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
经过点D ，
∴2
2
k
=
，
解得：
4
k =
∴反比例函数解析式为
4
y
x
=
；
故答案为：(
)
4,2 ，
4
y
x
=
；
（2）解：如图，连接DE ，
由（1）知
(
)
4,2
B
，
设直线BC 的解析式为y
mx
n
=
+
，
则
0
2
2
4
m
n
m
n
=
+
=
+
，解得
1
2
m
n
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
2
y
x
=
−
，
联立
2
4
y
x
y
x
=
−
=
，解得
5
1
5
1
x
y
=
+
=
−
或
5
1
5
1
x
y
= −
+
= −
−
（舍去）；
∴(
)
5 1, 5 1
E
+
−
，
∴
(
)
(
)
1
1
·
2
2
5 1
3
5
2
2
BDE
B
E
S
BD y
y
=
−
=
−
−
= −
．
2．
【答案】(1)8
(2)0
6 4 2
t
−
【详解】（1）解：如图，过点A 作AE
x
⊥
轴于点E，
∵
ABC
是等腰直角三角形，
3 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴AE
BE
CE
=
=
，
∵
(
)
(
)
2,0 ,
6,0
B
C
−
，
∴
8
BC = ，
∴
4
AE
BE
EC
=
=
=
，
∴
(
)
(
)
2,0 ,
2,4
E
A
，
∵反比例函数
(
)
>0
k
y
x
x
=
的图象经过点A，
∴
2 4
8
k = =
；
（2）解：设直线AC 的解析式为y
ax
b
=
+
，
把
(
)
(
)
2,4 ,
6,0
A
C
代入得
2
4
6
0
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
1
6
a
b
= −
=
，
∴直线AC 的解析式为
6
y
x
= −+
，
设直线AC 向左平移后的解析式为
(
)
6
6
y
x
t
x
t
= −
+
+
= −+
−，
联立
6
8
y
x
t
y
x
= −+
−
=
，整理得，
(
)
2
6
8
0
x
t
x
+
−
+
=
，
当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则
(
)
2
6
8
0
x
t
x
+
−
+
=
有两个相等的实数根，
即
(
)
2
Δ
6
4 1 8
0
t
=
−
−=
，
解得1
6
4 2
t =
−
，1
6
4 2
t =
+
(不符合题意，舍去)，
∴当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与三角形至少有一个公共点时，t 的取值范围是0<
6 4 2
t ?
．
3．
【答案】(1) 5
2
(2)①见解析；②
5
ADB
S
=
【详解】（1）解：点E 为线段OC 的中点，
5
OC =
，
1
5
2
2
OE
OC
=
=
，即E 点坐标为
5
0, 2
，
又
AE
y
⊥
轴，
1
AE = ，
5
1, 2
A
，
把
5
1, 2
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
可得：5
2
1
k
=
，
4 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5
5
1 2
2
k =
=
；
（2）解：①在
OAB
△
为等腰直角三角形中，AO
OB
=
，
90
AOB
=
，
90
AOE
FOB
+
=
，
∵过点A、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，
90
FBO
FOB
+
=
，
90
AEO
OFB
=
=
，
AOE
FBO
=
，
在
OAE
△
和BOF
中，
AEO
OFB
AOE
FBO
AO
BO
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
OAE
BOF
≌
，
②解：设点A坐标为(1,
)
m ，则OE
m
=
，
1
AE = ，
∵
OAE
BOF
≌
△
△
，
BF
OE
m
=
=
，
1
OF
AE
=
= ，
( , 1)
B m
−
，
设直线AB 解析式为：
5
y
nx
=
+ ，将AB 两点代入得：
则
5
5
1
n
m
nm
+
=
+
= −
．
解得
1
1
3
2
n
m
= −
=
，
2
2
2
3
n
m
= −
=
当
2
m =
时，
2
OE = ，
2
2
5
OA
AE
OE
=
+
=
，
2
1
5
3
2
2
AOB
S
OA
=
=
，符合；
当
3
m =
时，
3
OE = ，
2
2
2
2
2
1
3
10
OA
AE
OE
=
+
=
+
=
，
2
1
5
3
2
AOB
S
OA
=
=
，不符，舍去；
∴
2
m =
，
∴
(1,2)
A
，
(2, 1)
B
−
∴直线OA解析式为
2
y
x
=
，
把
(1,2)
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
可得：
1 2
2
k = =
，
∴反比例函数
2
y
x
=
，
联立
2
2
y
x
y
x
=
=
，解得
1
2
x
y
=
=
或
1
2
x
y
= −
= −
，
∴
( 1, 2)
D −
−
，
5 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过D作DM
y
⊥
轴于M ，则
2
OM =
，
1
DM = ，
∴
2
2
5
OD
OM
DM
=
+
=
，
∴
5
OA
OD
OB
=
=
=
，
∴
5
OA
OD
OB
=
=
=
，
∴
2 5
AD =
，
∵
90
AOB
=
，
∴
1
1
2 5
5
5
2
2
ADB
S
AD OB
=
=
=
．
◆题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
4．
【答案】(1)
(
)
6
0
y
x
x
=
(2) 9
2
【详解】（1）解：
(
)
4,0
C
，
4
OC
= ，由条件可知
4
BA
OC
=
=
，
(
)
4,3
A
，
(
)
8,3
B
，
点P 为OB 的中点，
3
4, 2
P
，
反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象经过点P ，
3
4
6
2
k
=
=
．
6 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
反比例函数的表达式为
(
)
6
0
y
x
x
=
；
（2）解：如图，连接AC ，
(
)
(
)
4,3 ,
4,0
A
C
，
AC
x
⊥
轴，
点B 的坐标为(
)
8,3 , BD
OC
⊥
，
点E 的横坐标为8，将
8
x = 代入
6
y
x
=
，得
3
4
y =
，
,
,
AB
OC AC
OC BD
OC
⊥
⊥
∥
，
由两平行线间的距离相等得
3
BD
AC
=
=
，
3
9
3
4
4
BE
BD
DE
=
−
= −
=
，
1
1
9
9
4
2
2
4
2
BPE
S
BE CD
=
=
=
△
．
5．
【答案】(1)
6
y
x
=
(2)(
)
10,0 或(
)
6,0
−
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB 在x 轴上，
∴
//
AB CD ，
∵点C 坐标为(
)
6,3 ，
∴平行四边形ABCD的底CD边上的高为3．
∵已知平行四边形面积为12，
∴
3 12
CD=
，解得
4
CD =
．
∴
4
AB
CD
=
=
，
∴点D坐标为(
)
2,3 ．
∵点D在反比例函数
k
y
x
=
上，
将
(
)
2,3
D
代入得3
2
k
=
，解得
6
k =
．
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=
；
（2）解：由（1）知：
4
AB
CD
=
=
，点D 到x 轴的距离为3，
7 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
4 3
6
2
ABD
S
=
=
．
∵设点(
)
,0
B b
，
(
)
,
E x y ，
(
)
6,3
C
，E 是BC 的中点，
∴
0
3
2
6
2
y
b
x
+
=
+
=
∴点E 的纵坐标是0
3
3
2
2
+
=
，
∴将
3
2
y =
，代入得
6
4
3
2
x =
=
，
∴
3
4, 2
E
，
6
4
2
b +
=
，解得
2
b =
，
∴
(
)
2,0
B
．
设
(
)
,0
P p
，则
2
PB
p
=
−
，PBE
的边PB边上的高为3
2 ，
∴
1
3
2
6
2
2
PBE
S
p
=
−
=
．
解得
10
p =
或
6
p
−
=
．
∴P 点的坐标为(
)
10,0 或(
)
6,0
−
．
6．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
12
y
x
=
(2)①D 在反比例函数
12
y
x
=
的图象上，理由见解析；②(
)
2 6, 6 或(
)
2 6,
6
−
−
【详解】（1）解：∵点(
)
6,0
A −
，
(
)
3, 4
C
−
是平行四边形OABC的两个顶点，
∴
6
BC
AO
=
=
，BC
AO
∥
∴
(
)
3, 4
B −
−
∵反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）的图象经过点B ．
∴
(
)
3
4
12
m = −−
=
，
∴反比例函数的表达式为
12
y
x
=
（2）解：①D 在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，理由如下：
∵将平行四边形OABC沿x 轴翻折，点
(
)
3, 4
C
−
落在点D 处，
8 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
3,4
D
当
3
x = 时，
12
4
3
y =
=
∴D在反比例函数
12
y
x
=
的图象上，
②如图，过点D 作DF
x
∥轴交DO 与x 轴正半轴夹角的角平分线于点F ，E 为OF 与
12
y
x
=
的交点，设G 为
x 轴正半轴上的一点，
∵
(
)
3,4
D
∴
2
2
3
4
5
OD =
+
=
依题意，
DOF
FOG
=
又∵DF
OG
∥
∴
FOG
DFO
=
∴
DOF
DFO
=
，
∴
5
DO
DF
=
=
，
∴
(
)
8,4
F
设直线OF 的解析式为y
kx
=
，代入
(
)
8,4
F
∴4
8k
=
解得：
1
2
k =
∴直线OF 的解析式为
1
2
y
x
=
，
联立
1
2
12
y
x
y
x
=
=
解得：
2 6
6
x
y
=
=
或
2 6
6
x
y
= −
= −
∴OF 所在直线与反比例函数的交点坐标为(
)
2 6, 6 或(
)
2 6,
6
−
−
．
9 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
◆题型3 反比例函数与矩形的综合问题
7．
【答案】(1)
(
)
3
0
y
x
x
=
(2)16
3
【详解】（1）解：∵
1
3
S =
，
∴
3
k = ，
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第一象限，
∴
3
k = ，
∴反比例函数的表达式为
(
)
3
0
y
x
x
=
；
（2）解：∵点B，C 均在反比例函数
1
y
x
= −
的图象上，
2
4
1
S
S
=
= ．
如图，设
,
AB CD 分别交x 轴于点
,
,
,
E F AC BD 分别交y 轴于点G，H．
1
2
3
3,
1,
S
OG OE
S
OF OG
S
OF OH
=
=
=
=
=
，
4
1
S
OH OE
=
= ，
:
1:3
OF OE
=
，
3
4
:
1:3
S
S
=
．
4
1
S =
，
3
1
3
S
=
，
1
2
3
4
ABDC
S
S
S
S
S
=
+
+
+
矩形
1
3 1
1
3
= + +
+
16
3
=
．
8．
10 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
(
)
12
0
y
x
x
=
(2) 9
4
16
, 3
【详解】（1）解：矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3，
4
3
12
OABC
S
=
=
矩形
，
点B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
12
k
=
，
反比例函数的表达式为
12 (
0)
y
x
x
=
；
（2）解：设
12
,
P a a
，
则PF
OE
a
=
= ，
12
OF
a
=
，
3
AE
a
= −
，
12
4
CF
a
=
−，
矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，
(
)
12
4
4 3
6
a
a
a
−
+
−
=
，
解得
9
4
a =
，
12
12
16
9
3
4
a
=
=
，
点P 的坐标为9
4
16
, 3
．
9．
【答案】(1)
72
y
x
=
(2)点F 的坐标为(
)
24,10
(3)当AEK
是等腰三角形时，t 的值为6 或24
【详解】（1）解： 四边形A B C D
是矩形，
16
A D
=
，
12
AB
=
，
∴
(
)
12,16
C
，A E
C E
=
，
点E的坐标为(
)
6,8 ．
由平移得：点E 的坐标为(
)
9,8 ．
11 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
把
(
)
9,8
E
代入
k
y
x
=
，得
72
k =
，
该双曲线的解析式为：
72
y
x
=
．
（2）解：平移m 个单位长度后，点E 的坐标为(
)
6
,8
m
+
，
A D
边平移后所在的直线AD为x
m
=
，
10
AF =
，
点F 的坐标为(
)
,10
m
．
点E 、F 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
10
8 6
m
m
k
=
+
=
，
解得：
24
m =
，
点F 的坐标为(
)
24,10 ．
（3）解：如图3，四边形ABCD是矩形，
2
2
1
1
1
12
16
10
2
2
2
AE
AC
BD
=
=
=
+
=
．
当AEK
是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当
10
AK
AE
=
=
时，
由平移可得：
(
)
,0
A t
，
(
)
6,8
E t +
．
(
)
,10
K t
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
10
8
6
t
t
=
+
．
解得
24
t =
．
②当
10
KE
AE
=
=
时，此时点K 与点D 重合，
12 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
,16
K t
，
(
)
6,8
E t +
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
16
8
6
t
t
=
+
，
解得
6
t =
．
③当KE
AK
=
时，设
(
)
,
K t n ．
由平移可得
(
)
6,8
E t +
，
(
)
,0
A t
，
KE
AK
=
，
2
2
2
(
6
)
(8
)
t
t
n
n
−
−
+
+
=
，
解得
25
4
n =
，
25
, 4
K t
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
25
8
6
4 t
t
=
+
．
解得
192
7
t = −
．
0
t
，
这与题意不符，舍去．
综上所述，当AEK
是等腰三角形时，t 的值为6 或24 ．
◆题型4 反比例函数与菱形的综合问题
10．
【答案】(1)
1
m = ，
6
k =
(2)
(
)
8,0
P
或(
)
8,0
−
．
【详解】（1）解：连接AB 交OC 与点E，
13 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵点C 在x 轴的正半轴上，点
(
)
2, 3
B
−
，四边形AOBC 是菱形，
∴点A 与点B 关于x 轴对称，
∴
(
)
2,3
A
，
∵点A 为直线
1
y
mx
=
+ 与双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
的交点，
∴
2 3
6
k = =
，2
1
3
m+ = ，
∴
1
m = ．
（2）解：∵四边形AOBC 是菱形，
(
)
2,3
A
，
∴
2
OE = ，
1
2
OE
OC
=
，
∴
4
OC =
，
∴
(
)
4,0
C
，
∴
1
1
4 6
12
2
2
AOBC
S
OC AB
=
=
=
菱形
，
设点P 坐标为(
)
,0
x
，
∴
1
3
12
2
AOP
S
x
=
=
，
解得：
8
x = ，
∴
(
)
8,0
P
或(
)
8,0
−
．
11．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)见解析
【详解】（1）解：设点M 的坐标为(
)
,a b ，
点M 在反比例函数
2
y
x
=
上，
2
ab
=
，
AC
x
⊥
轴，M 是AC 的中点，
14 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
点A 的坐标为(
)
,2
a
b ，
设经过点A 的反比例函数
2
C 的表达式为
k
y
x
=
，
把
(
)
,2
A a
b 代入可得2
k
b
a
=
，
即
2
k
ab
=
，
又
2
ab =
，
4
k
= ，
则反比例函数
2
C 的表达式为
4
y
x
=
；
（2）证明：设点M 的坐标为(
)
,a b ，
BD
y
⊥
轴，
点D 的纵坐标与点M 的纵坐标相同，
点D 在图象
2
4
:
C
y
x
=
上，
点D 的坐标为4 ,b
b
，
由( )
1 知
(
)
,2
A a
b ，
2
ab =
，即
2
a
b
=
，
点M 的坐标为2 ,b
b
，
2
BM
DM
b
\
=
=
，
M
是AC 的中点，
AM
CM
=
；
AC
x
⊥
轴，BD
y
⊥
轴，
AC
y
∥
轴，BD
x
∥轴，
即AC
BD
⊥
，
四边形ABCD是菱形．
12．
【答案】(1)32
(2)①
(
)
8
0
y
x
x
=
；②
2
OB
AC
=
，理由见解析
【详解】（1）解：∵四边形OABC为菱形，点A的坐标为(
)
5,0 ，
∴
5
OA =
，
∴
5
OC
OA
AB
CB
=
=
=
=
，
15 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设OA边上的高为h ，
∵菱形的面积为20，
∴5
20
h
=
，即
4
h =
，
设
(
)
,4
C x
，则
2
2
2
4
5
x +
=
，
∴
3
x = ，
∴
(
)
3,4
C
，
∴(
)
8,4
B
，
∴k 的最大值为8 4
32
=
；
（2）解：①∵D 是菱形对角线的交点，
∴D是OB 的中点，
∴点D的坐标为8 4
,
2 2
，即(
)
4,2 ，
把(
)
4,2 代入
k
y
x
=
得
8
k = ，
∴反比例函数解析式为
(
)
8
0
y
x
x
=
；
②
2
OB
AC
=
；理由：
∵
(
)
(
)
5,0 ,
3,4 ,
A
C
∴
(
)
(
)
2
2
5
3
0
4
2 5
AC =
−
+
−
=
，
又(
)
8,4
B
，
∴
2
2
8
4
4 5
OB =
+
=
，
∴
2
OB
AC
=
．
◆题型5 反比例函数与正方形的综合问题
13．
【答案】(1)(
)
6,2 ；
(2)
24
y
x
= −
．
【详解】（1）解：点B 的坐标为(
)
0,2 ，点C 的坐标为(
)
0, 4
−
，
2
OB
=
，
4
OC =
，
6
BC
=
，
四边形ABCD为正方形．
6
AB
BC
=
=
，AB
y
⊥
轴，
16 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
6,2
A
；
（2）解：四边形ABCD为正方形，
CD
BC
6
=
=
，CD
y
⊥
轴，
(
)
6, 4
D
−
，
将
(
)
6, 4
D
−
的代入反比例函数
k
y
x
=
得：4
6
k
−=
，
24
k
= −
，
反比例函数的解析式为：
24.
y
x
= −
14．
【答案】(1)
,7 ,
7,
7
7
k
k
E
F
(2)
21
y
x
=
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为7，
∴
7
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，
当
7
x =
时，
7
k
y =
，当
7
y =
时，
7
k
x =
，
∴
,7 ,
7,
7
7
k
k
E
F
；
（2）解：当
AEF
△
的面积为20 时，即
20
AEF
ADE
ABF
CEF
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
=
正方形
，
可得：
1
1
1
49
7
7
20
2
2
2
7
7
k
k
k
k
−
−
−
−
−
=
，
解得：
21
k =
（负值舍去），
∴反比例函数的解析式是
21
y
x
=
．
15．
【答案】(1)20
(2)(
)
5,4
【详解】（1）解：把
(
)
4,5
E
代入
k
y
x
=
，得
4 5
20
k = =
．
（2）解：
(
)
4,5
E
，
正方形ABCD的边长
5
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
由题意得，
5
A D
AD
=
=
，D A
y
⊥
轴，
如解图，过点D作D F
BC
⊥
于点F，
17 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
90
A OB
=
∴四边形A OFD
是矩形，
5
OF
A D
=
=
．
把
5
x = 代入
20
y
x
=
，
解得
4
y =
．
点D的坐标为(
)
5,4 ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．B
2．D
3．B
4．D
5．D
二、填空题
6．12
7．12
8．15
−
9．21
10．3
三、解答题
11．
18 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
4
4
3
y
x
= −
+
；
(2)
(
)
3
0
y
x
x
=
．
【详解】（1）解：∵点A 的坐标为(
)
3,0 ，
∴
3
OA = ，
∵
5
AB =
，
∴
2
2
4
OB
AB
OA
=
−
=
，
∴
(
)
0,4
B
，
设直线AB 的解析式为
4
y
kx
=
+
，把(
)
3,0 代入，得
4
3
k = −
，
∴
4
4
3
y
x
= −
+
；
（2）解：作CD
x
⊥
轴于点D ，
则
90
CDA
AOB
BAC
=
=
=
，
∴
90
CAD
OBA
OAB
=
=
−
，
又∵
5
AB
AC
=
= ，
∴
(
)
AOB
CDA AAS
≌
，
∴
3,
4
CD
OA
AD
OB
=
=
=
=
，
∴
1
OD
AD OA
=
−
= ，
∴
(
)
1, 3
C −−
，
∵点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，
∴
(
)
1
3
3
k = −−
=
，
∴
(
)
3
0
y
x
x
=
．
12．
【答案】(1)
8
y
x
=
(2)6
19 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：点D 是菱形OABC的对角线的交点，
∴点D 是OB 的中点，
∵点
(
)
0,0
O
，点(
)
8,4
B
，
点D 的坐标为：0
8 0
4
,
2
2
+
+
，即
(
)
4,2
D
，
将点
(
)
4,2
D
代入反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
中得2
4
k
=
，
解得：
8
k = ；
8
y
x
=
；
（2）解：四边形OABC是菱形，
BC
OA
，OD
BD
=
，
90
BFO
AOF
=
=
．
点E 的纵坐标为4，
当
4
y =
时，
8
4
x
=
，
2
x
=
，
点E 的坐标为(
)
2,4 ，
8 2
6
BE
= −
=
，
1
1
1
1
6 4
6
2
2
2
4
ODE
OBE
S
S
BE OF
=
=
=
=
△
△
．
13．
【答案】(1)3
(2)
18
y
x
=
(3)18
【详解】（1）解：
AB
y
轴，(
)
3,
A
m ，
B
点横坐标为3，
正方形ABCD中BC
AB
⊥
，
BC
平行x 轴，
(
)
6,
C
n ，
正方形边长
6 3
3
= −=
．
（2）解：由正方形边长为3，
(
)
3,
A
m 、
(
)
6,
C
n ，纵坐标满足：
3
m
n
−
= ，
A
、C 在
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上，
3
k
m
=
，
6
k
n
=
，
20 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即3
6
m
n
=
，
2
m
n
=
，
联立方程组：
3
2
m
n
m
n
−
=
=
，
解得：
3
n = ，
6
m =
，
3
3 6
18
k
m
=
= =
，
反比例函数表达式：
18
y
x
=
．
（3）解：连接OD ，
由
6
m =
，
3
n = ，
得
(
)
3,6
A
、
(
)
6,3
C
，
正方形ABCD：
(
)
6,6
D
，
3
AD = ，AD边上高为6 ，
1
3 6
9
2
OAD
S
=
=
；
3
CD =
，CD边上水平距离为6 ，
1
3 6
9
2
OCD
S
=
=
，
9
9
18
OCDA
OAD
OCD
S
S
S
=
+
=
+
=
．
14．
【答案】（1）解：延长AB 交x 轴于点G，如图所示：
∵将点A先向下平移至点B ，再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，
∴AB
y
∥
轴，BC
x
∥轴，
∴AG
x
⊥
轴，
∵
45
AOE
=
，
∴
45
AOE
OAG
=
=
，
21 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴AG
OG
=
，
设点A坐标为(
)
,
m m ，它在反比例函数图像上，
∴
2
m
m
=
，
解得
2
m =
（负数舍去），
∴点A的坐标为(
)
2, 2 ；
(2)根据题意设点A坐标为
, k
a a
，点C 坐标为
, k
b b
，
∵矩形ABCD，
∴B 坐标为
, k
a b
，点D 坐标为
, k
b a
，
设直线OD 的函数表达式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=
，点D 在直线OD 上，
∴
1
k
k b
a =
，
解得
1
k
k
ab
=
，
∴直线OD 的函数表达式为
k
y
x
ab
=
，
当x
a
=
时，
k
k
y
a
ab
b
=
=
，
∴点B 在直线OD 上
(3)连接AC 交BD于点F ，
∵矩形ABCD
∴AC
BD
=
，
∴
1
1
2
2
AF
CF
AC
BF
DF
BD
=
=
=
=
=
，
∵
1
2
OA
BD
=
，
∴OA
AF
=
，BF
CF
=
，
∴
1
2
= ，
3
BCF
=
，
∵
2
3
2 3
BCF
= +
= ，
22 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴1
2 3
= ，
由题意得BC
OE
∥
，
∴
3
DOE
=
，
∴
3
AOE
DOE
=
，
∴
1
3
DOE
AOE
=
．
15．
【答案】(1)证明：∵以OA和OB 为邻边作矩形OACB，
∴
90
ACB
OAC
=
=
，
∵过C 点作CD平分
ACB
交OA于点D ，
∴
1
45
2
ACD
ACB
=
=
；
∴
90
45
ADC
ACD
=
−
=
（2）解：∵
6
OB =
，点A在y 轴正半轴上，
8
OA = ，以OA和OB 为邻边作矩形OACB，
∴
6
AC
OB
=
=
，
8
OA
BC
=
= ，
∴
6,
AD
AC
=
=
(
)
6,8
C
，
∴
8 6
2
OD
AO
AD
=
−
= −
=
，
∴
(
)
0,2 ,
D
设直线CD的解析式为
,
y
kx
b
=
+
则
2
6
8
b
k
b
=
+
=
解得
2
1
b
k
=
=
，
∴直线CD的解析式为
2,
y
x
=
+
把
(
)
, 4
E m
代入得到，4
2,
m
=
+
解得
2,
m =
∴
(
)
2,4
E
，
把
(
)
2,4
E
代入
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
得到4
2
k
=
，
解得
8
k = ，
∴反比例函数的解析式为
8
y
x
=
；
（3）解：设
8
,
G t t
，则
8
6,
H
t
，
∵GP
CD
∥
，
23 / 23
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴可设GP 的解析式为y
x
p
=
+
，
则8
t
p
t = +
，
解得
8
p
t
t
=
−,
∴GP 的解析式为
8
y
x
t
t
=
+
−，
当
0
x =
时，
8
y
t
t
=
−，
∴
8
0,
P
t
t
−
，
∴
PGH
△
面积
(
)
(
)
(
)
2
1
8
8
1
1
9
6
6
3
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
=
−
−
−
=
−
= −
−
+
，
∵
1
0
2
−
，
∴当
3
t =
时，
PGH
△
面积取得最大值，最大值为9
2 ，
此时点G 的坐标为
8
3, 3
G
．
