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专题04 反比例函数与几何图形的综合问题
常考题型·精准突破
题型1 反比例函数与三角形的综合问题（重）
题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
题型3 反比例函数与矩形的综合问题（高频）
题型4 反比例函数与菱形的综合问题
题型5 反比例函数与正方形的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 反比例函数与三角形的综合问题
1．如图，三角形ABC 为等腰直角三角形，斜边AB
x
∥轴，点C 在x 轴上，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
经过AB
的中点D，交边BC 于点E ，已知点
(
)
2,0
C
．
(1)点B 的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接DE ，求BDE
的面积．
【答案】(1)(
)
4,2 ，
4
y
x
=
(2)3
5
−
【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质结合AB
x
∥轴，可得CD
AB
⊥
，易证ADC
是等腰直
角三角形，可得
(
)
2,2
D
，进而得到
(
)
4,2
B
，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式；
（2）连接DE ，由（1）知
(
)
4,2
B
，求出直线BC 的解析式为
2
y
x
=
−
，联立
2
4
y
x
y
x
=
−
=
，求出(
)
5 1, 5 1
E
+
−
，
由
(
)
1
·
2
BDE
B
E
S
BD y
y
=
−
即可求解．
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【详解】（1）解：如图，连接CD，
∵三角形ABC 为等腰直角三角形，斜边AB
x
∥轴，点D 为AB 的中点，
∴CD
AB
⊥
，AD
BD
=
，
45
CAB
CBA
=
=
，
∴
45
ACD
=
，
∴ADC
是等腰直角三角形，
∴AD
CD
=
，
∵
(
)
2,0
C
，
∴
2
AD
CD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
2,2
D
，
∴
(
)
4,2
B
，
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
经过点D ，
∴2
2
k
=
，
解得：
4
k =
∴反比例函数解析式为
4
y
x
=
；
故答案为：(
)
4,2 ，
4
y
x
=
；
（2）解：如图，连接DE ，
由（1）知
(
)
4,2
B
，
设直线BC 的解析式为y
mx
n
=
+
，
则
0
2
2
4
m
n
m
n
=
+
=
+
，解得
1
2
m
n
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
2
y
x
=
−
，
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联立
2
4
y
x
y
x
=
−
=
，解得
5
1
5
1
x
y
=
+
=
−
或
5
1
5
1
x
y
= −
+
= −
−
（舍去）；
∴(
)
5 1, 5 1
E
+
−
，
∴
(
)
(
)
1
1
·
2
2
5 1
3
5
2
2
BDE
B
E
S
BD y
y
=
−
=
−
−
= −
．
2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt
ABC
△
的底边BC 在x 轴上，点B，C 的坐标分别为(
) (
)
2,0 , 6,0
−
，
反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交AC 于点A，D．
(1)求k 的值；
(2)将
ABC
沿x 轴向左平移t（>0
t
）个单位长度，当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与三角形至少有一个公
共点时，求t 的取值范围．
【答案】(1)8
(2)0
6 4 2
t
−
【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质，
（1）过点A 作AE
x
⊥
轴于点E，先证明AE
BE
CE
=
=
，求出
8
BC = ，进而求出
(
)
2,4
A
，即可求出结论；
（2）先求出直线AC 的解析式为
6
y
x
= −+
，设直线AC 向左平移后的解析式为
(
)
6
y
x
t
= −
+
+
，先求出当反
比例函数图象与三角形只有一个公共点时t 的值，进而求出结论即可．
【详解】（1）解：如图，过点A 作AE
x
⊥
轴于点E，
∵
ABC
是等腰直角三角形，
∴AE
BE
CE
=
=
，
∵
(
)
(
)
2,0 ,
6,0
B
C
−
，
∴
8
BC = ，
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∴
4
AE
BE
EC
=
=
=
，
∴
(
)
(
)
2,0 ,
2,4
E
A
，
∵反比例函数
(
)
>0
k
y
x
x
=
的图象经过点A，
∴
2 4
8
k = =
；
（2）解：设直线AC 的解析式为y
ax
b
=
+
，
把
(
)
(
)
2,4 ,
6,0
A
C
代入得
2
4
6
0
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
1
6
a
b
= −
=
，
∴直线AC 的解析式为
6
y
x
= −+
，
设直线AC 向左平移后的解析式为
(
)
6
6
y
x
t
x
t
= −
+
+
= −+
−，
联立
6
8
y
x
t
y
x
= −+
−
=
，整理得，
(
)
2
6
8
0
x
t
x
+
−
+
=
，
当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则
(
)
2
6
8
0
x
t
x
+
−
+
=
有两个相等的实数根，
即
(
)
2
Δ
6
4 1 8
0
t
=
−
−=
，
解得1
6
4 2
t =
−
，1
6
4 2
t =
+
(不符合题意，舍去)，
∴当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与三角形至少有一个公共点时，t 的取值范围是0<
6 4 2
t ?
．
3．如图所示，
OAB
△
的顶点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，直线AB 交y 轴于点C，且点C 的纵坐
标为5，过点A、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E、F，且
1
AE = ．
(1)若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；
(2)若
OAB
△
为等腰直角三角形，
90
AOB
=
，其面积小于3．
①求证：
OAE
BOF
≌
△
△
；
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②延长AO 交双曲线第三象限于点D，连接BD，求三角形ADB的面积．
【答案】(1) 5
2
(2)①见解析；②
5
ADB
S
=
【分析】（1）由点E 为线段OC 的中点，可得E 点坐标为
5
0, 2
，进而可知A点坐标为：
5
1, 2
A
，代入解
析式即可求出k ；
（2）①由
OAB
△
为等腰直角三角形，可得AO
OB
=
，再根据同角的余角相等可证
AOE
FBO
=
，由AAS
即可证明
OAE
BOF
≌
△
△
；
②设点
(1,
)
A
m ，由
OAE
BOF
≌
△
△
可得
( , 1)
B m −
，进而求出直线AB 解析式和反比例函数解析式，联立求出
D点坐标，最后求ADB
的面积即可．
【详解】（1）解：点E 为线段OC 的中点，
5
OC =
，
1
5
2
2
OE
OC
=
=
，即E 点坐标为
5
0, 2
，
又
AE
y
⊥
轴，
1
AE = ，
5
1, 2
A
，
把
5
1, 2
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
可得：5
2
1
k
=
，
5
5
1 2
2
k =
=
；
（2）解：①在
OAB
△
为等腰直角三角形中，AO
OB
=
，
90
AOB
=
，
90
AOE
FOB
+
=
，
∵过点A、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，
90
FBO
FOB
+
=
，
90
AEO
OFB
=
=
，
AOE
FBO
=
，
在
OAE
△
和BOF
中，
AEO
OFB
AOE
FBO
AO
BO
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
OAE
BOF
≌
，
②解：设点A坐标为(1,
)
m ，则OE
m
=
，
1
AE = ，
∵
OAE
BOF
≌
△
△
，
BF
OE
m
=
=
，
1
OF
AE
=
= ，
( , 1)
B m
−
，
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设直线AB 解析式为：
5
y
nx
=
+ ，将AB 两点代入得：
则
5
5
1
n
m
nm
+
=
+
= −
．
解得
1
1
3
2
n
m
= −
=
，
2
2
2
3
n
m
= −
=
当
2
m =
时，
2
OE = ，
2
2
5
OA
AE
OE
=
+
=
，
2
1
5
3
2
2
AOB
S
OA
=
=
，符合；
当
3
m =
时，
3
OE = ，
2
2
2
2
2
1
3
10
OA
AE
OE
=
+
=
+
=
，
2
1
5
3
2
AOB
S
OA
=
=
，不符，舍去；
∴
2
m =
，
∴
(1,2)
A
，
(2, 1)
B
−
∴直线OA解析式为
2
y
x
=
，
把
(1,2)
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
可得：
1 2
2
k = =
，
∴反比例函数
2
y
x
=
，
联立
2
2
y
x
y
x
=
=
，解得
1
2
x
y
=
=
或
1
2
x
y
= −
= −
，
∴
( 1, 2)
D −
−
，
过D作DM
y
⊥
轴于M ，则
2
OM =
，
1
DM = ，
∴
2
2
5
OD
OM
DM
=
+
=
，
∴
5
OA
OD
OB
=
=
=
，
∴
5
OA
OD
OB
=
=
=
，
∴
2 5
AD =
，
∵
90
AOB
=
，
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∴
1
1
2 5
5
5
2
2
ADB
S
AD OB
=
=
=
．
◆题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
4．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，
OABC
的顶点O与原点重合，CO边在x 轴的正半轴上，且点
(
)
(
)
4,3 ,
4,0
A
C
，反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象经过对角线OB 的中点P ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若BD
OC
⊥
，垂足为
,
D BD 交反比例函数的图象于点E ，求BPE
的面积．
【答案】(1)
(
)
6
0
y
x
x
=
(2) 9
2
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到点B ，进而得到OB 的中点P ，再利用待定系数法求解即可；
（2）先得到E 点坐标，再结合三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：
(
)
4,0
C
，
4
OC
= ，由条件可知
4
BA
OC
=
=
，
(
)
4,3
A
，
(
)
8,3
B
，
点P 为OB 的中点，
3
4, 2
P
，
反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象经过点P ，
3
4
6
2
k
=
=
．
反比例函数的表达式为
(
)
6
0
y
x
x
=
；
（2）解：如图，连接AC ，
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(
)
(
)
4,3 ,
4,0
A
C
，
AC
x
⊥
轴，
点B 的坐标为(
)
8,3 , BD
OC
⊥
，
点E 的横坐标为8，将
8
x = 代入
6
y
x
=
，得
3
4
y =
，
,
,
AB
OC AC
OC BD
OC
⊥
⊥
∥
，
由两平行线间的距离相等得
3
BD
AC
=
=
，
3
9
3
4
4
BE
BD
DE
=
−
= −
=
，
1
1
9
9
4
2
2
4
2
BPE
S
BE CD
=
=
=
△
．
5．（25-26 九年级上·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB 在x 轴上，点
D在反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
的图象上，已知点C 的坐标为(6,3) ，平行四边形ABCD的面积为12．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接BD，点E 为边BC 与反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
图象的交点，点P 为x 轴上一动点．若点E 为BC
的中点，
PBE
ABD
S
S
=
△
△
，求P 点的坐标．
【答案】(1)
6
y
x
=
(2)(
)
10,0 或(
)
6,0
−
【分析】本题考查平行四边形的性质、反比例函数解析式的求法，关键是利用平行四边形的面积确定点的
坐标，再结合反比例函数的性质和三角形面积公式求解．
（1）利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，结合面积公式求出点D 的坐标，进而代入反比例函数求k 值；
（2）先计算ABD
的面积，再利用中点坐标公式和点E 在反比例函数中求出点E 的坐标，最后根据三角形
面积公式列方程求解点P 的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB 在x 轴上，
∴
//
AB CD ，
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∵点C 坐标为(
)
6,3 ，
∴平行四边形ABCD的底CD边上的高为3．
∵已知平行四边形面积为12，
∴
3 12
CD=
，解得
4
CD =
．
∴
4
AB
CD
=
=
，
∴点D坐标为(
)
2,3 ．
∵点D在反比例函数
k
y
x
=
上，
将
(
)
2,3
D
代入得3
2
k
=
，解得
6
k =
．
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=
；
（2）解：由（1）知：
4
AB
CD
=
=
，点D 到x 轴的距离为3，
∴
1
4 3
6
2
ABD
S
=
=
．
∵设点(
)
,0
B b
，
(
)
,
E x y ，
(
)
6,3
C
，E 是BC 的中点，
∴
0
3
2
6
2
y
b
x
+
=
+
=
∴点E 的纵坐标是0
3
3
2
2
+
=
，
∴将
3
2
y =
，代入得
6
4
3
2
x =
=
，
∴
3
4, 2
E
，
6
4
2
b +
=
，解得
2
b =
，
∴
(
)
2,0
B
．
设
(
)
,0
P p
，则
2
PB
p
=
−
，PBE
的边PB边上的高为3
2 ，
∴
1
3
2
6
2
2
PBE
S
p
=
−
=
．
解得
10
p =
或
6
p
−
=
．
∴P 点的坐标为(
)
10,0 或(
)
6,0
−
．
6．（2026·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点(
)
6,0
A −
，
(
)
3, 4
C
−
是平行四边形OABC的两个
顶点，反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）的图象经过点B ．
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(1)求出反比例函数的表达式；
(2)将平行四边形OABC沿x 轴翻折，点C 落在点D 处，
①判断点D是否在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，并说明理由；
②连接OD ，作DO 与x 轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐
标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
12
y
x
=
(2)①D 在反比例函数
12
y
x
=
的图象上，理由见解析；②(
)
2 6, 6 或(
)
2 6,
6
−
−
【分析】（1）先求得点
(
)
3, 4
B −
−
，再待定系数求解析式，即可求解；
（2）①先求得
(
)
3,4
D
，然后将
3
x = 代入反比例函数表达式，即可求解；
②过点D作DF
x
∥轴交DO 与x 轴正半轴夹角的角平分线于点F ，E 为OF 与
12
y
x
=
的交点，设G 为x 轴正
半轴上的一点，根据角平分线的定义以及平行线的性质求得F 的坐标，进而得出直线OF 的解析式，联立反
比例函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵点(
)
6,0
A −
，
(
)
3, 4
C
−
是平行四边形OABC的两个顶点，
∴
6
BC
AO
=
=
，BC
AO
∥
∴
(
)
3, 4
B −
−
∵反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）的图象经过点B ．
∴
(
)
3
4
12
m = −−
=
，
∴反比例函数的表达式为
12
y
x
=
（2）解：①D 在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，理由如下：
∵将平行四边形OABC沿x 轴翻折，点
(
)
3, 4
C
−
落在点D 处，
∴
(
)
3,4
D
当
3
x = 时，
12
4
3
y =
=
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∴D在反比例函数
12
y
x
=
的图象上，
②如图，过点D 作DF
x
∥轴交DO 与x 轴正半轴夹角的角平分线于点F ，E 为OF 与
12
y
x
=
的交点，设G 为
x 轴正半轴上的一点，
∵
(
)
3,4
D
∴
2
2
3
4
5
OD =
+
=
依题意，
DOF
FOG
=
又∵DF
OG
∥
∴
FOG
DFO
=
∴
DOF
DFO
=
，
∴
5
DO
DF
=
=
，
∴
(
)
8,4
F
设直线OF 的解析式为y
kx
=
，代入
(
)
8,4
F
∴4
8k
=
解得：
1
2
k =
∴直线OF 的解析式为
1
2
y
x
=
，
联立
1
2
12
y
x
y
x
=
=
解得：
2 6
6
x
y
=
=
或
2 6
6
x
y
= −
= −
∴OF 所在直线与反比例函数的交点坐标为(
)
2 6, 6 或(
)
2 6,
6
−
−
．
◆题型3 反比例函数与矩形的综合问题
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7．（2025·河南·模拟预测）如图，点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，
交反比例函数
1
y
x
= −
的图象于B，C 两点，以
,
AB AC 为边的矩形ABDC 被坐标轴分割成四个小矩形，矩形
面积分别记为
1
2
3
4
,
,
,
S S S S ，已知
1
3
S =
．
(1)直接写出反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的表达式；
(2)求矩形ABDC 的面积．
【答案】(1)
(
)
3
0
y
x
x
=
(2)16
3
【分析】（1）根据
1
3
S =
，得出
3
k = ，根据反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第一象限，得出
3
k = ，即可得出答案；
（2）点B，C 均在反比例函数
1
y
x
= −
的图象上，得出
2
4
1
S
S
=
= ．设
,
AB CD 分别交x 轴于点
,
,
,
E F AC BD 分
别交y 轴于点G，H．得出
1
2
3
3,
1,
S
OG OE
S
OF OG
S
OF OH
=
=
=
=
=
，
4
1
S
OH OE
=
= ，根据
4
1
S = ，求
出
3
1
3
S =
，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
1
3
S =
，
∴
3
k = ，
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第一象限，
∴
3
k = ，
∴反比例函数的表达式为
(
)
3
0
y
x
x
=
；
（2）解：∵点B，C 均在反比例函数
1
y
x
= −
的图象上，
2
4
1
S
S
=
= ．
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如图，设
,
AB CD 分别交x 轴于点
,
,
,
E F AC BD 分别交y 轴于点G，H．
1
2
3
3,
1,
S
OG OE
S
OF OG
S
OF OH
=
=
=
=
=
，
4
1
S
OH OE
=
= ，
:
1:3
OF OE
=
，
3
4
:
1:3
S
S
=
．
4
1
S =
，
3
1
3
S
=
，
1
2
3
4
ABDC
S
S
S
S
S
=
+
+
+
矩形
1
3 1
1
3
= + +
+
16
3
=
．
8．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C 在坐标轴上，顶点B 在反
比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，已知矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P 在该反比例函数的图象上，且在BC 的上方，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E，F，
PE与BC 交于点G．若矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(
)
12
0
y
x
x
=
(2) 9
4
16
, 3
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【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义求解即可；
（2）设
12
,
P a a
，根据矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6 列方程求解即可．
【详解】（1）解：矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3，
4
3
12
OABC
S
=
=
矩形
，
点B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
12
k
=
，
反比例函数的表达式为
12 (
0)
y
x
x
=
；
（2）解：设
12
,
P a a
，
则PF
OE
a
=
= ，
12
OF
a
=
，
3
AE
a
= −
，
12
4
CF
a
=
−，
矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，
(
)
12
4
4 3
6
a
a
a
−
+
−
=
，
解得
9
4
a =
，
12
12
16
9
3
4
a
=
=
，
点P 的坐标为9
4
16
, 3
．
9．（25-26 八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形A B C D
的顶点A与坐标原点O重合，B在x 轴的正半轴上，
16
A D
=
，
12
AB
=
，
对角线A C
、B D
相交于点E．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形A B C D
向右平移3 个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，若双曲线
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(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形A B C D
向右平移
(
0)
m m
个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，双曲
线
(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，且与AD交于点F ，若
10
AF =
，求点F 的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形A B C D
向右平移(
0)
t t
个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，双曲线
(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，与边AD交于点K ，连接EK ，若AEK
是等腰三角形，求t 的值．
【答案】(1)
72
y
x
=
(2)点F 的坐标为(
)
24,10
(3)当AEK
是等腰三角形时，t 的值为6 或24
【分析】（1）由矩形的性质可得点E的坐标为(
)
6,8 ，结合平移可得点E 的坐标为(
)
9,8 ，进一步求解即可；
（2）表示平移m 个单位长度后，点E 的坐标为(
)
6
,8
m
+
，点F 的坐标为(
)
,10
m
．可得
(
)
10
8 6
m
m
k
=
+
=
，
再进一步求解即可；
（3）利用矩形的性质求解
2
2
1
1
1
12
16
10
2
2
2
AE
AC
BD
=
=
=
+
=
．当AEK
是等腰三角形时，分三种情况
讨论：①当
10
AK
AE
=
=
时，②当
10
KE
AE
=
=
时，此时点K 与点D 重合，③当KE
AK
=
时，设
(
)
,
K t n ，
再进一步结合反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 四边形A B C D
是矩形，
16
A D
=
，
12
AB
=
，
∴
(
)
12,16
C
，A E
C E
=
，
点E的坐标为(
)
6,8 ．
由平移得：点E 的坐标为(
)
9,8 ．
把
(
)
9,8
E
代入
k
y
x
=
，得
72
k =
，
该双曲线的解析式为：
72
y
x
=
．
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（2）解：平移m 个单位长度后，点E 的坐标为(
)
6
,8
m
+
，
A D
边平移后所在的直线AD为x
m
=
，
10
AF =
，
点F 的坐标为(
)
,10
m
．
点E 、F 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
10
8 6
m
m
k
=
+
=
，
解得：
24
m =
，
点F 的坐标为(
)
24,10 ．
（3）解：如图3，四边形ABCD是矩形，
2
2
1
1
1
12
16
10
2
2
2
AE
AC
BD
=
=
=
+
=
．
当AEK
是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当
10
AK
AE
=
=
时，
由平移可得：
(
)
,0
A t
，
(
)
6,8
E t +
．
(
)
,10
K t
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
10
8
6
t
t
=
+
．
解得
24
t =
．
②当
10
KE
AE
=
=
时，此时点K 与点D 重合，
(
)
,16
K t
，
(
)
6,8
E t +
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
16
8
6
t
t
=
+
，
解得
6
t =
．
③当KE
AK
=
时，设
(
)
,
K t n ．
由平移可得
(
)
6,8
E t +
，
(
)
,0
A t
，
KE
AK
=
，
2
2
2
(
6
)
(8
)
t
t
n
n
−
−
+
+
=
，
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解得
25
4
n =
，
25
, 4
K t
．
点K 、E 在
k
y
x
=
图象上，
(
)
25
8
6
4 t
t
=
+
．
解得
192
7
t = −
．
0
t
，
这与题意不符，舍去．
综上所述，当AEK
是等腰三角形时，t 的值为6 或24 ．
◆题型4 反比例函数与菱形的综合问题
10．如图，在平面直角坐标系中，直线
1
y
mx
=
+ 与双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
相交于点A，点C 在x 轴的正半轴上，
点
(
)
2, 3
B
−
，连接AO ，OB ，BC ，CA ，四边形AOBC 是菱形．
(1)求m 和k 的值；
(2)设点P 是x 轴上的点，且
AOP
AOBC
S
S
=
△
菱形
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
1
m = ，
6
k =
(2)
(
)
8,0
P
或(
)
8,0
−
．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键
（1）连接AB 交OC 与点E，根据对称性质求出点A 的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k 值即可；
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（2）先求出
1
1
4 6
12
2
2
AOBC
S
OC AB
=
=
=
菱形
，再设点P 坐标为(
)
,0
x
，建立方程求出必值即可得到点P
的坐标．
【详解】（1）解：连接AB 交OC 与点E，
∵点C 在x 轴的正半轴上，点
(
)
2, 3
B
−
，四边形AOBC 是菱形，
∴点A 与点B 关于x 轴对称，
∴
(
)
2,3
A
，
∵点A 为直线
1
y
mx
=
+ 与双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
的交点，
∴
2 3
6
k = =
，2
1
3
m+ = ，
∴
1
m = ．
（2）解：∵四边形AOBC 是菱形，
(
)
2,3
A
，
∴
2
OE = ，
1
2
OE
OC
=
，
∴
4
OC =
，
∴
(
)
4,0
C
，
∴
1
1
4 6
12
2
2
AOBC
S
OC AB
=
=
=
菱形
，
设点P 坐标为(
)
,0
x
，
∴
1
3
12
2
AOP
S
x
=
=
，
解得：
8
x = ，
∴
(
)
8,0
P
或(
)
8,0
−
．
11．如图，M 是四边形ABCD对角线的交点，AC
x
⊥
轴于点C，BD
y
⊥
轴于点B ，反比例函数
1
C ：
2
y
x
=
的
图象经过点M，M 是AC 的中点．
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(1)求经过点A 的反比例函数
2
C 的表达式；
(2)若点D 恰好也在图象
2
C 上，证明：四边形ABCD是菱形．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)见解析
【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关
点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力．
( )
1 设点M 的坐标为(
)
,a b ，根据点M 在反比例函数
2
y
x
=
上，求出ab ，根据AC
x
⊥
轴，M 是AC 的中点，
求出点A 的坐标，设经过点A 的反比例函数
2
C 的表达式为
k
y
x
=
，代入点A 的坐标即可解答；
( )
2 根据题意证明AC 与BD互相垂直平分即可得证．
【详解】（1）解：设点M 的坐标为(
)
,a b ，
点M 在反比例函数
2
y
x
=
上，
2
ab
=
，
AC
x
⊥
轴，M 是AC 的中点，
点A 的坐标为(
)
,2
a
b ，
设经过点A 的反比例函数
2
C 的表达式为
k
y
x
=
，
把
(
)
,2
A a
b 代入可得2
k
b
a
=
，
即
2
k
ab
=
，
又
2
ab =
，
4
k
= ，
则反比例函数
2
C 的表达式为
4
y
x
=
；
（2）证明：设点M 的坐标为(
)
,a b ，
BD
y
⊥
轴，
点D 的纵坐标与点M 的纵坐标相同，
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点D 在图象
2
4
:
C
y
x
=
上，
点D 的坐标为4 ,b
b
，
由( )
1 知
(
)
,2
A a
b ，
2
ab =
，即
2
a
b
=
，
点M 的坐标为2 ,b
b
，
2
BM
DM
b
\
=
=
，
M
是AC 的中点，
AM
CM
=
；
AC
x
⊥
轴，BD
y
⊥
轴，
AC
y
∥
轴，BD
x
∥轴，
即AC
BD
⊥
，
四边形ABCD是菱形．
12．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC为菱形，点A的坐
标为(
)
5,0 ，对角线
,
OB AC 相交于点D ，且菱形的面积为20．
(1)如图1，当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与菱形OABC有交点时，k 的最大值为___________．（请直接
写出结果）
(2)如图2，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D ．
①求反比例函数的关系式；
②判断对角线AC 与OB 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)32
(2)①
(
)
8
0
y
x
x
=
；②
2
OB
AC
=
，理由见解析
【分析】（1）由点A的坐标为(
)
5,0 得到
5
OC
OA
AB
CB
=
=
=
=
，由菱形的面积求出菱形的高，运用勾股定
理可求出C 点横坐标，可得点C 、B 的坐标，从而可求出k 的最大值；
（2）①根据中点坐标公式求出点D 的坐标，即可求解；
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②根据两点间距离公式求出
,
AC OB 的长即可得出
2
OB
AC
=
．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为菱形，点A的坐标为(
)
5,0 ，
∴
5
OA =
，
∴
5
OC
OA
AB
CB
=
=
=
=
，
设OA边上的高为h ，
∵菱形的面积为20，
∴5
20
h
=
，即
4
h =
，
设
(
)
,4
C x
，则
2
2
2
4
5
x +
=
，
∴
3
x = ，
∴
(
)
3,4
C
，
∴(
)
8,4
B
，
∴k 的最大值为8 4
32
=
；
（2）解：①∵D 是菱形对角线的交点，
∴D是OB 的中点，
∴点D的坐标为8 4
,
2 2
，即(
)
4,2 ，
把(
)
4,2 代入
k
y
x
=
得
8
k = ，
∴反比例函数解析式为
(
)
8
0
y
x
x
=
；
②
2
OB
AC
=
；理由：
∵
(
)
(
)
5,0 ,
3,4 ,
A
C
∴
(
)
(
)
2
2
5
3
0
4
2 5
AC =
−
+
−
=
，
又(
)
8,4
B
，
∴
2
2
8
4
4 5
OB =
+
=
，
∴
2
OB
AC
=
．
◆题型5 反比例函数与正方形的综合问题
13．如图，四边形ABCD为正方形．点B 的坐标为(
)
0,2 ，点C 的坐标为(
)
0, 4
−
，反比例函数
k
y
x
=
的图象
经过点D．
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(1)点A 的坐标为______；
(2)求反比例函数关系式．
【答案】(1)(
)
6,2 ；
(2)
24
y
x
= −
．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，
熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据A、B 两点坐标，得出
6
BC =
，再结合正方形的性质，即可得到点A 的坐标；
（2）根据正方形性质先求出点D 坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解得k 值，继而得到反比例
函数解析式．
【详解】（1）解：点B 的坐标为(
)
0,2 ，点C 的坐标为(
)
0, 4
−
，
2
OB
=
，
4
OC =
，
6
BC
=
，
四边形ABCD为正方形．
6
AB
BC
=
=
，AB
y
⊥
轴，
(
)
6,2
A
；
（2）解：四边形ABCD为正方形，
CD
BC
6
=
=
，CD
y
⊥
轴，
(
)
6, 4
D
−
，
将
(
)
6, 4
D
−
的代入反比例函数
k
y
x
=
得：4
6
k
−=
，
24
k
= −
，
反比例函数的解析式为：
24.
y
x
= −
14．如图，正方形ABCD的边长为 7 ，以AB 所在的直线为 x 轴， 以AD所在的直线为y 轴建立平面直角
坐标系，反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ）的图象与CD交于 E 点，与BC 交于 F 点．
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(1)求点E、F 的坐标（用k 表示） ；
(2)若
AEF
△
的面积为20 时，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
,7 ,
7,
7
7
k
k
E
F
(2)
21
y
x
=
【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数系数k 的几何意义等知识，
熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键；
（1）把
7
x =
和
7
y =
分别代入反比例函数的解析式求出相应的y 与x 即可；
（2）根据
20
AEF
ADE
ABF
CEF
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
=
正方形
，结合k 的几何意义列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为7，
∴
7
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，
当
7
x =
时，
7
k
y =
，当
7
y =
时，
7
k
x =
，
∴
,7 ,
7,
7
7
k
k
E
F
；
（2）解：当
AEF
△
的面积为20 时，即
20
AEF
ADE
ABF
CEF
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
=
正方形
，
可得：
1
1
1
49
7
7
20
2
2
2
7
7
k
k
k
k
−
−
−
−
−
=
，
解得：
21
k =
（负值舍去），
∴反比例函数的解析式是
21
y
x
=
．
15．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形边框ABCD的边BC 在x 轴正半轴上，顶
点A，D 在第一象限内，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与AD交于点E，已知点E 的坐标为(
)
4,5 ．
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(1)求k 的值．
(2)若BC 边不动，将正方形边框ABCD向左下方推动，使点A落在y 轴的点A处．点D 落在点D处．若点D
在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，求点D的坐标．
【答案】(1)20
(2)(
)
5,4
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）可得四边形A OFD
是矩形，
5
OF
A D
AD
=
=
=
，然后把
5
x = 代入
20
y
x
=
求解即可．
【详解】（1）解：把
(
)
4,5
E
代入
k
y
x
=
，得
4 5
20
k = =
．
（2）解：
(
)
4,5
E
，
正方形ABCD的边长
5
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
由题意得，
5
A D
AD
=
=
，D A
y
⊥
轴，
如解图，过点D作D F
BC
⊥
于点F，
∵
90
A OB
=
∴四边形A OFD
是矩形，
5
OF
A D
=
=
．
把
5
x = 代入
20
y
x
=
，
解得
4
y =
．
点D的坐标为(
)
5,4 ．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D 都在反比例函
数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象上，对角线BD平行于x 轴，坐标原点O为BC 的中点，若菱形ABCD的面积为40，
则k 的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【分析】过点D作DM
x
⊥
轴于点M ，记BD与y 轴交于点F，CD与x 轴交于点N，连接OA，OD ，由菱
形的性质可得
1
20
2
BCD
ABCD
S
S
=
=
菱形
，求出
10
5
15
OBD
ODN
OBDN
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
，证明
(
)
AAS
FBO
MND
≌
，
则有
15
FOMD
BOND
S
S
=
=
矩形
四边形
，根据反比例函数k 的意义可得
FOMD
S
k
=
矩形
，即可求k 的值．
【详解】解：过点D作DM
x
⊥
轴于点M ，记BD与y 轴交于点F，CD与x 轴交于点N，连接OA，OD ，
O
是BC 的中点，四边形ABCD是菱形，
∴BC
AD
∥
，BC
CD
=
，
0
2
2
1
BCD
ABCD
S
S
=
=
菱形
，
CBD
CDB
=
，
BD
x
∥轴，O 为BC 的中点，
∴
CON
CBD
=
，
CNO
CDB
=
，
1
1
2
2
OB
OC
BC
CD
=
=
=
，
1
10
2
OBD
OCD
BCD
S
S
S
=
=
=
，
∴
CON
CNO
=
，
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∴
1
2
OC
NC
CD
=
=
，
∴点N 是CD的中点，
∴
1
5
2
OND
OCD
S
S
=
=
，
∴
10
5
15
OBD
ODN
OBDN
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
，
∵BD
MN
，
BDN
DNM
=
，
CBD
CDB
=
，
OBF
DNM
=
，
∵BD
MN
，FO，DM 均垂直x 轴，
∴
90
OFD
FOM
OMD
=
=
=
，
∴四边形OFDM 是矩形，
OF
DM
=
，
90
BFO
DMN
=
=
，
(
)
AAS
FBO
MND
≌
，
FBO
MND
S
S
=
，
FBO
MND
OFDN
OFDN
S
S
S
S
+
=
+
四边形
四边形
，
15
FOMD
BOND
S
S
=
=
矩形
四边形
，
∵点D在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
FOMD
S
k
=
矩形
，
15
k
=
．
2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
0,6
A
，(
)
5,6
B
，将ABO
向右平移
到
CDE
△
位置，点A、O 的对应点分别是C、E，函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C 和DE 的中点F，则k 的
值为（ ）
A．15
8
B．15
4
C．15
2
D．15
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【答案】D
【分析】根据图形的平移，设平移距离为t ，分别表示点
,
,
C D E 的坐标，由中点坐标的计算得到
5
2 ,3
2
t
F
+
，
把点C，F 代入计算即可求解．
【详解】解：点
(
)
0,6
A
，(
)
5,6
B
，
∴
6,
5
OA
AB
=
=
，
∵将ABO
向右平移到
CDE
△
位置，设平移距离为t ，
∴AC
BD
OE
t
=
=
= ，
∴
(
)
(
)
(
)
,6 ,
5
,6 ,
,0
C t
D
t
E t
+
，
∵点F 是线段DE 的中点，
∴点F 的横坐标为5
5
2
2
2
t
t
t
+ +
+
=
，纵坐标为6
0
3
2
+
= ，
∴
5
2 ,3
2
t
F
+
，
∵点C，F 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，
∴k
xy
=
，即
5
2
6
3
2
t
k
t
+
=
=
，
解得，
15
k =
．
3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B 在x 轴的负半
轴上，且
3
AB
AD
=
，顶点D 在函数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象上，在CD边上取点E 使DE
AD
=
，EA的延长
线与y 轴的负半轴交于点F ，连结BF ．若
ABF
△
的面积为18，则k 的值为（ ）．
A．6
−
B．12
−
C．18
−
D．24
−
【答案】B
【分析】设AD
a
=
，证明ADE
是等腰直角三角形，证明OF
AO
=
，设
(
)
,
D m a ，则
(
)
,0
A m
，点D 在反比
例函数图象上，则k
ma
=
，根据
3
3
2
2
ABF
S
am
k
= −
= −
，
18
ABF
S
=
，即可求出k 的值．
【详解】解：设AD
a
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
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∴
90
ADC
=
，AD
x
⊥
轴，
∵DE
AD
a
=
=
，
∴ADE
是等腰直角三角形，
∴
45
DAE
=
，
∵AD
x
⊥
轴，
∴
90
OAD
=
，
∵点
, ,
E A F 在同一直线上，
∴
180
45
OAF
OAD
DAE
=
−
−
=
，
在
OAF
△
中，
90
AOF
=
，
∴
45
OAF
OFA
=
=
，
∴OF
AO
=
，
设
(
)
,
D m a ，则
(
)
,0
A m
，
∵点D 在反比例函数图象上，
∴k
ma
=
，
∵A、B 在x 轴的负半轴上，
∴AO
m
= −
，
∴OF
m
= −
，
∵
3
3
AB
AD
a
=
=
，
∴
(
)
1
1
3
3
3
2
2
2
2
ABF
S
AB OF
a
m
am
k
=
=
−
= −
= −
，
∵
18
ABF
S
=
，
∴
3
18
2 k
−
=
解得
12
k
−
=
4．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A
B
、分别为(
)
,0
m
、
(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1k
y
x
=
（
0
x
）上，顶点D 在反比例函数
2k
y
x
=
（
0
x
）上．当D 点坐标为(
)
4,1
时，下列说法：①
2
4
k =
；②
1
m = ；③
3
n = ；④
1
12
k =
．其中正确结论有（ ）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
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【答案】D
【分析】根据待定系数法得到
2
4
k =
，过点D 作DM
x
⊥
轴于点M ，通过证明AOB
DMA
≌
，得到
1
3
m
n
=
=
，
，过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ，同理可证
AOB
BNC
≌
△
△
，继而得到
(
)
3,4
C
，从而根据待定系数
法得到
1
12
k =
．
【详解】解：将点
(
)
4,1
D
代入反比例函数表达式
2k
y
x
=
，
2
4 1
4
k
= =
，故①正确；
如图，过点D作DM
x
⊥
轴于点M ，
90
AOB
AMD
=
=
，
90
BAD
=
，
90
BAO
DAM
DAM
ADM
+
=
+
=
，
BAO
ADM
=
，
AB
DA
=
，
(
)
AAS
AOB
DMA
≌
，
OB
MA
n
=
=
，OA
MD
m
=
=
，
OM
m
n
=
+ ，
(
)
,
D m
n m
+
，
4
1
m
n
m
+
=
=
，解得
1
3
m
n
=
=
，故②，③正确；
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
B
，
3
OB
MA
=
= ，
1
OA
MD
=
= ，
如图，过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ，
同理可证
(
)
AAS
AOB
BNC
≌
，
3
OB
NC
=
= ，
1
OA
BN
=
= ，
4
ON
=
，
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(
)
3,4
C
，
将点
(
)
3,4
C
代入反比例函数表达式
1k
y
x
=
，
1
4 3
12
k
= =
，故④正确．
5．（25-26 八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，A、B 两点关于y 轴对称，以AB 为边在x 轴上
方作平行四边形ABCD，点D 恰好落在y 轴上，反比例函数
k
y
x
=
交边CD于点E ，交边BC 于点F ．点P 是
平行四边形ABCD内任一点，连接PA、PB、PC 、PD、PO．若
2 3
DE EC =
∶
∶，且2
25
AOP
PCD
S
S
+
=
△
△
，
则k 的值为（ ）
A．10
B．20
C．10
−
D．20
−
【答案】D
【分析】连接OE ，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点H ，交CD于点G ，先求出平行四边形ABCD得面积，
再求出OED
的面积，根据反比例函数k 的几何意义即可求出k 的值．
【详解】解：如图，连接OE ，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点H ，交CD于点G ，
∵A、B 两点关于y 轴对称，
∴AO
BO
=
，
∴
2
ABP
AOP
S
S
=
，
∵2
25
AOP
PCD
S
S
+
=
△
△
，
∴
25
ABP
CDP
S
S
+
=
，
∴1
1
1
25
2
2
2
AB PH
CD PG
CD GH
+
=
=
，
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∴
50
CD GH
=
．
∴
50
CD OD
=
．
∵
2 3
DE EC =
∶
∶，
∴
2
5
DE
CD
=
，
∴
1
1
2
1 50
10
2
2
5
5
OED
S
DE OD
CD OD
=
=
=
=
．
∴
2
20
OED
k
S
=
=
，
∵反比例函数经过第二象限，
∴
0
k
，
∴
20
k = −
．
二、填空题
6．（2026·山西长治·二模）如图，直线
2
4
y
x
−
=
+
与x 轴、y 轴分别相交于点A、B ，四边形ABCD是正方
形，曲线
k
y
x
=
在第一象限经过点D ，则k =____________．
【答案】12
【分析】先求出点(
)
(
)
2,0 ,
0,4
A
B
，可得
=
=
OA
2,OB
4，作DE
x
⊥
轴，垂足为E，连接OD ，证明
BOA
AED
△
≌△
，
可得
2
OA
DE
=
=
，
4
AE
OB
=
=
，从而得到点D 的坐标为(
)
6,2 ，即可求解．
【详解】解：∵直线
2
4
y
x
−
=
+ 与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两点，
当
0
x =
时，
4
y =
，当
0
y =
时，2
4
0
x
−
+
=
解得
2
x =
，
∴点(
)
(
)
2,0 ,
0,4
A
B
，
∴
=
=
OA
2,OB
4，
如图，作DE
x
⊥
轴，垂足为E，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴
90 ,
BAD
AB
AD
=
=
，
∴
90
DAE
BAO
+
=
，
∵
90
OBA
BAO
+
=
，
∴
DAE
OBA
=
，
又∵
90
BOA
AED
=
=
，
∴
(
)
AAS
BOA
AED
≌
，
∴
2
OA
DE
=
=
，
4
AE
OB
=
=
，
∴
2
4
6
OE
OA
AE
=
+
=
+
=
，
∴点D 的坐标为(
)
6,2 ，
∵曲线
k
y
x
=
在第一象限经过点D，
∴
6 2
12
k = =
．
7．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C 关于坐标原点对称，且均在反
比例函数
6
y
x
−
=
图象上，AB
y
⊥
轴于点B，CD
y
⊥
轴于点 D，连结AD、BC ，则四边形ABCD的面积
为_______．
【答案】12
【分析】设
6
,
A t
t
−
，由
,
A C 关于原点对称得
6
,
C
t t
−
由AB
y
⊥
轴得
6
0,
B
t
−
，由CD
y
⊥
轴得
6
0,
D
t
，
则AB
t
=
，高
12
BD
t
=
，再由四边形ABCD是平行四边形，则面积
12
S
AB BD
=
=
．
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【详解】解：由题意，可设
6
,
A t
t
−
，
,
A C 关于原点对称，
∴
6
,
C
t t
−
，
AB
y
⊥
轴，
6
0,
B
t
−
，
CD
y
⊥
轴，
6
0,
D
t
，
0
,
0
AB
t
t CD
t
t
=
−
=
= −−
=
，
∴AB
CD
=
，且
//
AB CD ，
四边形ABCD是平行四边形，且AB
BD
⊥
，
四边形ABCD的面积为
6
6
12
12
S
AB BD
t
t
t
t
t
=
=
−
−
=
=
．
8．（21-22 八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形OABC的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两
条对角线的长分别是10 和6（AC
OB
），反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C，则k 的值为______；
【答案】15
−
【分析】先根据菱形的性质得到点C 的坐标，再代入反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
中可求得k 值．
【详解】解：设AC 与y 轴相交于点D，
∵四边形OABC是菱形，
6
OB =
，
10
AC =
，
∴
1
5
2
CD
AC
=
= ，
1
3
2
OD
OB
=
=
，AC
OB
⊥
，即AC
y
⊥
轴，
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∴点C 的坐标为(
)
5,3
−
，
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C，
∴
5 3
15
k = −= −
．
9．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）小明将三角尺ABC （
90
ACB
=
，
5
AC
BC
=
=
）摆放在如图所示的
直角坐标系中，使得点C 位于(
)
3,0 处，BC 边与x 轴重合，点B 在点C 左侧．将ABC
绕点C 顺时针旋转一
定角度后，使点B 的对应点D 落在y 轴上，点A的对应点E 恰好落在第一象限的双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值
为_____
【答案】21
【分析】过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ，则
90
COD
CHE
=
=
，根据题意可得
3
OC =
，根据旋转可得
5
CD
CE
BC
AC
=
=
=
= ，
90
DCE
ACB
=
=
，由勾股定理求出
4
OD =
，证明COD
EHC
≌
，得到
4
CH
OD
=
=
，
3
EH
OC
=
= ，进而求出点E 的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ，则
90
COD
CHE
=
=
，
点C 位于(
)
3,0 处，
3
OC = ，
由旋转可得，
5
CD
CE
BC
AC
=
=
=
= ，
90
DCE
ACB
=
=
，
2
2
2
2
5
3
4
OD
CD
OC
=
−
=
−
=
，
90
OCD
ECH
+
=
，
90
COD
=
，
90
OCD
ODC
+
=
，
ODC
ECH
=
，
在
COD
△
和
EHC
△
中，
ODC
ECH
COD
EHC
CD
CE
=
=
=
，
(
)
AAS
COD
EHC
≌
，
4
CH
OD
=
=
，
3
EH
OC
=
= ，
3 4
7
OH
OC
CH
=
+
= +
=
，
(
)
7,3
E
，
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将
(
)
7,3
E
代入
k
y
x
=
，得3
7
k
=
，
解得
21
k =
．
10．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象和矩形ABCD均在
第一象限，AD平行于x 轴，且
2
AB =
，
4
AD =
，点A 的坐标为(
)
2,6 ，将矩形向下平移，若矩形的两个顶
点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a 的值为________．
【答案】
3
【分析】根据题意得到矩形四个点的坐标，再根据平移的性质得到矩形四个点的新坐标，利用反比例函数
横纵坐标之积等于k 求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，点(
)
2,6 ,
2,
4
A
AB
AD
=
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2,4 ,
6,4 ,
6,6 ,
//
,
//
B
C
D
AD BC AB CD ，
矩形向下平移a 个单位长度，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
2,6
,
2,4
,
6,4
,
6,6
A
a
B
a
C
a
D
a
−
−
−
−
，
∵将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，
且
//
,
//
AD BC AB CD ，
∴落在反比例函数的两点为点
,
A C 或者点
,
B D ，
又∵反比例函数
k
y
x
=
，
∴xy
k
=
，
∴当同时落在反比例函数图象上的是点
,
A C ，
则
(
)
(
)
2
6
6
4
a
a
−
=
−
，解得
3
a = ，
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此时
(
)
2
6
2 3
6
0
k
a
=
−
=
=
，当
0
x
时，反比例函数的图象在第一象限，符合题意；
当同时落在反比例函数图象上的是点
,
B D ，
则
(
)
(
)
2
4
6
6
a
a
−
=
−
，解得
7
a =
，
此时
(
)
(
)
2
4
2
4
7
6
0
k
a
=
−
=
−
= −
，当
0
x
时，反比例函数的图象在第四象限，不符合题意；
综上所述：
3
a = ．
三、解答题
11．（2026·江西上饶·二模）如图，将等腰直角三角板
(
)
90
ABC
BAC
=
放在平面直角坐标系上，点A 的坐
标为(
)
3,0 ，
5
AB
AC
=
= ，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上．
(1)求直线AB 的函数解析式．
(2)求反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的解析式．
【答案】(1)
4
4
3
y
x
= −
+
；
(2)
(
)
3
0
y
x
x
=
．
【分析】（1）求出B 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作CD
x
⊥
轴于点D ，证明AOB
CDA
≌
，求出C 点坐标，进而求出函数解析式即可.
【详解】（1）解：∵点A 的坐标为(
)
3,0 ，
∴
3
OA = ，
∵
5
AB =
，
∴
2
2
4
OB
AB
OA
=
−
=
，
∴
(
)
0,4
B
，
设直线AB 的解析式为
4
y
kx
=
+
，把(
)
3,0 代入，得
4
3
k = −
，
∴
4
4
3
y
x
= −
+
；
（2）解：作CD
x
⊥
轴于点D ，
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则
90
CDA
AOB
BAC
=
=
=
，
∴
90
CAD
OBA
OAB
=
=
−
，
又∵
5
AB
AC
=
= ，
∴
(
)
AOB
CDA AAS
≌
，
∴
3,
4
CD
OA
AD
OB
=
=
=
=
，
∴
1
OD
AD OA
=
−
= ，
∴
(
)
1, 3
C −−
，
∵点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，
∴
(
)
1
3
3
k = −−
=
，
∴
(
)
3
0
y
x
x
=
．
12．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形OABC的边OA在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点D，已
知点
(
)
8,4
B
，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)延长BC 交反比例函数的图象于点E ，交y 轴于点F ，连接DE ，求ODE
的面积．
【答案】(1)
8
y
x
=
(2)6
【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D 的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点E 的坐标为(
)
2,4 ，从而得出
8 2
6
BE = −
=
，根据
1
2
ODE
OBE
S
S
=
求出结果即可．
【详解】（1）解：点D 是菱形OABC的对角线的交点，
∴点D 是OB 的中点，
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∵点
(
)
0,0
O
，点(
)
8,4
B
，
点D 的坐标为：0
8 0
4
,
2
2
+
+
，即
(
)
4,2
D
，
将点
(
)
4,2
D
代入反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
中得2
4
k
=
，
解得：
8
k = ；
8
y
x
=
；
（2）解：四边形OABC是菱形，
BC
OA
，OD
BD
=
，
90
BFO
AOF
=
=
．
点E 的纵坐标为4，
当
4
y =
时，
8
4
x
=
，
2
x
=
，
点E 的坐标为(
)
2,4 ，
8 2
6
BE
= −
=
，
1
1
1
1
6 4
6
2
2
2
4
ODE
OBE
S
S
BE OF
=
=
=
=
△
△
．
13．（2026·河南周口·二模）如图，正方形ABCD的两个顶点A，C 都在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
其中
(
)
3,
A
m ，
(
)
6,
C
n ，AB
y
轴．
(1)正方形ABCD的边长为________；
(2)求这个反比例函数的表达式；
(3)连接OA，OC ，四边形OCDA的面积为________．
【答案】(1)3
(2)
18
y
x
=
(3)18
【分析】（1）由AB
y
轴、
(
)
3,
A
m ，得B 横坐标为3，再由
(
)
6,
C
n ，正方形水平方向
,
B C 横坐标差即为正
小学
初中
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方形边长；
（2）由正方形边长，得m
n
−
，A、C 在
k
y
x
=
上，得到,
,
k m n 关系，联立方程求出m ，n ，k ；
（3）用割补法：
OCDA
OAD
OCD
S
S
S
=
+
或大图形减空余面积计算．
【详解】（1）解：
AB
y
轴，(
)
3,
A
m ，
B
点横坐标为3，
正方形ABCD中BC
AB
⊥
，
BC
平行x 轴，
(
)
6,
C
n ，
正方形边长
6 3
3
= −=
．
（2）解：由正方形边长为3，
(
)
3,
A
m 、
(
)
6,
C
n ，纵坐标满足：
3
m
n
−
= ，
A
、C 在
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上，
3
k
m
=
，
6
k
n
=
，
即3
6
m
n
=
，
2
m
n
=
，
联立方程组：
3
2
m
n
m
n
−
=
=
，
解得：
3
n = ，
6
m =
，
3
3 6
18
k
m
=
= =
，
反比例函数表达式：
18
y
x
=
．
（3）解：连接OD ，
由
6
m =
，
3
n = ，
得
(
)
3,6
A
、
(
)
6,3
C
，
正方形ABCD：
(
)
6,6
D
，
3
AD = ，AD边上高为6 ，
1
3 6
9
2
OAD
S
=
=
；
3
CD =
，CD边上水平距离为6 ，
1
3 6
9
2
OCD
S
=
=
，
9
9
18
OCDA
OAD
OCD
S
S
S
=
+
=
+
=
．
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14．（25-26 八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
图
像上，将点A先向下平移至点B ，再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，
连接OA、OD ，点E 在x 轴正半轴上．
(1)如果
2
k =
，且
45
AOE
=
，求点A的坐标；
(2)求证：点B 在直线OD 上；
(3)如果
1
2
OA
BD
=
，求证：
1
3
DOE
AOE
=
．
【答案】(1)(
)
2, 2
(2)根据题意设点A坐标为
, k
a a
，点C 坐标为
, k
b b
，
∵矩形ABCD，
∴B 坐标为
, k
a b
，点D 坐标为
, k
b a
，
设直线OD 的函数表达式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=
，点D 在直线OD 上，
∴
1
k
k b
a =
，
解得
1
k
k
ab
=
，
∴直线OD 的函数表达式为
k
y
x
ab
=
，
当x
a
=
时，
k
k
y
a
ab
b
=
=
，
∴点B 在直线OD 上
(3)连接AC 交BD于点F ，
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∵矩形ABCD
∴AC
BD
=
，
∴
1
1
2
2
AF
CF
AC
BF
DF
BD
=
=
=
=
=
，
∵
1
2
OA
BD
=
，
∴OA
AF
=
，BF
CF
=
，
∴
1
2
= ，
3
BCF
=
，
∵
2
3
2 3
BCF
= +
= ，
∴1
2 3
= ，
由题意得BC
OE
∥
，
∴
3
DOE
=
，
∴
3
AOE
DOE
=
，
∴
1
3
DOE
AOE
=
．
【分析】（1）延长AB 交x 轴于点G，根据题意得出AB
y
∥
轴，BC
x
∥轴，确定AG
x
⊥
轴，再由等腰直角
三角形的判定和性质得出AG
OG
=
，设点A坐标为(
)
,
m m ，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即
可；
（2）根据题意设点A坐标为
, k
a a
，点C 坐标为
, k
b b
，得出B 坐标为
, k
a b
，点D 坐标为
, k
b a
，设直
线OD 的函数表达式为
(
)
1
1
0
y
k x k
=
，确定直线OD 的函数表达式为
k
y
x
ab
=
，将点B 代入即可判断；
（3）连接AC 交BD于点F ，根据矩形的性质得出
1
1
2
2
AF
CF
AC
BF
DF
BD
=
=
=
=
=
，确定OA
AF
=
，
BF
CF
=
，再由等边对等角得出
1
2
= ，3
BCF
=
，利用三角形外角的性质及等量代换得出1
2 3
= ，再
由平行线的性质结合图形即可证明．
【详解】（1）解：延长AB 交x 轴于点G，如图所示：
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∵将点A先向下平移至点B ，再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，
∴AB
y
∥
轴，BC
x
∥轴，
∴AG
x
⊥
轴，
∵
45
AOE
=
，
∴
45
AOE
OAG
=
=
，
∴AG
OG
=
，
设点A坐标为(
)
,
m m ，它在反比例函数图像上，
∴
2
m
m
=
，
解得
2
m =
（负数舍去），
∴点A的坐标为(
)
2, 2 ；
（2）略．
（3）略．
15．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点B 在x 的正半轴上，
6
OB =
，点A在y 轴正
半轴上，
8
OA = ，以OA和OB 为邻边作矩形OACB，过C 点作CD平分
ACB
交OA于点D ，反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象与CD交于点
(
)
,4
E m
，与BC 交于点F ．
(1)求证：
45
ADC
=
；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)点G 为反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
图象上一动点（点G 在
,
E F 之间运动，不与
,
E F 重合），过点G 作
GP
CD
∥
，交y 轴于点P ，过点G 作GH
x
∥轴，交BC 于点H ，连接PH ，直接写出
PGH
△
面积最大时，
此时点G 的坐标．
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【答案】(1)证明：∵以OA和OB 为邻边作矩形OACB，
∴
90
ACB
OAC
=
=
，
∵过C 点作CD平分
ACB
交OA于点D ，
∴
1
45
2
ACD
ACB
=
=
；
∴
90
45
ADC
ACD
=
−
=
(2)
8
y
x
=
(3)
8
3, 3
G
【分析】（1）根据矩形的性质、三角形内角和即可证明；
（2）求出直线CD的解析式为
2,
y
x
=
+
即可求出
(
)
2,4
E
，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）设
8
,
G t t
，则
8
6,
H
t
，求出GP 的解析式为
8
y
x
t
t
=
+
−，得到
8
0,
P
t
t
−
，则
PGH
△
面积
(
)
2
1
9
3
2
2
t
= −
−
+
，根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵
6
OB =
，点A在y 轴正半轴上，
8
OA = ，以OA和OB 为邻边作矩形OACB，
∴
6
AC
OB
=
=
，
8
OA
BC
=
= ，
∴
6,
AD
AC
=
=
(
)
6,8
C
，
∴
8 6
2
OD
AO
AD
=
−
= −
=
，
∴
(
)
0,2 ,
D
设直线CD的解析式为
,
y
kx
b
=
+
则
2
6
8
b
k
b
=
+
=
解得
2
1
b
k
=
=
，
∴直线CD的解析式为
2,
y
x
=
+
把
(
)
, 4
E m
代入得到，4
2,
m
=
+
解得
2,
m =
∴
(
)
2,4
E
，
把
(
)
2,4
E
代入
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
得到4
2
k
=
，
解得
8
k = ，
∴反比例函数的解析式为
8
y
x
=
；
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（3）解：设
8
,
G t t
，则
8
6,
H
t
，
∵GP
CD
∥
，
∴可设GP 的解析式为y
x
p
=
+
，
则8
t
p
t = +
，
解得
8
p
t
t
=
−,
∴GP 的解析式为
8
y
x
t
t
=
+
−，
当
0
x =
时，
8
y
t
t
=
−，
∴
8
0,
P
t
t
−
，
∴
PGH
△
面积
(
)
(
)
(
)
2
1
8
8
1
1
9
6
6
3
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
=
−
−
−
=
−
= −
−
+
，
∵
1
0
2
−
，
∴当
3
t =
时，
PGH
△
面积取得最大值，最大值为9
2 ，
此时点G 的坐标为
8
3, 3
G
．
