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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题05 全等三角形中动点与新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频） 题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题（重） 题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频） 题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难） 题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题 1．（25-26 八年级下·河南开封·期末）如图， 90 , 4, 5 C BC AC = = = ，射线AP AC ⊥ 于A，点D 和E 分别 在线段AC 和射线AP 上运动，且DE AB = ．当AE =____________时，以点A，B ，C 为顶点的三角形与ADE 全等． 2．（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形ABCD中，B C = ， 8 , 10 , 14 AB cm BC cm CD cm = = = ， E 是AB 中点．点P 在线段BC 上以3cm / s的速度由B 向C 单向运动的同时，点Q 在线段CD上匀速由C 向 D 单向运动．为使BPE 与CPQ 在两点运动过程中全等，点Q 的速度应为________________ ． 3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在ABC 中，BE AC ⊥ 于点 , E AF BC ⊥ 于点 , 45 F ABC = ， 点M 为直线BC 上一点，且CM AD = ，点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时， 点Q 从点A出发，沿射线AC 以4 单位长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，, P Q 两点同时停止运动．若 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 AC = ，设运动时间为t 秒，当ADP 与MCQ 全等时，t = _________． ◆题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题 4．（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在ABC 中，CD AB ⊥ ，垂足为点D ，AD CD = ，点E 在线段CD 上，连接AE 并延长交BC 于点F ，若ED BD = 时，则下列结论中：①AE BC = ；②BF DF = ；③AF BC ⊥ ； ④ 45 BFD = ，其中正确的是_____． 5．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，AB AD = ， 140 BAD = ，AB CB ⊥ 于点B，AD CD ⊥ 于点D， E、F 分别是CB 、CD上的点，且 70 EAF = ，下列结论中①DF BE = ，② ADF ABE △ ≌△ ，③FA平分 DFE ， ④EF 平分 AEC ，⑤BE DF EF + = ．其中正确的结论有_________ 6．（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，在ABC 中，AB AC = ， 45 B C = = ，D，E 是边BC 上 两点，过点A 作AF AD ⊥ ，垂足是A，过点C 作CF BC ⊥ ，垂足是C，交AF 于点F，连接EF ，其中 DE EF = ．下列结论：①AD AE = ；② 45 DAE = ；③若 10 ABC S = △ ， 4 ADE S = △ ．则 6 AECF S = 四边形 ； ④CE BD DE + ．其中正确的是______．（填序号） 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7．（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形ABC 中， 4 AB = ，ABC 的面积为6，BD平分 ABC ．若M 、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM MN + 的最小值为________． 8．（25-26 八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，ABC 是等边三角形． 2, AB AD = 是边BC 上的高，点E 在 边AD上运动，连接BE，以BE为边在其下方作等边BEF ，连接DF 、CF ，则DF 的最小值为_______． 9．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在ABC 中，AB AC = ， 90 A = ， 点D、E 分别是AB AC 、 上的动点，且AD CE = ，试探究BE CD + 的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题， 再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C 作CF AB ∥ ，且使CF AC = ，连接EF ．在【问题呈现】的条件下，完成下列 问题： （1）证明：DC EF = ； （2）连接__________，BE CD + 的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在ABC 中， 50 BAC = ，AB AC = ，BD AC ⊥ 于点D，点M、N 分别是线段BD BC 、 上的动点，且BM CN = ，当AM AN + 的值最小时， MAD 的度数为__________． ◆题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10．（25-26 七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ， 6cm AB AC = = ，若O是BC 的中 点，动点M 在AB 上移动，动点N 在AC 上移动，且AN BM = ． (1)证明：OM ON = ； (2)四边形AMON 面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON 的面积． 11．（24-25 七年级下·四川成都·期末）ABC 中，AB AC = ，点P 为边AC 上一动点． (1)如图1，过点A 作AD BP ⊥ 于点D，以AD为边作ADE ，使AD AE = ，且 BAC DAE = ，作射线ED交 BC 于点F． ①求证：BD CE = ， BDF DEC = ； ②求证：BF CF = ； (2)如图2， 3 3 AP CP = = ， 100 BAC = ，N 为ABC 内一动点，且HN HA HB = = ，M为HN 中点，连接 , BM PN ， 当BM PN + 最小时，求 APN 的度数． 12．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）在ABC 中， ABC 为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连结CM ， 以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角CMN ，连结NB ． (1)当ABC 是等腰直角三角形且 90 ACB = 时． ①问题初现：如图①，若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则BN 与AM 所在直线的位置关系 是______； ②深入探究：如图②，若点M 在线段AB 的延长线上，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当ABC 不是等腰三角形且 90 ACB 时，如图③．若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点， 45 ABC = ，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并证明你的结论． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13．（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已 有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断：如图1，ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段BD与CE 之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2，ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， , D E 均在ABC 外，连 接BD CE 、 ，试说明（1）中BD和CE 之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 14．（23-24 七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线 交于点Q，则我们把 AQB 称为 APB 的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，CD，BE分别是ABC 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 DBE 是 DCE 的“边 垂角”或 DCE 是 DBE 的“边垂角”， DAE 的“边垂角”是______； (2)若 AQB 是 APB 的“边垂角”，则 AQB 与 APB 的数量关系是______； (3)若 ACD 是 ABD 的“边垂角”，且AB AC = ．如图2，BD交AC 于点E，点C 关于直线BD对称点为点 F，连接AF ，EF ，且 45 CAF = ，求证：BE CF CE = + ． 15．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等 积三角形． 如图1，在ABC 中， 10 AB = ， 6 AC = ， 9 BC = ． ①若Q 是AB 上一点， 5 AQ = ，则CAQ 与 CBQ △ ______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②若P 为AC 上一点，当AP 的长为______时，ABP 与 CBP △ 是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，D 为BC 上一点，ABD 与ACD 是偏等积三角形， 4 AB = ， 12 AC = ，且线段AD 的长为偶数，则AD的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，CA CB = ，CD CE = ， ( ) 90 0 90 ACB DCE BCE = = ． 求证：ACD 与BCE 是偏等积三角形； ②如图4，ABC 与ADE 是偏等积三角形，AB AE = ，AC AD = ，求证： 180 BAC DAE + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在ABC 中， 80 ABC = ，BD平分 ABC ，P 为线 段BD上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP PQ + 的值最小时， APB 的度数是（ ） A．120 B．125 C．130 D．135 2．（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C 与线段AB 构成ABC ，其边长满足 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8, 2 2, 2 4 AB CA a CB a = = + = −．点D 在 ACB 的平分线上，且 90 ADC = ，则ABD 的面积的最大值为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 3． （25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，AO OM ⊥ ， 6 OA = ，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ， AB 为直角边，点B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt OBF △ 、等腰Rt ABE △ ，连接EF 交OM 于P 点，当 点B 在射线OM 上移动时，则PB的长度为（ ） A．4 B．3 C．2 D．2.5 4．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，ABC 中，AB AC ，AD是ABC 中线，有下面四个结论： ①ABD 与ACD 的面积相等；② ( ) 1 2 AD AB AC + ；③若点P 是线段AD上的一个动点（点P 不与点 , A D 重合），连接 , PB PC ，则ABP 的面积比ACP 的面积大；④点 , P Q 是 , A D 所在直线上的两个动点（点P 与 点Q 不重合），若DP DQ = ，连接 , PB QC ，则PB QC ．所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 二、填空题 5．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，AB BC ⊥ ，DC BC ⊥ ，垂足分别为B ，C ， 6 AB = ， 8 BC = ， 2 CD = ，点P 为BC 边上一动点，当BP =________时，形成的Rt ABP 与Rt PCD △ 全等． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6． （25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在ABC 中，AC BC = ， 4 AB = ，ABC 的面积为10，作AD AC ⊥ ， 且AD AC = ，连接BD，点E 为射线AB 上的动点，当DE 的长度最短时，BDE 的面积为________． 7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC 中， 6, 90 , , AC BAC E D = = 分别为边 , AB AC 上的动 点，且AE CD = ，连接 , BD CE ．当CE BD + 取最小值时， BDC AEC S S + = _____． 8．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，在ABC 中 90 A = ， 12cm AB = ， 5cm AC = ，过点B 作 BM AB ⊥ ．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而 运动，始终保持ED CB = ．若点E 的运动时间为t 秒（ 0 t ），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC 全 等时，t 的值为________秒． 三、解答题 9．（25-26 八年级上·广东江门·期中）如图， 90 B = ，AB DF ∥ ， 4cm AB = ， 10cm BD = ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC CE ⊥ ． (1)如图1，求证： ACB CED = ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)利用图2 画图并解答：若AC CE = ，试求BC 的长． 10． （25-26 八年级上·全国·课后作业）如图①，在Rt ABC △ 中， 90 9cm 12cm 15cm C BC AC AB = = = = ， ， ， ， 现有一动点P ，从点A出发，沿着三角形的边AC CB BA → → 运动，回到点A停止，速度为3cm / s，设运 动时间为st ． (1)如图①，当t = ___________时， APC △ 的面积等于ABC 面积的一半； (2)如图②，在DEF 中， 90 6cm 7cm E DE DF D A = = = = ， ， ， ．在ABC 的边上，若另外有一个动 点Q ，与点P 同时从点A出发，沿着边AB BC CA → → 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时 刻，恰好APQ DEF ≌ ，求点Q 的运动速度． 11．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知ABC 中， 90 C = ， 45 ABC = ．点E 为ABC 边BC 上的动点，过A 作AF AE ⊥ ，且AF AE = ，连结BF 交直线AC 于点P． (1)求证：AC BC = ； (2)若 2 BC = ，点E 为BC 的中点，请求出AP CP 的值； (3)若点E 为射线CB 上的动点， 5 4 BC BE = ，试求出AP CP 的值． 12． （25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 13 AB = ， 12 BC = ， 5 AC = ，点P 为AC 上一点，当AP = _____时，ABP 与 CBP △ 为积等三角形． (2)【理解运用】如图，ABD 与ACD 为积等三角形，若 3 AB = ， 5 AC = ，且线段AD长为正偶数，求AD 的长． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)【综合应用】如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，分别以AC ，AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ， 连接EG，求证：AEG 和ABC 为积等三角形． 13．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做 积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在ABC 中，AB AC ， 4 BC = ，P 为边BC 上一点，若ABP 与ACP 是积等 三角形，则BP的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，ABD 与ACD 为积等三角形，若 2 AB = ， 4 AC = ． ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则 ________ AD = ． 【综合应用】（3）如图3，在Rt ABC △ 中 90 BAC = ，AB AC = ，过点C 作MN AC ⊥ ，点D 是射线CM 上 一点，以AD为边作Rt ADE △ ， =90 DAE ，AD AE = ，连接BE．请判断BAE 与ACD 是否为积等三角 形，并说明理由．
