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专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二
类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
题型二、全等三角形之倍长中线模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【截长补短模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等。
【倍长中线模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。 结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
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2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
典例1（25-26 八年级上·上海·阶段检测）已知在
中，
，射线
、
在
内部，
分别交线段
于点
、
．
(1)如图1，若
，
，作
于点
，分别交
、
于点
、
．
①求证：
；
②若
，连接
，求
的度数；
(2)如图2，点
为
上一点，
交
于点
，连接
．若
，求
的值．
题型模版
1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。
2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转化证
明。
变式1-1（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）学习理解：
（1）如图1，
，
，点D 为
的中点，则
的取值范围为________；
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活学活用：
（2）如图2，
，
，
，点F 为
的中点．
求证：
；
思维拓展：
（3）如图3，在
中，
，
和
的角平分线
与
相交于点F，连接
，
，
，则
________．
变式1-2（25-26 七年级下·辽宁阜新·期末）如图：在四边形
中，
，
，
，
分别是
，
上的点，且
，探究图中线段
，
，
之间的
数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长
到点
，使
，连接
，先证明
，再证
明
，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图
，若在四边形
中，
，
，
分别是
、
上的点，且
，（）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图，在四边形
中，
，
，
分别是边
、
延长线上的点，
且
，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
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系，并证明．
题型二、全等三角形之倍长中线模型
典例2 （25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，
中，D、E 在
上，
平分
，且
，
．求证：
．
题型模版
1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。
2.方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。
变式2-1（25-26 八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在
中，
是
的中点，过点
作直线
，
使
，交
的延长线于点
，求证：
．请结合图①写出完整的证明过程．
（2）如图②，
，
，
，连接
、
，
是
的中点，延长
交
于点
，
，
，则
的面积为________．
变式2-2（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解
决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过
构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关
知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
(1)如图1，在
中，
，
，D 是
的中点，求
边上的中线
的取值范围．经过合作交
流，得到了如下的解决方法：延长
到点E，使
，连接
，可以判定
，从而得
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到
．这样就能把线段
，
，
集中在
中，再利用三角形的三边关系，即可求出
中线
的取值范围．
请你直接写出
的取值范围：______；
(2)如图2，
，点D 为
的中点，
，
，求
；
(3)如图3，在
和
中，
，
，
．连接
，
，点F 是
的中点，连接
并延长，与
相交于点G．请猜想
和
的数量关系并说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 八年级上·全国·期中）如图，在
中，
，
是
边上的中线，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
2．（25-26 八年级上·重庆江北·期末）如图，在
中，
，
和
的平分线
、
相
交于点O，
交
于点D，
交
于点E，若已知
周长为20，
，
，则
长为（ ）
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A．
B．
C．
D．4
3．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，
中，
，
是
中线，有下面四个结论：
①
与
的面积相等；②
③若点
是线段
上的一个动点（点
不与点
重
合），连接
，则
的面积比
的面积大；④点
是
所在直线上的两个动点（点
与点
不重合），若
，连接
，则
．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．②③
D．①④
二、填空题
4．（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）如图，
是
的中线，在
边上取一点E，连接
交
于点F，若
，
，
，则
的度数为________．
5．（25-26 八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形
中，
，
与
互补，点E、
F 分别在射线
、
上，且
，当
，
，
时，
的周长等于______．
6．（25-26 八年级上·北京·阶段检测）如图，
是
的高，
，
，
，过
点
作
交
于点
．下列四个结论中：
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①
；②当
时，
；③
；④
．
所有正确结论的序号是___________．
三、解答题
7．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图
形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在
中，
平分
交
于点
，
，点
在边
上，且
，连
接
，试说明：
．
【综合研究】
（2）2025 年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动
人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2 是活动场地平面示意图，在
中，
米，
校学生会在边
、
上分别取点
、，使得点
为
的中点，
于点
，在线段
上找点
，
使得
米，
为等腰直角三角形，
，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不
计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道
的长，请你帮助校学生会计算出
的长．
8．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三
角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
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(1)（1）在
中，
平分
，
，求证：
；任选下面一种方法，并写出
完整的证明过程：
方法一：如图①，在
上截取
，使得
，连接
，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长
到点F，使得
，连接
，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在
中，
，
交
于点H，直接写出
之间的等量关系
________．
(3)如图④，在
中，
平分
，
，
分别为
的角平分线，
，
，直接写出
________．
9．（25-26 八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结
论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在
中，是
的中点，若
的面积为6，则
的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长
到点
，使
，连接
，根据
可以判定
，得出
．这样就能把线段
集中在
中，根据三角形三边关系可以
求出中线的范围．若
，则
的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在
中，
是
的中点，
是边
上的一点，连接
，交
于点
．若
，请
判断
之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在
中，是
的中点，
是
的角平分线，交
于点
，
．设
，
的面积分别为
和
，若
，试求
的最大值．
10．（25-26 八年级上·江西新余·期末）【经典再现】
（1）如图1，
为等边
外一点，
，
，
，连接
．则：
①线段
和线段
的位置关系是______（直接写出结果）．
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②
______
．
【深入探究】
（2）如图2，
为等边
外一点，
，
，点M 和点N 分别为等边
的边AB
和AC 上任意一点，
，试探究线段
，
和
的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点
和点
为等边
的边
和
上任意一点”改为“点
和点
为直
线
和直线
上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段
，
和
的数量关系．
②当（2）中的点
和点
在等边
的边
和
上运动时，记
的周长为P，记
的周长
为
，则
的值是否改变？若不变，请求出
的值：若改变，请说明理由．
