文档内容
压轴题 05 二次函数中三种线段问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、线段的数量关系.............................................................................................2
题型二、线段最值问题..............................................................................................11
题型三、周长最值问题..............................................................................................20
压轴能力测评（13题）.............................................................................................28
一、线段的数量关系
此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，
弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；
最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；
二、线段最值问题
此类问题通常有两类：
①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的
函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二
次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；
②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两
个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个
定点的线段即为所求的最小值；
三、周长最值问题
此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，
即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求
不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).
题型一、线段的数量关系
【例1】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图1，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于
点C．(1)求 A，B两点的坐标和直线 的解析式；
(2)D是直线 上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），若
，求点D的横坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)1或16．
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，涉及到函
数的图象和性质，正确确定线段的长度是解题的关键．
（1）根据抛物线解析式来求A，B、C三点的坐标，由点B、C来确定直线 的解析式；
（2）设点M的坐标为： ，则点N ，点D ，根据
和两点间的距离公式得到方程 ，解方程即可．
【详解】（1）解：依题意，
把 代入 ，
则
解得 ，
即可得 ， ，
因为
当 时， ，此时
设直线 的解析式为 ，
把 和 代入
得 ，
解得 ，所以直线 的解析式为 ；
（2）解：设点M的坐标为： ，
则点 点 ，
解得： （舍去）或 或 ，
，
∴点D的横坐标为1或16．
【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线 与 轴交于 两
点，与 轴交于点 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ，如果 ，
求点 的坐标；
(3)点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，如果以点 为顶点的四边形是平行四边形，直接
写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函
数的性质是解题关键．
（1）根据抛物线 与 轴的交点 ，利用交点式即可求解；（2）求出直线 的解析式，设点 ，则 ，表示出
即可求解；
（3）分类讨论 为平行四边形的对角线时 为平行四边形的对角线时 为平行四
边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为：
（2）解：如图所示：
令 ，可得 ，
∴
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设点 ，则
∴
∴
解得：
∴点 的坐标为(1,0)或
（3）解：由 两点可得抛物线的对称轴为：直线 ，
设
为平行四边形的对角线时：，
解得： ，
∴
为平行四边形的对角线时：
，
解得： ，
∴
为平行四边形的对角线时：
，
解得： ，
∴
综上所述，点 的坐标为
【变式2】．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线 与x轴交于点 ，
，与y轴交于点C，P是直线 上方抛物线上的一个动点（与点B，C不重合）．连接 交
于点Q．(1)求抛物线的表达式．
(2)当 时，求点P的坐标．
(3)试探究在点P的运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为 或
【分析】（1）将点 ， 代入 即可求解；
（2）过点P作 轴于点M，交 于点N，求出 所在的直线表达式；设点 ，则点
， ，根据 轴得 ，据此即可求解；
（3）分类讨论当 时，当 时，当 时的三种情况即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入，
得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ．
（2）解：如图，过点P作 轴于点M，交 于点N．
当 时， ，点 ．
设 所在的直线表达式为 ．
将点 代入得 ，
解得 ，
直线 的表达式为 ．
设点 ，则点 ， ，
．
，
．
轴，
，
．
整理得 ，
解得 ，
点P的坐标为 ．
（3）解：存在，点Q的坐标为 或 ．
根据题意得点 ， ，
．
设点 ．
当 时，即 ，
，解得 （负值已舍去），
点 ．
当 时，即 ，
，解得 （不符合题意，舍去）， ，
点 ．
当 时，即 ，，解得 （不符合题意，舍去）．
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数与特殊三角形、线段问题等知识点，综合性较强，需要
学生熟练掌握二次函数的相关性质．
【变式3】．（23-24九年级上·天津和平·期末）在平面直角坐标系中，点 ， ， ．已
知抛物线 （a为常数， ），与y轴相交于点C，P为顶点．
(1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
(2)若点P在x轴上方，当 时，求a的值；
(3)在（1）的情况下，连接 ， ，点E，点F分别是线段 ， 上的动点，且 ，连接 ，
，求 最小值，并求此时点E和点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最小值为 ，此时 ，
【分析】
（ 1 ） 把 代 入 ， 求 得 ， 从 而 得 出 抛 物 线 的 解 析 式 为
，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线 的顶点 的坐标为 ．再点 作 轴于点 ，则
．可知 ，即 ，解之即可求解；
（3）过点 作 轴，且使得 ，连接 ，可证得 ，则 ．所以
．当 ， ， 三点共线时， 取得最小值 ．由勾股定理可求 的
最 小 值 ； 此 时 点 是 与 的 交 点 ， 求 出 直 线 与 直 线 的 交 点 ， 则
，所以 ．则 ，
即可得出点E坐标．【详解】（1）
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∴该抛物线的顶点为 ．
（2）
解：∵抛物线 的顶点 的坐标为 ．
由点 在 轴上方， 时，知点 在第一象限．
过点 作 轴于点 ，
∴ ．
∴ ，即 ，
解得 ．
（3）
解：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴，且使得 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值 ．
∴
∴ 的最小值为 ．
此时点 是 与 的交点，
∵ ， ，设 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴同理可得：直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．∴
∴ 的最小值为 ，此时 ， ．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，求最短距离问题，
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形性质．熟练掌握用待定系数法求二次函数与一次函
数解析式，二次函数图像性质是解题的关键，题目属中考压轴题目，综合较强．
题型二、线段最值问题
【例2】．（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的对称轴及k的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得 的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作 轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的
最大值．
【答案】(1)对称轴为直线 ，
(2)
(3)
【分析】（1）将C(0,−3)代入 ，可求 ，则 ，然后作答即可；
（2）如图1，连接 ，与对称轴交点为 ，由两点之间线段最短，可知点 即为所求，当 时，
，可求 或 ，则 ，待定系数法求
直线 的解析式为 ，当 时， ，进而可得 ；
（3）如图2，设 ，则 ， ，然后根据二次函数的性质求最
值即可．
【详解】（1）解：将C(0,−3)代入 得， ，
解得， ，
∴ ，∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：如图1，连接 ，与对称轴交点为 ，由两点之间线段最短，可知点 即为所求，
当 时， ，
解得， 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ，C(0,−3)代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（3）解：如图2，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二
次函数与线段综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合是解题的关键．
【变式1】．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，点 的横坐标为4，当 时， 有最大值 ：
(1)求二次函数的表达式；
(2)点 在对称轴上，当 的值最小时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由题意可设抛物线为 ，把B(4,0)代入可得答案；
（2）如图，连接 ，由抛物线的对称性可得： ，当 ， ， 共线时， 最短，求解直
线 为 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵当 时， 有最大值 ：
∴设抛物线为 ，
把B(4,0)代入可得：
，
解得： ，
∴抛物线为： ．
（2）如图，连接 ，由抛物线的对称性可得： ，
∴ ，
当 ， ， 共线时， 最短，
当 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数，一次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的性
质，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键．
【变式2】．（23-24九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点
A(0,3)，与x轴交于点 和点C，抛物线的顶点为P．
(1)求此抛物线的解析式和顶点P的坐标；
(2)若点D，E均在此抛物线上，其横坐标分别为m， （ ）．且D，E两点的纵坐标的差为8．
①求m的值；②将点C向上平移2m个单位得到点 ，将抛物线沿x轴向右平移n个单位得到新抛物线，点D的对应点
为点 ，点E的对应点为点 ，顶点P的对应点为点 ，在抛物线平移过程中，求 的最小值，
并求出新抛物线的顶点 的坐标．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)① ；② 的最小值为 ，
【分析】（1）将A(0,3)， 代入 利用待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①将点 ， 横坐标代入解析式，根据“纵坐标的差为8”列出方程，解方程即可求解；
②分别表示出 ，勾股定理表示出 为 ，转化为点 与
的距离和的最值问题，利用轴对称，即可求解．
【详解】（1）解：将A(0,3)， 代入 得，
解得： ，
∴
∴顶点坐标为 ；
（2）解：①∵点 ， 均在此拋物线上，其横坐标分别为 ， ，且 ， 两点的纵坐标的差
为8，
∴ ①或 ②；
方程①无解，解方程②得 或 （舍去）
∴ ；
②当 时， ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵将点 向上平移 个单位得到点 ，
∴ ，
∵ 横坐标为2, 横坐标4，
∴ 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ，
即 ， ，∴ ， ，
∴
，
即点 与 的距离和最小值
取点 关于 轴的对称点为 ，则 ，
则 ，当点 在 上时取等号，
∴ 与 的距离即为 的最小值，
∴ 的最小值为 ，
设过点 与 的直线解析式为 ，
∴ ，
解得： ，即 ，
令 ，解得： ，即 ，
∴ 为 ，
综上， 的最小值为 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，轴对称求线段和的最值问题，勾股定理求最值问题，平移的性质，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3】．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，抛物线 与x轴交于点A(−2,0)和点
B(4,0)，与y轴交于点 ，作直线 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，已知直线 上方抛物线上有一点P，过点P作 轴与 交于点E，过点P作 轴与
y轴交于点F，求 的最大值和此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛
物线上的一点，且 ，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点P的坐标为
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点 ，则 ，求出直线 的解析式，则 ，则
，利用二次函数的性质求出 的最大值，即可得出 的最大值和此时点P的坐标；
（3）分点M在直线 上方和下方两种情况讨论即可．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于点A(−2,0)和点B(4,0)，与y轴交于点 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；（2）解：设点 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ，
此时点P的坐标为 ；
（3）解： 原抛物线的解析式为 ，
新抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
当点 在直线 上方时，如图，连接 ，过点 作 轴的垂线，交新抛物线于点H，过点M作
轴的平行线，交直线 于点G，交直线 于点T，过点M作 ，垂足为 ，
， ，
，平分 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
，
直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ，
， ，
， ，
，
，
，
解得： 或 （舍去）
；
当点 在直线 下方时，如图，连接BD，过点 作 轴的垂线，交新抛物线于点H，连接 ，过点H
作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点Q，连接 并延长交新抛物线于点W，令 ，则 ,
解得： 或 ，
根据题意，得 ，则 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
点M在直线 上，即 两点重合，
设直线 的解析式为 ，则 ，
，
直线 的解析式为 ，
联立直线 与新抛物线得 ，
解得： 或 （舍去），
；
综上所述，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、平
移性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和
转化思想求解是解答的关键．
题型三、周长最值问题
【例3】．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，抛物线过点O(0,0)， ，矩形 的边在线段 上（点 在点 的左侧），点 ， 在抛物线上．设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 ， ，且
直线 平分矩形 的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）
【答案】(1)
(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为
(3)
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得 ，据此知 ，再由 时， ，根据矩形的
周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）①根据 ，结合四边形 是矩形，可得A、C坐标，连接 ， 相交于点P，连接 ，取
的中点Q，连接 ，根据直线 平分矩形 的面积，得到直线 过点P，由平移的性质可知，
四边形 是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是 的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形
是平行四边形，得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
∵当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∵四边形 是矩形，
∴点C的坐标为 ，
∴将点C坐标代入解析式得 ，
解得： ，∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：由抛物线的对称性得 ，
∴ ，
当 时，点C的纵坐标为 ，
∴矩形 的周长
，
∵
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；
（3）解：∵当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，
连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，如图：
∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P，
由平移的性质可知， , ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴点P是 的中点，Q是 的中点，
∴ ， ，∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位，
∵
∴平移后的抛物线解析式为 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌
握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
【变式1】．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、
B(4,0)两点，且 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 、 ，求出当 的周长最小时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解
题的关键是：
（1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接 交对称轴于点H，则点H即为
所求，求得直线 的解析式，令 ，即可求解．
【详解】（1）解∶∵B(4,0)，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 、B(4,0)、 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解： ，
∴抛物线的对称轴为 ，
如图所示：连接 交对称轴于点 ，则 周长的最小；
∵ 、 两点关于 对称，
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．【变式2】．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交
于点 ，连接 ， ．
(1)求 的面积；
(2)直线 与抛物线交于点 、 ，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？如
果存在，请求出点 坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)存在，
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，
根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则 ， ，利用三角形面积公式求解
即可；
联立方程求得点 ，利用勾股定理即可求得 ．连接 、 ，结合对称性可知
，则 、 、 三点共线时， 有最小值，利用待定系数法求得直线 的解
析式为： ，利用对称轴即可求得点P．
【详解】（1）解：令 ，即 ，
解得 或
∴ ， ，
则 ，
当 时， ，
∴C(0,−3)， ，
∴ ．
（2）存在这样的点 ，理由如下，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
连接 、 ，如图，
则
∵
∴ ．
∴当 、 、 三点共线时， 有最小值，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，
则直线 的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴ ．
【变式3】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点 ，交y轴于
点C(0,−3)(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为P，求 的面积
(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使 的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1
(3)存在，点Q坐标为：
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时， 的周长最小，求出直线 的解析式，即
可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点 ，
∴设抛物线的解析式为： ，
将点C(0,−3)代入得： ，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）由（1）得 ，
∴顶点坐标 ，
∵ ，
∴ 的面积为： ；
（3）解：连接 与直线 交于点Q，∵点A与点B关于 对称，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴当点Q与点B，C共线时， 的周长最小，为 ，
∵
设直线 的解析式为： ，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时，y=−1，
∴点Q坐标为： ．
1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，
B(4,0)，与y轴交于点C，P为 上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段 于点F．
(1)求出二次函数 和 所在直线的表达式；
(2)在动直线l移动的过程中，试求线段 长度的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使 的面积等于 的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数的表达式为： ， 所在直线的表达式为： ；
(2) 的最大值为 ，此时点P的坐标为 ；
(3)存在， ， ， ．
【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为 ，则 ，由待定系数法
求出 所在直线的表达式即可
（2）设点 的横坐标为 ．可得 ， ，则 ，再利用二次函数
的性质可得答案；
（3）由 的面积等于 的面积，可得点Q与点C的到x轴的距离相等，所以点Q的纵坐标为 ，
代入二次函数关系式，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 ， ，代入 ，
得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为： ，
当 时， ，
，
设 所在直线的表达式为： ，
将 、 代入 ，
得： ，
解得： ，
所在直线的表达式为： ；
（2）解：设点 的横坐标为 ．
， ，
，
∴当 时， 的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．
（3）解：∵ 的面积等于 的面积，
∴点Q与点C的到x轴的距离相等，
，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴点Q坐标为 ， ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、
三角形的面积；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．
2．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线 与y轴交于点 ，顶点坐标为
．
(1)求b，c的值；
(2)若C是x轴上一动点，求 周长的最小值；
(3)m是抛物线 与x轴的交点的横坐标，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) 周长的最小值为 ；
(3)【分析】（1）由抛物线与 轴交于点 ，可得 ，把点 代入 ，得
，计算求解可得 值；
（2）由题意知，当 周长最小时， 的值最小，如图，作点 关于 轴的对称点 ，连
接 ，与 轴交于点 ，然后依据三角形周长计算公式解答即可；
（3）由（1）得二次函数解析式为 ，由 是抛物线 与 轴的交点的横坐标，可
得 ，即 ，将 ，进行分组因式分解化成
，将 代入整理后再分组因式分解为
，将 代入求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线与 轴交于点 ，
，
把点 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ， ；
（2）解：由题意知，当 周长最小时， 的值最小，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，此时 最小，最小值为 的长度，
周长的最小值；
（3）解：由（1）得二次函数解析式为 ，
是抛物线 与 轴的交点的横坐标，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与坐标轴交点，分组因式分解，代数式求
值，整体代入思想．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C．已的点A的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式，及点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使 的值最小，求点P的坐标；(3)当 时．最大值为 ，直接写出n的值．
【答案】(1) ，点B的坐标为
(2)
(3) 或
【分析】（1）由对称轴可得 ，过点 可得 ，从而可得解析式即B的坐标；
（2）由 ，再结合一次函数的性质可得答案；
（3）由当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，再结合最大值建立方程可得答
案．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴是直线 ，
，即 ①．
抛物线 与x轴交于A，B两点，点A的坐标是 ，
②，联立①②，得
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ，解得 ， ，
点B的坐标为 ．
（2）当 ，则 ，
∴ ．
点A，B关于直线 对称，
，
．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，
得
解得
直线BC的解析式为 ，当 时， ，
．
（3） 二次函数图象的对称轴是直线 且开口向下，
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小．
时，最大值为 ，
令 时，则 ，即 ，
解得 或 ，
或 时，
∴ 或 ,
在 时，最大值为 ，
或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的性质，掌握二
次函数的图象与性质是解本题的关键．
4.（23-24九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
， 两点．交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴交 于点 ，在 轴上取一点 ，使得
，求 的最大值及此时点 坐标；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点 ，使得
．写出所有符合条件的点 的横坐标．井写出求解点 的横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)(2) ，此时
(3) 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点 作 于点 ，求出 ，由三线合一定理可得 ，设
， 求出 ，则 ， ，可得
则 ，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的解析式为 ，当点M在点C上方时，过点C作 平行于x轴，作点
B关于直线l的对称点E，则 ，由轴对称的性质可得 ，则可得 ，
即可得到点M即为线段 与抛物线 的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取
中点H，连接 ，在 上取一点F使得 ，则 ，求出直线 解析式为 ，进而求出
，证明 ，则点M即为射线 与抛物线 的交点，据此
求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，当 时， ，
∴
，
∴ ，
设 ，直线 的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∴
∴
∵ ，开口向下，且 ，
∴当 时， ，
此时
（3）解：∵
∴ ，
∵将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，
∴相当于将抛物线向上移动 个单位向左平移 个单位；
∵原抛物线解析式为
∴平移后的抛物线解析式为 ，当点M在点C上方时，过点C作 平行于x轴，作点B关于直线 的对称点E，则 ，
由轴对称的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M即为线段 与抛物线 的交点，
同理可得直线 解析式为 ，
联立 得 ，
解得 或 （舍去），
∴点M的横坐标为 ；
当点M在点C下方时，如图所示，取 中点H，连接 ，在 上取一点F使得 ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴直线 解析式为
∵直线 解析式为 ，直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴点M即为射线 与抛物线 的交点，
联立 得 ，
解得 或 （舍去），
∴点M的横坐标为 ；
综上所述，点M的横坐标为 或 ．
5．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线AB交于点
， ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，求 的最大值及此时
点P的坐标；
(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使 的周长最小，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2) 有最大值1．点P的坐标为(3)
【分析】本题考查了抛物线的解析式求解以及二次函数与线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题
关键．
（1）把 ， 代入抛物线 即可求解；
（2）求出直线AB的解析式，设 可得 ，进一步可得
，即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点E，连接 与x轴的交点即为点N．据此即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入抛物线 中得：
，
∴ ．
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设直线AB的解析式为 ．
把 ， 代入，
得 ，
∴ ．
∴直线AB的解析式为 ．
设 ，
在 中，令 ，得 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 有最大值1．
此时点P的坐标为 ．
（3）解：∵抛物线解析式为 ，∴抛物线顶点M的坐标为 ．
作点A关于x轴的对称点E，则E(0,2)，
连接 与x轴的交点即为点N，则 ，
此时， 周长 ，即周长最小，
设直线 的解析式为 ，把E(0,2)， 代入，
有 ．
解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，
∴ ．
6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线 经过点 和点 ，与y轴交
于点C，点P在直线 下方的抛物线上，过点P作 轴交 于点Q，连接 ， ，设点P的横
坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求线段 长度的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ， ；
(2) 长度的最大值是 ．
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段周长问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解．
（1）待定系数法求解析式，令 ，进而求得点 的坐标；
（2）由 ， 两点的坐标可求得直线 的解析式为 ．设 ， ．得出
，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，
解得， ，
抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，点 的横坐标为 ，
， ，
，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
长度的最大值是 ．
7．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，已知抛物线 经过 两点，与x轴
的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得 的值最小，求点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使 为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐
标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等等：
（1）由待定系数法即可求解；
（2）点 关于对称轴 对称，则 与对称轴l的交点即为所求的点 ，进而求解；
（3）求得 的长，分 为顶点、 为顶点、 底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点 代入抛物线解析式得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，
∴ 与对称轴的交点即为点 ，如下图，设直线 解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
当 时， ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 为顶点时，则 ，
∴点 的坐标为 或 ；
当 为顶点时，则 ，
∴点 与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标为 ；
当 为底边时，则 ，
设点P的坐标为 ，
∴ ，
解得
∴点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交轴于点 ． 为抛物线在第三象限部分上的一点，作 轴于点 ，交线段 于点 ，连
接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段 长度的最大值，并求此时点D的坐标；
(3)若线段 把 分成面积比为 的两部分，求此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)线段 长度得最大值是 ，此时 的坐标是
(3)
【分析】（1）设抛物线的表达式为 然后把 代入求解即可得到答案；
（2）求出直线AC的解析式 ，然后设 ， ，利用两点距离公
式表示出 ，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3） ，分 和 两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点 ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将 代入表达式，解得 ，
抛物线的表达式为： ，
即： ；
（2）解：设直线 的表达式为： ，
将A(−4,0)代入表达式，得 ，直线 的表达式为： ；
设 ， ．
则 ；
当 时， 有最大值，为 ，
把 代入 ，得： ，
，
线段 长度得最大值是 ，此时 的坐标是 ；
（3）解：根据题意， ，
当 时，有： ，
解得 （舍去）；
当 时，有： ，
解得： ， （舍去）；
综上所述：当 时，满足条件．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数
解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于
，B两点，交y轴于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交 于点E，过点P作 的平行线交
x轴于点F，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线y沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点G是新抛物线 的顶点，点M为
新抛物线 的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以 为边
的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，此时
(3)点 的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）延长 交 轴于 ，可求直线 的解析式为 ，设 ，，可得
， ，证明 是等腰直角三角形，从而可求 ，即可求
解；
（3）由将该抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，可得抛物线向右，向下分别平
移了2个单位长度，可得 ，则 ，新抛物线 的对称轴为直线 ，设 ，
分两种情况：①当 时，②当 时，根据勾股定理列式计算可解．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 和点 ，
∴ ，解这个方程组，得
，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：延长 交x轴于点H，
设直线 的表达式为 ，
∴ ，
解这个方程组，得 ，
∴直线 的表达式为 ．
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴
∴当 时， 取得最大值为 ，此时 ；
（3）解： 将该抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ， ， ，抛物线 ，向右，向下分别平移了2个单位长度，
∴ ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，顶点为 ，
设 ， ，
①若 时，则： ，
解这个方程，得 ，
∵四边形CMGN是菱形，
∴ ，
解这个方程组，得 ，
故点 的坐标为 ；
②若 时，则有 ，
解这个方程，得 或 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
解这个方程组，得 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
综上可得，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数中动点最值问题，菱形的
性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．10．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、
两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ．连接 、 ．
(1)求 的面积；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移 个单位，点M为点P的对应点，平移后的
抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰的 是
等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【答案】(1) ；
(2) 最大值为 ，点 的坐标为 ；
(3)点 的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）把 代入 ，求出点 和点 的坐标，把 代入 ，求出点
的坐标，得到 ， ， 的长度，从而求出 的面积；
（2）求直线 的函数解析式，设点 的坐标为 ，表示 ， 的长度，证明
，从而求出 的最大值和点 的坐标；
（3）根据题意求出点 ， 的坐标，分 和 两种情况求出点 的坐标．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，解得 ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
， ， ，
，
；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
轴，
是等腰三直角三角形，
，
， ， ，
， ，
，
当 时， 取最大值为 ， ，
此时点 的坐标为 ；
（3）解：∵点 的坐标为 ，由题得可知将点 向右平移4个单位，向下平移4.5个单位得到点 ，
∴ ，由抛物线 整理得 ，
∴将抛物线向右平移4个单位，向下平移4.5个单位，则新抛物线解析式为 ，即
，
∴新抛物线对称轴为直线 ，
当x=0时， ，
点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，
①若 ，
得 ，
解得 ，
点 的坐标为 或 ，
②若 ，
得 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，
综上所示，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数综合题中的面积问题，二次函数最值问题，二次函数的
平移，等腰三角形的存在性问题等，本题的关键在于利用分类讨论思想画出图象从而进行解题．
11．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 左侧．点 的坐标为(1,0)，点 的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 是抛物线对称轴 上的一个动点时，求当 最小时，点 的坐标；
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时， 的值
最小，即可求解；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则 ，转化为二次函数求最值．
【详解】（1） 点 的坐标为 ， ，
由题意得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）如图，点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时，
的值最小，
理由： 为最小，由抛物线的表达式知，点 ，抛物线的对称轴为直线 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ；
（3）如图：过点 作 轴，交 于点 ．
由（2）知，直线 的解析式为 ．
设 ，则 ．
，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
的最大面积
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有
一定的综合性，难度适中．
12．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线 与 轴交于点A(−2,0)和 ，与
轴交于点 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐
标；(3)如图2，若点 是 的中点，点 是抛物线上一点，其横坐标为 ，试探究是否存在点 ，使
？若存在，求出 的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过
程）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ；
(2)
(3)在抛物线上存在点 ，当 或 时，使 ．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接 由对称性可得 ，则当P、B、C三点共线时， 有最小
值，即此时 有最小值，求出点C的坐标，进而求出直线 的解析式，再求出直线 与对称轴的
交点坐标即可得到答案；
（3）如图所示，取点 ，连接 ，求出 ，证明 是等腰直角三角形，得
到 ，则射线 与抛物线的交点即为点N的位置，同理取 ，可证明 ，
据此求解即可．
【详解】（1）解：把A(−2,0)、 代入 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图所示，连接
点B与点 关于对称轴对称，
，
∴ ，
∴当P、B、C三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，
在 中，当 时， ，
∴
设直线 的解析式为 ，∴ ，
∴ ，
直线 的解析式为 ，
，
对称轴为直线 ，
将 代入 得， ，
；
（3）解：存在点 ，使 ．
如图所示，取点 ，连接 ，
∵ ，点M为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴射线 与抛物线的交点即为点N的位置，
同理可得直线 的解析式为 ，联立 得 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
同理取 ，可证明 ，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 得 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
综上所述，当 或 ， ．
13．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点(2,3)，与
x轴交于点 和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作 轴于点D，交BC于点E，求 的最
大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中 取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度，点P的对应点为
点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四
边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H的坐标．
【答案】(1)
(2) 最大值为 ，此时点 的坐标为
(3)点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入 ，求出 和 的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）设 ， ， ，证明 是等腰直角三角形，得到
，利用二次函数的增减性解决最值问题；
（3）分四边形 是菱形与四边形 是菱形两种情况，求出点 的坐标后根据菱形的性质求出点
的坐标．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）把 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 (点 的横坐标，舍去)， ，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， 得： ，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
设 ， ， ，
， ，
， ，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
当 时， 最大值为 ，
此时点 的坐标为 ；
（3）抛物线 整理得 ，
， ，
，
由抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，得点 的对应点为点 ，
则抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，
得点 的坐标为 ，
设 ， ，
①若四边形 是菱形，则 ，
， ，
，
解得 ，
点 的坐标为 或 ，
四边形 是菱形，
，且 ，
点 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点 ，
点 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点 ，
点 的坐标为 或 ；
②若四边形 是菱形，则 ，
， ，
，
解得 ，点 的坐标为 或 ，
由①得点 向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点 ，
点 的坐标为 或 ，
综上所示，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合，利用二次函数性质求最值，平移
的性质，菱形的判定与性质等知识点，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题．
