1 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题05 用反比例函数解决应用的十四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数的应用—杠杆问题
题型二、反比例函数的应用—压强问题
题型三、反比例函数的应用—密度问题
题型四、反比例函数的应用—录入问题
题型五、反比例函数的应用—生产问题
题型六、反比例函数的应用—蓄水池问题
题型七、反比例函数的应用—工程问题
题型八、反比例函数的应用—镜片焦距问题
题型九、反比例函数的应用—行程问题
题型十、反比例函数的应用—电阻问题
题型十一、反比例函数的应用—运输问题
题型十二、反比例函数的应用—销售问题
题型十三、反比例函数的应用—浓度问题
题型十四、反比例函数的应用—实验问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别
具体内容
核心知
识点
1. 利用反比例函数表达式表示实际问题中两个变量的反比例关系，建立反比例函
数模型解决实际问题
2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的自变量取值范围（实际意义约束下
的非零取值）
3. 已知一个变量的值，利用反比例函数解析式求出另一个变量的值
4. 结合反比例函数的图象与性质，分析实际问题中变量的变化趋势（如体积固定
目 录
2 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
时，底面积随高度增大而减小）
5. 能解决与反比例函数结合的跨情境实际问题，包括工程效率、面积体积、压强
电阻、销售定价等常见模型
常见易
错点
1. 忽略实际问题中自变量的取值范围，直接套用反比例函数全体非零实数的取值，
导致结果不符合实际要求
2. 混淆反比例关系和反比例函数，将不成反比例的变量错误判定为反比例关系，
建立错误模型
3. 列函数关系式时，比例系数计算错误，或单位不统一导致解析式出错
4. 解决最值或范围类问题时，错误利用反比例函数单调性判断：忽略k 的正负对
增减性的影响，直接认为y 随x 增大而减小
5. 从图象读取实际问题信息时，混淆横纵坐标代表的变量，导致读取结果错误
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数的应用—杠杆问题
典例1 古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠
杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂= 动
力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力F 与动力臂L 满足的函数
关系是（ ）
A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．反比例函数关系
D．二次函数关
系
【答案】C
3 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂= 动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不
变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知，阻力阻力臂= 动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变，
右侧动力F 与动力臂L 满足F
L
为定值，
右侧力F 与力臂L 满足的函数关系是反比例函数关系，
故选：C．
变式1-1 公元前3 世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，
即“动力动力臂= 阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，
分别为1000N 和0.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．动力
(
)
1 N
F
和动力臂
(
)
1 m
L
之间的大致图象可以用图3 表示
B．当动力臂为2m 时，撬动石头需要的力量为250N
C．若想使动力
(
)
1 N
F
不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m
D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力
【答案】C
【分析】根据杠杆原理公式
1
1
2
2
F L
F L
=
，代入已知的阻力
2
F 和阻力臂
2L 的数值，推导得到
1F 关于
1L 的函数表
达式，明确函数类型与自变量取值范围．
A 选项，将推导得到的函数特征和图3 的图象特征对比，验证是否一致．B 选项，把给定的动力臂数值代入
函数表达式，计算对应的动力
1F ．C 选项，先确定阻力一半的数值，将其作为
1F 的上限代入函数，求解对
应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D 选项，根据反比例函数的增减性，判断动力
1F 随动
力臂
1L 变化的趋势．
【详解】对于A，∵
=
动力动力臂
阻力阻力臂，阻力和阻力臂不变，
∴
0.5
500
=
=
动力动力臂
1000
，
4 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即动力与动力臂成反比例函数关系，
此说法正确，不符合题意；
对于B，由图象知，反比例函数的解析式为
1
1
500
F
L
=
，
当动力臂
2
2
L
m
=
时，
撬动石头需要的力量
1
250N
=
F
．
此说法正确，不符合题意；
对于C，当
1
1
1000
500
2
F =
=
时，
1
500
1
500
L =
= ，
( )
1 0.5
0.5 m
−
=
，
∴若动力不超过阻力1000N 的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5 m ．
此说法错误，符合题意；
对于D，设动力
1F 与动力臂
1L 的函数关系式为
(
)
1
1
1
,
0
k
F
L
k
L
=
．
根据反比例函数的性质可知，动力
1F 随动力臂
1L 的增大而减小，
∴动力臂越长越省力，
此说法正确，不符合题意．
综上，故选C．
变式1-2 小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图1，小海发现
天平平衡时左盘药品为m 克，右盘砝码重20 克；如图2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药品放
在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重5 克，右盘药品为n 克．则m 与n 满足的关系式为____．
【答案】
100
mn =
【分析】由动力×动力臂=阻力×阻力臂可得，
20
m
=
动力臂
阻力臂，5
n
=
动力臂
阻力臂，整理得，
20
5
m
n
=
，进而可得结果．
【详解】解：由动力×动力臂=阻力×阻力臂可得，
20
m
=
动力臂
阻力臂，5
n
=
动力臂
阻力臂，
整理得，
20
5
m
n
=
，
∴
100
mn =
，
5 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
100
mn =
．
【点睛】本题考查了实际问题与反比例函数．解题的关键在于理解题意．
变式1-3 如图1 左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原
理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即
1
2
A
B
F
L
F
L
=
）．受桔槔的启发，小轩组装了如图1 右图所示的装置，
其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端
1
1m
L =
，距右端
2
0.4m
=
L
，在杠杆左端悬挂重力
为80N 的物体A．
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B 所受拉力为______N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B 的质量变化时，
2L 的长度随之变化．设重
物B 的重量为N
x
，
2L 的长度为cm
y
．则：
①y 关于x 的函数解析式是______；
②根据下表，填空：
/N
x
…
10
20
30
40
50
…
/cm
y
…
8
a
8
3
2
b
…
a =______，b = ______；
③在图2 的直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(
)
20,0 ，点B 的坐标为(
)
0,2 ，在函数的图象上存在点C 使得
40
ABC
S
=
△
，
请求出所有满足条件的点C 的坐标．
【答案】(1)200；
(2)①
80
y
x
=
；②4，8
5 ；③见解析；
(3)(
)
40,2 或(
)
20,4 ．
6 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据公式
1
2
A
B
F
L
F
L
=
进行计算即可；
（2）①根据公式
1
2
A
B
F
L
F
L
=
即可得到
80
y
x
=
；②根据（2）①所求求出a、b 的值即可；③先描点，再
连线，画出函数图象即可；
（3）先根据面积求出点Q 的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵
1
2
A
B
F
L
F
L
=
，
∴
( )
1
2
80 1
200 N
0.4
A
B
F
L
F
L
=
=
=
，
∴重物B 所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）解：①∵
1
2
A
B
F
L
F
L
=
，
∴
1
2
A
B
F
L
L
F
=
，即
80 1
80
y
x
x
=
=
，
故答案为：
80
y
x
=
；
②由①得
80
4
20
a =
=
，
80
8
50
5
b =
=
，
故答案为：4，8
5 ；
③函数图象如下所示：
（3）解：点A的坐标为(
)
20,0 ，B 的坐标为(
)
0,2 ，C 为反比例函数
(
)
80
0
y
x
x
=
上一点，
设
80
,
C a a
，连接BC ，AC ，OC ，
7 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
ABC
OBC
OAC
AOB
S
S
S
S
=
+
−
△
△
△
△
1
1
1
2
2
2
C
C
OB x
OA y
OA OB
=
+
−
1
1
80
1
2
20
2 20
2
2
2
a
a
=
+
−
800
20
a
a
=
+
−
，
∵
40
ABC
S
=
△
，
∴
800
20
40
a
a
+
−
=
，
整理得：
2
60
800
0
a
a
−
+
=
，
解得
1
40
a =
，
2
20
a =
，
经检验，
1
40
a =
，
2
20
a =
是原方程的根，
∴
40
a =
时，80
2
a =
，
20
a =
时，80
4
a =
．
∴点C 的坐标为(
)
40,2 或(
)
20,4
类型二、反比例函数的应用—压强问题
典例2 如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和
木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强(
)
Pa
p
与受力面积(
)
2
S m
的关系如下表所示：
湿地地面所受压
强
/ Pa
p
400
500
600
800
受力面积
2
/ m
S
1.5
1.2
1
0.75
8 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
以下结论中不正确的是（ ）
A．压强p 与受力面积S的关系式为
600
p
S
=
B．压强p 与受力面积S的函数图象分布在第一、三象限
C．若压强p 不超过6000 Pa ，则受力面积S至少要
2
0.1m
D．若受力面积S最大是
2
1.6m ，则压强p 最小为375Pa
【答案】B
【分析】根据表格数据求出p 与S的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即
可．
【详解】解：由表格数据可知：400 1.5
600
=
，500 1.2
600
=
，600 1
600
=
，800 0.75
600
=
，
p
与S成反比例关系，且
600
pS =
，
即
600
p
S
=
，故A 选项正确；
S
表示受力面积，
0
S
，
函数图象只分布在第一象限，故B 选项不正确；
当
6000
p £
时，600
6000
S
，
解得
0.1
S ≥
，故C 选项正确；
当
1.6
S =
时，
600
375
1.6
p =
=
，
在第一象限内p 随S的增大而减小，
当
1.6
S
时，
375
p
，
即压强p 最小为375Pa，
故D 选项正确．
变式2-1 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当
9 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
体积为4 升时，压强为100 千帕．下列结论错误的是（ ）
A．函数解析式为：
400
p
V
=
B．当体积为5 升时，压强为80 千帕
C．体积越大，对应的压强越大
D．当压强为200 千帕时，体积为2 升
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出p 与V 的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可.
【详解】解：∵p 与V 成反比例函数关系
∴设
(
)
0
k
p
k
V
=
将
4
V =
，
100
p =
代入得 100
4
k
=
，解得
400
k =
，
∴函数解析式为
400
p
V
=
；
当
5
V = 时，
400
80
5
p =
=
千帕，
∵
400
0
k =
，且体积
0
V
∴p 随V 的增大而减小，即体积越大，压强越小；
当
200
p =
时，
400
200
V
=
，解得
2
V =
；
综上，只有选项C 错误.
变式2-2 在温度不变的条件下，气体所产生的压强(
)
P kPa 与气体的体积(
)
V mL 成反比例，如图是某种气体
压缩后，气体产生的压强P 关于气体的体积V 的函数图象．若压强由100kPa减压到80kPa ，则气体体积增
加了________mL．
【答案】15
10 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为
k
P
V
=
，求得
6000
P
V
=
，当
80kPa
P =
时，求得
80mL
V =
，当
100kPa
P =
时求得，
60mL
V =
，于是得到结论．
【详解】解：设这个反比例函数的解析式为
k
P
V
=
，
100
V =
时，
60
P =
，
100 60
6000
k
PV
=
=
=
，
6000
P
V
=
，
当
80
P =
时，
6000
75
80
V =
=
，
当
100
P =
时，
6000
60
100
V =
=
，
(
)
75
60
15 mL
−
=
，
气体体积增大了15mL，
故答案为：15．
变式2-3 某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力
F （单位：N ）一定时，木板面积S（单位：
2
m ）与人和木板对地面的压强P（单位：Pa ）成反比例．当
木板面积为
2
0.2m 时，人和木板对地面的压强为3000Pa ．
(1)求P 关于S的函数表达式；
(2)当木板面积为
2
0.3m 时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过1200Pa ，木板面积至少要多大？请说明理由．
【答案】(1)
600
p
S
=
(2)2000Pa
(3)
解：木板面积至少要
2
0.5m ，理由如下：
当
1200
P
Pa
=
时，
2
600
0.5
1200
S
m
=
=
，
600
0
．
∴在第一象限内P 随S的增大而减小，
∴当
1200
P
时，
0.5
S
，
11 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即要求压强不超过1200Pa ，木板面积至少要
2
0.5m ．
【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用：
（1）设P 关于S的函数表达式为
F
P
S
=
，把
2
0.2
,
3000
S
m P
Pa
=
=
代入，即可求解；
（2）把
2
0.3m
S =
代入（1）中解析式即可；
（3）把
1200
P
Pa
=
，代入（1）中解析式，可得
2
0.5m
S =
，再根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：设P 关于S的函数表达式为
F
P
S
=
，
把
2
0.2
,
3000
S
m P
Pa
=
=
代入得：3000
0.2
F
=
，
解得：
600
F =
，
P 关于S的函数表达式为
600
P
S
=
；
（2）解：当
2
0.3m
S =
时，
600
2000
0.3
P
Pa
=
=
．
（3）略
题型三、反比例函数的应用—密度问题
典例3 现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，
同一件羽绒服质量
( )
g
m
不变，其体积(
)
3
cm
v
与密度(
)
3
g / cm
之间具有反比例函数关系，其图象关系如图
所示．下列说法中正确的是（ ）
A．当羽绒服的体积为
3
25cm 时，其密度为
3
10g / cm
B．当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小
C．羽绒服的密度每增加
3
1g / cm ，羽绒服的体积就减小
3
2.5cm
D．当羽绒服的密度由
3
10g / cm 增加到
3
16g / cm 时，羽绒服的体积增大了
3
15cm
【答案】B
12 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】根据图象得出相关信息，将体积与密度之间的关系式列出来，将对应值代入求解即可．
【详解】解：∵体积与密度之间具有反比例函数关系，
∴设体积与密度之间的反比例关系式为
(
)
0
k
v
k
=
，
将点(
)
10,40 代入得40
10
k
=
，解得
400
k =
；
∴体积与密度之间的反比例关系式为
400
v
=
，
A，通过图象可知，当羽绒服的体积为
3
25cm ，其密度为
3
16 /
g cm ，不符合题意；
B，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，符合题意；
C，由图可知，当密度为
3
10 /
g cm 时，体积为
3
40cm ，当密度为
3
11 /
g cm 时，则体积为400
36.36
11
，
40 36.36
3.64
2.5
−
=
；当密度为
3
12 /
g cm 时，则体积为400
33.33
12
，36.36 33.33
3.03
2.5
−
=
，
实际减小的非
3
2.5cm ，不符合题意；
D，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，密度增大体积应该是减小
(
)
3
40
25
15 cm
−
=
，不符合题意．
变式3-1 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体
中的高度(
)
h cm 是液体的密度(
)
3
g / cm
的反比例函数，其图象如图所示(
0)
．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度
3
1g / cm
时，浸在液体中的高度
20cm
h
B．当液体密度
3
2g / cm
=
时，浸在液体中的高度
40cm
h =
C．当浸在液体中的高度0
25cm
h
时，该液体的密度
3
0.8g / cm
D．当液体的密度
3
0
1g / cm
时，浸在液体中的高度
20cm
h
【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设
k
h
=
，把
1
= ，
20
h =
代入解析式，进而结合函
数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设h 关于的函数解析式为
k
h
=
，
13 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
把
1
= ，
20
h =
代入解析式，得
1 20
20
k =
=
．
∴h 关于的函数解析式为
20
h
=
．
A. 当液体密度
3
1g / cm
时，浸在液体中的高度
20cm
h
，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度
3
2g / cm
=
时，浸在液体中的高度
10cm
h =
，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度0
25cm
h
时，该液体的密度
3
0.8g / cm
，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度
3
0
1g / cm
时，浸在液体中的高度
20cm
h
，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
变式3-2 根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l
（单位：cm）是液体密度（单位：
3
g / cm ）的反比例函数．当
10cm
l =
时，
3
0.8g / cm
=
．若某液体的
密度
3
1.6g / cm
=
，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l 为______cm．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设
k
l
=
，将
10cm
l =
，
3
0.8g / cm
=
代入求出k 的值，
再代入
3
1.6g / cm
=
求出结果即可．
【详解】解：根据题意设
k
l
=
，
当
10cm
l =
时，
3
0.8g / cm
=
，
10 0.8
8
k
l
=
=
=
，
则
8
l
=
，
当
3
1.6g / cm
=
时，
8
5cm
1.6
l =
=
，
故答案为：5．
变式3-3 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：
3
m ）变化时，气体密度ρ（单位：
3
kg/m ）
随之变化．已知密度ρ 与体积V 是反比例函数关系，其图象如图所示．
14 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求密度ρ 关于体积V 的函数解析式；
(2)当
3
4m
V =
时，求二氧化碳的密度ρ；
(3)当2
6
时，求V 的取值范围．
【答案】(1)
10
V
=
(2)二氧化碳的密度
3
2.5kg/m
=
(3) 5
5
3
V
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把
3
4m
V =
代入函数解析式进行求解即可；
（3）求出两个临界点对应的V 值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设
k
V
=
，把
(
)
5,2
P
代入得：
5 2 10
k = =
；
∴
10
V
=
；
（2）∵
10
V
=
，
当
3
4m
V =
时，
10
2.5
4
=
=
，
∴二氧化碳的密度
3
2.5kg/m
=
；
（3）当
2
=
时，
10
5
2
V =
=
；
当
6
=
时，
10
5
6
3
V =
=
；
∴当2
6
，
∴5
5
3
V
．
15 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型四、反比例函数的应用—录入问题
典例4 小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100 字/分钟的速度录入文字时，经过240 分钟能完成
录入．设他录入文字的速度为v 字分钟时，完成录入的时间为t 分钟．求：t 与v 之间的函数关系式（写出自
变量的取值范围）．
【答案】
(
)
24000
0
t
v
v
=
【分析】此题考查了是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题
的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．根据题意，计算得到总
字数，根据t 与v 之间的关系列出关系式即可．
【详解】解：由题意，得
240 100
24000
v t=
=
，
故t 与v 之间的关系式为：
(
)
24000
0
t
v
v
=
．
变式4-1 小明要把24000 字的调查报告录入电脑．
(1)写出完成录入的时间y （分）与录入文字的速度x （字/ 分）的函数关系式；
(2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多20%，结果所用录入时间比原计划减少了20
分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？
【答案】(1)
24000
y
x
=
(2) 240 个
【分析】（1）根据录入的时间= 录入总量录入速度即可得出函数关系式；
（2 ）设原计划录入文字的速度为x 字/ 分，则实际录入文字的速度为(
)
1
20% x
+
字/ 分，根据所用录入时间
比原计划减少了20 分钟列出方程求解即可；
本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，根据工作时间得到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）由题意得，
24000
y
x
=
，
∴完成录入的时间y （分）与录入文字的速度x （字/ 分）的函数关系式为
24000
y
x
=
；
（2）解：设原计划录入文字的速度为x 字/ 分，则实际录入文字的速度为(
)
1
20% x
+
字/ 分，
根据题意得，
(
)
24000
24000
20
1 20%
x
x
−
=
+
，
解得
200
x =
，
16 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
经检验，
200
x =
是原方程的根，符合题意，
∴(
)
1
20%
200
240
+
=
（字/ 分）．
答：小明实际平均每分钟录入240 个字．
变式4-2 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分钟）与录入文字的速度x（字/分钟）之间的函
数关系图象如图所示．
(1)求y 与x 之间的反比例函数关系式．
(2)小明在8: 20开始录入，完成录入的时间为8: 40，求小明每分钟录入的字数．
【答案】(1)
1400
y
x
=
(2)小明每分钟录入70 个字
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际问题等知识点
（1）用待定系数发反比例函数解析式即可．
（2）先算出录入的时间，然后代入（1）的反比例函数求出x 即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为
k
y
x
=
，
将(
)
140,10 代入
k
y
x
=
，得10
140
k
=
，解得
1400
k =
，
故y 与x 之间的反比例函数关系式为
1400
y
x
=
．
（2）40
20
20
−
=
（分钟），
将
20
y =
代入
1400
y
x
=
，
得
1400
20
x
=
，
解得
70
x =
．
答：小明每分钟录入70 个字．
17 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式4-3 周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600 字的社会调查报告
录入电脑.设他录入文字的速度为v 字/分，完成录入所需的时间为t 分钟.
(1)求t 与v 之间的函数关系式；
(2)当李杰录入文字的速度v 为100 字/分，完成录入的时间t 为多少？
【答案】(1)
1600
t
v
=
(2)完成录入所需的时间t 为16 分钟
【分析】本题侧重考查关于反比例函数应用的题目，解答本题的关键是找出题目中的数量关系．
（1）根据录入所需的时间= 1600 录入文字的速度，即可解答；
（2）将
100
v =
代入函数关系式，即可解答．
【详解】（1）由题意，得t 与v 之间的函数关系式为
1600
t
v
=
；
（2）将
100
v =
字/分代入上式，得
1600
16
100
t =
=
（分），
答：完成录入所需的时间t 为16 分钟．
题型五、反比例函数的应用—生产问题
典例5 某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x 之间的变化如图所示，生产前
期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根
据题目所给出的条件，回答下列问题：
(1)求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x 之间的函数解析式；
(2)求该企业月生产数量没达到200 万件的月份．
【答案】(1)
(
)
(
)
600 0
5
60
180
5
x
y
x
x
x
=
−
；
(2)4、5、6 月份，该企业月生产数量没达到200 万件．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用．
18 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）分当0
5
x
和
5
x
时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）分别求得当
200
y =
时，x 的值，由题意结合图象得到
19
3
3
x
，据此求解即可．
【详解】（1）解：当0
5
x
时，是反比例函数，
设其函数解析式为
k
y
x
=
，
由题意得(
)
1,600 在反比例函数图象上，
则
1 600
600
k =
=
，
∴函数解析式为
600
y
x
=
，
当
5
x = 时，
600
120
5
y =
=
，
当
5
x 时，是一次函数，
设其函数解析式为y
mx
n
=
+
，
∴
120
5
300
8
m
n
m
n
=
+
=
+
，解得
60
180
m
n
=
= −
，
∴其函数解析式为
60
180
y
x
=
−
，
综上，生产数量y(万件)与生产月份x 之间的函数解析式为
(
)
(
)
600 0
5
60
180
5
x
y
x
x
x
=
−
；
（2）解：当
200
y =
时，
600
200
x
=
，解得
3
x = ，
当
200
y =
时，200
60
180
x
=
−
，解得
19
3
x =
，
∴没达到200 万件时，
19
3
3
x
，
∴4、5、6 月份，该企业月生产数量没达到200 万件．
变式5-1 某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15 元，每件乙种产品的成本包括材料成本和
制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200
件，其中生产乙产品x 件，乙产品每件成本为y 元，在生产过程中，可以得到如下数据：
x （件）
20
40
y （元）
20
15
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
19 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200 件产品的最小成本．
【答案】(1)
200
10
y
x
=
+
(2)最小成本2640 元
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，
（1）设
n
y
m
x
=
+
，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出不等式，求出
112
x
，设生产这200 件产品的成本为W ，根据题意表示出W，然后根
据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设
n
y
m
x
=
+
，由题意得
20
20
15
40
n
m
n
m
=
+
=
+
，
解得
10
200
m
n
=
=
，
所以
200
10
y
x
=
+
；
（2）解：由题意得，
(
)
200
15 200
10
x
x
x
−
+
，
解得，
112
x
设生产这200 件产品的成本为W ，
则
(
)
200
15 200
10
5
3200
W
x
x
x
x
=
−
+
+
= −
+
因为5
0
−
，
所以W 随x 的增大而减小；
所以当
112
x =
时，W 最小，最小值2640 元．
变式5-2 某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本y （元）与生产数量x （个）之间近似满足反
比例函数关系．
(1)已知生产100 个零件时，每个零件的生产成本为50 元，求y 关于x 的函数解析式；
(2)若要将每个零件的生产成本控制在30 元以内（不包含30 元），那么至少需要生产多少个零件？
【答案】(1)
(
)
5000
0
=
y
x
x
(2)167 个
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）根据题意列出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：设y 关于x 的反比例函数解析式为
k
y
x
=
，
当
100
x =
时，
50
y =
，
将其代入函数解析式可得
5000
k =
，
y
关于x 的函数解析式为
(
)
5000
0
y
x
x
=
；
（2）解：当
30
y =
时，代入
5000
y
x
=
可得
5000
30 =
x
，
解得
2
166 3
=
x
，
0
x
时y 随x 的增大而减小，且要将生产成本控制在30 元以内（不包含30 元），
x
需要大于
2
166 3 ，
又
x
为零件的生产数量，应为正整数，
x
至少为167，故至少需要生产167 个零件．
变式5-3 新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3 支单针疫苗和2 支双针疫苗
需要19min ；生产2 支单针疫苗和1 支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1 支单针疫苗和1 支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml ）与时间x（单位：天）
的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y 与x 成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y 与x
成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml 时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激
记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
21 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)生产1 支单针疫苗需要3min，生产1 支双针疫苗需要5min
(2)①
(
)
1300
0
0.7
y
x
x
=
＃
，
(
)
637
0.7
y
x
x
=
>
；
②小明可以在打第一针后的第13 天到27 天内打第二针疫苗，计算说明如下：
在
(
)
637
0.7
y
x
x
=
>
中，当
50
y =
时，637
50
x =
，解得
12.74
x =
，
当
23
y =
时，637
23
x =
，解得
27.7
x»
，
∴小明可以在打第一针后的第13 天到27 天内打第二针疫苗．
【分析】
（1）根据生产3 支单针疫苗和2 支双针疫苗需要19min ；生产2 支单针疫苗和1 支双针疫苗需要11min
建立方程组求解即可；
（2）①利用待定系数法求解即可；②在
(
)
637
0.7
y
x
x
=
中，分别求出
50
y =
和
23
y =
时，x 的值即可得到答
案．
【详解】（1）解：设生产1 支单针疫苗需要min
a
，生产1 支双针疫苗需要min
b
．
根据题意得
3
2
19
2
11
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
3
5
a
b
=
=
，
答：生产1 支单针疫苗需要3min，生产1 支双针疫苗需要5min；
（2）解：①设当0
0.7
x
时，
(
)
0
y
kx k
=
，当
0.7
x
时，
(
)
0
k
y
k
x
=
，
由题意得，0.7
910,
910
0.7
k
k
=
=
，
解得
1300,
637
k
k
=
=
，
∴
(
)
1300
0
0.7
y
x
x
=
，
(
)
637
0.7
y
x
x
=
．
②略
题型六、反比例函数的应用—蓄水池问题
典例6 某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量(
)
3
m / h
V
与排完水池中的水所用的时
间( )
h
t
之间的函数关系如图所示．
22 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求V 与t 的函数表达式；
(2)若每小时排水量不超过
3
2000m ，则排完水池中的水至少需要______h；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求
原计划每小时的排水量是多少
3
m ？
【答案】(1)
18000
V
t
=
(2)9
(3)
3
1800m
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用，
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把
2000
=
V
代入
18000
V
t
=
求得
9
t =
，再根据反比例函数的性质求解即可；
（3）设原计划每小时的排水量是
3
m
a
，则实际每小时的排水量为(
)
3
1
25%
m
a
+
，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量(
)
3
m / h
V
与排完水池中的水所用的时间( )
h
t
之间成反
比例函数关系，
设V 与t 的函数表达式为
k
V
t
=
，
把(
)
6,3000 代入得，
= 6 3000 =18000
k
，
∴V 与t 的函数表达式为
18000
V
t
=
；
（2）解：把
2000
=
V
代入
18000
V
t
=
得，
18000
=
= 9
2000
t
，
∵18000
0
，
∴V 随着t 的增大而减小，
23 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴每小时排水量不超过
3
2000m ，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是
9
t
，
故答案为：9；
（3）解：设原计划每小时的排水量是
3
m
a
，则实际每小时的排水量为(
)
3
1
25%
m
a
+
，
由题意得，
(
)
18000
18000
2
1 0.25
a
a
−
=
+
，
解得
1800
a =
，
经检验得，
1800
a =
是原方程的解，
答：原计划每小时的排水量是
3
1800m ．
变式6-1 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开
始匀速排水．已知每小时平均排水量(
)
3
m
q
与排水总时间(h)
t
之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当
排水总时间为80h 时，每小时平均排水量为
3
6m ．
(1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变
量t 的取值范围；
(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10 小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？
【答案】(1)
480
q
t
=
(
)
0
t
(2)每小时平均排水量是
3
48m ．
【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键．
（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当
10
t =
时的函数值即可．
【详解】（1）解：依题意可设
(
0)
k
q
k
t
=
，
当排水总时间为80h 时，每小时平均排水量为
3
6m ，则有
6
80
480
k
q t
=
=
=
24 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
480
q
t
=
(
)
0
t
（2）当
10
t =
时
480
480
48
10
q
t
=
=
=
答：每小时平均排水量是
3
48m
变式6-2 云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水0.6 立方米计算，
蓄水池剩余的水一个月（30 天）刚好用完．如果每天的用水量为x 立方米，那么这个蓄水池的水能维持y
天．
(1)写出y 与x 之间的函数表达式；
(2)如果每天用水0.5立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
【答案】(1)
18
y
x
=
(2)36 天
【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；
（2）根据（1）中的关系式求出当
0.5
x =
时的y 值即可．
【详解】（1）解：0.6 30
18
=
（立方米），
∴y 与x 之间的函数关系式为：
18
y
x
=
；
（2）解：当
0.5
x =
时，
18
36
0.5
y =
=
（天），
∴蓄水池剩余的水能维持36 天．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键．
变式6-3 某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量
3
)
(m / h
V
与排完水池中的水所用的
时间( )
h
t
之间的函数关系如图所示．
25 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)该蓄水池的蓄水量为_________
3
m ；
(2)如果每小时排水量不超过
3
2000m ，那么排完水池中的水所用的时间( )
h
t
满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2 小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，
求原计划每小时的排水量是多少
3
m ？
【答案】(1)18000
(2)
9
t
(3)1800
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设
(
)
0
k
V
k
t
=
＞
，再把点（6，3000）代入即可求出答案；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是
3
m
x
，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设
(
)
0
k
V
k
t
=
＞
，
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量
3
)
(m / h
V
与排完水池中的水所用的时间( )
h
t
之间的函数关系式为：
18000
V
t
=
，
∵每小时排水量不超过
3
2000m ，
∴根据反比例函数的增减性可知，
9
t
时，每小时排水量不超过
3
2000m ．
故答案为：
9
t
．
（3）设原计划每小时的排水量是
3
m
x
，根据题意得：
(
)
18000
18000
2
1 25%
x
x
−
=
+
，
解得：
1800
x =
，
经检验：
1800
x =
是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是
3
1800m ．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是
解题的关键．
26 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型七、反比例函数的应用—工程问题
典例7 如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数y （天）是每天完成的工程量x （米/天）的
反比例函数，其图象经过点(
)
20,50 ．
(1)求y 与x 的函数关系式．
(2)当每天完成25 米时，求该工程队完成工程所需的时间．
(3)若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量x 的取值范围是______．
【答案】(1)
1000
y
x
=
(2)40 天
(3)
20
x
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌
握以上知识点是解答本题的关键．
（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当
25
x =
时y 的值即可；
（3）根据反比例函数图象即可求解．
【详解】（1）解：设
k
y
x
=
，
点(
)
20,50 在其图象上，
50
20
k
=
，
1000
k
=
，
y 与x 的函数关系式为
1000
y
x
=
；
（2）解：当
25
x =
时，
1000
40
25
y =
=
，
答：该工程队完成工程所需的时间为40 天；
27 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于50天，则
20
x
，
故答案为：
20
x
．
变式7-1 一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20 吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6 天.
(1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与
回填天数t 之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4 天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土?
【答案】(1)
120
v
t
=
(2)平均每天至少要回填30 吨土
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键.
（1）首先根据题意可知总工作量为20 6
120
=
吨不变，故回填速度v 与回填天数t 之间为反比例关系，即
120
vt =
，变形即可得出v 关于t 的函数关系式；
（2）由
120
v
t
=
得出
120
t
v
=
，再将
4
t
代入，即可求出v 的取值范围．
【详解】（1）设总工作量为k 吨，根据已知条件得
20 6
120
k =
=
，
∴v 关于t 的函数表达式为
120
v
t
=
；
（2）∵
120
v
t
=
，
∴
120
t
v
=
，
∵
4
t
，
∴120
4
v
，
解得
30
v
．
那么平均每天至少要回填30 吨土．
变式7-2 市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为
3
8100m ，某运输公司承担了运送土
石方的任务．
(1)求运输公司平均运送速度v（单位：
3
m /天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式；
(2)若这个运输公司每天可运送土石方
3
900m ，该公司完成全部运输任务需要多长时间？
28 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
(
)
8100
0
v
t
t
=
(2)该公司完成全部运输任务需要9 天
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可；
（2）根据（1）所求，求出
900
v =
时t 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
8100
vt =
，
∴
(
)
8100
0
t
t
v
=
；
（2）解：在
(
)
8100
0
t
t
v
=
中，当
900
v =
时，则
8100
900
t =
，
解得
9
t =
，
答：该公司完成全部运输任务需要9 天．
变式7-3 某小微企业生产加工一种产品，2013 年1 月的利润为180 万元．设2013 年1 月为第1 个月，第x
个月的利润为y 万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013 年1 月底起适当限产，并投
入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1 月到6 月y 与x 成反比例，到6 月底扩建改造工程顺利完
工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16 万元．如图．
(1)分别求出该企业扩建改造期间(
)
1
6
x
及扩建改造工程完工后(
)
6
x
，y 与x 之间对应的函数关系式；
(2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190 万元？
(3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174 万元？
(4)当月利润少于80 万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？
【答案】(1)
180 (1
6)
y
x
x
=
；
16
66(
6)
y
x
x
=
−
(2)16
(3)9
29 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(4)7
【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可；
（2）当
190
y =
代入
16
66
y
x
=
−
，求出x 的值，进而得出答案；
（3）当
174
y =
代入
16
66
y
x
=
−
，求出x 的值，进而得出答案；
（4）利用
80
y =
分别得出x 的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：当1
6
x
时，由题意设
k
y
x
=
，将(
)
1,180 代入
k
y
x
=
得：
180
k =
，
故在扩建改造期间的函数关系式为：
180
y
x
=
；
当
6
x
时，当
6
x =
时，
180
30
6
y =
=
，则
(
)
30 16
6
16
66
y
x
x
=
+
−
=
−
；
即扩建改造工程完工后y 与x 之间的函数关系式为：
16
66
y
x
=
−
；
（2）扩建改造工程完工后，当
190
y =
时，
即：16
66 190
x −
=
，解得：
16
x =
，
∴扩建改造工程完工后从第16 个月开始，该企业月利润才能不低于190 万元；
（3）扩建改造工程完工后，当
174
y =
时，
即：16
66 174
x −
=
，解得：
15
x =
，
则15 6
9
−=
，
∴扩建改造工程完工后经过9 个月，该企业月利润才能不低于174 万元；
（4）对于
180
y
x
=
，当
80
y =
时，
180
2.25
80
x =
=
，
对于
16
66
y
x
=
−
，当
80
y =
时，
73
9.125
8
x =
=
，
所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9 这7 个月，该厂资金紧张期共有7 个月．
题型八、反比例函数的应用—镜片焦距问题
典例8 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D （度）是关于镜片焦距f （米）的反比例函数，其函数图象
如图所示，已知500 度近视眼镜的镜片焦距为0.2 米．
30 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求出度数D（度）关于镜片焦距f （米）的反比例函数解析式．
(2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25 米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生
的建议．
【答案】(1)
(
)
100
0
D
f
f
=
(2)近视眼镜度数小于400 度时符合医生的建议
【分析】本题考查反比例函数的应用：
（1）设
k
D
f
=
，其中
0
f
，将(
)
0.2,500 代入即可求解；
（2）求出
0.25
f =
时对应的D 的值，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：设
k
D
f
=
，其中
0
f
，
将(
)
0.2,500 代入，得：500
0.2
k
=
，
解得
100
k =
，
故度数D（度）关于镜片焦距f （米）的反比例函数解析式为
(
)
100
0
D
f
f
=
．
（2）解：当
0.25
f =
时，
100
400
0.25
D =
=
，
由图可知，D 随f 的增大而减小，
故近视眼镜度数小于400 度时符合医生的建议．
变式8-1 一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表：
近视眼镜的度数y （度）
200
500
800
1000
镜片焦距x （米）
0.50
0.20
0.125
0.10
(1)根据上表数据，猜想函数模型，并求y 关于x 的函数表达式．
(2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40 米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片
31 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
的焦距为0.25 米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？
【答案】(1)猜想函数模型是反比例函数，
100
y
x
=
(2)上升了，上升了150 度
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据每组x 与y 的乘积都相等猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可得；
（2）分别求出当
0.40
x =
时和当
0.25
x =
时，y 的值，由此即可得．
【详解】（1）解：观察表格数据可知，每组x 与y 的乘积都相等，
则猜想函数模型是反比例函数．
设y 关于x 的函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
将点(
)
0.50,200 代入得：
0.50 200
100
k =
=
，
所以y 关于x 的函数表达式为
100
y
x
=
．
（2）解：当
0.40
x =
时，
100
250
0.40
y =
=
，
当
0.25
x =
时，
0
0. 5
10
0
2
0
4
y =
=
，
因为400
250
150
−
=
（度），
所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150 度．
变式8-2 近视镜镜片的焦距y （单位：米）和镜片的度数x （单位：度）之间满足一定的关系，下表记录了
一组数据：
x （单位：度）
…
100
200
250
500
…
y （单位：米）
…
1.00
0.50
0.40 0.20
…
(1)焦距y （单位：米）和度数x （单位：度）之间满足的关系为______；
(2)利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为400 度时，求镜片的焦距．
【答案】(1)
100
y
x
=
(2)0.25米
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
32 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）根据表格中的数据可得
100
y
x
=
；
（2）求出
400
x =
时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知
100
xy =
，即
100
y
x
=
；
（2）解：在
100
y
x
=
中，当
400
x =
时，
100
0.25
400
y =
=
，
∴当镜片的度数为400 度时，镜片的焦距为0.25米
变式8-3 小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的
光斑最小，此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表：
镜片度数y/度
…
400
625
800
m
…
镜片到光斑的距
离x/m
…
0.25
0.16
0.125
0.10
…
（x 表示镜片到光斑的距离，y 表示镜片的度数）
为了进一步研究镜片度数y 与镜片到光斑的距离x 间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象
（如图）．
(1)求x 与y 之间的函数关系式及m 的值；
(2)假设小亮的近视镜是400 度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得
出这一结论的；
(3)根据图表中的信息，随着x 逐渐变大，y 的变化趋势是什么？（直接写出结论）
(4)如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？写出结论并说明理由．
33 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
100
y
x
=
；
1000
m =
；
(2)
镜片到光斑的距离为0.25m，
理由如下：
当
400
y =
时，
100
400
x
=
，
解得
0.25
x =
，
镜片到光斑的距离为0.25m；
(3)随着x 逐渐变大，y 的变化趋势是逐渐变小
(4)
光斑不会存在，
理由如下：
由函数图象可知，当x 趋近于无穷大时，y 趋近于0，但不会等于0，
当
0
y =
时，光斑不会存在．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式以及图象性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）先设设
k
y
x
=
，再代入(0.25,400) ，得出
100
k =
，然后把(0.10,
)
m 代入进行计算，即可作答．
（2）把
400
y =
代入
100
y
x
=
，进行计算，即可作答．
（3）运用数形结合思想，得出随着x 逐渐变大，y 的变化趋势是逐渐变小，即可作答．
（4）运用反比例函数的图象性质，当x 趋近于无穷大时，y 趋近于0，但不会等于0，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，设
k
y
x
=
．
将(0.25,400) 代入，得
100
k =
，故
100
y
x
=
．
将(0.10,
)
m 代入
100
y
x
=
，得
100
1000
0.10
m =
=
，
y
与x 之间的函数关系式为
100
y
x
=
；
1000
m =
；
（2）略
（3）解：根据图表中的信息，发现随着x 逐渐变大，y 的变化趋势是逐渐变小，
（4）略
34 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型九、反比例函数的应用—行程问题
典例9 某海轮以每小时10 千米的速度从A港行驶到B 港，共用6 小时（不考虑水流速度）．
(1)写出时间t (时）与速度v (千米/时）之间的函数表达式；
(2)若返航速度增至每小时12千米，则该海轮从B 港返回A港（沿原水路）需几小时？
【答案】(1)
60
t
v
=
(2)该海轮从B 港返回A港需5小时
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函数关系是解决
本题的关键．
（1）货船行驶的路程不变，因而时间t 与速度v 成反比例函数关系，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）在解析式中令
12
x =
，即可求得时间．
【详解】（1）设函数的解析式是
k
t
v
=
，把
10
v =
，
6
t =
得：
60
k =
，
则函数的解析式是：
60
t
v
=
；
（2）当
12
v =
时，
5
t =
．
从B 港返回A港（沿原水路）需5 小时．
变式9-1 如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度(
)
/
v m s 与载重后总
质量
(
)
kg
M
是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量
5kg
M =
时，它的最快移动速度
10m/ s
v =
．
(1)求v 与M 之间的函数关系式．
(2)当其载重后总质量
25kg
M =
时，求它的最快移动速度v ．
【答案】(1)
50
v
M
=
；
(2)它的最快移动速度2m / s ．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求
35 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
出比例系数，再代入求值．
（1）根据题意设
k
v
M
=
（
0
k
）；将
5
M = ，
10
v =
代入，得10
5
k
=
，解得
50
k =
；故v 与M 之间的函数关
系式为
50
v
M
=
.
（2）将
25
M =
代入
50
v
M
=
，得
50
2
25
v =
=
；故最快移动速度为2 m/s ．
【详解】（1）解：∵v 与M 成反比例函数关系，
∴设函数关系式为
k
v
M
=
（
0
k
）．
将
5
M = ，
10
v =
代入，得：10
5
k
=
，
解得
50
k =
，
∴v 与M 之间的函数关系式为
50
v
M
=
．
（2）解：当
25
M =
时，
50
2
25
v =
=
，
答：当载重后总质量
25 kg
M =
时，它的最快移动速度为2 m/s ．
变式9-2 甲车和乙车从A 地开往B 地，已知A、B 两地全长约600km．设甲车的速度是km/h
x
，到达B 地所
用的时间为h
y ．
(1)写出y 关于x 的函数表达式；
(2)公路规定：行驶速度不得超过80km/h ，请利用函数性质，求甲车到达B 地所需的最短时间；
(3)若乙车的速度是甲车的1.2倍，乙到达B 地所用的时间比甲车少80 分钟，求乙车的速度．
【答案】(1)
600
y
x
=
(2)车到达B 地所需的最短时间为7.5h
(3)乙车的速度为90km/h
【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关
键．
（1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可；
（2）根据反比例函数的增减性和x 的取值范围计算即可；
（3）根据题意，得乙车的速度为1.2 km/h
x
，由“A、B 两地的距离÷甲车的速度A B
- 、两地的距离÷乙车的速
度
80
60
=
”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可．
36 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：根据题意，得
600
y
x
=
，
∴y 关于x 的函数表达式为
600
y
x
=
．
（2）解：∵
600
y
x
=
，600
0
0
x
>
>
，
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵
80
x
，
∴当
80
x =
时，y 值最小，
600
7.5
80
y
=
=
最小
，
∴甲车到达B 地所需的最短时间为7.5h ．
（3）解：乙车的速度为1.2 km/h
x
．
根据题意，得600
600
80
1.2
60
x
x
−
=
，
解得
75
x =
，
经检验，
75
x =
是所列分式方程的解，
1.2 75
90(km/h)
?
，
答：乙车的速度为90km/h ．
变式9-3 受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑
到终点．第一次用了60 秒；第二次比第一次速度提高了1米/ 秒，用了45 秒．
(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？
(2)求所用时间(t 秒) 与速度(
v 米/ 秒) 的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米
/秒？
【答案】(1)3 米/秒
(2)v=180
t ；6 米/秒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；
（1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是x 米/ 秒，
则第二次训练的速度是(
)
1
x +
米/ 秒，
37 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
60
45
1
x
x
=
+
．
解得：
3
x = ，
答：小勇第一次训练的速度是3米/ 秒．
（2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：60 3
180(
=
米) ，
小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为v 米/ 秒，所用时间为t 秒，
180
v
t
=
．
当要使所用时间不超过30秒时，即
30
t
，
6
v
．
要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于6 米/ 秒．
题型十、反比例函数的应用—电阻问题
典例10 紫外线杀菌灯的电阻(
)
kΩ
y
随温度(
)
x ℃的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温10℃上升
到30℃时，电阻与温度成反比例．在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，
温度每上升1℃，电阻增加4 kΩ
15
．
(1)当10
30
x
时，求y 与x 之间的函数关系式；
(2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过4kΩ．
【答案】(1)
60
y
x
=
(2)当15
37.5
x
时，电阻不超过4kΩ
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中
找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）设关系式为
m
y
x
=
，将(10,6) 代入求k ；
（2）将
4
y =
代入函数关系式求出x 的值．
38 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：设
m
y
x
=
．
∵过点(10,6) ，
10 6
60
m
xy
=
=
=
，
∴当10
30
x
时，y 与x 的关系式为：
60
y
x
=
；
（2）解：将
30
x =
℃代入上式中得：
60
2
30
y =
=
．
∴温度在30℃时，电阻
2(k )
y =
．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加4 k
15 ，
当
30
x
时，
4
4
2
(
30)
6
15
15
y
x
x
=
+
−
=
−，
把
4
y =
代入
60
y
x
=
得
15
x =
；
把
4
y =
代入
4
6
15
y
x
=
−
得
37.5
x =
；
故当15
37.5
x
时，电阻不超过4kΩ．
变式10-1 电风扇是我们生活的常用电器，数学小组的一名学生在使用电风扇时，突然产生一个疑问：为什
么电风扇的风速可以调节？好奇的他进行了探究，发现与电风扇的实际功率有关．由物理学中的公式P
UI
=
和
/
I
U R
=
可知，实际功率的大小是由电阻的大小决定的．于是他将滑动变阻器和电风扇串联，通过调整
滑动变阻器的电阻，改变电风扇的风速．实验测得数据如下：
总电阻
/
R
15
12
9
6
3
电流强度/ A
I
0.4
0.5
0.7
1
2
(1)数学老师指出：该学生测量的数据大部分都是正确的，个别有误差．你能发现哪几组数据有误吗？说说
你的理由．
(2)求I 关于R 的函数表达式；
(3)如果将电阻调大，电风扇的风速将发生什么变化？
(4)如果电风扇的电阻为5，电路中滑动变阻器的电阻控制在5到15（包括5，15）时，电路中电流应该
控制什么范围？
【答案】(1)
9Ω,I
0.7
R
A
=
=
这一组数据有误
39 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
6
I
(
0)
R
R
=
(3)风速变小
(4)0.3
I
0.6
A
A
【分析】（1）将表格中的数据代入U
IR
=
，分别求出U 的值，再进行比较即可得出有误的数据；
（2）把
6V
U
代入
U
I
R
=
可得解；
（3）根据反比例函数的性质可得结论；
（4）先求出总电阻的取值范围，再判断电路中电流的范围即可．
【详解】（1）解：由
U
I
R
=
变形得U
IR
=
，电路电压U 为定值，因此所有正确数据的IR 乘积都相等. 计算
各组IR 的值：
( )
15 0.4
6 V
=
；
( )
12 0.5
6 V
=
；
( )
9 0.7
6.3 V
=
；
( )
6 1
6 V
=
；
( )
3 2
6 V
=
；
只有
9Ω,
0.7
R
I
A
=
=
这一组的乘积不等于6，因此该组数据有误；
（2）解：由上述计算可得定值电压
6V
U
，代入
U
I
R
=
可得：
6 (
0)
I
R
R
=
；
（3）解：函数
6
I
R
=
中，
6
0
k =
，当
0
R
时，I 随R 的增大而减小. 电阻调大后电流I 减小，电风扇实际
功率减小，因此风速变小；
（4）解：由题意可知，总电阻R =电风扇电阻+ 滑动变阻器电阻. 已知电风扇电阻为5Ω，滑动变阻器电阻
范围为5
15
R
滑
，因此总电阻范围为： 5 5
5 15
R
+
+
，即10Ω
20Ω
R
，
因为
6
I
R
=
中I 随R 增大而减小，代入端点得： 当
10Ω
R =
时，
6
0.6(A)
10
I =
=
；
当
20Ω
R =
时，
6
0.3(A)
20
I =
=
；
因此电路中电流的范围为0.3A
0.6A
I
．
变式10-2 物理实验课上，小明为探究电流( )
A
I
与接入电路的滑动变阻器( )
Ω
x
之间的关 系，设计如图所示
的电路图．已知电源的电压
( )
V
U
保持不变，小灯泡的电阻为2．改变接入电路的滑动变阻器的电阻( )
Ω
x
，
电流表的读数即电流( )
A
I
发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为1时，电流表的读数为2A．
40 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求电路中的电阻( )
Ω
R
关于接入电路的滑动变阻器的电阻( )
Ω
x
之间的函数关系，
(2)求电流( )
A
I
关于电路中的电阻( )
Ω
R
的函数关系；
(3)如果电流表的读数为0.5A ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
【答案】(1)
2
R
x
=
+
(2)
6
2
I
x
=
+
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为10．
【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之
和，即可求解；
（2）由欧姆定律可知，
L
x
U
I
R
R
=
+
，进而得出电源的电压为6V ，即可求解；
（3）将
0.5
I =
代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之
和，
电路中的电阻
2
L
x
R
R
R
x
=
+
=
+
；
（2）解：由欧姆定律可知，
L
x
U
I
R
R
=
+
，
由题意可知，小灯泡的电阻为2，当接入电路的滑动变阻器的电阻为1时，电流表的读数为2A，
2
2
1
U
=
+ ，解得：
6
U =
，
即电源的电压为6V ，
电流( )
A
I
关于电路中的电阻( )
Ω
R
的函数关系为
6
6
2
L
x
I
R
R
x
=
=
+
+
；
（3）解：电流表的读数为0.5A ，
6
0.5
2
x
=
+
，
解得：
10
x =
，
41 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为10．
变式10-3【操作实验】
小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流
/ A
y
的大小，
从而控制小灯泡L 的亮度，实验电路图如图1 所示，已知小灯泡的电阻为2（不计温度对灯泡电阻影响），
滑动变阻器的电阻为
(
)
/ Ω 0
6
x
x
（串联电路中总电阻= 灯泡电阻+ 滑动变阻器的电阻），通过多次实验，
得到以下数据（如表）（电流= 电压电阻）：
电阻
/
x
…
a
2
3
4
6
电流
/ A
y
…
4
3
2.4
2
b
(1)根据实验结果，填空：a =______，b = ，根据实验数据直接写出y 与x 的函数关系式：
(
)
0
6
x
；
(2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质： ；
(3)【深入探究】已知一次函数
(
)
3
6
0
2
y
x
x
= −
+
，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y ≤y时x 的
取值范围： ．
【答案】(1)1；3
2 ；
(
)
12
2 0
6
x
x
y =
+
42 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)见解析，当0
6
x
时，y 随x 的增大而减小
(3)0
2
x
【分析】（1）根据电流= 电压电阻，串联电路中总电阻= 灯泡电阻+ 滑动变阻器的电阻，可得y 关于x 的
关系式，再求出
4
y =
时，x 的值和
6
x =
时，y 的值即可得到答案；
（2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象，再根据图象解答即可；
（3）求出两个函数的交点的横坐标，再结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：∵电流= 电压电阻，串联电路中总电阻= 灯泡电阻+ 滑动变阻器的电阻，
∴
(
)
12
0
6
2
y
x
x
=
+
，
当
4
y =
时，12
4
2
x
=
+
，解得
1
x = ，即
1
a = ；
当
6
x =
时，
12
3
6
2
2
y =
=
+
，即
3
2
b =
；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当0
6
x
时，y 随x 的增大而减小；
（3）解：当12
3
6
2
2 x
x
= −
+
+
时，解得
0
x =
（已检验）或
2
x =
（已检验），
∴由函数图象可知，当y ≤y时x 的取值范围为0
2
x
．
43 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型十一、反比例函数的应用—运输问题
典例11 某运输公司计划运输一批货物，用t 表示运输的天数，用a 表示每天运输的吨数，a 与t 之间的关系
如表所示：
a /吨
600
300
150
/
t 天
1
2
4
细心的小明发现：每天运输的吨数a （吨）与运输的天数t （天）成反比例．
(1)求出每天运输的吨数a 与运输的天数t 之间的函数关系式；
(2)若运输公司每天运输200 吨，求运输的天数．
【答案】(1)
600
a
t
=
(2)3 天
【分析】本题考查反比例函数的应用．
（1）根据“每天运输的吨数运数的天数= 货物总量”写出t 与a 的关系；
（2）将
200
a =
代入t 与a 的关系，求出对应t 的值即可．
【详解】（1）解：∵600 1
300 2
150 4
600
=
=
=
，
∴
600
at =
，
∴
600
a
t
=
，
即每天运输的吨数a 与运输的天数t 之间的函数关系式为
600
a
t
=
；
（2）解：当
200
a =
时，200
600
t =
，
44 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
3
t =
，
即若运输公司每天运输200 吨，运输天数为3 天．
变式11-1 某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公
司平均运送效率v（单位：
3
m /天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间是反比例函数关系，且当
6
t =
时，
12000
v =
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若该运输公司每天可运送土石方
3
8000m ，求完成全部运输任务需要多少天？
【答案】(1)
72000 (
0)
v
t
t
=
(2)9 天
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
（1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量v完成运送任务所需的时间t（天）= 运输总量，得出函
数关系式；
（2）把
8000
v =
代入反比例函数解析式，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
6 12000
72000
vt =
=
，
∴v 与t 之间的函数关系式为
(
)
72000
0
v
t
t
=
；
（2）解：在
72000
v
t
=
中，当
8000
v =
时，
∴
72000
9
8000
t =
=
．
答：公司完成全部运输任务需要9 天．
变式11-2 县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为
5
6 10
（单位：
3
m ），某运输公司
承担了运送土石方的任务．
（1）运输公司平均运输速度v（单位：
3
m 天）与完成运输所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关
系？
（2）这个运输公司共有80 辆卡车，每天可运输土石方为
4
10 （单位：
3
m ），公司完成全部运输任务需要多
长时间？
（3）当公司以问题（2）中的速度工作了30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在20 天内
45 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
完成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？
【答案】（1）
5
6 10 (
0)
v
t
t
=
；（2）公司完成全部运输任务需要60 天；（3）运输公司至少要增加40 辆卡
车．
【分析】（1）由总量=vt，求出v 即可；
（2）把v 的值代入计算即可求出t 的值；
（3）设需要增加a 辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为
4
10
125
80 =
m3，求出前30 天与后20 天的土石方确定
出解析式，即可求出a 的最小值．
【详解】（1）根据题意得：
5
6 10
vt =
，
5
6 10 (
0)
v
t
t
=
；
（2）当
4
10
v =
时，
5
4
6 10
60
10
t
=
=
，
答：公司完成全部运输任务需要60 天；
（3）设需要增加a 辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为
(
)
4
3
10
125
80
m
=
，
前30 天运输土石方为：
(
)
4
5
3
30 10
3 10
m
=
，
后20 天运输土石方为：
(
)
5
5
5
3
6 10
3 10
3 10
m
−
=
．
设30 天后的每天平均运输速度为
1v ，所需时间为1t ，
(
)
5
1
1
1
3 10
0
v
t
t
=
，
由反比例函数的性质可知，
1v 随着1t 的增大而减小，
当1
20
t
时，
4
1
1.5 10
v
，
4
125(
80)
1.5 10
a
+
，
40
a
，
a
的最小值是40．
答：运输公司至少要增加40 辆卡车．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，关键是熟练掌握反比例函数的性质，正确理解题意，找出题目中
的等量关系，列出函数解析式．
变式11-3 被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为
46 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
300000 立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．
(1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）．
①请直接写出y 与x 的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方6000 立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？
(2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500 立方米，结果工期比原计划减少
了10 天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．
【答案】(1)①
300000
y
x
=
；②50 天
(2)7500 m 3
【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时
间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令
6000
y =
求得x 即可；
（2）该公司原计划每天运送土石方x 立方米，则实际每天运送(
)
2500
x +
立方米，再根据“工期比原计划减
少了10 天”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得：
300000
xy
=
，即
300000
y
x
=
；
②令
6000
y =
时，则
300000
50
6000
x =
=
（天）．
答：该公司完成全部运输任务需要50 天．
（2）解：该公司原计划每天运送土石方x 立方米，则实际每天运送(
)
2500
x +
立方米，
由题意得，300000
300000
10
2500
x
x
=
+
+
解得
1
7500
x =
，
2
10000
x = −
（不合题意，舍去）
47 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
检验：当
7500
x =
时，
(
)
7500 7500
2500
0
+
所以，
7500
x =
是原分式方程的解．
答：该公司原计划每天运送土石方为
3
7500m ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式
和分式方程是关键．
题型十二、反比例函数的应用—销售问题
典例12 校园超市以5 元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查发现每天
调整不同的销售价，其销售总金额为定值（销售金额＝售价×销售量），其中某天该物品的售价为10 元/件时，
销售量为30 件．
(1)设售价为x 元/件时，销售量为y 件，请写出y 与x 的函数关系式；
(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为50 元，则该物品的售价应定为多少元/
件？
【答案】(1)
300
y
x
=
(2)6 元/件
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）根据售价为x 元/件时，销售量为y 件，设
k
y
x
=
，把(
)
10,30 代入计算即可；
（2）根据函数值
50
y =
，代入计算x 的值即可．
【详解】（1）根据售价为x 元/件时，销售量为y 件，设
k
y
x
=
，把(
)
10,30 代入得，
10 30
300
k
xy
=
=
=
，
故y 与x 的函数关系式为
300
y
x
=
．
（2）∵函数关系式为
300
y
x
=
．销售利润为50 元，校园超市以5 元/件购进某物品，
∴(
) 300
5
50
x
x
−
=
，解得：
6
x =
故该物品的售价应定为6 元/件．
变式12-1 某商场销售一批进价为120 元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发
48 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
生变化（要求售价高于进价）．部分销售数据如下：
每双的售价/
x 元
200
250
300
每天的销量
/
y 双
30
24
20
(1)求y 关于x 的函数解析式．
(2)若要求每天的销量不低于15 双，则x 的取值范围为 ．
(3)若商场希望每天的销售利润为2400 元，则售价应定为每双多少元？
【答案】(1)
(
)
6000
120
y
x
x
=
(2)120
400
x
(3)200 元
【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用．
（1）由表中数据可得，y 与x 成反比例函数关系，且
6000
xy =
，即可得到y 关于x 的函数解析式；
（2）根据“销量不低于15 双”列出不等式求解即可；
（3）根据“每天的销售利润为2400 元”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：由表中数据可得，200 30
250 24
300 20
6000
=
=
=
．
y
与x 成反比例函数关系，且
6000
xy =
．
y
关于x 的函数解析式为
(
)
6000
120
y
x
x
=
；
（2）解：∵每天的销量不低于15 双，
∴6000
15
x
，
解得：
400
x
，
∵
120
x
，
∴120
400
x
，
故答案为：120
400
x
；
（3）解：由题意，得(
) 6000
120
2400
x
x
−
=
，
解得
200
x =
，
经检验，
200
x =
是所列方程的解，且符合题意．
答：售价应定为每双200 元．
49 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式12-2 某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销
售量
1y 与浮动销售量
2y 两个部分组成，其中
1y 保持不变，
2y 与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场
管理局要求每件商品的售价不能超过18 元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10 元时，售出34 件：
当每件商品的售价定为12 元时，售出30 件．
(1)求y 与x 之间的函数关系式：
(2)当该商品销售数量为40 件时，求每件商品的售价；
(3)设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大?最大值是多
少?
【答案】(1)y=10+ 240
x (x≤18)
(2)8 元
(3)当每件商品的售价为18 元时超市的销售总额最大，最大值是420 元
【分析】（1）设y=y1+y2=y1+ k
x ，把x=10，y=34，x=12，y=30 分别代入求解即可；
（2）把y=50 代入（1）问所求银析式计算即可；
（3）根据月销售额W=xy，求出w 与x 的解析式，再根据x≤18，利用性质求出w 最大值即可．
【详解】（1）解：设y=y1+y2=y1+ k
x ，把x=10，y=34，x=12，y=30 分别代入，得
1
1
34=
10
30
12
k
y
k
y
+
=
+
，解得：
1
10
240
y
k
=
=
，
∴y=10+ 240
x (x≤18)；
（2）解：∵y=10+ 240
x ，
∴当y=40 时，则40=10+ 240
x ，
解得：x=8，
答：当该商品销售数量为40 件时，每件商品的售价为8 元；
（3）解：由题意，得
W=xy=x(10+ 240
x )=10x+240，
∵10>0，
∴w 随x 增大而增大，
50 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵x≤18，
∴当x=18 时，w 有最大值，最大值为10×18+240=420（元），
答：当每件商品的售价为18 元时超市的销售总额最大，最大值是420 元．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相
等关系，并据此列出函数解析式．
变式12-3 某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15 元，通过一段时间的销售情况发现，该
种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y (千克)与每千克售价x (元)的关系如表所示：
每千克售价x (元)
25
30
40
每周销售量y (千克)
240
200
150
（1）求出每周销售量y (千克)与每千克售价x (元)的函数关系式．
（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300 千克的任务，则该种水果每千克售价最多
定为多少元？
（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否达到每周获利2000 元？说明理由．
【答案】（1）
6000
y
x
=
；（2）20 元；（3）不能，理由见解析．
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（2）直接利用y=300 代入求出答案；
（3）利用w=1200 进而得出答案．
【详解】解：（1）由表格中数据可得：y= k
x ，
把（30，200）代入得：
6000
y
x
=
；
（2）当y=300 时，300= 6000
x
，
解得：x=20，
∵y 随x 增大而减小
即该种水果每千克售价最多定为20 元；
（3）由题意可得：w=y（x-15）= 6000
x
（x-15）=2000，
解得：x=22.5
51 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
经检验：x=22.5
是原方程的根，
此时22.5>20 不符合（2）中题意
答：超市销售该种水果不能到达每周获利2000 元．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出y 与x 的函数的关系式是解题
关键．
题型十三、反比例函数的应用—浓度问题
典例13 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓
度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值(1.0mg / L) ．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水
中硫化物的浓度(mg/L)
y
与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC 表示前3 天的变化规律，第3
天时硫化物的浓度降为5mg / L，从第3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 满足下面表格中的关系：
时间x/天
3
5
6
10
…
硫化物的浓度
/ (mg / L)
y
5
3
2.5
1.5
…
(1)在整改过程中，当
3
x
时，求硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20 天以内不超过最高允许值(1.0mg / L) ？为什么？
【答案】(1)硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式为
15 (
3)
y
x
x
=
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20 天以内不超过最高允许值(1.0mg / L) ．理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函
数解析式并且熟练掌握反比例函数的性质．
（1）由表格可推得：xy为定值，即当
3
x
时，y 是x 的反比例函数，进而求得结果；
52 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）将
20
x =
代入反比例函数关系式，从而求得y 的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论．
【详解】（1）解：当
3
x
时，3 5
5 3
6 2.5 10 1.5 15
= =
=
=
，
y
是x 的反比例函数，
∴硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式为
15 (
3)
y
x
x
=
．
（2）解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20 天以内不超过最高允许值(1.0mg / L) ．理由如下：
当
20
x =
时，
15
0.75
1
20
y =
=
，
∵
15 (
3)
y
x
x
=
，15
0
，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20 天以内不超过最高允许值(1.0mg / L) ．
变式13-1 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度
超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15 天以内（含15 天）排污达标，整改过程中，
所排污水中硫化物的浓度(
)
mg/L
y
随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3 天的变化规
律，从第3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 之间的函数表达式（要求标注自变量x 的取值范围）；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15 天以内（含15 天）不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)
(
)
(
)
2
10 0
3
12
3
x
x
y
x
x
−
+
=
(2)能，见解析
【分析】（1）根据函数图像，分类讨论①当0
3
x
时，设线段AB 对应的函数表达式为y
kx
b
=
+
，代入A，
B 坐标计算即可；②当
3
x
时，设
m
y
x
=
，代入B 坐标计算即可；
（2）令
1
y = ，则
12
x =
，结合题意即可求解．
53 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当0
3
x
时，设线段AB 对应的函数表达式为y
kx
b
=
+
，
把
(0,10), (3,4)
A
B
代入，得：
10
3
4
b
k
b
=
+
=
，解得
2
10
k
b
= −
=
，
2
10
y
x
= −
+
，
②当
3
x 时，设
m
y
x
=
，
把
(3,4)
B
代入，得
3 4
12
m = =
，
12
y
x
=
，
综上所述，
(
)
(
)
2
10 0
3
12
3
y
x
x
y
x
x
= −
+
=
；
（2）能，理由如下：
在函数
12
y
x
=
中，令
1
y = ，则
12
x =
，
3 12 15
，
该企业所排污水中硫化物的浓度能在15 天以内（含15 天）不超过最高允许的1.0mg/L ．
变式13-2 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难
事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7 小时达
到最高值46mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回
答下列问题：
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y 与时间x 的函数关系式；
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L 时，井下3km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的
速度撤离才能在爆炸前逃生？
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多
54 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
少小时才能下井？
【答案】(1)爆炸前：
6
4
y
x
=
+
，爆炸后：
322
y
x
=
(2)1.5km/h
(3)73.5小时
【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用．
（1）分别设爆炸前y 与x 的函数关系式为
1
y
k x
b
=
+
，爆炸后y 与x 的函数关系式为
2k
y
x
=
，进而求解即可；
（2）将
34
y =
代入
1
y
k x
b
=
+
，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可；
（3）将
4
y =
代入
322
y
x
=
，求出
80.5
x =
减7 即可．
【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y 与x 的函数关系式为
1
y
k x
b
=
+
，
由图象知
1
y
k x
b
=
+
过点(
)
0,4 与(
)
7,46 ，
则
1
4
7
46
b
k
b
=
+
=
，解得
1
6
4
k
b
=
=
，则
6
4
y
x
=
+
，
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y 与x 的函数关系式为
2k
y
x
=
，
由图象知
2k
y
x
=
过点(
)
7,46 ，
∴
2
46
k
x =
，
∴
2
322
k =
，
∴
322
y
x
=
；
（2）解：当
34
y =
时，由
6
4
y
x
=
+
得，6
4
34
x+
=
，
5
x =
，
∴撤离的最长时间为7
5
2
−=
（小时），
∴撤离的最小速度为
(
)
3
2
1.5 km/h
=
；
（3）解：当
4
y =
时，由
322
y
x
=
得，
80.5
x =
，80.5 7
73.5
−
=
（小时）．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
55 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式13-3 某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：
/ L
mg
）
与喷洒时间x（单位：min ）的关系图像如图所示，OA为直线的一部分，AB 为反比例函数图像的一部分．
(1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围；
(2)结合函数图像，回答下列问题：
①当
1
x = 时，农药浓度是多少？当
10
x =
时，农药浓度是多少？
②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y 随x 的变化趋势；
(3)农场规定：农药浓度不低于5
/ L
mg
且不超过8
/ L
mg
时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒
过程中，符合规定的时间范围．
【答案】(1)函数图像的OA段解析式：
5
y
x
=
，自变量取值范围：0
2
x
；函数图像的AB 段的解析式：
20
y
x
=
，
自变量取值范围：
2
x
(2)当
1
x = 时，
5 1
5mg/L
y = =
；当
10
x =
时，
2mg/L
y =
．
(3)1
1.6
x
或2.5
4
x
【分析】本题主要考查了求函数解析式、求自变量的取值范围、一次函数的应用、反比例函数的应用等知
识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）分函数图像的OA段和AB 段分别运用待定系数法求出函数解析式并结合函数图像确定自变量的取值范
围即可；
（2）①分别求出
1
x = 和
10
x =
的函数值即可；②根据一次函数、反比例函数的增减性解答即可；
（3）由题意可得5
8
y
，然后分别在函数图像的OA段和AB 段求得自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：函数图像的OA段是正比例函数，
设解析式为 y
kx
=
，代入点
(
)
2,10
A
，
得 10
2k
=
，
解得：
5
k =
．
∴函数图像的OA段解析式：
5
y
x
=
，自变量取值范围：0
2
x
．
函数图像的AB 段是反比例函数，
56 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设解析式为
m
y
x
=
，代入点
(
)
2,10
A
，
得 ：10
2
m
=
，
解得：
20
m =
．
∴函数图像的AB 段的解析式：
20
y
x
=
，自变量取值范围：
2
x
．
（2）解：①当
1
x = 时，代入
5
y
x
=
，得：
5 1
5mg/L
y = =
；
当
10
x =
时，代入
20
y
x
=
，得
20
2mg/L
10
y =
=
．
② 变化趋势：函数图像OA段(
)
0
2
x
，
5
y
x
=
，y 随 x 的增大而增大；
函数图像AB 段(
)
2
x
，
20
y
x
=
，y 随 x 的增大而减小．
（3）解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 5
8
y
，
当处于OA段(
)
0
2
x
：代入
5
y
x
=
，得：5
5
8
x
，解得：1
1.6
x
；
当处于AB 段(
)
2
x
：代入
20
y
x
=
，得
20
5
8
x
，解得： 2.5
4
x
．
综上，符合规定的时间范围是1
1.6
x
或2.5
4
x
．
题型十四、反比例函数的应用—实验问题
典例14 项目式学习·测量盒子质量
问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时
便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量．
实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A 处，且托盘
上放置了一个100g 的砝码，右侧托盘可以在BC 段滑动，已知
15cm
AC =
，
50cm
BC =
，通过往牛奶盒里加
入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据．
实验数据：
实验序号
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
总质量m（牛奶+水/g ）
120
60
50
40
150
CD的距离/ cm
l
12.5
25
30
37.5
10
问题解决
57 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量m 的增大而________，并依此猜想：l 与m 满足怎样
的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）；
(2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65g 的水，移动托盘使天平保持平衡，此时
20cm
CD =
，求这个空
牛奶盒的质量；
(3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65g 水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍
保持平衡，则右边托盘应怎样移动．
【答案】(1)减小，反比例函数；
(2)这个空牛奶盒的质量为10g ；
(3)右边托盘应向左边移动8.75cm
【分析】（1）根据表格数据可知，CD的长度随着总质量m 的增大而减小，根据
1500
l m
=
，猜想：l 与m
满足怎样的函数关系：反比例函数；
（2）先设l 关于m 的函数解析式为
(
)
0
k
l
k
m
=
，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为
1500
l
m
=
，
再设空牛奶盒的质量为g
a ，根据题意得：
1500
65
20
a
+
=
，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量；
（3）含65g 水的牛奶盒质量为75g ，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有
75 15
100 l
=
，求出l，并根据任务二
20cm
CD =
，求出右边托盘应向左边移动8.75cm ．
【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量m 的增大而减小，
∵
1500
l m
=
，
∴依此猜想：l 与m 满足：反比例函数；
（2）解：设l 关于m 的函数解析式为
(
)
0
k
l
k
m
=
，
则k
m l
=
，将(
)
60,25 代入，
得：
60 25
1500
k =
=
，
即l 关于m 的函数解析式为
1500
l
m
=
，
设空牛奶盒的质量为g
a ，
根据题意得：
1500
65
20
a
+
=
，
58 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得：
10
a =
，
答：这个空牛奶盒的质量为10g ．
（3）解：由任务二得，含65g 水的牛奶盒总质量为75g ，
∵将含65g 水的牛奶盒与砝码的位置互换，
∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：75 15
100 l
=
，
解得：
11.25
l =
，
∵20 11.25
8.75
−
=
，
∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动8.75cm．
变式14-1 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A 中放置
一些大小不等的立方体，在活动托盘B 中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B 与点O 的
距离(
)
x cm ，观察活动托盘B 中砝码的质量( )
g
y
的变化情况．实验数据记录如表：
(1)把表中x，y 的各组对应值作为点的坐标，如(
)
10,30 ，(
)
15,20 ……在图②的坐标系中描出相应的点，并
用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为16g 时，活动托盘B 与点O 的距离是多少？
【答案】(1)
图象如下：
59 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
300
y
x
=
(3) 75 cm
4
【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）在坐标系中描点连线即可；
（2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解；
（3）将
16
y =
代入（2）中结论，求出x 的值即可．
【详解】（1）略
（2）解：猜测y 与x 之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为
k
y
x
=
，
∵当
10
x =
时，
30
y =
，
30
10
k
=
，
解得
300
k =
，
∴函数关系式为
300
y
x
=
；
（3）解：当
16
y =
时，
300
16
x
=
解得
75
4
x =
，
即活动托盘B 与点O 的距离是75 cm
4
．
变式14-2 某3D 打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验：
甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量m （单位：g ）与出料时间t （单位：s ）之间的关系，已知出料
量m 与出料时间t 成正比例函数关系，部分数据如下：
/s
t
10
20
30
40
50
…
60 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
/ g
m
4.0
8.0
12.0
16.0
20.0
…
乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料6g 耗材所用的时间t（单位：s ）与挤出头孔径d（单
位：mm ）之间的关系，部分数据如下：
/ mm
d
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
…
/s
t
32.0
18.0
11.5
8.0
5.9
…
(1)甲组挤出头出料25 s时的出料量为__________g ；
(2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间t 与孔径d 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实
验的函数图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①孔径为5.5mm的挤出头出料6g 耗材所用的时间为__________s （结果保留小数点后一位）；
②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________ mm （结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)10
(2)
(3)①9.5 ②4.4
61 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】第（1）问：根据“出料量m 与时间t 成正比例”，设
(
)
0
m
kt k
=
，用表格数据求出比例系数k ，再
代入
25s
t =
计算出料量；
第（2）问：根据乙组表格中的(
)
d
t
，
数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象；
第（3）问：①观察乙组数据，发现
2
288
t d
，即
2
288
t
d
=
，代入
5.5
d =
求t ；
②先根据甲组的正比例函数，求出“出料6g ”所需的时间t ，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径d ．
【详解】（1）解：∵出料量m 与出料时间t 成正比例函数关系，
∴设m 与t 之间的函数解析式为
(
)
0
m
kt k
=
，
把
10s
t =
，
4g
m =
代入解析式得：4
10k
=
，
解得：
0.4
k =
，
∴m 与t 之间的函数解析式为
0.4
m
t
=
，
∴当
25s
t =
时，
0.4 25
10
m
g
=
=
，
∴甲组挤出头出料25 s时的出料量为10g ；
（2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点：
(
)
3.0,32.0 ，(
)
4.0,18.0 ，(
)
5.0,11.5 ，(
)
6.0,8.0 ，(
)
7.0,5.9 ，
再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线；
（3）①观察乙组数据，
23
32
288
×
=
，
2
4
18
288
×
=
，
2
5
11.5
287.5
288
×
=
，
2
6
8
288
× =
，
2
7
5.9
289.1
288
×
=
，
∴d 与t 满足
2
288
td
，
∴
( )
2
288
t
s
d
=
，
当
5.5
d
mm
=
时，
(
)
2
288
9.5
5.5
t
s
=
，
②当
6
m= g 时，
6
15
0.4
t
s
=
=
，
当
15s
t =
时，
(
)
2
2
288
19.2
15
d
mm
=
=
，
∴
19.2
4.4
d
mm
=
．
【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中t 与
2
d 成反比例，而非
t 与d 直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范．
62 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式14-3 综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1 图所示），通过查阅资料了解到这是马格努
斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，
会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2 图所示）．生活中的足球“香蕉
球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3 图所示，圆柱体模拟
转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．F
k
v
=
，，其中k 为比
例系数（与圆柱体侧面积A 有关，实验条件下关系近似为
0.5
k
A
=
），ω 为电机控制圆柱体旋转的角速度（单
位：
/s
rad
），v 为电风扇模拟的风速（单位：m/ s ），产生的推力F 可用测力计测量（单位：N）．现有实验
数据如下：
实验
组
风速v（m/ s ）
旋转角速度ω（
/s
rad
）
推力F（N）
1
5
4
24
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω 为10
/s
rad
．
①现有装置能否产生100N 的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径
0.5m
r =
，，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转
角速度下能产生100N 推力．（结果保留2 位小数，计算过程中π 取3）
【答案】(1)
8rad/s
=
(2)①现有装置不能产生100N 推力，理由：
保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
63 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1.2 10 5
60
100
F
k
v
=
=
=
，
现有装置不能产生100N 推力；
②当圆柱体半径变为0.83m 时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力
【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程，
（1）根据F
k
v
=
和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据F
k
v
=
保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60，
②根据
0.5
k
A
=
求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当
100N
F =
时求得k，进一步求得
0.5 2
k
r h
=
解得r即可．
【详解】（1）解：
F
k
v
=
，
24
1.2
4 5
F
k
v
=
=
=
，
当
48
F
N
=
时，48
1.2 5
=
，
解得旋转角速度
8rad/s
=
；
（2）解：①略
②
0.5
0.5 2
3
k
A
r h
r h
=
=
=
，
1.2
3 0.5 h
=
，
解得圆柱体的高
0.8m
h =
，
在最高旋转角速度下，当
100N
F =
时，
100
2
10 5
k =
=
．
又
0.5 2
k
r h
=
，
2
2.4r
=
，
解得
0.83m
r
当圆柱体半径变为0.83m 时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成
反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I 从6A 增加到10A 时，电阻R（ ）
64 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．减小了2.4
B．减小了4
C．增大了2.4
D．增大了4
【答案】A
【分析】先利用待定系数法求出电压U 的值，得到I 与R 的函数关系式，再分别计算电流为6A 和10A 时对
应的电阻值，最后求差即可．
【详解】解：设
U
I
R
=
，
由图象可知，函数图象经过点(9,4) ，
把
9Ω
R =
，
4A
I =
代入
U
I
R
=
得：
4 9
36V
U = =
，
反比例函数的解析式为
36
I
R
=
，
当
6A
I =
时，
36
6
6
R =
= ，
当
10A
I =
时，
36
3.6Ω
10
R =
=
，
6 3.6
2.4
−
=
，
当电流I 从6A 增加到10A 时，电阻R 减小了2.4．
2．如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘
米药液浓度(
)
mg
y
与时间(
)
min
x
成正比例，喷雾结束后y 与x 成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg
时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ）
A．喷洒阶段的函数解析式为
5
8
y
x
=
B．喷洒完成后，当
20min
x =
时，药液浓度为1mg
C．土壤表层药液浓度为4mg 的时间点只有1个
D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min
65 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可.
【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为y
kx
=
，喷洒完成后的函数解析式为
m
y
x
=
，
把(
)
5,8 分别代入，得
8
5
k =
，
5 8
40
m = =
，
∴喷洒阶段的函数解析式为
8
5
y
x
=
，喷洒完成后的函数解析式为
40
y
x
=
，故选项A 错误；
当
20
x =
时，
40
2
20
y =
=
，故喷洒完成后，当
20min
x =
时，药液浓度为2mg ，故选项B 错误；
由图象可知土壤表层药液浓度为4mg 的时间点有2 个，故选项C 错误；
当
8
1.6
5
y
x
=
=
时，
1
x = ；当
40
1.6
y
x
=
=
时，
25
x =
，
从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25 1 1
25min
−+ =
；故选项D 正确.
3．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率y 与该班
参加测试人数x 的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则
这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班
B．乙班
C．丙班
D．丁班
【答案】C
【分析】设反比例函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，表示出甲(
)
1
1
,
x y
、乙(
)
2
2
,
x
y
、丙(
)
3
3
,
x
y
、丁(
)
4
4
,
x
y
，过乙
点作y 轴平行线交反比例函数于点(
)
2
2
,
x
y ，过丙点作y 轴平行线交反比例函数于点(
)
3
3
,
x y ，然后结合图象
判断即可．
【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴设反比例函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
则甲(
)
1
1
,
x y
、乙(
)
2
2
,
x
y
、丙(
)
3
3
,
x
y
、丁(
)
4
4
,
x
y
，
66 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过乙点作y 轴平行线交反比例函数于点(
)
2
2
,
x
y ，过丙点作y 轴平行线交反比例函数于点(
)
3
3
,
x y ，如图所示：
由图可知
2
2
3
3
y
y
y
y
>
ⅱ
<
,
，
∴甲(
)
1
1
,
x y
、(
)
2
2
,
x
y 、(
)
3
3
,
x y 、丁(
)
4
4
,
x
y
在反比例函数图象上，
根据题意可知xy =合格人数，
∴
1
1
4
4
x y
k
x y
=
=
，即甲、丁两个班级合格人数相同；
2
2
2
2
x y
x y
k
<
¢=
，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少；
3
3
3
3
x y
x y
k
>
¢=
，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多；
综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数= 丁班级合格人数丙班级合格人数，
∴这四个班合格人数最多的是丙．
4．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20 C
匀速升至100 C
，加热时间为10 分钟；然
后自动转为恒温沸腾模式，保持100 C
持续2 分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内
温度y (
)
C
与启动加热后通电时间x (
)
min 成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温
度降至60 C
时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度y (
)
C
与通电时间x (
)
min 的函
数关系图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．启动后5 分钟时，锅内温度为60 C
B．加热阶段，y 与x 的函数关系式为
8
20
y
x
=
+
67 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C．启动后15 分钟时，锅内温度为80 C
D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80 C
的总时长为8 分钟
【答案】D
【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐
一判断各选项即可．
【详解】解：由题意可知，加热阶段图象过点(
)
0,20 和(
)
10,100 ，
设加热阶段函数解析式为y
kx
b
=
+
，
则
20
10
100
b
k
b
=
+
=
，
解得
20
8
b
k
=
=
，
加热阶段解析式为
(
)
8
20 0
10
y
x
x
=
+
，故B 选项说法正确，不符合题意；
当
5
x = 时，
8 5
20
60
y = +
=
，故A 选项说法正确，不符合题意；
恒温阶段时间为10 至12 分钟，温度为100 C
；
降温阶段，y 与x 成反比例，设
m
y
x
=
，断电时刻为第12 分钟，此时温度为100 C
，
图象过点(
)
12,100 ，
∴
12 100
1200
m =
=
，
∴降温阶段解析式为
(
)
1200
12
y
x
x
=
，
当
15
x =
时，则
1200
80
15
y =
=
，故C 选项说法正确，不符合题意；
对于D 选项，求温度不低于80 C
的时长，
在加热阶段，令8
20
80
x +
，解得
7.5
x
，时长为
(
)
10
7.5
2.5 min
−
=
，
在恒温阶段，100
80
，时长为
(
)
12 10
2 min
−
=
；
降温阶段，令1200
80
x
，解得
15
x
，时长为
(
)
15 12
3 min
−
=
，
总时长为
(
)
2.5
2
3
7.5 min
+
+
=
；故D 选项说法错误．符合题意.
5．节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为0.16kW （忽
略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度y （℃）与时间x （min）之间的关系如图所示．通过观察发现：
当内部温度为−5℃时，冰箱运行，当温度下降到−20℃时，停止运行，温度上升到−5℃时，冰箱再次运行，
68 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
如此循环．有以下结论：①当0
15
x
时，
5
y
x
−
=
+ ；②当15
x
t
时，
300
y
x
= −
，③
25
t =
；④如果冰
箱每天耗电量（kW·h）= 耗电功率（kW ）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到1
?h
kW
．其
中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先设y 关于x 的函数表达式为y
mx
n
=
+
，再将点(15, 20),(0, 5)
−
−
代入，并求出解可解答①；然后
将点(15, 20)
−
代入
k
y
x
=
，求出解说明②；将
5
y = −代入②中的关系式解答③； 最后求出每天的耗电量
15
0.16 24 60
=
，比较说明④即可．
【详解】解：设当0
15
x
时，y 关于x 的函数表达式为y
mx
n
=
+
，将点(15, 20),(0, 5)
−
−
代入，得
15
20
5
m
n
n
+
= −
= −
，
解得
1
5
m
n
= −
= −
，
所以当0
15
x
时，y 是x 的一次函数=
5
y
x
−
−
，则①不正确；
当15
x
t
时，y 关于x 的函数关系式为
(
0)
k
y
k
x
=
，
将点(15, 20)
−
代入
k
y
x
=
，得
20 15
300
k = −
= −
，
所以当15
x
t
时，y 是x 的反比例函数
300
y
x
= −
，则②正确；
当
5
y = −时，
300
5
x
−= −
，
解得
60
x =
，
所以
60
t =
，则③不正确；
每天的耗电量
15
0.16 24
0.96
1
60
=
=
，
所以该冰箱每天耗电量低于1 度，则④正确，
所以正确的有2 个．
6．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度(
y 米) 和修建天数(
x 天) 成反比例函数关
69 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
系．若每天修40 米，需要6 天完工；若每天修建30 米，则需要________天完工．
【答案】8
【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比
例函数两变量乘积为定值的性质．
【详解】解 ∵每天修建的长度y 和修建天数x 成反比例函数关系
∴设
(
0)
k
y
k
x
=
，
可得k
xy
=
，其中k 为工程总长度
将
40
y =
，
6
x =
代入式子
得
40 6
240
k =
=
，
即工程总长度为240 （米）
当
30
y =
时，
代入得
240
30
x
=
解得
8
x =
答：需要8天完工．
7．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆
原理”，已知阻力
(
)
1 N
F
和阻力臂
(
)
1 m
L
的函数图象如图，若小明想使动力
2
F 不超过150 N ，则动力臂
2L 至少
需要_______ m ．
【答案】4
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力
(
)
1 N
F
和阻力臂
(
)
1 m
L
的函数关系式，然后根据动力
动力臂= 阻力阻力臂，即可得到动力臂
2L 的最小值．
【详解】解：阻力
(
)
1 N
F
和阻力臂
(
)
1 m
L
的函数关系式为
1
1
k
F
L
=
，
∵点(
)
0.5,1200 在该函数图象上，
70 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
5
1200
0.
k
=
，
解得
600
k =
，
∴阻力
(
)
1 N
F
和阻力臂
(
)
1 m
L
的函数关系式为
1
1
600
F
L
=
，
∴
1 1
600
FL =
，
∵
1
1
2
2
600
F L
F L
=
=
，
∴当
2
150
F =
时，
2
4
L =
，
∴小明想使动力
2
F 不超过150N ，则动力臂
2L 需满足
2
4m
L
，
∴动力臂
2L 至少需要4m ．
8．某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间t（单位：小时）与充电功率P（单位：kW ）
成反比例函数关系，已知用60 kW 功率充电，需2 小时充满；若使用80 kW 的快充桩，充满电需要_______
小时．
【答案】
1.5
【分析】根据t 与P 成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代
入所求充电功率计算得到对应充电时间．
【详解】解：设t 与P 的函数解析式为
(
)
0
k
t
k
P
=
把
60
P =
，
2
t =
代入解析式得，2
60
k
=
解得
120
k =
因此函数解析式为
120
t
P
=
把
80
P =
代入解析式得
120
3
1.5
80
2
t =
=
=
．
9．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它
的纵截面是如图2 所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分
线为y 轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE 和曲线CF 分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的
高度为110m，
20m
BC =
，上口宽
16
EF =
m ，则底部直径AB 的长为____ m ．
71 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】88
【分析】设反比例函数的解析式为
(
0)
k
y
x
x
=
，代入
(
)
8,110
F
得出反比例函数的解析式为：
880 (
0)
y
x
x
=
，
当
20
y =
时得出
44
x =
，得出
(
)
44,20
C
，得出
44
OB
m
=
，由对称的性质，得
44
OA
OB
m
=
=
，进而求得AB
的长．
【详解】根据题意可知，
(
)
8,110
F
．
设反比例函数的解析式为
(
0)
k
y
x
x
=
将点
(
)
8,110
F
代入，得
8 110
880
k =
=
．
反比例函数的解析式为：
880 (
0)
y
x
x
=
∵
20
BC =
m ，
∴当
20
y =
时，880
20
x =
．
解得
44
x =
．经检验，
44
x =
是分式方程的解．
∴
(
)
44,20
C
．
∴
44
OB
m
=
．
由对称的性质，得
44
OA
OB
m
=
=
．
∴
( )
44
44
88
AB
OA
OB
m
=
+
=
+
=
10．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力F（单位：kN ）与速度v（单位：m/ s ）
满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为3 m / s ，牵引力
20kN
F =
．为
保证耕地的效果，牵引力F 不能低于40 kN ，则拖拉机速度v （单位：m/ s ）的最大值为_______．
72 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】1.5
【分析】因为牵引力F 和速度v 是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式
k
F
v
=
，其中k 为常数
且
0
k
，把已知的
3
v = 、
20
F =
代入反比例函数表达式，求出k 的值，确定F 与v 的函数解析式，因为要
求
40
F
，所以将
40
F =
代入已得到的函数解析式，求解对应的v 值，结合反比例函数的增减性，得到v
的最大值．
【详解】∵牵引力F 和速度v 是反比例函数关系，
∴设
P
F
v
=
，
将
3
v = ，
20
F =
代入解析式，得
20 3
60
P
Fv
=
=
=
，
∴函数关系式为
60
F
v
=
，
当
40
F
时，代入得60
40
v
，
∵
0
v
，
解得
1.5
v
，
∴拖拉机速度v 的最大值为1.5m/s．
11．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内
抗体浓度y（微克/ml ）与注射时间x 天之间的函数关系如图所示（当
20
x
时，y 与x 是正比例函数关系；
当
20
x
时，y 与x 是反比例函数关系）．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当
20
x
时，体内抗体浓度不高于140 微克/ml 时是从注射药物第多少天开始？
【答案】(1)
(
)
14 ,0
20
5600
20
y
x
x
y
x
x
=
=
(2)40
小学
初中
73 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（2）结合所求解析式，把
140
y =
代入求出答案．
【详解】（1）解：设0
20
x
时，y 与x 之间的函数关系式是y
mx
=
，
图象过(20,280)，则20
280
m =
，解得
14
m =
，
所以
14
y
x
=
，
当
20
x
时，y 与x 之间的函数关系式是
k
y
x
=
，
图象过(20,280)，则
280
20
k =
，解得
5600
k =
，
综上，y 与x 之间的函数关系式是
(
)
14 ,0
20
5600
20
y
x
x
y
x
x
=
=
；
（2）当
20
x
时，
5600
140
x
=
，解得：
40
=
x
，
体内抗体浓度不高于140 微克/ml 是从注射药物第40 天开始．
12．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O 处并将其吊起来，在点O 右侧的秤钩上挂一
个物体，在点O 左侧的秤杆上有一个动点A（OA最长为80 厘米），在点A 处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆
处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所
示．
x
10
20
30
40
50
y
24
12
8
6
4.8
(1)由表格中数据判断y 与x 之间是什么函数，并求y 关于x 的函数表达式；
(2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为
2
y =
，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由．
【答案】(1)反比例函数，
240
y
x
=
；
(2)解：将
2
y =
代入
240
y
x
=
中，得
240
2
x
=
，
74 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
120
x =
．
∵
80
x
，
∴y 不可能等于2．
【分析】（1）根据表格数据可知xy为定值，得出y 与x 之间是反比例函数，再将一组数据代入
k
y
x
=
即可求
解；
（2）将
2
y =
代入（1）中解析式，求出对应的x 的值，即可判断．
【详解】（1）解：观察表格数据可得：10 24
20 12
30 8
40 6
50 4.8
240
=
=
=
=
=
，即xy 为定值，
因此y 与x 之间是反比例函数．
设函数表达式为
k
y
x
=
，
将(
)
10,24 代入上式，得24
10
k
=
，
解得
240
k =
，
∴y 关于x 的函数表达式为
240
y
x
=
；
（2）略．
13．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流I（单位：A）
与电阻R （单位：Ω ）是反比例函数关系，当
3Ω
R =
时，
8A
I =
．
(1)写出I 关于R 的函数解析式；
(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
/ Ω
R
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
75 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
/ A
I
…
…
(3)当电流超过10A 时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？
【答案】(1)
24 (
0)
I
R
R
=
(2)完成表格如下：
/
R
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
/ A
I
…
8
6
4.8
4
3
8
3
2.4
2
…
函数的图象为：
(3)不低于2.4
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函
数的图象；
（3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵电流I 是电阻R 的反比例函数，
∴设
k
I
R
=
，
∵
3
R = 时，
8A
I =
，
∴8
3
k
=
，
解得
24
k =
，
76 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
24 (
0)
I
R
R
=
；
（2）略
（3）解：∵
10
I
，
24 (
0)
I
R
R
=
，
∴24
10
R
，
∴
2.4
R
，
∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于2.4的范围内．
14．为了预防“甲型
1
1
H N ”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气
中的含药量(
)
mg
y
与时间(
)
min
x
成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃
毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，求y 关于x 的函数关系式？自变量x 的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x 的函数关系式？
自变量x 的取值范围是什么？
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几
分钟后，学生才能进入教室？
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为
(
)
3
0
8
4
y
x
x
=
；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为
48(
8)
y
x
x
=
(2)30 分钟
(3)有效，理由如下：
把
3
y =
代入
3
4
y
x
=
，
解得：
4
x = ，
77 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
把
3
y =
代入
48
y
x
=
，
解得：
16
x =
，
∵16
4
12
10
−
=
，
∴这次消毒是有效的．
【分析】（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式
1
y
k x
=
，把点(
)
8,6 代入即可，从图上读出x 的取值范
围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式
2k
y
x
=
，把点(
)
8,6 代入即可；
（2）把
1.6
y =
代入反比例函数解析式，求出相应的x 即可；
（3）把
3
y =
代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10 进行比较，大于
等于10 就有效．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y 与x 之间的解析式为
1
y
k x
=
，
把点(
)
8,6 代入
1
y
k x
=
，
得
1
6
8k
=
解得：
1
3
4
k =
，
设药物燃烧后y 与x 之间的解析式为
2k
y
x
=
，
把点(
)
8,6 代入
2k
y
x
=
，
得
2
6
8
k
=
，
解得：
2
48
k =
，
故药物燃烧时y 与x 的函数关系式为
(
)
3
0
8
4
y
x
x
=
；
药物燃烧后y 与x 的函数关系式为
(
)
48
8
y
x
x
=
．
（2）解：把
1.6
y =
，代入
48
y
x
=
，得
30
x =
；
∵
48
0
k =
，
∴y 随x 的增大而减小，
当
1.6
y
时，
30
x
，
即从消毒开始，至少需要30 分钟后学生才能进入教室．
（3）略
78 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
15．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即
1
1
2
2
F
L
F
L
=
．小明利用杠杆原理制
作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．
【方案设计】第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端A
处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定；
第二步：取一个质量为1kg 的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计）
任务一：在图2 中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当
重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为kg
x
，OB 的长为cm
y
．
(1) y 关于x 的函数关系式是________；
(2)若0
40
y
，则x 的取值范围是________．
任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B 处，使秤杆平衡．设
重物的质量为kg
x
，OB 的长为cm
y
，完成下列问题：
(3) y 关于x 的函数关系式是________；
(4)完成下表：
/ kg
x
…
0.5
1
2
4
…
/cm
y
…
________
________
________
________
…
任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点Q ．现有重物约16kg ，可选用支点O，Q 和秤砣M
（1kg ）、N （2kg ）进行称量．
(5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为16 kg ．
【答案】(1)
10
y
x
=
；
(2)0
4
x
；
(3)
10
y
x
=
；
(4)见解析；
(5)选择支点Q 和秤砣
(
)
2kg
N
来秤重物，当秤砣移动到离支点Q 的距离为40cm 处时，秤杆平衡说明重物正
好为16kg ，如果不平衡说明重物不是16kg
79 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据
1
1
2
2
F
L
F
L
=
即可求出关系式；
（2）根据y 的范围即可求得x 的范围；
（3）根据
1
1
2
2
F
L
F
L
=
即可求出关系式；
（4）将x 的值分别代入
10
y
x
=
求解即可；
（5）根据题意分别选择支点O 和Q 计算，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵
1
1
2
2
F
L
F
L
=
∴
10
y
x
=
；
（2）解：∵0
40
y
∴0
10
40
x
∴0
4
x
；
（3）解：∵
1
1
2
2
F
L
F
L
=
∴
10
xy =
∴
10
y
x
=
；
（4）解：根据题意得，
/kg
x
…
0.25
0.5
1
2
4
…
/cm
y
…
40
20
10
5
2.5
…
（5）解：如图所示，
由题意知，
10cm
AO =
，
5cm
AQ =
，
如果用支点O，则16 10
2 OB
=
，
80
OB
=
（cm），不合题意，舍去；
如果用支点Q，则16 5
2
BQ
=
，
40
BQ
=
，
80 / 80
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
选择支点Q 和秤砣
(
)
2kg
N
来称重物，当秤砣移动到离支点Q 的距离为40cm 处时，秤杆平衡说明重物正
好为16kg ，如果不平衡说明重物不是16kg ．
