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专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二
类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
题型二、全等三角形之倍长中线模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【截长补短模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等。
【倍长中线模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。 结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
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2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
典例1 （25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，AD
BC
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
、BCD
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD = ，
2
BC =
，求CD的长．
题型模版
1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。
2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转化证
明。
变式1-1（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，
可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系
问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，
在四边形ABCD中，AB
AD
=
，E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
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(1)如图①，若
90
ABC
ADC
=
=
，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
=
，试探究线
段EF ，BE，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
+
=
，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，请探究
EAF
与
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
变式1-2（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
+
=
，E 、
F 分别是边BC 、CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当
90
B
ADC
=
=
时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
请你在图1 中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明ABE
≌_____；再证明了
AEF≌
△
_____，即可得出BE，EF ，FD之间的数量关
系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当
180
B
ADC
+
=
时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你
的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF ，BE，FD之间
的数量关系为_____．（不用证明）
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题型二、全等三角形之倍长中线模型
典例2 （25-26 七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
=
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，AD是ABC
的中线，BE交AC 于E，交AD于F，AE
EF
=
．若
6
EF =
，
4
EC =
，求线段BF
的长．
题型模版
1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。
2.方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。
变式2-1（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，AD是ABC
的中线，
8,
5
AB
AC
=
=
，求AD的取值范围．
我们可以延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE，根据SAS可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
=
．接下
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来，在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述
思路，写出求解AD的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，ABC
中，AD是中线，分别以
,
AB AC 为腰向外作等腰Rt ABE
和等腰Rt ACF
，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
=
=
=
=
，连接EF ．求证：
2
EF
AD
=
；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点
,
180
E
BAC
BAD
+
=
，点F 是BC
的中点，
CEF
ADB
=
，当
6
EF =
时，求BD的长．
变式2-2（25-26 七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
【阅读材料】已知：如图，ABC
（AB
AC
）中，D、E 在BC 上，且DE
EC
=
，过D 作DF
BA
∥
交AE 于
点F，DF
AC
=
．求证：AE 平分
BAC
．
结合此题，DE
EC
=
，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转
移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC
中，AD是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，
90
BAE
CAF
=
=
，AE
AB
=
，AC
AF
=
，证明：
⊥
AD
EF ；
(3) ABC
与AEF
面积之间的关系，并说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（2026·江苏无锡·一模）已知ABC
中，
6
AB =
，
7
AC =
，则中线AD的长可以是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC
中，
8
AB =
，
14
AC =
，
30
C
=
，P 是BC 上的任意
一点，连接AP ，将AP 绕点A按顺时针方向旋转至AQ ，使
PAQ
BAC
=
，连接BQ ，则线段BQ 长度的
最小值为（ ）
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A．2
B．3
C．4 3
3
D．4
3．
（25-26 七年级下·重庆奉节·期末）如图，在ABC
中，点D 为AC 的中点，点E 是AC 下方一点，连接BE，
CE ．BD平分
ABE
，CE
AB
．若
3
CE =
，
8
BE = ，则AB 的长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
二、填空题
4．
（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC
中，
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD
至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ．依据小明的方法，可求得AD的取值范围是____________．
5．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
⊥
，
CM
CA
=
，连接BM 交CD于点N ，若
15
BD =
，
7
AD = ，则CN =____________．
6．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，连接CE
交AD于点F ，连接BD交CE 于点G ，连接BE，CD，点H 是CD的中点，延长HA交BE于点K ，下列结
论：①CE
BD
=
；②
ADC
是等腰直角三角形；③
ADB
AEB
=
；④
2
BE
AH
=
；⑤HK
BE
⊥
；其中正
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确的是______．（填序号）
三、解答题
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题：
(1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
ADC
=
=
，点E 、F 分别在边BC 、CD上，
连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，试说明：
2
BAD
EAF
=
；
(2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
，点E 在CB 的延长线上，
点F 在CD的延长线上，连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长DC 至点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
请探究
BAD
与
EAF
之间的数量关系，并说明理由．
8．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，
5
3
AB
AC
=
=
，
，中线AD的取值范围是多少？
【探究方法】
（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD到E ， 使得DE
AD
=
； ②连接BE， 通过三角形全等把AB 、AC 、2AD转化在ABE
中； ③
利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
−
+
， 从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2） 如图②，OA
OB
OC
OD
=
=
，
，
AOB
与
COD
互补， 连接AC ， BD， E 是AC 的中点，求证：
1
;
2
OE
BD
=
（3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若
90
AOB
=
， 延长EO交BD于点F ，
2
5
OF
OE
=
=
，
，求AOC
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的面积．
9．（25-26 八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题：
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
D
=
=
，E，F 分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系：______；
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD所在直线上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系： ．
10．（25-26 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ABC
中，若
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2 ，延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE．请
根据小明的方法思考并解答：
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（1）①由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是 ；
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ；
【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【类比运用】
（2 ）如图3，E 是BC 中点，点A在DE 上，且
BAE
CDE
=
，求证：AB
CD
=
；
【拓展运用】
（3）如图4 ，已知直线
//
m n ，点A、D 是直线m 上两点，点B 、C 是直线n 上两点，点P 是线段CD中点，
且AP
BP
⊥
，两平行线m 、n 间的距离为4 ．求证：
·
2
PAPB
AB
=
．
