专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形之一线三等角模型（难）
题型2 全等三角形之倍长中线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角（“K型图”）
钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角
钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
1．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系．
(1)如图（a），
90
MAN
° ，射线AE 在这个角的内部，点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，且
AB
AC
，CF
AE
^
，垂足为F ，BD
AE
^
，垂足为D ，ABD
与CAF
全等吗？请说明理由；
(2)如图（b），点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，点E ，F 都在
MAN
内部的射线AD 上．已知
AB
AC
，且1
2
BAC
，ABE
与CAF
全等吗？请说明理由．
【答案】(1)
ABD
CAF
≌
△
△
理由：
BD
AE
^
Q
，CF
AE
^
，
90
ADB
CFA
\
° ．
90
BAD
ABD
\
° ．
90
MAN
°
Q
，
90
BAD
CAF
\
°．
ABD
CAF
\
．
Q在ABD
与CAF
中，
ADB
CFA
ABD
CAF
AB
AC
ì
ï
í
ï
î
，
AAS
ABD
CAF
\
≌
．
(2)
△
≌△
ABE
CAF 理由：
Q在ABE
中，
180
BAE
ABE
AEB
°，
1
180
AEB
°，
1
BAE
ABE
\
．
BAC
BAE
FAC
Q
，
1
BAC
，
ABE
FAC
\
．
同理可得
BAE
ACF
．
Q在ABE
与CAF
中，
ABE
FAC
BAE
ACF
AB
AC
ì
ï
í
ï
î
，
ABE
CAF ASA
\
≌
．
【分析】（1）由同角的余角相等得出
ABD
CAF
，再利用AAS即可证明
ABD
CAF
≌
△
△
；
（2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出
ABE
FAC
，同理可得
BAE
ACF
，
再利用ASA 证明△
≌△
ABE
CAF 即可．
【详解】（1）略；
（2）略．
2．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角ABC
中，
90
ACB
°，CA
CB
，直线l 经过点C，过点A 作AD
l
^ 于点D，过点
B 作BE
l
^ 于点E，求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)在等腰直角ABC
中，
90
ACB
°，CA
CB
，点D 是直线AB 上一动点，分别过点
,
A B 作直线CD 的垂
线，垂足分别为点
,
E F ；
①如图2，点D 在线段AB 上，
AEC
△
与CFB
是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段AB 延长线上，若
1
BF ，
3
AE
，请直接写出线段EF 的长．
【答案】(1)证明：∵AD
l
^ ，BE
l
^ ，
∴
90
ADC
BEC
°，
又
90
ACB
°，
∴
90
ACD
CBE
BCE
°-
，
在ADC
和CEB
中，
90
ACD
CBE
ADC
BEC
CA
CB
ì
ï
°
í
ï
î
，
∴
AAS
ADC
CEB
≌
△
△
．
(2)①
AEC
CFB
△
≌△
；
理由：∵AE
CD
^
，BF
CD
^
，
∴
90
E
BFC
° ，
又
90
ACB
°，
∴
90
ACE
CBF
BCF
°-
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
ì
ï
°
í
ï
î
，
∴
AAS
AEC
CFB
△
≌△
．
②4
【分析】（1）利用同角的余角相等证得
ACD
CBE
，证明△
≌△
ADC
CEB 即可；
（2）①利用同角的余角相等证得
ACE
CBF
，根据AAS证明
AEC
CFB
△
≌△
；②利用同角的余角相等
证得
ACE
CBF
，根据AAS证明
AEC
CFB
△
≌△
，再利用等量代换即可．
【详解】（1）解：略
（2）解：①略
②∵AE
CD
^
，BF
CD
^
，
∴
90
E
BFC
° ，
又
90
ACB
°，
∴
90
ACE
CBF
BCF
°-
，
在
AEC
△
和CFB
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
ì
ï
°
í
ï
î
，
∴
AAS
AEC
CFB
≌
，
∴
1,
3
CE
BF
AE
CF
，
∴
3 1
4
EF
CF
CE
．
3．（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践：
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
AB
AC
°
，
，直线l 经过点A，分别从点B，C 向直线l 作垂线，垂足分
别为D，E．求证：
ABD
CAE
≌
△
△
；
【变式探究】
(2)如图2，在ABC
中，AB
AC
，直线l 经过点A，点D，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
，猜想DE
BD
CE
，
，
有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB
AC
，
为一边向外
作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
°，AB
AD
AC
AE
，
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE
于点H，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1
2
S
S
，
大小关系，并说明理由．
【答案】(1)∵BD
l
^ ，CE
l
^ ，
∴
90
ADB
CEA
°，
∴
90
DBA
DAB
° ，
又∵
90
BAC
° ，
∴
90
DAB
CAE
° ，
∴
DBA
CAE
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
ì
ï
í
ï
î
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS）．
(2) DE
BD
CE
．理由如下：
∵
CEA
ADB
BAC
，且
180
DBA
ADB
BAD
°
，
180
BAD
BAC
CAE
° ，
∴
DBA
CAE
．
在ABD
和CAE
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
ì
ï
í
ï
î
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS），
∴BD
AE
，AD
CE
，
∴DE
AD
AE
CE
BD
，
即DE
BD
CE
．
(3)
1
2
S
S
，理由如下：
过点D 作DM
GH
^
延长线于M ，过点E 作EN
GH
^
于N ，则
90
M
ANE
°．
∵AG 是BC 边上的高，
∴
90
AGB
° ，
∴
90
BAG
ABG
°，
∵
90
BAD
° ，
∴
90
DAM
BAG
°，
∴
DAM
ABG
．
在
ADM
△
和
BAG
△
中，
M
BGA
DAM
ABG
AD
AB
ì
ï
í
ï
î
，
∴
ADM
BAG
≌
△
△
（AAS），
∴DM
AG
=
．
同理可证：
AEN
CAG
≌
△
△
（AAS），
得EN
AG
，
∴DM
EN
．
∵ADH
的面积
1
1
2
S
AH DM
×
×
，AEH
的面积
2
1
2
S
AH EN
×
×
，
∴
1
2
S
S
=
．
【分析】（1）先根据垂直定义得
90
ADB
CEA
°，因为
90
BAC
° ，所以可推出
BAD
与
ACE
互余，
进而得
BAD
ACE
，结合AB
AC
，用AAS 判定三角形全等．
（2）根据
CEA
ADB
BAC
，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合AB
AC
，
用AAS 证
ABD
CAE
≌
△
△
，再根据线段和差关系推导DE
BD
CE
、
、
的数量关系．
（3）分别过D、E 作GH 的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证ADM
BAG
≌
、AEN
CAG
≌
，
得到DM
AG
EN
AG
、
，进而得DM
EN
，根据同底等高三角形面积相等判断
1S 与
2
S 的关系．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
◆题型2 全等三角形之倍长中线模型
【常见模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。
结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
4．（25-26 七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
中，若
10
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，AD 是ABC
的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，AE
EF
．若
6
EF
，
4
EC
，求线段BF
的长．
【答案】(1)B
(2) 2
8
AD
<
<
(3)
10
BF
【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长AD 到M，使AD
DM
，连接BM ，由SAS 证得
ADC
MDB
△
△
≌
，根据全等三角形的性质即可
得出答案．
【详解】（1）解：∵AD 是BC 边上的中线，
∴CD
BD
，
在ADC
和EDB
中，
CD
BD
CDA
BDE
AD
DE
ì
ï
í
ï
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
EDB
≌
；
（2）解：∵AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
，即10
6
10
6
AE
-
<
<
，
∴4
16
AE
<
<
，
∵
1
2
AD
AE
，
∴2
8
AD
<
<
；
（3）解：延长AD 到M，使AD
DM
，连接BM ，如图2 所示：
∵AE
EF
，
6
EF
，
∴
6
4
10
AC
AE
EC
，
∵AD 是ABC
的中线，
∴CD
BD
，
∵在ADC
和MDB
中，
CD
BD
ADC
MDB
AD
DM
ì
ï
í
ï
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
MDB
≌
，
∴BM
AC
，
CAD
M
，
∵AE
EF
，
∴
CAD
AFE
，
∵
AFE
BFD
，
∴
BFD
CAD
M
，
∴BF
BM
AC
，
即
10
BF
．
5．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，AD 是ABC
的中线，
8,
5
AB
AC
，求AD 的取值范围．
我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下
来，在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围．请按照上述
思路，写出求解AD 的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，ABC
中，AD 是中线，分别以
,
AB AC 为腰向外作等腰Rt ABE
和等腰Rt ACF
，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
° ，连接EF ．求证：
2
EF
AD
；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD 中，对角线
,
AC BD 相交于点
,
180
E
BAC
BAD
° ，点F 是BC
的中点，
CEF
ADB
，当
6
EF
时，求BD 的长．
【答案】(1)
解：如图，延长AD 到点E ，使DE
AD
，连接BE ，
AD
Q
是ABC
的中线，
,
CD
BD
\
,
ADC
EDB
Q
DE
AD
，
(SAS),
ADC
EDB
\
≌
5,
BE
AC
\
,
8,
AB
BE
AE
AB
BE AB
-
<
<
Q
8
5
8
5,
AE
\ -
<
<
3
13,
AE
\ <
<
,
DE
AD
Q
2
,
AE
AD
\
3
2
13,
AD
\ <
<
解得：3
13,
2
2
AD
<
<
即AD 的取值范围为：3
13
2
2
AD
<
<
；
(2)
证明：如图2，延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，
D
Q
为BC 的中点，
,
CD
BD
\
,
ADC
GDB
Q
DG
AD
，
(SAS),
ADC
GDB
\
≌
,
,
C
GBD AC
BG
\
,
AC
BG
\
∥
180
ABG
BAC
\
° ，
,
AC
AF
Q
,
BG
AF
\
90 ,
BAE
CAF
°
Q
180
EAF
BAC
\
°，
,
ABG
EAF
\
在EAF
和ABG
中，
EA
AB
EAF
ABG
AF
BG
ì
ï
í
ï
î
(
),
EAF
ABG SAS
\
≌
,
AG
EF
\
2
;
EF
AD
\
(3)
12
BD
【分析】（1）先推导出
(SAS),
ADC
EDB
≌
得到
5,
BE
AC
再根据三角形的三边关系，得到
,
AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
求出3
13,
AE
<
<
则3
2
13,
AD
<
<
解得3
13,
2
2
AD
<
<
即可解答；
（2）延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，推导出
(SAS),
ADC
GDB
≌
得到
,
,
C
GBD AC
BG
推导出
,
BG
AF
,
ABG
EAF
证明
(SAS),
EAF
ABG
≌
得到
2
EF
AG
AD
\
，即
可解答；
（3）延长EF 到G ，使得EF
FG
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
，连接BH ，推导出
(SAS),
BEF
CGF
≌
得到
,
,
BE
CG
G
BEF
继而证明
(SAS),
BAH
BAD
≌
得到
,
,
BH
BD
H
ADB
推导出
,
H
CEF
证明出
(AAS),
HBE
EGC
≌
可求出
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
´
即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图3，延长EF 到G ，使得EF
FG
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
，连接BH ，
F
Q
是BC 的中点，
,
CF
BF
\
,
EFB
CFG
Q
EF
FG
，
(
),
BEF
CGF SAS
\
≌
,
,
BE
CG
G
BEF
\
,
CG
BE
\
P
,
BEH
GCE
\
180 ,
180 ,
BAC
BAH
BAC
BAD
°
°
Q
,
BAH
BAD
\
在BAH
和BAD
中，
AB
AB
BAH
BAD
AH
AD
ì
ï
í
ï
î
(
),
BAH
BAD SAS
\
≌
,
,
BH
BD
H
ADB
\
,
ADB
CEF
Q
,
H
CEF
\
又∵
,
BAH
BAD
,
BE
CG
(
),
HBE
EGC AAS
\
≌
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
\
´
即
12
BD
．
6．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
【阅读材料】已知：如图，ABC
（AB
AC
¹
）中，D、E 在BC 上，且DE
EC
，过D 作DF
BA
∥
交AE
于点F，DF
AC
．求证：AE 平分
BAC
．
结合此题，DE
EC
，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转
移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE ，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，
90
BAE
CAF
° ，AE
AB
，AC
AF
，证明：
^
AD
EF ；
(3) ABC
与AEF
面积之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE 至点G ，使GE
FE
，连接CG ，
在
DFE
△
和CGE
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
ì
ï
í
ï
î
，
SAS
DFE
CGE
\
≌
，
DF
CG
\
，
DFE
G
，
DF
AC
Q
，
CG
AC
\
，
CAG
G
\
，
DF
AB
Q
∥
，
BAE
DFE
\
，
BAE
CAG
\
，
AE
\
平分
BAC
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
ì
ï
í
ï
î
，
SAS
ACE
GDE
\
≌
，
AC
DG
\
，
CAE
G
，
DF
AC
Q
，
DG
DF
\
，
DFG
G
\
，
DF
AB
Q
∥
，
DFG
BAE
\
，
BAE
CAE
\
，
AE
\
平分
BAC
；
(2)如图，延长AD 至点G ，使GD
AD
，连接BG ，
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
，
在ACD
和GBD
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
ì
ï
í
ï
î
，
SAS
ACD
GBD
\
≌
，
BG
AC
\
，
ACD
GBD
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
°，
AC
AF
Q
，
BG
AF
\
，
90
BAE
CAF
°
Q
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
\
° -
-
-
° -
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
° -
Q
，
EAF
ABG
\
，
在AEF
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
ì
ï
í
ï
î
，
SAS
AEF
BAG
\
≌
，
∴
AEF
BAG
，
设AD 与EF 交于点H，
∵
90
BAE
° ，
∴
90
BAG
EAH
°，
又∵
AEF
BAG
，
∴
90
AEF
EAH
° ，
∴
90
AHE
°，
即
^
AD
EF ．
(3) ABC
与AEF
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
≌
，
∴
ACD
GBD
S
S
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
，
∴
ABC
ABG
S
S
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
，
∴
AEF
ABC
S
S
．
【分析】（1）方法①：延长FE 至点G ，使GE
FE
，连接CG ，证明
SAS
DFE
CGE
≌
，得到
DF
CG
，
DFE
G
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
，即可证明；方
法②：延长AE 至点G ，使GE
AE
，连接DG ，证明
SAS
ACE
GDE
≌
，得到AC
DG
，
CAE
G
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
，即可证明；
（2）延长AD 至点G ，使GD
AD
，连接BG ，证明
SAS
ACD
GBD
≌
，得到BG
AC
，
ACD
GBD
，进而推出BG
AF
，
EAF
ABG
，再证明
SAS
AEF
BAG
≌
，即可得出
AEF
BAG
，设AD 与EF 交于点H，由
90
BAE
° ，即可得出
90
BAG
EAH
°，等量代换可得出
90
AEF
EAH
° ，由三角形内角和定理即可得出
90
AHE
°．
【详解】（1）证明：略；
（2）证明：略；
（3）解：略；
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·江苏无锡·一模）已知ABC
中，
6
AB
，
7
AC
，则中线AD 的长可以是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中
线AD 的取值范围，即可选出正确答案．
【详解】解：延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE
∵AD 是ABC
的中线，
∴BD
CD
，
又∵
ADC
EDB
，AD
DE
，
∴
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
7
BE
AC
∵
2
AE
AD
DE
AD
，
在ABE
中，由三角形三边关系得BE
AB
AE
AB
BE
-
<
<
，
代入
6
AB
，
7
BE
得：
7
6
2
6
7
AD
-
<
<
，
即1
2
13
AD
<
<
，
∴0.5
6.5
AD
<
<
．
只有选项A 的6 在该范围内．
2．
（2026·重庆·模拟预测）如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
°
^
^
，
，
，
，
，
，则BD
等于（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
【答案】C
【分析】证出
BAC
DCE
，根据AAS证明BAC
DCE
≌
，得出CD
AB
，BC
DE
，从而可求出BD ．
【详解】解：∵
90
ACE
AB
BD
ED
BD
°
^
^
，
，
，
∴
90
B
D
° ，
∴
90 ,
90
BAC
ACB
ACB
DCE
°
°，
∴
BAC
DCE
，
又AC
CE
，
∴
AAS
BAC
DCE
≌
，
∴
9cm
3cm
CD
AB
BC
DE
，
，
∴
3
9
12cm
BD
BC
CD
．
3．（25-26 七年级下·重庆奉节·期末）如图，在ABC
中，点D 为AC 的中点，点E 是AC 下方一点，连接
BE ，CE ．BD 平分
ABE
，CE
AB
P
．若
3
CE
，
8
BE ，则AB 的长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】连接ED 并延长，交AB 于点F ，利用ASA证明
ADF
CDE
△
≌△
，得出
3
AF
CE
，DF
DE
，
再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明
8
BF
BE
，最后由AB
AF
BF
求解．
【详解】解：连接ED 并延长，交AB 于点F ，
∵CE
AB
P
，
∴
A
DCE
，
∵点D 为AC 的中点，
∴AD
CD
，
在ADF
和
CDE
△
中，
A
DCE
AD
CD
ADF
CDE
ì
ï
í
ï
î
，
∴
ASA
ADF
CDE
≌
，
∴
3
AF
CE
，DF
DE
，
延长BD 至点G ，使DG
BD
，连接EG ，
在BDF
和
GDE
△
中，
BD
GD
BDF
GDE
DF
DE
ì
ï
í
ï
î
，
∴
SAS
BDF
GDE
≌
，
∴BF
GE
，
FBD
G
，
∵BD 平分
ABE
，
∴
FBD
EBD
，
∴
G
EBD
，
∴BE
GE
，
8
BF
BE
，
∴
3 8
11
AB
AF
BF
．
二、填空题
4．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC
中，
8
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接CE ．依据小明的方法，可求得AD 的取值范围是____________．
【答案】1
7
AD
<
<
【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接
CE ，根据SAS 证明ABD
ECD
≌
，即可得到
8
AB
CE
，然后根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接CE ，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD
DC
，
又∵
ADB
EDC
，
∴
SAS
ABD
ECD
≌
，
∴
8
AB
CE
，
∴CE
AC
AE
AC
CE
-
<
<
，
即2
14
AE
<
<
，
∴1
7
AD
<
<
，
5．
（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在ABC
中，
90
ABC
°，BE
AC
^
于点F ，
2
EF
BF
，ED
BC
^
交BC 的延长线于点D ，AB
BD
．若
2cm
BF
，则AC ______ cm ．
【答案】6
【分析】利用ASA 证明DBE
BAC
≌
，得到BE
AC
，据此计算即可求得答案．
【详解】解：∵
90
ABC
°，BE
AC
^
，ED
BC
^
，
∴
90
ABC
BFC
D
°
，
∴
90
DBE
BCA
A
°-
，
∵AB
BD
，
∴
ASA
DBE
BAC
≌
，
∴BE
AC
，
∵
2
EF
BF
，
2cm
BF
，
∴
2
4cm
EF
BF
，
∵
2
4
6cm
BE
，
∴
6cm
AC
．
6．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
°，连接CE
交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ，CD，点H 是CD的中点，延长HA 交BE 于点K ，下列结
论：①CE
BD
；②
ADC
是等腰直角三角形；③
ADB
AEB
；④
2
BE
AH
；⑤HK
BE
^
；其中正
确的是______．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌
握倍长中线辅助线做法是解题的关键．
①由ABC
和ADE
都是等腰直角三角形得AB
AC
，AD
AE
，
90
BAC
DAE
°，进而得
BAD
CAE
，可证
SAS
BAD
CAE
≌
，即可得BD
CE
，故结论①正确；
②题目中没有给出证AD
AC
的条件，故结论②错误；
③点E 的位置不一定使得
AEC
AEB
，故结论③错误；
④延长AH 到M ，使HM
AH
，连接DM ，可证
SAS
AHC
MHD
≌
，可得AC
MD
，
HAC
HMD
，AH
MH
，进而得AC
MD
P
，AB
AC
MD
，
2
AM
AH
，得
180
CAD
ADM
°，由
180
BAE
CAD
° 得
BAE
ADM
，可证
SAS
BAE
MDA
≌
，得BE
AM
，
等量代换即可得
2
BE
AH
，故结论④正确；
⑤由BAE
MDA
≌
，得
ABE
DMA
，而
DMA
HAC
，由
180
90
HAC
BAK
BAC
°-
° ，得
90
ABE
BAK
°，可得
90
AKB
°，即HK
BE
^
，故结论⑤正确．
【详解】解：∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
，AD
AE
，
90
BAC
DAE
°，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
，
即
BAD
CAE
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
ì
ï
í
ï
î
，
∴
SAS
BAD
CAE
≌
，
∴ BD
CE
，
∴结论①正确；
∵题目中没有给出AD
AC
的条件，只有ABC
和ADE
是等腰直角三角形，即 AB
AC
，AD
AE
，
∴AD 和AC 不一定相等，
∴ADC
不一定是等腰直角三角形，
∴结论②错误；
∵点E 的位置不一定使得
AEC
AEB
，
∴结论③错误；
如图，延长AH 到M ，使HM
AH
，连接DM ，
∵H 是CD 的中点，
∴CH
DH
，
在AHC
和MHD
中，
AH
MH
AHC
MHD
CH
DH
ì
ï
í
ï
î
，
∴
SAS
AHC
MHD
≌
，
∴ AC
MD
，
HAC
HMD
，AH
MH
，
∴AC
MD
P
，AB
AC
MD
，
2
AM
AH
，
∴
180
CAD
ADM
°，
∵
90
BAC
DAE
°，
∴
360
90
90
180
BAE
CAD
°-
°-
°
° ，
∴
BAE
ADM
，
在BAE
和MDA
中，
AB
MD
BAE
ADM
AE
AD
ì
ï
í
ï
î
，
∴
SAS
BAE
MDA
≌
，
∴BE
AM
，
∴
2
BE
AH
，
∴结论④正确；
∵BAE
MDA
≌
，
∴
ABE
DMA
，
∵
HAC
DMA
，
∴
HAC
DMA
，
∵
180
90
HAC
BAK
BAC
°-
° ，
∴
90
ABE
BAK
°，
∴
90
AKB
°，
∴ HK
BE
^
，
∴结论⑤正确．
综上，正确的是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
三、解答题
7．
（25-26 八年级上·山东日照·阶段检测）
（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，
90 ,
,
BAD
AB
AD BC
CA
°
^
于点C，DE
AE
^
于点E．求证：BC
AE
．
（2）如图2，EA
AB
^
且
,
AE
AB BC
CD
^
且BC
CD
，计算图中实线所围成的图形ABCDE 的面积．
（3）如图3，
90 ,
,
BAD
CAE
AB
AD AC
AE
°
，连接BC 、DE ，且BC
AF
^
于点F，DE 与AF 交
于点G，若
21,
12
BC
AF
，求
ADG
△
的面积．
【答案】
（1）证明：∵
90
BAD
°
∴
90
BAC
DAE
°，
∵BC
AC
^
，DE
AC
^
，
∴
90
ACB
DEA
°，
∴
90
BAC
ABC
° ，
∴
ABC
DAE
，
在ABC
和DAE
中，
ABC
DAE
ACB
DEA
BA
AD
ì
ï
í
ï
î
，
∴
AAS
ABC
DAE
≌
，
∴BC
AE
；
（2）50；
（3）63
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是
解题的关键．
（1）证明
AAS
ABC
DAE
≌
，根据全等三角形的对应边相等得到BC
AE
；
（2）根据全等三角形的性质得到
3
AP
BG
，
6
AG
EP
，
4
CG
DH
，
3
CH
BG
，根据梯形和三
角形的面积公式计算，得到答案；
（3）过点D 作DP
AG
^
于P ，过点E 作EQ
AG
^
交AG 的延长线于Q ，推导出DP
EQ
，
90
DPG
EQG
°，即可证明
AAS
DPG
EQG
≌
，得到PG
GQ
，再根据全等三角形的性质推导出
2
21
BC
BF
FC
AP
AQ
AP
PG
进而求出AG ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】证明：（1）略
（2）解：由（1）中模型可知，AEP
BAG
≌
，CBG
DCH
≌
，
∴
3
AP
BG
，
6
AG
EP
，
4
CG
DH
，
3
CH
BG
，
则
1
1
1
1
1
4
6
3
6
4
3
3 6
3 6
3 4
3 4
50
2
2
2
2
2
ABCDE
S
´
-
´ ´ -
´ ´ -
´ ´ -
´ ´
实线围成的图形
；
（3）解：过点D 作DP
AG
^
于P ，过点E 作EQ
AG
^
交AG 的延长线于Q ，
由（1）中模型可知，
AFB
DPA
≌
△
△
，
AFC
EQA
≌
△
△
，
∴DP
AF
，EQ
AF
，BF
AP
，FC
AQ
，
∴
12
DP
EQ
AF
，
∵
,
DP
AG EQ
AG
^
^
，
∴
90
DPG
EQG
°，
∵
DGP
EGQ
∴
AAS
DPG
EQG
≌
，
∴DG
GE
，PG
GQ
，
∵BF
AP
，FC
AQ
，
∴BC
BF
FC
AP
AQ
，
∵
21
BC
，
∴
21
AP
AQ
，
∴
21
AP
AP
PG
GQ
，
∴
21
AP
AP
PG
PG
，
∴
10.5
AP
PG
，
∴
10.5
AG
，
∴
1
1 10.5 12
63
2
2
ADG
S
AG DP
×
´
´
．
8．（25-26 八年级上·安徽淮南·阶段检测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，
小丽在组内做了如下尝试：如图1，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 至点M ，使DM
AD
，
连接BM ．
【探究发现】
（1）如图1，求证：AC
BM
且AC
BM
∥
；
【初步应用】
（2）如图2，在ABC
中，若
12
AB
，
8
AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围；
【探究提升】
（3）如图3，AD 是ABC
的中线，过点A 分别向外作AE
AB
^
，AF
AC
^
，使得AE
AB
，AF
AC
，连
接EF ，延长DA 交EF 于点P ，直接写出线段EF 与AD 的数量关系和位置关系，无需证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
10
AD
<
<
（3）
2
EF
AD
且EF
AD
^
【分析】（1）根据题意易证得
SAS
ACD
MBD
≌
，根据全等三角形的性质得到AC
BM
、
C
DBM
，
进而证得AC
BM
∥
；
（2）延长AD 到点M ，使DM
AD
，连接BM ，由（1）知
ACD
MBD
△
≌△
，
8
AC
BM
，在ABM
中，利用三角形的三边关系进行解答即可；
（3）延长AD 到点M ，使DM
AD
，连接BM ，由（1）知
ACD
MBD
△
≌△
，得到AC
BM
、
C
DBM
，进而得到
180
ABM
BAC
°-
，从而得到
ABM
EAF
，再证得
SAS
ABM
EAF
≌
，
根据全等三角形的性质得到AM
EF
、
BAM
E
，进而得到
90
APE
BAE
° ，据此解答即可．
【详解】（1）证明：
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
，
在ACD
和MBD
中，
CD
BD
ADC
BDM
AD
MD
ì
ï
ïí
ï
ïî
，
SAS
ACD
MBD
\
≌
，
AC
BM
\
、
C
DBM
，
AC
BM
\
∥
；
（2）解：延长AD 到点M ，使DM
AD
，连接BM ，如图：
由（1）知
ACD
MBD
△
≌△
，
8
AC
BM
\
，
在ABM
中，AB
BM
AM
AB
BM
-
<
<
、
12
AB
，
12
8
12
8
AM
\
-
<
<
，即4
2
20
AD
<
<
，
即2
10
AD
<
<
，
BC
\
边上的中线AD 的取值范围为2
10
AD
<
<
；
（3）解：
2
EF
AD
且EF
AD
^
，
如图，延长AD 到点M ，使DM
AD
，连接BM ，
由（1）得
ACD
MBD
△
≌△
，
AC
BM
\
、
C
DBM
，
180
ABM
ABC
DBM
ABC
ACB
BAC
\
°-
，
AE
AB
^
Q
，AF
AC
^
，
90
BAE
CAF
\
°，
180
EAF
BAC
\
°-
，
ABM
EAF
\
，
AF
AC
Q
，
BM
AF
\
，
AB
AE
Q
，
SAS
ABM
EAF
\
≌
，
AM
EF
\
、
BAM
E
，
2
AM
AD
Q
，
2
EF
AD
\
，
EAM
BAM
BAE
E
APE
Q
，
90
APE
BAE
\
°，
EF
AD
\
^
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练
掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键．
9．（25-26 八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】
（1）如图1，在ABC
中，
90
BAC
° ，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂
足分别为D ，E ．求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
【变式探究】
（2）如图2，在ABC
中，AB
AC
，直线l 经过点A ，点D ，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
，求证：ED
BD
CE
；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB ，AC 为一边
向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
°，AB
AD
，AC
AE
，AG 是边BC 上的高．延长GA
交DE 于点H ，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1S ，
2
S 大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）
1
2
S
S
=
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．
（1）利用AAS证明
ABD
CAE
≌
△
△
即可；
（2）证明
AAS
EAC
DBA
≌
得到CE
AD
，EA
BD
，则ED
EA
AD
BD
CE
；
（3）过点D 作DM
AH
^
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
^
于点N，先证明
ABG
DAM AAS
≌
得到AG
DM
．同理可证明：AGC
ENA
≌
得到AG
EN
．则DM
EN
，即可得到
1
1
2
S
AH DM
=
×
，
2
1
2
S
AH EN
=
×
，
1
2
S
S
=
．
【详解】（1）证明：∵BD ^ 直线l，CE ^ 直线l，
∴
90
BDA
AEC
° ，
∴
90
DAB
DBA
°．
∵
90
BAC
° ，
∴
90
DAB
EAC
° ．
∴
DBA
EAC
．
在ABD
和CAE
中，
90
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
°
ì
ï
í
ï
î
，
ABD
CAE AAS
≌
；
（2）证明：∵
EAB
是ABD
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
Ð
= Ð
+Ð
．
∴EAC
BAC
ADB
DBA
Ð
+Ð
= Ð
+Ð
．
∵
ADB
BAC
，
∴
EAC
DBA
．
在EAC
和DBA
中，
EAC
DBA
CEA
ADB
AC
AB
ì
ï
í
ï
î
，
∴
AAS
EAC
DBA
≌
．
∴CE
AD
，EA
BD
．
∴ED
EA
AD
BD
CE
；
（3）
1S ，
2
S 大小关系是：
1
2
S
S
=
理由如下：
过点D 作DM
AH
^
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
^
于点N，如图所示：
∵AG
BC
^
，
∴
90
AGB
M
° ．
∴
90
ABG
BAG
°．
∵
90
BAD
° ，
∴
90
BAG
DAM
°．
∴
ABG
DAM
．
在ABG
和
DAM
△
中，
90
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
°
ì
ï
í
ï
î
，
∴
ABG
DAM AAS
≌
．
∴AG
DM
．
同理可证明：AGC
ENA
≌
．
∴AG
EN
．
∴DM
EN
．
∵
1
1
2
S
AH DM
=
×
，
2
1
2
S
AH EN
=
×
，
∴
1
2
S
S
=
．
10．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，
5
3
AB
AC
，
，中线AD 的取值范围是多少？
【探究方法】
（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E ， 使得DE
AD
； ②连接BE ， 通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在ABE
中； ③
利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
， 从而得到AD 的取值范围是 ；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2） 如图②，OA
OB
OC
OD
，
，
AOB
与
COD
互补， 连接AC ， BD ， E 是AC 的中点，求证：
1
;
2
OE
BD
（3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若
90
AOB
° ， 延长EO 交BD 于点F ，
2
5
OF
OE
，
，求AOC
的面积．
【答案】（1）1
4
AD
＜
＜（2）见解析（3）10
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键；
（1）根据提示证ADC
EDB
≌
即可求解；
（2）延长OE 到H ，使得HE
OE
，连接CH ，通过论证两组三角形的全等即可得出结论；
（3）由前一问可得：BD
OH
，
2
10
OH
OE
，进一步得
AOC
BOD
S
S
；根据题意可证OF
BD
^
，据此
即可求解．
【详解】（1）解：∵
,
,
AD
DE
ADC
EDB CD
BD
，
∴ADC
EDB
≌
（SAS ）
∴
3
BE
AC
，
∵AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
∴5
3
5
3
AE
-
<
<
即：2
8
AE
<
<
∵
1
2
AD
AE
∴1
4
AD
<
<
故答案为：1
4
AD
<
<
；
（2）证明：延长OE 到H ，使得HE
OE
，连接CH ，
∵E 是AC 的中点，
∴EC
EA
，
∵
CEH
AEO
，
∴CEH
AEO
≌
（SAS ），
HCA
CAH
\
，CH
AO
，
∴
HCA
ACO
CAO
ACO
，即
CAO
ACO
HCO
，
∵
180
AOB
COD
°，
∴
180
AOC
BOD
°，
∵
180
AOC
CAO
ACO
° ，
∴
BOD
HCO
，
∵
,
OA
OB OC
OD
，
∴CH
OB
，
∴HCO
BOD
≌
（SAS ），
∴OH
BD
，
∴
1
2
OE
BD
；
（3）解：由（2）可得：
2
10
BD
HO
OE
，
H
B
，
,
CHE
AEO
HCO
BOD
S
S
S
S
，
∴
AOC
AOE
COE
HCO
BOD
S
S
S
S
S
，
∵
90
AOB
° ，
∴
90
AOE
BOF
°，
∵
AOE
H
，
∴
90
B
BOF
° ，即：OF
BD
^
，
∴
1
1 10 2
10
2
2
BOD
S
BD OF
´
´
´
，
∴
10
AOC
S
．
11．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基
本图形．
(1)如图①，在ABC
中，
90
BAC
° ，AB
AC
，直线l 经过点A，BD ^ 直线l，CE ^ 直线l，垂足分别为
D、E．可证得：DE 、BD 、CE 的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件
改为：在ABC
中，AB
AC
，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有
BDA
AEC
BAC
a
，其中α
为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC
的边AB 、AC
为腰向外作等腰直角ABE
和ACG
，其中
90
BAE
CAG
° ，若AH
BC
^
，垂足为点H，延长HA 交EG
于点M．求证：点M 是EG 的中点．
【答案】(1) DE
BD
CE
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；
（1）证明
ABD
CAE AAS
≌
得
,
BD
AE AD
CE
，由此即可得出DE 、BD 、CE 的数量关系；
（2）同（1）证
ABD
CAE AAS
≌
得
,
BD
AE AD
CE
，进而得DE
AE
AD
BD
CE
，据此即可得
出结论；
（3）过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，由等腰直角三角形，得到
,
AB
AE AC
AG
，根据同
角的余角相等得到
ABC
EAN
，再根据
180
BAC
EAG
° 和
180
AEN
EAG
° 得到
BAC
AEN
，即可证明
ASA
ABC
EAN
≌
，得到AC
EN
AG
，再由EN
AG
∥
，得到
,
N
MAG
MEN
MGA
，即可证明
ASA
EMN
GMA
≌
得到EM
GM
，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：DE 、BD 、CE 的数量关系为：DE
BD
CE
，理由如下：
如图1 所示：
∵
,
BD
l CE
l
^
^ ，
∴
90
BDA
AEC
° ，
∴
1
2
90
° ，
在ABC
中，
90
BAC
° ，
∴
1
3
90
° ，
∴
2
3
，
∵AB
AC
，
∴
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
；
故答案为：DE
BD
CE
；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2 所示：
∵
BDA
AEC
BAC
a
，AB
AC
，
∴
1
3
180
180
BAC
a
°-
°-
，
在ABD
中，
1
2
180
180
BDA
a
° -
° -
，
∴
2
3
，
∵
BDA
AEC
a
，AB
AC
，
∴
ABD
CAE AAS
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
；
（3）解：证明：过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，如图3 所示：
∵ABE
和ACG
都是等腰直角三角形，且
90
BAE
CAG
° ，
∴
,
AB
AE AC
AG
，
∵AH
BC
^
，
∴
90
ABC
HAB
° ，
∵
90
BAE
° ，
∴
90
HAB
EAN
°，
∴
ABC
EAN
，
∵
90
BAE
CAG
° ，
∴
180
BAC
EAG
° ，
∵EN
AG
∥
，
∴
180
AEN
EAG
° ，
∴
BAC
AEN
，
∴
ASA
ABC
EAN
≌
，
∴AC
EN
，
∵AC
AG
，
∴EN
AG
，
∵EN
AG
∥
，
∴
,
N
MAG
MEN
MGA
，
∴
ASA
EMN
GMA
≌
，
∴EM
GM
，
∴点M 是EG 的中点．
12．（25-26 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ABC
中，若
8
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2 ，延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE ．请
根据小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是 ；
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ；
【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【类比运用】
（2 ）如图3，E 是BC 中点，点A 在DE 上，且
BAE
CDE
，求证：AB
CD
；
【拓展运用】
（3）如图4 ，已知直线
//
m n ，点A 、D 是直线m 上两点，点B 、C 是直线n 上两点，点P 是线段CD 中点，
且AP
BP
^
，两平行线m 、n 间的距离为4 ．求证：
·
2
PA PB
AB
．
【答案】（1）①B ，②1
7
AD
<
<
；
（2 ）证明见解析；
（3）证明见解析
【分析】（1）①延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE ，利用全等三角形的判定定理解答即可；
②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可；
（2 ）延长DE 至点F ，使FE
ED
，连接BF ，利用全等三角形的判定与性质得到DC
FB
，
D
F
，
再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可；
（3）延长BP 交AD 于点H ，过点P 作EF
m
^
于点E ，EF
n
^
于点F ，利用全等三角形的判定与性质得
到
1
2
2
FP
EP
EF
，BP
HP
，利用线段的垂直平分线的性质得到AB
AH
，再利用三角形的面积公式
解答即可得出结论．
【详解】（1）解：①延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE ，如图，
∵AD 是中线，
∴BD
CD
，
在ADC
和EDB
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
ì
ï
í
ï
î
，
ADC
EDB SAS
\
≌
，
ADC
EDB
\
≌
的依据是SAS B ；
②
ADC
EDB
Q
≌
，
6
AC
BE
\
，
8
AB
Q
，
8
6
8
6
AE
\ -
<
<
，
2
2
14
AD
\
<
<
，
1
7
AD
\ <
<
；
（2 ）证明：延长DE 至点F ，使FE
ED
，连接BF ，如图，
∵E 是BC 的中点，
∴BE
CE
，
在EDC
和EFB
中，
DE
FE
DEC
FEB
CE
BE
ì
ï
í
ï
î
，
EDC
EFB SAS
\
≌
，
DC
FB
\
，
D
F
，
BAE
CDE
Q
，
F
BAE
\
，
BA
BF
\
，
AB
CD
\
；
（3）证明：延长BP 交AD 于点H ，过点P 作EF
m
^
于点E ，EF
n
^
于点F ，如图，
则
4
EF
，
//
m n
Q
，
EDP
FCP
\
，
在CPF
和DPE
中，
CPF
DPE
CP
DP
FCP
EDP
ì
ï
í
ï
î
CPF
DPE ASA
\
≌
，
1
2
2
FP
EP
EF
\
，
在BPF
和HPE
中，
90
BFP
HEP
PE
PE
BPF
HPE
°
ì
ï
í
ï
î
，
BPF
HPE ASA
\
≌
，
BP
HP
\
，
AP
BP
^
Q
，
AP
\
为BH 的垂直平分线，
AB
AH
\
，
1
1
·
·
2
2
APH
S
AH PE
AP PH
Q
，
·
·
AH PE
AP PH
\
＝
，
2
·
AB
PA PB
\
´
，
·
2
PA PB
AB
\
．
