文档内容
压轴题 05 二次函数中三种线段问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、线段的数量关系.............................................................................................2
题型二、线段最值问题..............................................................................................11
题型三、周长最值问题..............................................................................................20
压轴能力测评（13题）.............................................................................................28
一、线段的数量关系
此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，
弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；
最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；
二、线段最值问题
此类问题通常有两类：
①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的
函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二
次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；
②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两
个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个
定点的线段即为所求的最小值；
三、周长最值问题
此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，
即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求
不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).
题型一、线段的数量关系
【例1】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图1，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于
点C．(1)求 A，B两点的坐标和直线 的解析式；
(2)D是直线 上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），若
，求点D的横坐标．
【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线 与 轴交于 两
点，与 轴交于点 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ，如果 ，
求点 的坐标；
(3)点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，如果以点 为顶点的四边形是平行四边形，直接
写出点 的坐标．
【变式2】．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线 与x轴交于点 ，
，与y轴交于点C，P是直线 上方抛物线上的一个动点（与点B，C不重合）．连接 交
于点Q．(1)求抛物线的表达式．
(2)当 时，求点P的坐标．
(3)试探究在点P的运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】．（23-24九年级上·天津和平·期末）在平面直角坐标系中，点 ， ， ．已
知抛物线 （a为常数， ），与y轴相交于点C，P为顶点．
(1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
(2)若点P在x轴上方，当 时，求a的值；
(3)在（1）的情况下，连接 ， ，点E，点F分别是线段 ， 上的动点，且 ，连接 ，
，求 最小值，并求此时点E和点F的坐标．
题型二、线段最值问题
【例2】．（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的对称轴及k的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得 的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作 轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的
最大值．
【变式1】．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，点 的横坐标为4，当 时， 有最大值 ：
(1)求二次函数的表达式；
(2)点 在对称轴上，当 的值最小时，求点 的坐标．
【变式2】．（23-24九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点
A(0,3)，与x轴交于点 和点C，抛物线的顶点为P．(1)求此抛物线的解析式和顶点P的坐标；
(2)若点D，E均在此抛物线上，其横坐标分别为m， （ ）．且D，E两点的纵坐标的差为8．
①求m的值；
②将点C向上平移2m个单位得到点 ，将抛物线沿x轴向右平移n个单位得到新抛物线，点D的对应点
为点 ，点E的对应点为点 ，顶点P的对应点为点 ，在抛物线平移过程中，求 的最小值，
并求出新抛物线的顶点 的坐标．
【变式3】．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，抛物线 与x轴交于点A(−2,0)和点
B(4,0)，与y轴交于点 ，作直线 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，已知直线 上方抛物线上有一点P，过点P作 轴与 交于点E，过点P作 轴与
y轴交于点F，求 的最大值和此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛
物线上的一点，且 ，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
题型三、周长最值问题
【例3】．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，抛物线过点O(0,0)， ，矩形 的边在线段 上（点 在点 的左侧），点 ， 在抛物线上．设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 ， ，且
直线 平分矩形 的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）
【变式1】．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、
B(4,0)两点，且 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 、 ，求出当 的周长最小时点 的坐标．
【变式2】．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交
于点 ，连接 ， ．(1)求 的面积；
(2)直线 与抛物线交于点 、 ，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？如
果存在，请求出点 坐标；如不存在，请说明理由．
【变式3】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点 ，交y轴于
点C(0,−3)
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为P，求 的面积
(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使 的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，
B(4,0)，与y轴交于点C，P为 上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段 于点F．(1)求出二次函数 和 所在直线的表达式；
(2)在动直线l移动的过程中，试求线段 长度的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使 的面积等于 的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线 与y轴交于点 ，顶点坐标为
．(1)求b，c的值；
(2)若C是x轴上一动点，求 周长的最小值；
(3)m是抛物线 与x轴的交点的横坐标，求 的值．
3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C．已的点A的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式，及点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使 的值最小，求点P的坐标；
(3)当 时．最大值为 ，直接写出n的值．
4.（23-24九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
， 两点．交 轴于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴交 于点 ，在 轴上取一点 ，使得
，求 的最大值及此时点 坐标；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点 ，使得
．写出所有符合条件的点 的横坐标．井写出求解点 的横坐标的其中一种情况的过程．
5．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线AB交于点
， ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，求 的最大值及此时
点P的坐标；
(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使 的周长最小，求点N的坐标．
6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线 经过点 和点 ，与y轴交
于点C，点P在直线 下方的抛物线上，过点P作 轴交 于点Q，连接 ， ，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求线段 长度的最大值．
7．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，已知抛物线 经过 两点，与x轴
的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得 的值最小，求点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使 为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐
标的过程写出来．
8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交轴于点 ． 为抛物线在第三象限部分上的一点，作 轴于点 ，交线段 于点 ，连
接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段 长度的最大值，并求此时点D的坐标；
(3)若线段 把 分成面积比为 的两部分，求此时点 的坐标．
9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于
，B两点，交y轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交 于点E，过点P作 的平行线交
x轴于点F，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线y沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点G是新抛物线 的顶点，点M为
新抛物线 的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以 为边
的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．10．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、
两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ．连接 、 ．
(1)求 的面积；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移 个单位，点M为点P的对应点，平移后的
抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰的 是
等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
11．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 左侧．点 的坐标为(1,0)，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 是抛物线对称轴 上的一个动点时，求当 最小时，点 的坐标；
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求 面积的最大值．12．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线 与 轴交于点A(−2,0)和 ，与
轴交于点 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐
标；
(3)如图2，若点 是 的中点，点 是抛物线上一点，其横坐标为 ，试探究是否存在点 ，使
？若存在，求出 的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过
程）；若不存在，请说明理由．
13．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点(2,3)，与
x轴交于点 和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作 轴于点D，交BC于点E，求 的最
大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中 取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度，点P的对应点为
点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四
边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H的坐标．
