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专题05 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中含参数的图象和性质
题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题
题型三、二次函数与几何图形中的动点问题
题型四、二次函数图像与各项系数符号问题
题型五、二次函数中含参数的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c 及组合式（如a+b+c、b2-4ac、2a+b）的正负性或取值
个数。
- 解题方法：开口定向判a，交点（与y 轴）判c，对称轴位置判a,b 同异号；代入特殊点（±1、±2）判
组合式；与x 轴交点个数判判别式∆。
- 易错提醒：混淆a+b+c 与a-b+c 的代入点（分别对应x=1 与x=-1）；判断2a+b 符号时忽略对称轴与1
的大小比较；未注意开口大小与|a|的关系（|a|越大开口越小）。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中含参数的图象和性质
典例1 （25-26 九年级上·安徽亳州·期末）已知抛物线
的顶点为
，
有下列结论：
①
；②当
时，
随
的增大而增大；③抛物线
是由抛物线
向右平移2
个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到的；④若关于
的方程
的一个根为3，则
．其
中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
目 录
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题型模版
1.特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。
2.方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x 轴交点、过定点）列方程或不等式求解。
变式1-1（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列关于二次函数
（
为常数）
的结论：①该函数的图象与函数
的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点
；③当
时，
随
的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数
的图像上，其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③⑤
D．②④
变式1-2（甘肃省酒泉市2025-2026 学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知：二次函数
，
下列说法正确
．．的是（ ）
A．当
时，
随
的增大而减小
B．若图象与
轴有交点，则
C．当
时，不等式
的解集是
D．若将图象向上平移1 个单位，再向左平移3 个单位后过点
，则
变式1-3（25-26 九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数
（
，
，为常数，且
）
的图象经过
，
两点，则下列说法中错误的是（）
A．该函数图象的对称轴为直线
B．无论
取何值，均满足
C．函数
在
处取得最值
D．若
为该函数图象上的点，则当
时，
一定成立
题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题
典例2 （25-26 九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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题型模版
1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。
2.方法：先由一次函数图象位置判断k、b 符号，再由二次函数开口、对称轴、与y 轴交点验证是否一致。
变式2-1（25-26 九年级上·上海·课后作业）二次函数
与一次函数
在同一坐标系中的大致
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2（25-26 九年级上·全国·单元测试）当
时，
和
大致图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3（25-26 九年级上·北京东城·期中）抛物线
和直线
在同一坐标系的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三、二次函数与几何图形中的动点问题
典例3 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，点P ，Q 分别从A点、B 点出发沿矩形ABCD的边运动，点P
以1cm / s 的速度按AD
DC CB
−
−
运动，点Q 以0.5 cm / s 的速度向点C 处运动．同时出发，当点P ，Q 相遇
时停止运动．设运动的时间为x（s），
DPQ
△
的面积为y（
2
cm ），y 关于x 的函数图象如图2 所示，当
6
x
时，图象的高点为E ．下列选项错误的是（ ）
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A．
4
AB =
B．
6
BC =
C．F 的坐标为(
)
0,2
D．点31,1
3
在该函数图象上
题型模版
1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。
2.方法：设动点坐标 (x, ax2+bx+c)，用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。
变式3-1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在
中，
，
，动点
从点
，
出发以
的速度沿折线
方向运动到点
停止，动点
以
的速度沿
方向运动到点
停止．设
的面积为
，运动时间为
．表示
与
之间关系的图象如图2 所示，则当面积
时，
对应的运动时间
的值是_________．
变式3-2（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观
测点之间距离的平方．如图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路
向目的地B
处运动．设
为x（单位：
）
，
为y（单位：
）．如图2，y 关于x 的函数图象与y
轴交于点C，最低点
，且经过
和
两点．请回答下列问题：
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（1）
___________；
（2）当
时，则
的长度为___________
．
变式3-3（2026·湖北十堰·一模）如图1，在
中，
，点D 在
上，
．动点P
在
的边上沿
方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，到达点A 时停止，以
为边
作正方形
．设点P 的运动时间为t 秒，正方形
的面积为S．当点P 由点B 运动到点A 时，如图
2，S 是关于t 的二次函数．则①当
时，
________；②
________．
题型四、二次函数图像与各项系数符号问题
典例4 （25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数
的图象与x轴交于点
，
与y 轴的交点B 在
和
之间（不包括这两点），对称轴为直线
．下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序
号）．
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题型模版
1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y 轴交点判断a、b、c 及代数式（如a+b+c）的符号。
2.方法：开口定a，对称轴位置定ab 符号，与y 轴交点定c；特殊点（如x=1）代入判断a+b+c 等组合符号。
变式4-1（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数
的部分图象如图所示，
已知图象过点
，对称轴为直线
，有下列结论：①
，
，
；②
；③
；
④若点
、点
、点
在该函数图象上，则
．其中正确的结论有______个．
变式4-2（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）如图是二次函数
的图象，直线
（
）
与抛物线交于
，
两点，
，
两点横坐标分别为
，
，根据函数图象信息有下列结论：
①
；②
；③
；
④若对于
的任意值都有
，则
；
⑤当为定值时，若
变大，则线段
变长；其中正确的结论是______．
变式4-3（25-26 九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线
与x 轴交于
，
，
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交y 轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，则下列结论：
①
；
②
；
③
；
④当点C 坐标为
时，抛物线顶点
；
⑤若点
是抛物线上第一象限上的动点，当
最大时，
．
其中正确的有______．（只填序号）
题型五、二次函数中含参数的综合问题
典例5 （25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
顶点为
．
(1)请用含a 的式子表示b，c；
(2)过点
作x 轴的垂线，交抛物线于点M，交直线
于点N，若点M、N 重合，规定
；
①若
，
，求t 的值；
②当点P 从点
运动到点
的过程中（不包含点B 与点C），
的长存在最大值，求a 的取值
范围．
题型模版
1.特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。
2.方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x 轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范围
后验证。
变式5-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线
（
，为常数），经过点
，
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其图象对称轴为直线
．
(1)求抛物线表达式；
(2)已知
，
在该抛物线上，且
，
①若
，对于
，都有
，求的取值范围；
②若
，
为该抛物线在
上的两点，且
，
的最大值为2，求
的值．
变式5-2（2026·河南三门峡·三模）已知二次函数
（
为常数，且
）．
(1)若该二次函数的图象经过点
，求该二次函数的顶点坐标；
(2)当
时，
的最大值是
，求
的值；
(3)当
时，若点
，
，
在函数图象上，且
，请直接写出
的取
值范围．
变式5-3（25-26 八年级下·北京·期末）已知抛物线C：
（
）．
(1)直接写出抛物线C 的对称轴；
(2)若点
和
均在抛物线C 上，且
，直接写出n 的取值范围；
(3)将抛物线C 在y 轴右侧的部分关于直线
翻折，y 轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知
点
和
均在图象G 上，求
的最小值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 九年级上·四川自贡·期末）若
为二次函数
图像上
的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 九年级上·陕西西安·期末）当
时，二次函数
（
为常数，且
）
有最小值
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．4 或
3．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数
与二次函数
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的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数
的图象经过点
，且与
轴交
点的横坐标分别为
，其中
，下列结论：①
；②
；③
；
④
．其中正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B 位于A
地正东方向，C 地位于A 地的北偏东
，5 海里处．船只P 从A 地出发，驶向C 地，在行驶过程中，设
的长为x，
为y，y 关于x 的函数图象（如图2 所示），最低点
，且经过
．则下列选项正
确的是（ ）
A．
的面积是
B．
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C．点
在该函数图象上
D．
二、填空题
6．（25-26 九年级上·山东德州·期中）已知点
，
在二次函数
（a 为常数）的图
象上．若
，则m____n．（填“
”、“
”或“
”）．
7．（25-26 九年级上·北京·期末）已知二次函数
，当
时，相应的函数值的最大
与最小值之差为0.75，则
_______．
8．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数
，当
时，函数值为
，当
时，函数值为
，且
，则
的取值范围是________．
9．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）点
，
，是抛物线
（
是常数，
且
）上的两个点．下列结论：①抛物线与
轴的交点是
；②抛物线的对称轴是直线
；③当
时，
；④当
时，
；⑤当
时，
有最大值是1，其中正确结论的是
_________．
10．（25-26 九年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点
，
，在抛物线
上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线
．
（1）当
时，
与
满足的等量关系为__________；
（2）已知点
在该抛物线上，若对于
，都有
，则的取值范围为__________．
三、解答题
11．（21-22 九年级下·山东泰安·期中）已知抛物线
的对称轴是直线
．
(1)求证：
；
(2)若关于
的方程
的一个根为2，求此方程的另一个根．
12．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数
，
为常数．
(1)当
时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点
，且点
到
轴的距离为21，求点
到对称轴的距离．
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13．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数
（a 为常数且
）
(1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点
，求a 的值；
(2)若
，当
时，该函数的最大值为8，求a 的值；
(3)在（2）的条件下，设点
和点
都在该二次函数的图像上，且
在
（其
中
）的范围内，求
的最大值．
14．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2 倍，则称这
个点为“友好点”，如：
，
，
等都是“友好点”．已知二次函数
（c 为
常数）．
(1)若该函数经过点
，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
(2)在（1）的条件下，当
时，函数的最小值为
，求t 的值；
(3)在
的范围内，若二次函数
的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c
的取值范围．
