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专题05 几何基础、三角形与四边形
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 线段、角、
相交线、平行线判
定与性质
2026 年乐山、广安、达
州、内江、攀枝花、眉
山、泸州、南充、凉山、
广元、甘孜中考真题
全部为选择、少量填空，以平行线截角、三角板
叠放、镜面反射、正多边形结合平行线为核心情
境；新增垂线段最短、角平分线距离小题，侧重
同位角、内错角、同旁内角转换，图形结合生活
光学模型，基础送分，陷阱集中在角度等量代换。
考点02 三角形三
边关系、内角外角、
等腰/直角三角形
性质判定
2026 年达州、巴中、自
贡、泸州、乐山、攀枝
花、广安、成都、广元
中考真题
涵盖选择、填空两类；考向含三边取值范围、等
腰周长、直角斜边中线、三角形稳定性；结合不
等式、矩形折叠、动点最短路径综合设问，常融
合坐标系旋转，侧重边角转化与几何最值初步探
究，难度中等。
考点03 全等三角
形判定、性质与基
础证明
2026 年成都、自贡、达
州、南充、乐山、宜宾
中考真题
选择考全等角度计算，填空开放型添加全等条
件，解答为标准证明大题；融入李善兰出入相补
传统文化背景，依托平行四边形、三角形对角线
构图，SSS/SAS/ASA/AAS 为主要判定方法，证明
步骤规范，是几何基础必考题。
考点04 平行四边
形、矩形、菱形、
正方形性质与判定
2026 年泸州、乐山、宜
宾、攀枝花、自贡、眉
山、凉山、遂宁、甘孜、
内江、广安、巴中中考
真题
覆盖全题型，选择辨析判定定理，填空考对角线、
中点周长、动点折叠最值，解答多小问综合证明；
结合一元二次方程对角线、图形旋转折叠，动点
直角分类讨论为区分难点，侧重特殊四边形边
角、对角线综合计算。
考点05 多边形内
角和、外角和
2026 年广安、成都、自
贡、达州中考真题
以填空为主，考查正多边形内外角度数；搭配正
五边形、正六边形与直角三角形、扇形阴影面积
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结合，题型简单计算量小，常作为小题搭配图形
拼接，仅基础公式运用，无复杂综合。
考点06 尺规作图
2026 年眉山、巴中、宜
宾、甘孜、内江、广安、
南充、广元中考真题
选择依托作图痕迹求角度、线段长度，填空计算
线段数值，解答含作图+证明两小问；高频考垂
直平分线、角平分线作图，结合平行四边形、直
角三角形背景，依据作图隐含全等、等腰性质解
题，是四川固定中档小题。
考点01 线段、角、相交线、平行线判定与性质
1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若1
40
=
，则
2
=（ ）
A．20
B．40
C．50
D．140
【答案】B
【详解】解：由题意可知a b ，故1
2
40
= =
．
2．（2026·四川广安·中考真题）如图，直线a
b
∥，如果
1
50
=
，则
2
的度数为（ ）
A．30
B．40
C．50
D．130
【答案】C
【详解】解：
直线a
b
∥，
1
50
=
，
2
1
50
= =
．
3．（2026·四川达州·中考真题）两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若1
65
=
，则
2
= （ ）
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A．45
B．50
C．55
D．65
【答案】D
【分析】根据矩形对边平行的性质，利用平行线的同位角相等及对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图
矩形纸条的对边平行
水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行
水平纸条上下边平行
3
1
65
= =
倾斜纸条左右边平行
4
3
65
= =
2
与
4
是对顶角
2
4
65
= =
4．（2026·四川内江·中考真题）如图，若AB CD ，
80
A
=
，
36
E
=
，则
C
的度数为（ ）
A．36
B．44
C．50
D．54
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵AB CD ，
80
A
=
，
∴
80
EFD
A
= =
，
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∵
,
36
EFD
C
E
E
=
+
=
，
∴
44
C
=
.
5．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板ABC 放置在直线MN 、PQ 之间，点B、C 分别
落在直线PQ 、MN 上，若
40
ACN
=
，则
ABQ
= （）
A．30
B．40
C．50
D．60
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解．
【详解】解：∵MN
PQ ，
∴
180
NCB
CBQ
+
=
，
由图可知
NCB
ACN
ACB
=
+
，
CBQ
ABC
ABQ
=
+
，
∴
180
ACN
ACB
ABC
ABQ
+
+
+
=
，
∵ABC为直角三角板，
90
BAC
=
，
∴
90
ACB
ABC
+
=
，
∵
40
ACN
=
，
∴40
90
180
ABQ
+
+
=
，
∴
50
ABQ
=
．
6．（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线m
n
∥，1
45
=
，
2
25
=
，则
3
的度数为（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
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【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，设直线n 与截线的夹角为
4
//
m n，1
45
=
4
1
45
= =
3
是三角形的外角
3
2
4
= +
2
25
=
3
25
45
70
=
+
=
．
7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，直线a
b
∥，直线c 分别交a ，b 于点A ，B ，AB
BC
⊥
，AE 平分
BAD
，
若1
40
=
，则
2
的度数是（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出
ACB
的度数，再利用直角三角形两锐角互余求出
BAC
，利用邻补角求
出
BAD
，最后根据角平分线定义求解．
【详解】解：
a
b
∥，
1
40
ACB
= =
（两直线平行，内错角相等）．
AB
BC
⊥
，
90
ABC
=
．
90
90
40
50
BAC
ACB
−
=
=
−
=
．
180
BAD
BAC
+
=
，
180
50
130
BAD
=
−
=
．
AE 平分
BAD
，
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1
1
2
130
65
2
2
BAD
=
=
=
．
8．
（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线a，b 上，且a b ，若
40
a
=
，
则大小为（ ）
A．95
B．100
C．105
D．110
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵ABC是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，
∵
40
a
=
，
∴
20
EBC
ABC
a
=
−=
，
∵a b ，
∴
20
BCD
EBC
=
=
，
∴
80
ACD
ACB
BCD
=
+
=
，
∴
180
100
ACD
=
−
=
．
9．（2026·四川凉山·中考真题）如图，AD
CB
∥
，CA
BA
⊥
，若
30
C
=
，则
DAB
= （ ）
A．40
B．60
C．70
D．150
【答案】B
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【分析】根据垂直定义得出
90
CAB
=
，由平行线的性质得出
150
=
DAC
，从而可得出
DAB
．
【详解】解：∵CA
BA
⊥
，
∴
90
CAB
=
，
∵AD
CB
∥
，
∴
180
DAC
C
+
=
，
∵
30
C
=
，
∴
180
180
30
150
DAC
ACD
=
−
=
−
=
．
∴
150
90
60
DAB
DAC
BAC
=
−
=
−
=
．
10．（2026·四川广元·中考真题）如图，1l ，2l 经过正五边形的两个顶点，且1
2
l
l
∥，若1 80
=
，则
2
=（ ）
A．48
B．46
C．44
D．42
【答案】C
【分析】如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到
4
5
28
BCD
=
−=
，然后利
用平角的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，作
1
CF
l
∥，
∵ABCDE 是正五边形，
∴内角和为(
)
5 2
180
540
−
=
，
∴
540
5 108
ABC
BCD
=
=
=
，
∵1 80
=
，
1
CF
l
∥，
∴
5
1
80
= =
，
∴
4
5
28
BCD
=
−=
，
∵1
2
l
l
∥，
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∴
2
CF
l
∥，
∴
3
4
28
= =
，
∴
2
180
3
44
ABC
=
−
−=
．
11．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，MN ，EF 分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜
面MN 上，反射光线为BC ，再经镜面EF 反射得到光线CD，若1
60
=
，则
4
= （ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】C
【分析】由光的反射定律可知
2
1
60 ,
3
4
=
=
=
∠
∠
∠
∠，根据平行线的性质求出
3
的度数即可得到答案．
【详解】解：由光的反射定律可知
2
1
60 ,
3
4
=
=
=
∠
∠
∠
∠，
∴MN
EF
∥
，
∴
3
2
60
= =
，
∴
4
60
=
．
12．（2026·四川南充·中考真题）如图，要把直河道中的水引到灌溉站P 处，规划四条渠道中最短的是（ ）
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
【答案】C
【分析】将河道视为直线，利用垂线段最短的性质即可求解．
【详解】解：由图可知，PC
AD
⊥
，
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴PC 最短．
13．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P 是
AOB
的平分线上一点，过点P 作PC
OB
∥
交OA于点C，
若
2
OC =
，
15
POB
=
，则点P 到OB 的距离PD 的长是_______．
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【答案】1
【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得
OCP
△
是等腰三角形，求出PC 的长，过点P 作PE
OA
⊥
于
点E ，求出
1
PE = ，根据角平分线的性质得出点P 到OB 的距离．
【详解】解：∵OP 平分
AOB
，
15
POB
=
，
∴
15
AOP
POB
=
=
，
∴
30
AOB
=
，
∵PC
OB
∥
，
∴
30
PCA
AOB
=
=
,
15
CPO
POD
POC
=
=
=
,
∴
2
PC
OC
=
=
，
过点P 作PE
OA
⊥
于点E ，
∴
1
1
2
PE
PC
=
= ，
∵OP 平分
AOB
，PE
OA
⊥
，PD
OB
⊥
∴
1
PD
PE
=
= ,
即点P 到OB 的距离为1．
考点02 三角形三边关系、内角外角、等腰/直角三角形性质判定
1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2
5
0
x−
的正整数解．则
等腰三角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据
三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案．
【详解】解：解不等式2
5
0
x−
，移项得2
5
x ．
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5
2
x
．不等式的正整数解为1和2 ．
等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为1和2 ，
分两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为2 ，三边长为1,1,2 ．
1 1
2
+ =
，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为2 ，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系，
此时周长为2
2 1
5
+ + = ．
因此等腰三角形的周长为5，
故选C．
2．（2026·四川巴中·中考真题）要使六边形木架（用6 根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点
作对角线，需要的木条数等于对角线的条数．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形．
∵过n边形的一个顶点作对角线，有(
3)
n −
条对角线，
∴对于六边形，至少要再钉上6 3
3
−=
根木条．
3．（2026·四川达州·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．带根号的数都是无理数
D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
【答案】A
【分析】本题考查命题真假判断，根据对顶角相等，三角形的外角的性质，无理数的定义，方差的意义，
逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，
∴A 是真命题；
∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
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选项B 未说明“不相邻”，
∴B 是假命题；
∵4
2
=
是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，
∴C 是假命题；
∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，
∴D 是假命题．
4．（2026·四川自贡·中考真题）如图，Rt OAB 中，
30
B
=
，
2
OA=
，AB 平行于x 轴，将Rt OAB 绕原
点O顺时针旋转180到OCD位置，CD交y 轴于点P ，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
0,
3
−
B．(
)
0, 3
C．(
)
0, 1
−
D．(
)
3,0
−
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出CD与y 轴的位置关
系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出OP 的长度，确定点P 的坐标．
【详解】解：在Rt AOB中，
30
B
=
，
90
AOB
=
，
60
A
=
，
由旋转的性质得，
90
COD
=
，
30
D
=
，
60
C
=
，
2
OC =
，CD
x
∥轴，
CD
OP
⊥
，
90
60
30
COP
=
−
=
，
Rt OCP中，
sin60
3
OP
OC
=
=
，
P 在y 轴的负半轴，
P
的坐标为(
)
0,
3
−
．
5．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，点D 在AC 上，若AD
BC
BD
=
=
，则
BCD
ABC
S
S
△
△
的值为（ ）
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A．
5
1
4
−
B．3
5
2
−
C．4
5
5
−
D．
5
1
2
−
【答案】B
【分析】设
A
x
=
，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出
C
与
A
的关系，进而证得
ABC
BCD
，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解．
【详解】解：设
A
x
=
，
AD
BD
=
，
ABD
A
x
= =
，
2
BDC
A
ABD
x
= +
=
，
BD
BC
=
，
2
C
BDC
x
=
=
，
AB
AC
=
，
2
ABC
C
x
=
=
，
在ABC中，
180
A
ABC
C
+
+
=
，
2
2
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
36
x =
，
72
C
ABC
=
=
，
72
BDC
=
，
C
C
=
，
ABC
BDC
=
，
ABC
BDC
∽
，
BC
CD
AC
BC
=
，
设BC
a
=
，CD
b
=
，则AD
BD
BC
a
=
=
=
，AC
a
b
=
+ ，
a
b
a
b
a
=
+
，
即
2
2
(
)
a
b a
b
ab
b
=
+
=
+
，
等式两边同时除以
2
b ，
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得：(
𝑎
𝑏)2 −
𝑎
𝑏−1 = 0，
解得
1
5
2
a
b
+
=
（负值舍去），
BCD 与
ABC 在 AC 边上的高相等，
1
1
BCD
ABC
S
CD
b
a
S
AC
a
b
b
=
=
=
+
+ ，
(
)
2 3
5
1
2
3
5
4
2
1
5
3
5
1
2
BCD
ABC
S
S
−
−
=
=
=
=
+
+
+
．
故选 B．
6．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在Rt ABC 中，
90
ABC
=
，
6
BC =
，
8
AB =
，点D 为斜边AC
的中点，则BD = _________．
【答案】5
【分析】根据勾股定理得到
10
AC =
，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
【详解】解：根据题意，得
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
，
由点D 为斜边AC 的中点，
1
5
2
BD
AC
=
=
．
7．（2026·四川攀枝花·中考真题）在ABC中，AD 是BC 边上的中线，
2
6
30
AB
BC
B
=
=
=
，
，
，则ABD
的面积为_______．
【答案】3
2
【分析】先根据中线定义求出BD 长度，再过A 作AH
BD
⊥
构造含30角的直角三角形，利用30直角三角
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形性质求高AH ，最后用三角形面积公式计算ABD 面积。
【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线，
6
BC =
，
∴
1
3
2
BD
BC
=
=
，
过点A 作AH
BD
⊥
于H ，
∴
90
AHB
=
，
∵
30
B
=
，
2
AB =
，
∴
1
1
2
AH
AB
=
= ，
∴
1
1
3
3 1
2
2
2
ABD
S
BD
AH
=
=
=
．
8．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2 和3，第三边长为整数，则这个三角形周长
的最大值为_____．
【答案】9
【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大
值，即可得到三角形周长的最大值．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为2 和3，
∴3 2
−
第三边长
3
2
+
，即1 第三边长
5
，
∵第三边长为整数，
∴第三边长最大值为4 ，
则这个三角形周长的最大值为2 3 4
9
+ +
=
．
9．（2026·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
4,
6
AB
BC
=
=
，分别以B，C 两点为圆心，以AB
的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P，则点P 到AD 所在直线的距离为_____．
【答案】4
7
−
【分析】连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，根据题意可得，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
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可得E 为线段BC 的中点，根据勾股定理求得PE 的长度，即可求解．
【详解】解：连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，
由题意可得，四边形ABEF 为矩形，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
则
4
EF
AB
=
=
，E 为线段BC 的中点，即
1
3
2
BE
BC
=
=
，
线段PF 的长为点P 到AD 所在直线的距离，
由勾股定理可得，
2
2
7
PE
PB
BE
=
−
=
，
∴
4
7
PF
EF
PE
−
=
=
−
，
则点P 到AD 所在直线的距离为4
7
−
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助
线，构造出直角三角形．
10．（2026·四川广元·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，点D ，E ，F 分别
在AB ，AC ，BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，若
90
EDF
=
，AD
AE
=
，则EF 的最小值为__________．
【答案】6 5
5
【分析】勾股定理求得
5
AB =
，设
2
BAC
=
，延长CA 至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，进而求得
5
sin
5
=
，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，根据直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，可得G 点
在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，进而解Rt ACG 求得CG 的最小值，即可
求解．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，
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∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
设
2
BAC
=
，
如图，延长CA至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，
∴
3 5
8
HC
AC
AH
AC
AB
=
+
=
+
= + = ，
2
2
2
2
4
8
4 5
HB
BC
CH
=
+
=
+
=
，
∴
4
5
sin
sin
5
4 5
BC
H
HB
=
=
=
=
，
如图，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，
∴
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，
又∵AD
AE
=
，
∴AG垂直平分DE ，AG是
CAB
的角平分线，
∴G 点在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，
∴此时
3 5
sin
5
CG
AC
=
=
，
∴
min
6 5
5
EF
=
.
考点03 全等三角形判定、性质与基础证明
1．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知
,
40 ,
62
ABC
FDE
A
E
=
=
△
≌△
，则
EDF
的度数为（ ）
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A．40
B．62
C．78
D．102
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出
40
F
A
= =
，再根据三角形的内角和定理求出
EDF
的度数即可．
【详解】解：∵ABC
FDE
≌
，
40
A
=
，
62
E
=
，
∴
40
F
A
= =
，
∴
180
180
40
62
78
EDF
E
F
−
−
−
−
=
=
=
．
2．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入
相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作
1S ，
2
S ，正方形ABCD的面
积记作
3
S ，则
1S ，
2
S 与
3
S 的关系是（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
+
B．
1
2
3
S
S
S
+
=
C．
1
2
3
S
S
S
+
D．
1
2
3
2S
S
S
+
=
【答案】B
【分析】取点E ，F ，容易证明
(
)
ADE
DCF AAS
≌
，则DE
CF
=
，由勾股定理可得
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
从而得到
1
2
3
S
S
S
+
=
．
【详解】解：如图，取点E ，F ，
根据题意可知，
90
AED
DFC
=
=
，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AD
CD
=
，
90
ADC
=
，
∵
90
ADE
CDF
CDF
DCF
+
=
+
=
，
∴
ADE
DCF
=
，
在ADE 和DCF 中，
ADE
DCF
AED
DFC
AD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
ADE
DCF AAS
≌
，
∴DE
CF
=
，
在Rt ADE 中，
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
∵
2
1S
AE
=
，
2
2
2
S
CF
DE
=
=
，
2
3
S
AD
=
，
∴
1
2
3
S
S
S
+
=
．
3．
（2026·四川达州·中考真题）如图，AB DE 、BE
FC
=
．请你添加一个条件________，使得ABC
DEF
≌
．
【答案】AB
DE
=
（答案不唯一，如
A
D
=
或
ACB
F
= 等）．
【分析】根据平行线的性质得出
B
DEF
=
，根据线段的和差关系得出BC
EF
=
，此时具备了一边一角对
应相等，根据全等三角形的判定定理SAS、ASA或AAS添加相应的条件即可．
【详解】解：
AB
DE
∥
，
B
DEF
=
．
BE
FC
=
，
BE
EC
FC
EC
+
=
+
，即BC
EF
=
．
若添加AB
DE
=
，
在ABC和DEF 中，
AB
DE
B
DEF
BC
EF
=
=
=
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
．
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若添加
A
D
=
在ABC和DEF 中，
A
D
B
DEF
BC
EF
=
=
=
(
)
AAS
ABC
DEF
≌
．
若添加
ACB
F
=
在ABC和DEF 中，
B
DEF
BC
EF
ACB
F
=
=
=
(
)
ASA
ABC
DEF
△
≌△
．
4．（2026·四川南充·中考真题）请在横线上添加下列条件中的一个，①AE
CF
=
，②BE
BF
=
，③BE
DF
∥
，
使结论成立，并完成证明．
【条件】如图，在
ABCD 中，点E，F 分别在边AD ，BC 上，_______（选填序号；选择一个正确的即可）
【结论】
ABE
CDF
=
．
【答案】条件①和条件③均能使结论成立，选择其一即可；
选择条件①：AE
CF
=
．
证明：
四边形ABCD是平行四边形，
AB
CD
=
，
A
C
=
，
AE
CF
=
，
ABE
CDF
(
)
SAS ，
ABE
CDF
=
．
选择条件③：BE
DF
∥
．
证明：
四边形ABCD是平行四边形，
AD
BC ，
A
C
=
，
BE
DF
∥
，
AEB
ADF
=
，
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又
AD
BC ，
ADF
CFD
=
，
AEB
CFD
=
，
在ABE 中，
180
ABE
A
AEB
=
−−
，
在
CDF
△
中，
180
CDF
C
CFD
=
−
−
，
A
C
=
，
AEB
CFD
=
，
ABE
CDF
=
．
【分析】若添加AE
CF
=
，则可由SAS判定全等，从而对应角相等．
若添加BE
BF
=
仅说明BEF 为等腰三角形，无法证明
ABE
与
CDF
之间的等量关系．
若添加由BE
DF
∥
可得同位角
AEB
ADF
=
，再由AD
BC 得内错角
ADF
CFD
=
，从而
AEB
CFD
=
，
结合
A
C
=
，由三角形内角和定理即可证得
ABE
CDF
=
．
【详解】选择条件②，现有条件不能证明结论成立．
5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知AC
AD
=
，
CAB
DAB
=
．求证：BC
BD
=
．
【答案】证明：在ABC和ABD 中，
AC
AD
=
，
CAB
DAB
=
，AB
AB
=
，
(
)
ABC
ABD SAS
≌
，
BC
BD
=
．
【分析】利用SAS 证明ABC
ABD
≌
，即可证明BC
BD
=
．
【详解】略
6．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，ABCD 中，AE 、CF 分别垂直对角线BD 于点E 、F ．求证：AE
CF
=
．
【答案】证明：∵
,
AE
BD CF
BD
⊥
⊥
，
∴
90
AEB
CFD
=
=
，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
,
AB
CD AB CD
=
，
∴
ABE
CDF
=
∴
(
)
AAS
ABE
CDF
≌
∴AE
CF
=
．
【分析】根据平行四边形的性质证明
(
)
AAS
ABE
CDF
≌
．
【详解】略
考点04 平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定
1．（2026·四川泸州·中考真题）
ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA
OB
OC
OD
=
=
=
B．AC
BD
⊥
C．AC
BD
⊥
，AC
BD
=
D．OA
OC
=
，OB
OD
=
【答案】D
【分析】平行四边形的对角线性质为互相平分，根据平行四边形的基本性质逐一判断选项即可．
【详解】解：A 选项 只有矩形的对角线才满足OA
OB
OC
OD
=
=
=
，普通平行四边形不成立，A 错误．
B 选项 只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足AC
BD
⊥
，B 错误．
C 选项 对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C 错误．
D 选项 根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得OA
OC
=
，OB
OD
=
，D 成立．
2．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件
后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB
AD
=
B．AC
BD
⊥
C．AC
BD
=
D．
BAC
DAC
=
【答案】C
【详解】解：A、AB
AD
=
，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
B、AC
BD
⊥
，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、AC
BD
=
，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；
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D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
//
AB CD，
∴
BAC
ACD
=
，
又∵
BAC
DAC
=
，
∴
ACD
DAC
=
，
∴AD
CD
=
，
∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
综上，故选C．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面
积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积
等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
【详解】解：∵
2
9
14
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
7
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
7
0
x −
=
，
解得
2
x =
或
7
x =
，
∵方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2 和7，
∴该菱形的面积为1
2 7
7
2
=
．
4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点O，M、N 分别是BC
BO
、
的中点，
60
4
ABC
AB
=
=
，
，则MN 的长为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
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【分析】因为
60
4
ABC
AB
=
=
，
，根据菱形的性质可知
4
AC =
，而
1
2
2
OC
AC
=
=
，由M、N 分别是BC
BO
、
的中点，根据中位线的性质即可求得MN ．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，
60
4
ABC
AB
=
=
，
，
∴AB
BC
=
，AO
CO
=
，
∴ABC为等边三角形，
∴
4
AC
AB
=
=
，
∴
1
2
2
CO
AC
=
=
，
∵M、N 分别是BC
BO
、
的中点，
∴
1
1
2
MN
OC
=
= ．
5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，连
接DE 、EF 、DF ．若
1
DEF
S
= ，则
ABC
S
=
△
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】先证明
2
2
1
1
2
4
BDE
BCA
S
DE
S
AC
=
=
=
，同理可证，解答即可．
【详解】解：点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，
∴
1
,
2
DE
AC DE
AC
=
，
∴BDE
BAC
∽
，
∴
2
2
1
1
2
4
BDE
BCA
S
DE
S
AC
=
=
=
，
同理可证，
1
1
,
4
4
CEF
ADF
BCA
BCA
S
S
S
S
=
=
，
∴
1
4
DEF
BCA
S
S
=
，
由
1
DEF
S
= ，
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∴
4
ABC
S
=
．
6．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在
ABCD 中，
8
AB =
，
6
AD =
，
60
D
=
，
DAB
与
ABC
的角
平分线分别交CD于点E ，F ，AE 与BF 相交于点P ，连接CP ，则sin PCF
的值为（ ）
A．2
3
−
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
【答案】D
【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出ADE 是
等边三角形，确定
6
AE
DE
AD
=
=
=
，再结合含30直角三角形性质得出
2
PE
CE
=
=
，由等边对等角及外角
性质求出
30
PCF
=
，最后根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：在
ABCD 中，
60
D
=
，AB CD ，则
120
BAD
=
，
60
ABC
=
，
AE 平分
BAD
，
1
60
2
DAE
BAE
BAD
=
=
=
，
在
ABCD 中，AB CD ，则
60
DEA
BAE
=
=
，
8
DC
AB
=
=
，
在ADE 中，
60
D
DAE
AED
=
=
=
，则ADE 是等边三角形，
6
AE
DE
AD
=
=
=
，则
8 6
2
EC
DC
DE
=
−
= −=
，
BF 平分
ABC
，
1
30
2
ABF
CBF
ABC
=
=
=
，
在ABP 中，
60
PAB
=
，
30
PBA
=
，则
90
APB
=
，
在Rt APB 中，
30
ABP
=
，
8
AB =
，则
1
1
8
4
2
2
PA
AB
=
=
=
，
6 4
2
PE
AE
AP
=
−
= −=
，
2
PE
CE
=
=
，则
PCE
CPE
=
，
PEF
是PEC 的一个外角，且
60
PEF
=
，
1
30
2
PCF
PEF
=
=
，
1
sin
sin30
2
PCF
=
=
．
7．
（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，
6 cm
AC =
，
8 cm
BD =
，
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点P 为线段BC 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PM
AC
⊥
于点M，PN
BD
⊥
于点N，连接MN ，
则MN 的最小值为（ ）
A．5 cm
4
B．12 cm
5
C．5 cm
2
D．24 cm
5
【答案】B
【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形OMPN 为矩形，所以MN
OP
=
，则MN 的最小值为OP 最小值，
因为点P 为线段BC 上的一个动点，所以OP
BC
⊥
时，OP 最小，根据面积法求出OP 最小值即可．
【详解】解：连接OP ，
∵在菱形ABCD中，
∴
90
BOC
=
，
1
1
3
,
4
2
2
OC
AC
cm OB
BD
cm
=
=
=
=
，
∵PM
AC
⊥
，PN
BD
⊥
，
∴四边形OMPN 为矩形，
∴MN
OP
=
，
则MN 的最小值为OP 最小值，
∵点P 为线段BC 上的一个动点，
∴OP
BC
⊥
时，OP 最小，
此时
1
1
2
2
BOC
S
OB OC
BC OP
=
=
，
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∵
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
∴
(
)
3 4
12
,
5
5
OB OC
OP
c m
BC
=
=
=
，
∴MN 的最小值为12
5 cm ．
8．（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形ABCD中，点F 在线段BC 上，连接AF ，AE 平分
BAF
∠
交BC
于点E ，过点E 作EM
AF
⊥
，垂足为点N ，交AD 于点M ．若
6
AB =
，
2
BE =
，则AMN 的面积为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明
(
)
ABE
ANE AAS
≌
，则
6
AB
AN
=
=
，
2
BE
NE
=
=
．容易
证明EFN
AFB
∽
，则
1
3
EF
NF
NE
AF
BF
AB
=
=
=
，计算得
5
2
x =
，从而得到
3
2
NF =
．由AD
BC 可判定
EFN
MAN
∽
，从而计算出
8
MN = ，最后计算AMN 的面积即可．
【详解】解：设EF
x
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
=
，AD
BC ，
∵EM
AF
⊥
，
∴
90
ANE
ANM
ENF
=
=
=
，
∴
ABC
ANE
=
，
∵AE 平分
BAF
∠
，
∴
BAE
NAE
=
，
在ABE 和
ANE
△
中，
ABC
ANE
BAE
NAE
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
ANE AAS
≌
，
∴
6
AB
AN
=
=
，
2
BE
NE
=
=
，
∴
2
BF
BE
EF
x
=
+
=
+
，
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∵
90
ENF
ABC
=
=
，
EFN
AFB
=
，
∴EFN
AFB
∽
，
∴
2
1
6
3
EF
NF
NE
AF
BF
AB
=
=
=
=
，
∴
3
3
AF
EF
x
=
=
，
1
2
3
3
x
NF
BF
+
=
=
，
∵AF
AN
NF
=
+
，
∴
2
3
6
3
x
x
+
=
+
，
解得
5
2
x =
，
∴
2
3
3
2
x
NF
+
=
=
，
∵AD
BC ，
90
ANM
FNE
=
=
，
∴EFN
MAN
∽
，
∴MN
AN
NE
NF
=
，即
6
3
2
2
MN =
，
∴
8
MN = ，
∴
1
1
6 8
24
2
2
AMN
S
AN MN
=
=
=
．
9．（2026·四川泸州·中考真题）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为
___________．
【答案】
12
【分析】先根据三角形中位线定理得到所得四边形各边与原矩形对角线的数量关系，再结合矩形对角线相
等计算所得四边形的周长．
【详解】解：设原矩形为ABCD，矩形对角线相等，故
6
AC
BD
=
=
，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD，
DA 的中点，
根据三角形中位线定理，可得：
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1
1
6
3
2
2
EH
BD
=
=
=
，
1
1
6
3
2
2
EF
AC
=
=
=
，
1
1
6
3
2
2
FG
BD
=
=
=
，
1
1
6
3
2
2
GH
AC
=
=
= ，
因此所得四边形的周长为3 3 3 3 12
+ + + =
．
10．（2026·四川凉山·中考真题）四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO
CO
=
，请添加
一个适当的条件：_______，使四边形ABCD成为菱形．（只需要添加一个条件即可）
【答案】
OB
OD
=
（答案不唯一）
【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且AO
CO
=
，只需证明四边形ABCD
是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形．
【详解】解：添加条件OB
OD
=
即可，
AO
CO
=
，OB
OD
=
，
四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD的对角线互相垂直，
平行四边形ABCD是菱形
故可添加为OB
OD
=
（答案不唯一）．
11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，AE 垂直且平分线
段BO，垂足为点E ．已知
20 cm
BD =
，则AB 的长为________cm．
【答案】
10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB
AO
=
，再由矩形的性质得到
1
10cm
2
AO
BD
=
=
，则
10cm
AB
AO
=
=
．
【详解】解：∵AE 垂直且平分线段BO，
∴AB
AO
=
，
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∵四边形ABCD是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O，
20cm
BD =
，
∴
1
1
10cm
2
2
AO
AC
BD
=
=
=
，
∴
10cm
AB
AO
=
=
．
12．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6
AB =
厘米，
8
BC = 厘米．动点E 从点B 出发
以2 厘米/秒的速度在线段BC 上运动，运动到点C 处停止．动点E 运动t 秒时，连接AE ，将ABE 沿着直
线AE 折叠，顶点B 的对应点是点F，连接CF ．当EFC
V
是直角三角形时，则t 为_______秒．
【答案】1.5 或3/ 3
2 或3
【分析】根据折叠的性质可得
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，分
90
EFC
=
，
90
CEF
=
和
90
FCE
=
三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
B
=
，
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵点E 在线段BC 上，
∴
8 2
EC
BC
BE
t
−
=
= −
；
当
EFC
V
是直角三角形时，分三种情况讨论：
①当
90
EFC
=
时，∵
90
AFE
=
，
∴
180
AFE
EFC
+
=
，
∴A ，F ，C 三点共线，
∴
10 6
4
FC
AC
AF
−
=
=
−=
，
在 Rt EFC 中，由勾股定理得
2
2
2
EF
FC
EC
+
=
即
2
2
2
(2 )
4
(8
2 )
t
t
+
=
−
，
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解得
1.5
t =
；
②当
90
CEF
=
时，
∴EF
BC
⊥
，
∴
90
BEF
=
，
由折叠可知
AEB
AEF
=
，
∴
1
45
2
AEB
BEF
=
=
，
在 Rt
ABE
△
中，
90
45
BAE
AEB
−
=
=
，
∴
BAE
AEB
=
，
∴
6
BE
AB
=
= ，
∴2
6
t = ，
解得
3
t =
；
③当
90
FCE
=
时， 此时FC
BC
⊥
，即点F 在CD边上，
在 Rt
ADF
△
中，斜边
6
AF = ，直角边
8
AD
BC
=
=
，
∵AF
AD
，
∴此种情况不存在．
综上所述，t 的值为1.5或3．
13．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点
,
2 7,
6,
O AC
BD
EF
=
=
是线段BC 的垂直平分线，交BC 于点E，交BD 于点F，连接CF ，则
CDF
△
的周长为________．
【答案】10
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长CD，再根据线段垂直平分线的
性质得出CF
BF
=
，从而将CDF 的周长转化为CD
BD
+
进行计算
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【详解】解：
四边形ABCD是菱形，
2 7,
6
AC
BD
=
=
1
1
,
7,
3
2
2
AC
BD OC
AC
OD
BD
⊥
=
=
=
=
在Rt COD中，
由勾股定理得 𝐶𝐷= √𝑂𝐶2 + 𝑂𝐷2 = √(√7)2 + 32 = 4
EF 是线段BC 的垂直平分线
CF
BF
=
CDF
的周长为：
4 6 10
CD
DF
CF
CD
DF
BF
CD
BD
+
+
=
+
+
=
+
= + =
．
14．
（2026·四川甘孜·中考真题）如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30，得到正方形AEFG ，
EF 交CD于点H ，则四边形ADHE 的面积为______．
【答案】3 3
【分析】连接AH ，根据旋转的性质可得AE
AD
=
，
90
E
D
=
=
，利用HL 证明Rt
Rt
AEH
ADH
≌
，
从而得出
EAH
DAH
=
，结合旋转角求出
DAH
的度数，在Rt ADH 中利用三角函数求出DH 的长，最
后根据四边形面积等于两个三角形面积之和求解即可.
【详解】解：连接AH ，
四边形ABCD是边长为3 的正方形，
3
AB
AD
=
=
，
90
BAD
D
=
=
，
由旋转的性质可知：
3
AE
AB
=
= ，
30
BAE
=
，
90
AEF
B
=
=
，
点H 在EF 上，
90
AEH
=
，
AE
AD
=
，
90
AEH
D
=
=
，
90
BAD
=
，
30
BAE
=
，
90
30
60
DAE
BAD
BAE
=
−
=
−
=
；
在Rt AEH 和Rt ADH 中，
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{𝐴𝐻= 𝐴𝐻
𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴
(
)
Rt
Rt
AEH
ADH HL
≌
，
1
30
2
EAH
DAH
DAE
=
=
=
，
在Rt ADH 中，tan
DH
DAH
AD
=
，
3
tan30
3
3
3
DH
AD
=
=
=
，
四边形ADHE 的面积
2
AEH
ADH
ADH
S
S
S
=
+
=
1
2
2 AD DH
=
3
3
=
3 3
=
.
15．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别为对角线AC 、边CD上的
动点，且
2
DQ
AP
=
，则PQ 的最小值为_________．
【答案】3 2
【分析】过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，证明EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
设AP
x
=
，求得
2
6
2
PF
x
=
−
，
2
2
QF
x
=
，在Rt
PQF
△
中，由勾股定理得
(
)
2
2
3 2
18
PQ
x−
=
+
，最后利
用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，
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∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴
90
BAD
ADC
=
=
，
45
EAP
=
，
6
AD
CD
=
=
，
∵EF
AB
⊥
，
∴EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
∴
6
EF
AD
=
=
，AE
EP
DF
=
=
，EF
CD
⊥
，
设AP
x
=
，则
2
DQ
x
=
，
∵
2
6
DQ
x
=
，
∴0
3 2
x
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
AE
EP
AP
AE
EP
+
=
=
=
，
∴
2
2
AE
PE
x
=
=
，
∴
2
6
2
PF
EF
PE
x
=
−
=
−
，
2
2
2
2
2
QF
DQ
DF
x
x
x
−
=
−
=
=
，
在Rt
PQF
△
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
PQ
FQ
PF
x
x
=
+
=
+
−
2
2
36
6 2
2
2
x
x
x
=
+
−
+
(
)
2
2
6 2
36
3 2
18
x
x
x−
=
−
+
=
+
，
∵(
)
2
3 2
0
x−
，0
3 2
x
，
∴当
3 2
x =
时，
2
PQ 有最小值18，
∴PQ 的最小值为3 2 ．
16．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
9
AB = ，
12
AD =
，点E 在AB 边上，且
3
BE =
，
点F 是BC 边上的一个动点，将BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为点B，连接AB．点G 在线段AB上，
若
2
3
AG
AB
=
，连接DG ，则DG 的最小值为_______．
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【答案】4 10
2
−
【分析】根据翻折的性质可知
3
EB
EB
=
= ，即点B在以E 为圆心，3为半径的圆上运动，由
2
3
AG
AB
=
，
联想到位似变换，在AE 上取点H 使得
2
3
AH
AE
=
，构造AHG
AEB
∽
，从而确定点G 的轨迹是以H 为
圆心，2 为半径的圆，连接DH ，当
,
,
D G H 三点共线时，DG 取得最小值，利用勾股定理求出DH 的
长即可求解．
【详解】解：
四边形ABCD是矩形，
90
A
=
，
12
AD =
，
9
AB =
，
点E 在AB 边上，
3
BE =
，
9 3
6
AE
AB
BE
=
−
= −=
，
由翻折的性质可知，
3
EB
EB
=
= ，
在AE 上取一点H ，使得
2
3
AH
AE
=
，连接HG ，
2
6
4
3
AH
=
=
，
在AHG 和
AEB
△
中，
2
3
AG
AH
AB
AE
=
=
，
HAG
EAB
=
，
AHG
AEB
∽
，
2
3
HG
AH
EB
AE
=
=
，
2
2
3
2
3
3
HG
EB =
=
=
，
点H 是定点，HG 长为定值2 ，
点G 在以点H 为圆心，2 为半径的圆上运动，
连接DH ，当点G 在线段DH 上时，DG 的值最小，最小值为DH
HG
−
，
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在Rt DAH 中，
12
AD =
，
4
AH =
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
12
4
144 16
160
4 10
DH
AD
AH
=
+
=
+
=
+
=
=
，
DG
的最小值为4 10
2
−
．
17．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在边长为4 的正方形ABCD中，点E ，F ，G 分别是边AB ，BC ，
CD的中点，AF 与DE 交于点M ，BD 与AF ，MG 分别交于点N ，P ．则NP的长为__________．
【答案】8 2
9
【分析】根据正方形性质证明ADE
BAF
≌
，得出AF
DE
⊥
，等积法求出AM 的长，勾股定理求出DM 的
长，证明AND
FNB
∽
，推出
2
3
DN
BD
=
，连接BG ，易得四边形DEBG 为平行四边形，得到
//
,
2 5
BG DE BG
DE
=
=
，证明DMP
BGP
∽
，推出
4
9
DP
BD
=
，进而得到
2
4
2
3
9
9
NP
DN
DP
BD
BD
BD
=
−
=
−
=
，勾股定理求出BD 的长，即可得出结果.
【详解】解
四边形ABCD是正方形，边长为4 ，
4
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，
90
DAB
ABC
BCD
ADC
=
=
=
=
，
//
AB CD，
//
AD BC ，
E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD的中点，
2
AE
EB
BF
FC
CG
GD
=
=
=
=
=
=
，
在ADE 和BAF 中，
AD
AB
DAE
ABF
AE
BF
=
=
=
，
(
)
ADE
BAF SAS
≌
，
ADE
BAF
=
，DE
AF
=
，
90
ADE
DAF
+
=
，
(
)
180
90
AMD
ADE
DAF
−
=
+
=
，即AF
DE
⊥
，
36 / 70
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在Rt ADE中，由勾股定理得
2
2
2
2
4
2
2 5
DE
AD
AE
=
+
=
+
=
，
1
1
2
2
ADE
S
AD AE
DE AM
=
=
，
4 2
4 5
5
2 5
AD AE
AM
DE
=
=
=
，
2
2
8 5
5
DM
AD
AM
=
−
=
，
//
AD BC ，
NAD
NFB
=
，
NDA
NBF
=
，
AND
FNB
∽
，
4
2
2
DN
AD
BN
BF
=
=
=
，
2
3
DN
BD
=
，
连接BG ，
//
AB CD，
2
BE
DG
=
=
，
四边形DEBG 为平行四边形，
//
,
2 5
BG DE BG
DE
=
=
，
PDM
PBG
=
，
PMD
PGB
=
，
DMP
BGP
∽
，
4
5
DP
DM
BP
BG
=
=
，
4
9
DP
BD
=
，
2
4
2
3
9
9
NP
DN
DP
BD
BD
BD
=
−
=
−
=
，
在Rt ABD中，
2
2
2
2
4
4
4 2
BD
AB
AD
=
+
=
+
=
，
2
8 2
4 2
9
9
NP
=
=
.
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18．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，且DE
BF
=
，
连接AF ，CE．
求证：AF
CE
=
．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
=
，AD
BC
∥
，
∵DE
BF
=
，
∴AD
DE
BC
BF
−
=
−
∴AE
CF
=
∵AD
BC
∥
，点E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，
∴AE
CF
∥
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF
CE
=
．
【分析】根据矩形的性质可得AD
BC
=
，AD
BC
∥
，结合已知可得AE
CF
=
，进而得出四边形AFCE是平
行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证．
【详解】略
19．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在ABC中，
,
AB
AC AD
=
平分
BAC
，点E 是线段AD 的中点，
过点A 作AF
BC
∥
交CE的延长线于点F，连接BF ．
(1)求证：
DEC
AEF
△
≌△
；
(2)判断四边形ADBF 的形状并说明理由．
【答案】(1)证明：∵AF
BC
∥
，
∴
EAF
EDC
EFA
ECD
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
∵点E 是线段AD 的中点，
38 / 70
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∴AE
DE
=
；
在AEF 和DEC中，
EAF
EDC
EFA
ECD
AE
DE
=
=
=
，
∴
(
)
DEC
AEF AAS
≌
；
(2)解：四边形ADBF 是矩形，理由如下：
∵在ABC中，
,
AB
AC AD
=
平分
BAC
，
∴AD
BC
CD
BD
⊥
=
，
，
∴
90
ADB
=
；
由（1）得
DEC
AEF
△
≌△
，
∴AF
CD
=
，
∴AF
BD
=
，
∵AF
BC ，即AF
BD
∥
，
∴四边形ADBF 是平行四边形，
又∵
90
ADB
=
，
∴平行四边形ADBF 是矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到
EAF
EDC
EFA
ECD
=
=
∠
∠
，∠
∠
，由线段中点的定义可得AE
DE
=
，
即可证得结论；
（2）由三线合一定理得到AD
BC
CD
BD
⊥
=
，
，可得
90
ADB
=
，结合全等三角形的性质可得AF
BD
=
，
由已知可得AF
BD
∥
，可得四边形ADBF 是平行四边形，结合矩形的判定即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
20．（2026·四川内江·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，
//
AD BC ，点F 是DC 的中点，连接AF 并
延长交BC 的延长线于点E ．
(1)求证：ADF
ECF
≌
；
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(2)若CE
BC
=
，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明：∵点F 是DC 的中点，
∴DF
CF
=
∵AD
BC
∴
E
DAF
=
∵
AFD
EFC
=
∴
(
)
AFD
EFC AAS
≌
；
(2)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
由（1）知AFD
EFC
≌
∴AD
CE
=
∵CE
BC
=
∴AD
BC
=
，
∵AD
BC
∴四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据平行线的性质，得到
E
DAF
=
，再结合已知条件，利用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明
即可．
【详解】（1）略
（2）略
21．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在
ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点
E、F，连接AF 、CE．
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)若EF
AC
⊥
，BC
AC
=
，
70
B
=
．求
BAF
∠
的度数．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC ，
∴
,
OAE
OCF
OEA
OFC
=
=
，
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∵O 为AC 中点，
∴OA
OC
=
，
∴
(
)
AOE
COF AAS
≌
，
∴AE
CF
=
，
∵AE
CF ，
∴四边形AFCE为平行四边形；
(2)
30
BAF
=
【分析】（1）由题意得AD
BC ，OA
OC
=
，然后可得
(
)
AOE
COF AAS
≌
，则有AE
CF
=
，进而问题可
求证；
（2）由题意证出四边形AFCE为菱形，则有
FAC
FCA
=
，然后可得
70 ,
180
2
40
BAC
B
ACB
B
=
=
=
−
=
，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形AFCE为平行四边形，EF
AC
⊥
，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AF
CF
=
，
∴
FAC
FCA
=
，
∵BC
AC
=
，
70
B
=
，
∴
70 ,
180
2
40
BAC
B
ACB
B
=
=
=
−
=
，
∴
40
FAC
=
，
∴
30
BAF
BAC
FAC
=
−
=
．
22．（2026·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC （不与点B ，点C 重合）上
的一点，
90
AEF
=
，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
(1)如图1，求证：AE
EF
=
；
(2)如图2，M ，E 分别为AB ，BC 的中点，连接DM 和AE 相交于点G ，连接ME ，DF ．试判断四边形DMEF
的形状，并说明理由；
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(3)若点M 是边AB（不与点A ，点B 重合）上的一点，直接写出BM ，BE ，CD三边满足什么数量关系时，
四边形DMEF 是平行四边形．
【答案】(1)证明：在AB 上截取AH
EC
=
，
四边形ABCD是正方形，
AB
BC
=
，
90
B
BCD
=
=
，
AH
EC
=
，
AB
AH
BC
EC
−
=
−
，即HB
EB
=
，
BHE
是等腰直角三角形，
45
BHE
=
，
135
AHE
=
，
CF 是正方形ABCD的外角平分线，
45
DCF
=
，
135
ECF
=
°，
135
AHE
ECF
∠
∠
=
=
，
90
AEF
=
，
90
AEB
FEC
+
=
，
90
BAE
AEB
+
=
，
BAE
FEC
=
，
在AHE 和
ECF
△
中，
AHE
ECF
AH
EC
HAE
CEF
=
=
=
(
)
AHE
ECF ASA
≌
，
AE
EF
=
；
(2)四边形DMEF 是平行四边形．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
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AD
AB
BC
=
=
，
90
DAB
B
= =
，
M ，E 分别为AB ，BC 的中点，
AM
BE
=
，
在
DAM
△
和ABE 中，
AD
AB
DAB
B
AM
BE
=
=
=
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，
ADM
BAE
=
，DM
AE
=
，
90
BAE
DAE
+
=
，
90
ADM
DAE
+
=
，
90
AGD
=
，
90
AEF
=
，
AGD
AEF
=
，
MD
EF
∥
，
由（1）得AE
EF
=
，
MD
EF
=
，
四边形DMEF 是平行四边形．
(3)当BM
BE
CD
+
=
时，四边形DMEF 是平行四边形
【分析】（1）在AB 上截取AH
EC
=
，结合正方形的性质得到HB
EB
=
，则
45
BHE
=
，再结合正方形ABCD
的外角平分线，得到
135
AHE
ECF
=
=
，即可证明
(
)
AHE
ECF ASA
≌
，得到AE
EF
=
；
（2）由M ，E 分别为AB ，BC 的中点，得到AM
BE
=
，即可证明
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，得到
ADM
BAE
=
，
DM
E
AE
F
=
=
，接着得到
90
A
AGD
EF
=
=
，则MD
EF
∥
，最后根据一组对边平行且相等即可得到四
边形DMEF 是平行四边形．
（3）根据BM
BE
CD
+
=
，得到AM
BE
=
，即可证明
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，得到
ADM
BAE
=
，
DM
E
AE
F
=
=
，接着得到
90
A
AGD
EF
=
=
，则MD
EF
∥
，最后根据一组对边平行且相等即可得到四
边形DMEF 是平行四边形．
【详解】（1）略
（2）略
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（3）解：当BM
BE
CD
+
=
时，四边形DMEF 是平行四边形．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
AD
AB
BC
=
=
，
90
DAB
B
= =
，
∵BM
BE
CD
+
=
，BM
AM
AB
+
=
，
AM
BE
=
，
在
DAM
△
和ABE 中，
AD
AB
DAB
B
AM
BE
=
=
=
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，
ADM
BAE
=
，DM
AE
=
，
90
BAE
DAE
+
=
，
90
ADM
DAE
+
=
，
90
AGD
=
，
90
AEF
=
，
AGD
AEF
=
，
MD
EF
∥
，
由（1）得AE
EF
=
，
MD
EF
=
，
四边形DMEF 是平行四边形．
考点05 多边形内角和、外角和
1．（2026·四川广安·中考真题）正九边形一个外角的度数是_____．
【答案】40
【分析】根据任意多边形的外角和为360，正多边形的每个外角都相等，利用正n 边形的外角公式360
n
求
解即可.
【详解】解：任意多边形的外角和为360，正九边形的9 个外角都相等，因此正九边形的一个外角的度数
为360
40
9
=
．
2．（2026·四川成都·中考真题）正八边形的每个内角的度数都为_____．
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【答案】135/135 度
【分析】先利用多边形内角和公式
(
)
180
2
n
−
求出正八边形的内角和，再根据正八边形共有8 个内角，且
每个内角都相等求解即可．
【详解】解：正八边形的内角和为
(
)
180
8
2
1080
−
=
，
∵正八边形共有8 个内角，且每个内角都相等，
∴正八边形的每个内角的度数都为1080
8
135
=
．
3．（2026·四川自贡·中考真题）正五边形ABCDE 与等腰Rt CDF 按如图摆放，则
BCF
=_____．
【答案】63
【分析】先根据正多边形的性质求出
108
BCD
=
，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得
到
45
FCD
=
，由
BCF
BCD
FCD
=
−
即可得出结果．
【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴
(
)
5 2
180
5
108
BCD
=
−
=
，
∵CDF 是等腰直角三角形且
90
CFD
=
，
∴CF
DF
=
，
90
CFD
=
，
∴
(
)
1 180
45
2
FCD
FDC
CFD
=
=
−
=
，
∴
63
BCF
BCD
FCD
=
−
=
．
4．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以F 、
C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是________．
【答案】
8
6 3
3
−
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【分析】连接AD 、BE 、CF ，由题意可得AD 、BE 、CF 交于点O，得出ODE 是等边三角形，利用等
边三角形的性质和三角函数可计算出
2
DE =
．由正多边形的内角公式可得
120
BCD
AFE
=
=
，用正六边
形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接AD 、BE 、CF ，
在正六边形ABCDEF 中，
(
)
6
2
180
120
6
BCD
AFE
−
=
=
=
，AF
BC
DE
=
=
，
∵点O为正六边形ABCDEF 的中心，
∴AD 、BE 、CF 交于点O，
∴
360
6
60 ,
DOE
DO
EO
=
=
=
，
∴ODE 是等边三角形，
∴DE
OD
=
，
60
ODE
=
，
根据题意，OM
DE
⊥
，
在Rt ODM 中，
3
2
sin ∠
sin 60
OM
OD
ODE
=
=
=
，
∴
2
AF
BC
DE
OD
=
=
=
=
，
∵
正六边形
△
1
6
6
6 3
2
ABCDEF
ODE
S
S
DE
OM
=
=
=
，
∴
阴影
正六边形
扇形
扇形
ABCDEF
FAE
CBD
S
S
S
S
=
−
−
2
2
120π 2
120π 2
6 3
360
360
=
−
−
4
4
6 3
3
3
=
−
−
8
6 3
3
=
−
．
考点06 尺规作图
1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画
弧，两弧交于点D，点E，作直线DE 交BC 于点F，连接AF ，若
50
B =
∠
，
60
C
=
，则
CAF
的度数
为（ ）
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A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】B
【分析】根据作图过程可知直线DE 是线段AB 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得FA
FB
=
，
进而得到
FAB
B
=
，再根据三角形内角和定理求出
BAC
的度数，最后利用
CAF
BAC
FAB
=
−
求
解即可．
【详解】由作图可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
FA
FB
=
，
FAB
B
= ，
50
=
B
，
50
FAB
=
，
在ABC中，
50
B =
∠
，
60
C
=
，
180
180
50
60
70
BAC
B
C
−
−
−
−
=
=
=
，
70
50
20
CAF
BAC
FAB
−
−
=
=
=
．
2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，以点B 为圆心任意
长为半径画弧分别交BC 、BA 于M 、N 两点，分别以点M 、N 为圆心，大于1
2 MN 长为半径画弧，两弧交
于点P ，连接BP 并延长交AC 于点F ，则
ABF
△
的面积为（）
A．10
3
B．25
3
C．40
3
D．65
3
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出AC 的长，再
根据尺规作图可知BF 是
ABC
的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点
F 到AB 的距离（即FC 的长），最后计算
ABF
△
的面积．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，
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由勾股定理得：
2
2
2
2
13
5
12
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
由尺规作图可知，BF 是
ABC
的角平分线，过点F 作FD
AB
⊥
于点D ，
90
C
=
，即FC
BC
⊥
，
FD
FC
=
，
ABC
ABF
CBF
S
S
S
=
+
，
1
1
1
2
2
2
AC BC
AB FD
BC FC
=
+
，
即1
1
1
12 5
13
5
2
2
2
FC
FC
=
+
，
60
13
5
FC
FC
=
+
，
18
60
FC =
，解得
10
3
FC =
，
10
3
FD
=
，
1
1
10
65
13
2
2
3
3
ABF
S
AB FD
=
=
=
．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，以点A 为圆心，小于AC 长为半径画
弧分别交AC 、AB 于点P 、Q ，又分别以P 、Q 为圆心，大于1
2 PQ 为半径画弧交于点M ，连接AM 交BC
于点D．已知
5
AB = ，
2
CD =
，则ABD 的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知AD 是
BAC
的角平分线，利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于CD的
长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，AD 是
BAC
的角平分线，
过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，
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90
ACB
=
，即DC
AC
⊥
，
2
DE
CD
=
=
，
1
1
5 2
5
2
2
ABD
S
AB DE
=
=
=
．
4．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平行四边形ABCD（AB
AD
）中，按如下步骤作图：①以点A 为
圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2 MN 的长
为半径画弧，两弧在
BAD
内交于点P ；③作射线AP 交BC 于点E ．若
3
AB =
，
2
EC =
，则AD 的长为______．
【答案】5
【分析】由平行四边形的性质得到
,
AD
BC AD
BC
=
∥
，则
BEA
DAE
=
，由作图方法可知，AE 平分
BAD
，
则可推出
BAE
BEA
=
，得到
3
BE
AB
=
=
，据此求出BC 的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
,
AD
BC AD
BC
=
∥
，
∴
BEA
DAE
=
；
由作图方法可知，AE 平分
BAD
，
∴
BAE
DAE
=
，
∴
BAE
BEA
=
，
∴
3
BE
AB
=
= ，
∴
5
BC
BE
EC
=
+
=
，
∴
5
AD = ．
5．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平行四边形
(
)
ABCD BC
AB
中，按以下步骤作图：①以点A 为
圆心，适当的长为半径画弧，交AB 于点M ，交AD 于点N ；②分别以点M 、N 为圆心，大于1
2 MN
的长为半径画弧，两弧在
BAD
的内部相交于点E ；③连接AE 并延长交线段BC 于点F ，若
6
CD =
，
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2
CF =
，则平行四边形ABCD 的周长为_________．
【答案】28
【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明AB
BF
=
，再由平行四边形的对边相等即可求解周长．
【详解】解：由作图可得，AF 平分
BAD
，
∴
BAF
DAF
=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
6
AB
CD
=
=
，BC
AD
∥
，AD
BC
=
∴
BFA
DAF
=
∠
∠
∴
BAF
BFA
=
∴
6
BF
AB
=
=
，
∵
2
CF =
∴
8
BC
BF
CF
AD
=
+
=
=
，
∴平行四边形ABCD 的周长为
(
)
2
6 8
28
+
=
．
6．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在
MAN
中，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，4cm 长
为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，C ；（2）分别以点B ，C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径画弧，两
弧在
MAN
内部相交于点D ；（3）作射线AD 交BC 于点E ；（4）连接BC ，交AD 于点F ，连接BE ．若
3 cm
AF =
，则BE = _____cm．
【答案】2 2
【分析】由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，结合勾股定理和线段的和差可得
7
BF =
，
1cm
EF =
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，
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∵
3
AF =
∴
2
2
7
BF
AB
AF
=
−
=
，
(
)
1
,
EF
AE
AF
c m
−
=
=
，
∴
(
)
2
2
8
2 2
,
BE
BF
EF
c m
=
+
=
=
．
7．（2026·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
8
AC = ．分别以点A ，C 为
圆心，大于1
2 AC 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ，则DE 的
长为_______．
【答案】3
【分析】由勾股定理可得
6
BC =
，由尺规作图可得MN 是AC 的垂直平分线，容易证明ADE
ACB
∽
，则
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，因此
1
3
2
DE
BC
=
=
．
【详解】解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
8
6
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
由题意可知，MN 是AC 的垂直平分线，
∴MN
AC
⊥
，
1
2
AD
AC
=
，
∴MN
BC
∥
，
∴ADE
ACB
∽
，
∴
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，
∴
1
3
2
DE
BC
=
=
．
8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BC
AD
∥
，
1
2
BAD
BCD
=
．
(1)尺规作图：在AD 边上作一点E ，使
BCE
DCE
=
；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形ABCE为平行四边形．
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【答案】(1)
(2)证明：∵
1
2
BAD
BCD
=
，
BCE
DCE
=
，
∴
A
BCE
=
，
∵BC
AD
∥
，
∴
BCE
CED
=
，
∴
A
CED
=
，
∴AB
CE
∥
，
∴四边形ABCE为平行四边形．
【分析】（1）作
BCD
的角平分线即可；
（2）根据平行线的判定和性质证明AB
CE
∥
可得结论．
【详解】（1）略；
（2）略．
1．（2026·四川泸州·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【详解】解：∵矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，
∴A 是假命题，不符合题意；
∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，
∴B 是假命题，不符合题意；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线垂直相等的四边形不是正方形，
∴C 是假命题，不符合题意；
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∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴D 是真命题，符合题意．
2．（2026·四川泸州·二模）若正多边形的内角和是540，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45
B．72
C．82
D．90
【答案】B
【分析】先根据多边形内角和公式求出正多边形的边数，再利用任意多边形外角和为360，正多边形每个
外角相等，即可计算出一个外角的度数．
【详解】解：设该正多边形的边数为n ，
正多边形的内角和是540，多边形内角和公式为(
)
2
180
n−
，
(
)
2
180
540
n
−
=
，
解得
5
n = ，
又
任意多边形的外角和为360，正多边形的每个外角相等，
该正多边形的一个外角为360
5
72
=
．
3．（2026·四川绵阳·二模）下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】正方体展开图的11 种不同的形状，其特征可总结为：141、222、33、132；根据上面的特征，找
出不符合上面特征的形状即可，也可通过折叠进行判断，即判断哪个图形能折成正方体．
【详解】解：根据展开图特征判定，B 符合题意．
4．（2026·四川眉山·一模）将一个三角板如图放置，直线AB CD ，若
1
50
=
，则
2
的度数为（ ）
A．140
B．130
C．50
D．40
【答案】A
【分析】先求出
3
40
=
，再由平行线的性质可得
4
3
40
= =
，最后由邻补角的定义计算即可得出结果．
【详解】解：如图：
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，
由题意可得：
3
90
1
40
=
−=
，
∵AB CD ，
∴
4
3
40
= =
，
∴
2
180
4
140
=
−=
．
5．（2026·四川泸州·二模）如图，在菱形ABCD中，
10
AB =
，
28
AC
BD
+
=
，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48
B．80
C．96
D．192
【答案】C
【分析】由菱形的性质得
1
2
OA
AC
=
，
1
2
OB
BD
=
，AC
BD
⊥
，再由勾股定理得
2
2
2
100
OA
OB
AB
+
=
=
，然
后求出
14
OA OB
+
=
，则(
)
2
196
OA
OB
+
=
，得2
96
OA OB
=
，进而可得出答案．
【详解】解：
四边形ABCD是菱形，
1
2
OA
AC
=
，
1
2
OB
BD
=
，AC
BD
⊥
，
90
AOB
=
，
∴
2
2
2
100
OA
OB
AB
+
=
=
，
28
AC
BD
+
=
，
14
OA OB
+
=
，
∴(
)
2
2
14
196
OA
OB
+
=
=
，
即
2
2
2
196
OA
AO OB
OB
+
+
=
，
2
196 100
96
OA OB
=
−
=
，
∴
1
2
96
2
ABCD
S
AC BD
OA OB
=
=
=
菱形
．
6．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点A ，B 固定在墙面，拉动橡皮筋构成ABP ，
C ，D 分别为AP ，BP 的中点，拉动点P 至P的过程中，CD的长度（ ）
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A．增长
B．缩短
C．不变
D．增长或缩短
【答案】C
【分析】根据中点定义可知CD为ABP 的中位线，由定理可知
1
2
=
CD
AB ．由于
,
A B 固定，AB 长度不变，
故CD长度不变．
【详解】解：
点C 、点D 分别为AP ，BP 的中点，
CD是ABP 的中位线，
1
2
=
CD
AB ，
A ，B 为固定点，
AB 的长度不变，
拉动点P 至P的过程中，CD的长度不变．
7．（2026·四川成都·二模）如图，菱形盒子ECDF 底部有一面平面镜l ，从点A 处射入一道平行于CD的光
线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点B （法线与平面镜l 垂直，反射角等于入射角），若
35
C
=
，则
的度数为（ ）
A．100
B．105
C．110
D．115
【答案】C
【分析】由菱形的性质可得
35
F
C
=
=
，CD
EF
∥
，即得
35
AGD
F
=
=
，又可得
(
)
(
)
2 90
2
90
35
110
AGB
AGD
=
−
=
−
=
，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ECDF 是菱形，
∴
35
F
C
=
=
，CD
EF
∥
，
∵AG
CD
∥
，
∴AG
EF
∥
，
35
AGD
F
=
=
，
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∵法线垂直于GD，反射角等于入射角，
(
)
(
)
2 90
2
90
35
110
AGB
AGD
=
−
=
−
=
，
∵AG
EF
∥
，
110
AGB
=
=
．
8．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC
BD
、
交于点O，折叠正方形纸
片ABCD．使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕ED 分别交AB
AC
，
于点E、G，
连接GF ，有下列结论：①
67.5
OGD
=
；②四边形AEFG 是菱形；③AGD
BED
∽
；④
2
BF
OF
=
．其
中正确结论的序号是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得
45
GAD
ADO
?
?
? ，又由折叠的性质，可求得
OGD
的度数；
②由折叠的性质与平行线的性质，得EFG是等腰三角形，即可证得AE
GF
=
，证得四边形AEFG 是菱形；
③由题可知
45
GAD
EBD
=
=
，
ADG
BDE
=
即可证得AGD
BED
∽
；④根据四边形AEFG 是菱形，
结合正方形的性质可得
GOF
△
为等腰直角三角形，则
2
GF
OF
=
，再证BEF 等腰直角三角形，得到
BF
EF
=
，进而得到
2
BF
OF
=
．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
45
GAD
ADO
OAB
=
=
=
，
90 ,
BAD
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，AC
BD
⊥
，
由折叠的性质可得：
1
22.5
2
ADG
ADO
?
?
?，
∴
180
45
22.5
112.5
AGD
=
−
−
=
，
180
112.5
67.5
OGD
=
−
=
，故①正确；
90
EFD
AOF
?
?
?
Q
，
EF
AC
∥
，
FEG
AGE
\ ?
?
，
AGE
FGE
?
?
Q
，
FEG
FGE
\ ?
?
，
EF
GF
=
，
AE
EF
=
，
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AE
GF
=
，
,
AE
EF
GF AG
GF
=
=
=
，
AE
EF
GF
AG
\
=
=
=
，
∴四边形AEFG 是菱形，故②正确；
在正方形纸片ABCD中，
45
GAD
EBD
=
=
，
由折叠可知
ADG
BDE
=
，
AGD
BED
∽
，故③正确；
四边形AEFG 是菱形，
GF
AE
∥
，GE
AE
EF
=
=
，
45
OGF
OAE
=
=
，
又AC
BD
⊥
，
GOF
V
为等腰直角三角形，
2
GF
OF
=
，
又
90 ,
45
BFE
ABD
=
=
，
BEF 等腰直角三角形，
BF
EF
=
，
2
BF
GF
OF
=
=
，故④正确．
9．（2026·四川成都·二模）如图，在ABC中，AB
AC
=
，
32
A
=
，D 是AC 边上一点，沿BD 所在直线
将BCD折叠，若点C 的对应点E 恰好落在AB 边上．则
ADE
的度数是______．
【答案】42/42 度
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
C
的度数，由折叠的性质可得
=
BED
C ，
最后根据三角形外角的性质即可求出
ADE
的度数．
【详解】解：
在
ABC 中，AB
AC
=
，
32
A
=
，
(
)
(
)
1
1
180
180
32
74
2
2
ABC
C
A
=
=
−
=
−
=
，
由折叠的性质可知，
74
BED
C
=
=
，
BED
是
ADE 的外角，
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BED
A
ADE
=
+
，
74
32
42
ADE
BED
A
=
−
=
−
=
．
10．（2026·四川雅安·二模）若| 4
|
9
0
a
b
−
+
−
=
，则以a、b 为边长的等腰三角形的周长是________．
【答案】
22
【分析】根据非负数的性质求出a ，b 的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形三边关系判断
能否构成三角形，即可计算得到周长．
【详解】解：
4
9
0
a
b
−
+
−
=
，且4
0
a
−
，
9
0
b −
，
4
0
a
−
=
，
9
0
b−= ，
解得：
4
a =
，
9
b =
，
当等腰三角形的腰长为4 ，底边长为9时，三边长为4 ，4 ，9，
4
4
8
9
+
=
，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
当等腰三角形的腰长为9，底边长为4 时，三边长为4 ，9，9， 满足三角形三边关系，
此时三角形的周长为4 9 9
22
+ + =
．
11．（2026·四川南充·二模）如图，在矩形ABCD中，点E 是AD 的中点，点F 是BE 的中点，
6
AB =
，
4
BC =
，
则CF 的长为______．
【答案】3 2
【分析】过点F 作MN
AB
∥
，交AD 于M，，交BC 于N ，可先得BE 的长，则
10
BF =
，再证四边形ABNM
为矩形， 可得
1
BN
AM
=
= ，由勾股定理可得CF 的长．
【详解】解：过点F 作MN
AB
∥
，交AD 于M，，交BC 于N ，
四边形ABCD为矩形，
90
BAD
ABC
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，AD
BC ．
点E 是AD 的中点，
1
2
2
AE
AD
=
=
．
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2
2
2
2
6
2
2 10
BE
AB
AE
=
=
=
+
+
．
点F 是BE 的中点，
1
10
2
BF
BE
=
=
．
MN
AB
∥
，
90
ABC
FNC
FNB
=
=
=
，
1
EM
EF
AM
BF
=
= ，
1
1
2
AM
AE
=
=
．
AD
BC ，
四边形ABNM 为矩形，
1
BN
AM
=
= ．
3
CN
BC
BN
=
=
−
．
(
)
2
2
2
2
10
1
3
FN
FB
BN
=
−
=
−
= ．
2
2
2
2
3
3
3 2
CF
FN
CN
=
=
=
+
+
．
12．
（2026·四川泸州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，BCD
的平分线交AB 于点E ，若
4
AD =
，
1
AE = ，
则
ABCD 的周长为__________．
【答案】18
【分析】由平行四边形的性质得到AD
BC ，AD
BC
=
，AB
CD
=
，再由平行线的性质和角平分线的定义
得到
BEC
BCE
=
，则
4
BE
BC
=
=
，求出AB ，据此根据平行四边形周长计算公式可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
4
AD =
，
∴AD
BC ，AD
BC
=
，AB
CD
=
，
∴
DCE
BEC
=
，
∵
BCD
的平分线交AB 于点E，
∴
DCE
BCE
=
，
∴
BEC
BCE
=
，
∴
4
BE
BC
=
=
，
∵
1 4
5
AB
AE
BE
=
+
= +
=
，
小学
初中
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∴平行四边形ABCD的周长
4 5 4 5 18
AD
AB
BC
CD
=
+
+
+
= + + + =
．
13．（2026·四川广安·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，以点A 为圆心，以任意长为半
径画弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，再分别以M 、N 为圆心，以大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于
点P ，连接AP 并延长AP 交BC 于点D ．则下列说法：①AD 平分
BAC
；②
30
ADC
=
；③点D 在AB 的
垂直平分线上；④若
:
2 1
AN NC =
−，则
:
3 2 2
AM MB = −
；⑤ABC是轴对称图形．其中正确的说法有
___（填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据尺规作图的痕迹可判断AD 是
BAC
的平分线；根据直角三角形两锐角互余求出
BAC
的度数，
结合角平分线定义求出
CAD
和
BAD
的度数，进而求出
ADC
的度数；根据等角对等边得出DA
DB
=
，
利用线段垂直平分线的判定定理判断点D 的位置；设NC 为k ，利用已知比例表示出AC 和AB 的长，进而
表示出AM 和MB 的长，计算比值即可；根据轴对称图形的定义判断ABC 是否为轴对称图形．
【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，AD 是
BAC
的平分线，故①正确．
90
C
=
，
30
B
=
，
90
30
60
BAC
=
−
=
．
AD 平分
BAC
，
1
30
2
CAD
BAD
BAC
=
=
=
．
90
60
ADC
CAD
=
−
=
，故②错误．
30
BAD
=
，
30
B
=
，
BAD
B
=
．
DA
DB
=
．
点D 在AB 的垂直平分线上，故③正确．
若
2 1
AN NC =
−
∶
，设NC
k
=
，则
(
)
2
1
AN
k
=
−
．
(
)
2
1
2
AC
AN
NC
k
k
k
=
+
=
−
+
=
．
由作图可知
(
)
2
1
AM
AN
k
=
=
−
．
在Rt
ABC
△
中，
30
B
=
，
60 / 70
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2
2 2
AB
AC
k
=
=
．
(
)
(
)
2 2
2
1
2
1
MB
AB
AM
k
k
k
=
−
=
−
−
=
+
．
(
)
(
)
2
2
1
2
1
( 2
1)
3
2 2
2
1
2
1
k
AM MB
k
−
−
=
=
=
−
=
−
+
+
∶
，故④正确．
90
C
=
，
30
B
=
，
60
BAC
=
，
ABC
的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
14．（2026·山东潍坊·二模）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
，
4
AD =
，点E 为矩形ABCD内一个动点，
连接AE ，DE ，BE ，
90
AED
=
，点M ，N 分别为BE ，BC 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为__________．
【答案】
13
1
2
−
【分析】由点E 为矩形ABCD内一个动点，且
90
AED
=
得点E 在以AD 为直径的圆上（矩形内部的一段
弧），要求MN 的最小值，即求CE 的最小值，当
,
,
O E C 三点共线时，CE 的值最小，由勾股定理求出
13
=
OC
，
可得CE的最小值为13
2
−
，根据三角形中位线定理可得MN 的最小值为13
1
2
−．
【详解】解：∵点E 为矩形ABCD内一个动点，且
90
AED
=
，
∴点E 在以AD 为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图，
设AD 的中点为O，则O 是圆心，半径
1
2
2
r
AD
=
=
，连接
,
OE CE
∵M、N 分别是BE 、BC 的中点，
∴MN 是
BEC
V
的中位线，
∴
1
2
MN
CE
=
，
因此，要求MN 的最小值，即求CE的最小值，
当
,
,
O E C 三点共线时，CE的值最小，
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在Rt
CDO
△
中，
3
CD
AB
=
=
，
1
2
2
OD
AD
=
=
，
∴
2
2
2
2
3
2
13
CO
CD
DO
=
+
=
+
=
，
∵
2
OE =
，
∴
13
2
CE =
−，
∴
1
13
1
2
2
MN
CE
=
=
−，即MN 的最小值为13
1
2
−．
15．
（2026·四川宜宾·二模）如图，在ABC中，
6 3
BC =
，
60
BAC
=
，点D 在AC 上，连接BD ．若
3
AB
CD
=
，
则BD 的最小值为________．
【答案】4 7
2
−
【分析】设ABC的外接圆为
O ，过点B 作BG
AC
∥
交
O 于点G，连接AG
CG
OA OB
OC
，
，
，
，
，过点
O 作OE
BC
⊥
于点E，连接并延长GD，交于
O 点F，连接CF ，证明ADG
FDC
∽
，得AG 的对应边CF
是定值，得
CDF
ACG
CGF
=
+
是定值，得点D 是在以CF 为弦的圆弧上运动，设圆心为H，连接
CH
DH
BH
，
，
．证明CHD
AOB
∽
，得CH
CD
BO
AB
=
，得
2
CH =
．延长CH 交
H 于点I，证明
90
BCI
ACB
ICD
=
+
=
，得
2
2
4 7
BH
BC
CH
=
+
=
，当点D 在BH 上时，BD 取得最小值，
4 7
2
BD
BH
DH
=
−
=
−
．
【详解】解：设ABC的外接圆为
O ，过点B 作BG
AC
∥
交
O 于点G，连接AG
CG
OA OB
OC
，
，
，
，
，
过点O 作OE
BC
⊥
于点E，连接并延长GD，交
O 于点F，连接CF ，
则
ACB
CBG
=
，
∴AB
CG
=
,
∴CG
AB
=
，
∴
ACB
CAG
=
，
∵
BAG
BCG
=
，
∴
BAC
GCA
=
，
BC
AG
=
,
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∴
6 3
AG
BC
=
=
，
∵
CAG
CFG
=
，
∴
ACB
CFG
=
∠
∠
，
同理得AB
CG
=
,
∵
ADG
FDC
=
，
∴ADG
FDC
∽
，
AD
AG
DG
FD
FC
DC
=
=
,
∴AG的对应边CF 是定值，
∴
CDF
ACG
CGF
=
+
是定值，
∴点D 是在以CF 为弦的圆弧上运动，设圆心为H，
连接CH
DH
BH
，
，
．
∵
60
BAC
=
，
∴
2
120
BOC
BAC
=
=
，
∴
(
)
1 180
30
2
OBC
BOC
=
−
=
，
∴
2
OB
OE
=
，
∵
2
2
2
1
3 3
2
OE
BE
OB
BE
BC
+
=
=
=
，
，
∴
6
OB = ，
∵
2
2
CHD
CFD
AOB
ACB
=
=
，
，
∴
CHD
AOB
=
，
∵CH
DH
AO
BO
=
=
，
，
∴CH
DH
BO
AO
=
，
∴CHD
AOB
∽
，
∴CH
CD
BO
AB
=
，
∵
3
AB
CD
=
，
∴
2
CH =
．
延长CH 交
H 于点I，连接DI ，
则
90
CDI =
∠
，
∴
90
ICD
CID
+
=
，
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∵
CID
CFD
=
，
∴
CID
ACB
=
，
∴
90
BCI
ACB
ICD
=
+
=
，
∴
2
2
4 7
BH
BC
CH
=
+
=
，
∵BD
DH
BH
+
，
∴当点D 在BH 上时，BD
DH
BH
+
=
，
此时BD 取得最小值，
4 7
2
BD
BH
DH
=
−
=
−
．
16．（2026·四川内江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC
CD
⊥
，点O是AC 的中点，过点O的直线
EF 分别交AB ，CD的延长线于点E ，F ．
(1)求证：BE
DF
=
；
(2)若
3
CD
DF
=
= ，
5
AD = ，求OE 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2 10
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得
E
F
=
，OA
OC
=
，结合对顶角相等，即可证明
(
)
AAS
AEO
CFO
≌
，得出AE
CF
=
，进而即可得证；
（2）勾股定理求得
4
AC =
，
2 10
OF =
，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
//
AB CD
，AB
CD
=
，
E
F
=
，
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O 为AC 中点，
OA
OC
=
，
在AEO和COF 中
E
F
AOE
COF
OA
OC
=
=
=
(
)
AAS
AEO
CFO
≌
，
AE
CF
=
，
AE
AB
CF
CD
−
=
−
即BE
DF
=
；
（2）解：
3
CD
DF
=
= ，
6
CF
= ，
5
AD =
，AC
CD
⊥
，
90
ACD
=
，
AC =
2
2
5
3
−
4
=
2
OC
OA
=
=
OF
=
2
2
2
6
2 10
+
=
，
AEO
CFO
≌
OE
OF
=
= 2 10 ．
17．（2026·四川南充·一模）如图，在ABC中，
,
AB
AC AD
=
为ABC 的中线，以点A 为圆心，以AD 长
为半径画弧，与AB 、AC 分别交于点E、F，连接DE 、DF ．
(1)求证：ADE
ADF
≌
；
(2)若
20
BDE
=
，求
BAC
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
BAC
的度数为80
【分析】（1）根据三线合一得出
BAD
CAD
=
．由作图知：AE
AF
=
．由SAS可证明ADE
ADF
≌
；
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（2）由等腰三角形的性质求出
70
ADE
=
，由作图知：AE
AD
=
．得出
AED
ADE
=
，进而利用三角形
内角和即可得出答案．
【详解】（1）证明：
AB
AC
=
∵
，AD 为ABC的中线，
BAD
CAD
=
．
由作图可得AE
AF
=
．
在ADE 和ADF 中，
AE
AF
BAD
CAD
AD
AD
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
ADF
≌
；
（2）解：
AB
AC
=
∵
，AD 为ABC的中线，
AD
BC
⊥
，
∵
20
BDE
=
，
70
ADE
=
，
由作图可得AE
AD
=
，
70
AED
ADE
=
=
，
∴
180
70
70
40
BAD
=
−
−
=
，
又
BAD
CAD
=
，
∴
2
80
BAC
BAD
=
=
．
18．（2026·四川眉山·一模）如图，在ABC中，AD
BC
⊥
于点D ，
2
B
C
= ．
(1)在线段BC 上求作一点P ，使得PA
PC
=
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接PA ，若
1
4
BD
CD
=
=
，
，求AD 的长．
【答案】(1)
如图，点P 即为所求．
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(2)2 2
【分析】（1）根据垂直平分线的性质作图即可；
（2）根据等边对等角可得
PAC
C
=
∠
∠
，进而证明ABD
APD
≌
可得
1
BD
PD
=
= ，
3
PA
PC
CD
PD
=
=
−
= ，
然后在Rt ADP中运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：如图，点P 即为所求．
（2）解：∵PA
PC
=
，
∴
PAC
C
=
∠
∠
，
∴
2
APD
PAC
C
C
=
+
=
，
又∵
2
B
C
= ，
∴
B
APD
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
ADP
=
=
，且AD
AD
=
，
∴
(
)
ABD
APD ASA
≌
，
∴
1
BD
PD
=
= ，
又
4
CD =
，
∴
3
PA
PC
CD
PD
=
=
−
= ．
在Rt ADP中，
2
2
2
2
3
1
2 2
AD
AP
PD
=
−
=
−
=
．
19．（2026·四川绵阳·二模）如图，
ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，AE
CF
=
．
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(1)求证：
BOE
DOF
△
≌△
；
(2)若BD
EF
=
，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO
DO
=
，AO
OC
=
，
∵AE
CF
=
，
∴AO
AE
OC
CF
−
=
−
，
即：OE
OF
=
，
在BOE和DOF 中，
OB
OD
BOE
DOF
OE
OF
=
=
=
∴
(
)
BOE
DOF SAS
≌
；
(2)矩形；
证明：∵BO
DO
=
，OE
OF
=
，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵BD
EF
=
，
∴平行四边形EBFD 是矩形．
【分析】（1）根据“SAS”证明
BOE
DOF
△
≌△
即可；
（2）先证明四边形EBFD 为平行四边形，再证明四边形EBFD 为矩形即可．
【详解】（1）略
（2）略
20．（2026·四川南充·二模）如图，矩形ABCD中，点E 在边CD上，AF
AE
⊥
与CB 的延长线交于F ，G 是
EF 的中点，AG的延长线与BC 交于H ．
(1)求证：tan
BF
EAH
DE
=
；
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(2)若
2
AD
AB
=
，
2
BH
CH
=
，试求DE
CE 的值．
【答案】(1)见解析；
(2) DE
CE 的值为4
7 ．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，则
90
ABC
BAD
D
=
=
=
，通过同角的余角相等得出
BAF
DAE
=
，然后证明BAF
DAE
∽
，所以BF
AF
DE
AE
=
，再由直角三角形的性质可得
1
2
AG
EG
FG
EF
=
=
=
，所以
EAH
AEF
=
，则tan
tan
AF
EAH
AEF
AE
=
=
，从而可得tan
BF
EAH
DE
=
；
（2 ）设AB
a
=
，则
2
AD
a
=
，由四边形ABCD是矩形，则
2
AD
BC
a
=
=
，AB
CD
a
=
=
，然后求出
2
3
a
CH =
，
4
3
a
BH =
，设CE
y
=
，则DE
a
y
=
−
，由（1）得：BAF
DAE
∽
，所以
1
2
2
BF
AB
a
DE
AD
a
=
=
=
，得
1
2
2
a
y
BF
DE
−
=
=
，
过G 作GM
BC
⊥
于点M ，则有AB
GM
EC
∥
∥
，由GFM
EFC
∽
，则有
1
2
GF
GM
FM
EF
EC
FC
=
=
=
，得出
1
1
2
2
GM
CE
y
=
=
，
1
2
FM
FC
=
，所以
5
4
a
y
FM
−
=
，
5
4
a
y
MC
−
=
，
7
3
12
a
y
MH
−
=
，再证明ABH
GMH
∽
，
所以AB
BH
GM
MH
=
，即
4
3
1
7
3
2
12
a
a
a
y
y
=
−
，解得
7
11
a
y =
，从而得出
7
11
a
CE =
，
4
11
a
DE =
，然后代入DE
CE 即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
BAD
D
=
=
=
，
∴
90
ABF
D
=
=
，
∵AF
AE
⊥
，
∴
90
EAF
BAD
=
=
，
∴
90
BAF
BAE
DAE
BAE
+
=
+
=
，
∴
BAF
DAE
=
，
∴BAF
DAE
∽
，
∴BF
AF
DE
AE
=
，
∵G 是EF 的中点，
90
EAF
=
，
∴
1
2
AG
EG
FG
EF
=
=
=
，
∴
EAH
AEF
=
，
∴tan
tan
AF
EAH
AEF
AE
=
=
，
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∴tan
AF
BF
EAH
AE
DE
=
=
；
（2）解：设AB
a
=
，则
2
AD
a
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
2
AD
BC
a
=
=
，AB
CD
a
=
=
，
∵
2
BH
CH
=
，BH
CH
BC
+
=
，
∴
2
3
a
CH =
，
4
3
a
BH =
，
设CE
y
=
，则DE
CD
CE
a
y
−
−
=
=
，
由（1）得：BAF
DAE
∽
，
∴
1
2
2
BF
AB
a
DE
AD
a
=
=
=
，
∴
1
2
2
a
y
BF
DE
−
=
=
，
过G 作GM
BC
⊥
于点M ，
∵AB
BC
⊥
，EC
BC
⊥
，
∴AB
GM
EC
∥
∥
，
∵GFM
EFC
∽
，
∴
1
2
GF
GM
FM
EF
EC
FC
=
=
=
，
∴
1
1
2
2
GM
CE
y
=
=
，
1
2
FM
FC
=
，
∵FC
BF
BC
=
+
，
∴
5
2
2
2
a
y
a
y
FC
a
−
−
=
+
=
，
∴
1
5
2
4
a
y
FM
FC
−
=
=
，
∴
5
5
5
2
4
4
a
y
a
y
a
y
MC
FC
FM
−
−
−
−
=
=
−
=
，
∴
5
2
7
3
4
3
12
a
y
a
a
y
MH
MC
CH
−
−
−
=
=
−
=
，
∵
∥
AB
GM ，
∴ABH
GMH
∽
，
70 / 70
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∴AB
BH
GM
MH
=
，
∴
4
3
1
7
3
2
12
a
a
a
y
y
=
−
，
∵
0
a
，
∴
4
1
3
1
7
3
2
12
a
y
y
−
=
，整理得：2
7
3
3
12
y
a
y
−
=
，
解得：
7
11
a
y =
，经检验
7
11
a
y =
是原方程的解，
∴
7
11
a
CE =
，
7
4
11
11
a
a
DE
a
y
a
−
−
=
=
=
，
∴
4
4
11
7
7
11
a
DE
a
CE =
=
，
∴DE
CE 的值为4
7 ．
