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专题03 方程与不等式（组）及实际应用
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 一元一次方
程、二元一次方程组
解法与实际应用
2026 年南充、宜宾、成都、
甘孜、眉山、乐山、凉山、
自贡中考真题
高频以《九章算术》等古算诗为情境命列式选
择题；基础解答固定考二元一次方程组求解，
应用题围绕分物、比赛积分建模，侧重文字等
量关系提取，计算难度低。
考点02 一元二次方
程：解法、根的判别
式、韦达定理与实际
应用
2026 年遂宁、宜宾、凉山、
内江、泸州、南充、乐山、
眉山、巴中中考真题
根的判别式、韦达定理整体代入为必考小题；
应用题聚焦产量增长率、销售利润；常结合菱
形、直角三角形内切圆几何综合，新定义运算
结合判别式是创新考法。
考点03 分式方程：
求解、增根/无解问
题与实际应用
2026 年巴中、内江、成都、
广安、甘孜中考真题
行程、滞尘采样为核心情境列式；易错点集中
在增根、解的检验；结合样本估计总体跨模块
小题出现，侧重区分分式与整式方程建模逻
辑。
考点04 一元一次
不等式（组）求解、
整数解与实际应用
2026 年广安、乐山、泸州、
达州、广元、凉山、宜宾、
攀枝花、自贡、甘孜、成
都、巴中中考真题
必考解不等式组并数轴表示，整数解高频；结
合三角形边长、盐水浓度生活情境；解答搭配
购物比价应用题，不等式变号是常设失分陷
阱。
考点05 含参数方
程、含参数不等式
（组）求参数范围
2026 年遂宁、泸州、广元、
南充、甘孜、内江、成都、
广安、眉山中考真题
综合度高，串联分式方程正数解、一元二次方
程根的情况、不等式组解集/无解；多要求筛
选整数参数求和，融合一次、反比例函数条件，
是小题分层核心题型。
考点06 方程与不等
式综合方案设计、最
2026 年遂宁、广安、广元、
内江、南充中考真题
依托四川本地猕猴桃、红薯、鸭蛋加工等乡土
素材；分两小问：先用方程组求单价，再用不
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值类应用题
等式限定范围搭配一次函数求最大利润，方案
枚举为必考步骤。
考点01 一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用
1．（2026·四川南充·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知
人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x 人，可列方程为（ ）
A．3
5
5
7
x
x
+ =
− B．5
3
7
5
x
x
+ =
−
C．3
5
5
7
x
x
−
=
+
D．5
3
7
5
x
x
−=
+
【答案】B
【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程．
【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿，
∴竹子总数量为5
3
x + ，
∵每人分七竿竹子时少五竿，
∴竹子总数量也可表示为7
5
x −，
∵竹子总数量固定不变，
∴可列方程为5
3
7
5
x
x
+ =
−．
2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有1g ，3 g ，9 g 的砝
码各一个，则最多能称出整数克质量有（ ）
A．6 种
B．7 种
C．13种
D．14种
【答案】C
【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量
值即可．
【详解】解：设物体质量为x ，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则x 的值为砝码质量的代数和（取正值，
分三种情况讨论：
只使用一个砝码：
1
x = ，
3
x = ，
9
x =
，共3种；
使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）：
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3 1
2
−=
，9 1
8
−= ，9 3
6
−=
；
两砝码放在同侧（做加法）：1 3
4
+ =
，1 9 10
+ =
，3 9
12
+ =
； 共6 种；
使用三个砝码：
9 3 1 13
+ + =
； 9 3 1 11
+ −=
； 9 1 3
7
+ −=
； 9 3 1
5
−−=
； 共4 种
综上所述，能称出的整数克质量有：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13，共13种．
3．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每
人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6 竿，剩余14 竿；
每人8 竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（ ）
A．8，64
B．7，56
C．6，48
D．5，40
【答案】B
【分析】设牧童的人数为x 人，根据竹竿总数不变建立方程，解方程即可．
【详解】解：设牧童的人数为x 人，
由题意得：6
14
8
x
x
+
=
，
解得
7
x =
，
则8
8 7
56
x = =
，
所以牧童的人数为7 人，竹竿的根数为56 根．
4．（2026·四川甘孜·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：
人与车各几何？其大意是：若3 人坐一辆车，则两辆车是空的；若2 人坐一辆车，则9 人需要步行．问：
人与车各多少？设有x 人，y 辆车，则符合题意的方程组是（ ）
A．
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
−
−
=
B．
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
+
−
=
C．
(
)
3
2
2
9
x
y
x
y
=
−
=
−
D．
(
)
3
2
2
9
x
y
x
y
=
+
=
−
【答案】A
【详解】解：设有x 人，y 辆车，
∵3 人坐一辆车时，有2 辆车是空的，
∴被使用的车辆数为
2
y −
，总人数满足
(
)
3
2
x
y
=
−
；
∵2 人坐一辆车时，有9 人需要步行，
∴坐上车的人数为
9
x −，这部分人刚好坐满y 辆车，可得
9
2
x
y
−
=
．
因此符合题意的方程组为
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
−
−
=
．
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5．（2026·四川宜宾·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：999 文钱买甜果和
苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4 文钱买7 个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？
设买甜果x 个，买苦果y 个．下列所列方程组中正确的是（ ）
A．
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
B．
1000
9
7
999
11
4
x
y
x
y
+
=
+
=
C．
999
11
4
1000
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
D．
999
9
7
1000
11
4
x
y
x
y
+
=
+
=
【答案】A
【分析】设买甜果x 个，买苦果y 个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程
1000
x
y
+
=
，求出单个甜果的
价格为11
9 文，单个的苦果价格为4
7 文，根据总花费一共是999 文，可得方程11
4
999
9
7
x
y
+
=
，据此可得答案．
【详解】解：设买甜果x 个，买苦果y 个，
∵甜果和苦果共1000个，
∴
1000
x
y
+
=
，
∵11文钱可以买9个甜果，4 文钱可以买7 个苦果，
∴单个甜果的价格为11
9 文，单个的苦果价格为4
7 文，
∵总花费一共是999 文，
∴11
4
999
9
7
x
y
+
=
，
∴可得方程组
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
．
6．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，
大意为：五只雀，六只燕，共重16 两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？
设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为（ ）
A．
5
6
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
B．
5
6
16
5
6
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
C．
6
5
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
D．
6
5
16
5
6
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
【答案】A
【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方
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程，即可选出正确答案．
【详解】解：设雀每只x 两，燕每只y 两，
∵五只雀，六只燕共重16 两，
∴可得第一个方程 5
6
16
x
y
+
=
，互换其中一只后，一方剩余4 只雀，得到1 只燕，另一方剩余5 只燕，
得到1 只雀，此时二者重量相等，
∴可得第二个方程 4
5
x
y
y
x
+
=
+
，
因此列出的方程组为
5
6
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
．
7．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组：
2
5
1
x
y
x
y
+
=
+
=
【答案】
4
3
x
y
−
=
=
【详解】解：2
5
1
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②
−
①
②，得
4
x =
．
把
4
x =
代入②，得
3
y
−
=
，
4
3
x
y
−
=
=
．
8．（2026·四川凉山·中考真题）解二元一次方程组、化简求值：
(1)解二元一次方程组：
2
3
3
2
5
x
y
x
y
+
=
−
=
；
(2)先化简，再求值：(
)
(
)(
)
(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
x
y
y
+
−
+
−
，其中
1
x = −，
2
y =
．
【答案】(1)
2
1
2
x
y
=
=
(2)化简结果为
5
x
y
+
, 值为9
【分析】（1）将方程组的两个方程相加可求出
2
x =
，把
2
x =
代入第一个方程，可求出
1
2
y =
，从而可得方
程组的解；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简
结果，再代入,x y 的值进行计算即可．
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【详解】（1）解：
2
3
3
2
5
x
y
x
y
+
=
−
=
①
②，
+
①
②得：4
8
x = ，
解得
2
x =
，
把
2
x =
代入①得：2
2
3
y
+
=
，
解得
1
2
y =
，
所以，方程组的解为
2
1
2
x
y
=
=
；
（2）解：(
)
(
)(
)
(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
x
y
y
+
−
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
2
9
2
x
xy
y
x
y
y
=
+
+
−
−
(
) (
)
2
2
2
2
2
9
2
x
xy
y
x
y
y
=
+
+
−
+
(
) (
)
2
2
10
2
xy
y
y
=
+
5
x
y
=
+
；
当
1
x = −，
2
y =
时，原式
1 5 2
1 10
9
= −+ = −+
=
．
9．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛．每场比赛结果分为胜、
平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0 分．
(1)1班负了3场，总积分为20 分，求1班胜了多少场？
(2) 2 班总积分为15分，请直接写出2 班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．
【答案】(1)
4 场
(2)
①胜0 平15负0 ；
②胜1平12负2 ；
③胜2 平9负4 ；
④胜3平6 负6 ；
⑤胜4 平3负8；
⑥胜5平0 负10．（任意两种正确结果即可）
【分析】（1）设1班胜了x 场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得
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到胜场数；
（2）设2 班胜x 场，平y 场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的
胜、平、负场次组合．
【详解】（1）解：设1班胜了x 场，
∵一共15场比赛，负了3场，
∴平的场数为
(
)
15 3
12
x
x
−
−
−
=
场，
根据总积分为20 分列方程：3
1 (12
)
20
x
x
+
−
=
，
化简得2
8
x = ，
解得
4
x =
，
答：1班胜了4 场；
（2）解：设2 班胜x 场，平y 场（,x y 为非负整数，且
15
x
y
+
），
∵总积分为15分，
∴3
15
x
y
+
=
，即
15
3
y
x
=
−
取非负整数解即可：
①
0,
15
x
y
=
=
，则15 0 15
0
−−
=
；即负0 场，即胜0 平15负0 ；
②
1,
12
x
y
=
=
，则负场15 1 12
2
−−
=
，即胜1平12负2 ；
③
2,
9
x
y
=
=
，则负场15 2 9
4
−−=
，即胜2 平9负4 ；
④
3,
6
x
y
=
=
，则负场15 3 6
6
−−=
，即胜3平6 负6 ；
⑤
4,
3
x
y
=
= ，则负场15 4 3
8
−−=
，即胜4 平3负8；
⑥
5,
0
x
y
=
=
，则负场15 5 0
10
−−=
，即胜5平0 负10（任选两种写出即可）．
考点02 一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用
1．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
+
−=
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论.
【详解】解：∵对于一元二次方程
2
1
0
x
mx
+
−=
，
1
a = ，b
m
=
，
1
c = −
∴判别式
(
)
2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
m
m
=
−
=
−−
=
+ ，
又∵任意实数的平方非负，即
2
0
m
，
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∴
2
Δ
4
4
0
m
=
+
，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
2．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面
积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积
等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
【详解】解：∵
2
9
14
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
7
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
7
0
x −
=
，
解得
2
x =
或
7
x =
，
∵方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2 和7，
∴该菱形的面积为1
2 7
7
2
=
．
3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进
入决赛阶段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．
(
)
1
1
72
2 x x−
=
B．(
)1
72
x x−
=
C．(
)1
72
x x +
=
D．
(
)
1
1
72
2 x x +
=
【答案】B
【详解】解：∵共有x 支球队，每支球队需要和除自身外的(
)1
x −
支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为(
)1
x x −
，已知总比赛场数为72 场，
∴可列方程(
)1
72
x x −
=
．
4．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
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C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题目给出的新定义，将方程2
3
x =
☆
转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断
根的情况即可．
【详解】解：∵
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，
∴
2
2
2
3
x
x
−
=
，
∴
2
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
2
4 2
3
4
24
28
0
= −
−−
=
+
=
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
5．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（ ）
①
锐角三角形
三角形直角三角形
钝角三角形
②
③
2
4
3
0
x
x
−
+
= 一元二
次方程
↓
3
0
x−=
或
1
0
x −= 一
元一次方程
④
(
)(
)
3
2
a
b
a
b
+
−
多项式多项式
(
)
(
)
3
3
2
2
a
a
b
b
a
b
=
−
+
−
单项式多项式
3
2
2
2
a
a
a b
b
a
b b
=
−
+
−单项式单项式
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】C
【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化
为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方
程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式．
【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想；
②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想；
③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想；
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④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想．
综上所述，用到转化思想的是②③④．
6．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个
实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3
2 2
−
B．3
2
2 −
C．6
4 2
−
D．2
2
2
−
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后
代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果.
【详解】设该直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，
∵a，b 是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数根，
∴
6
a
b
+
= ，
2
ab =
，由勾股定理得：
2
2
2
2
(
)
2
6
2 2
32
4 2
c
a
b
a
b
ab
=
+
=
+
−
=
−
=
=
，
∵三角形的面积
1
1
1
1
2
2
2
2
S
ab
ar
br
cr
=
=
+
+
，
∴直角三角形的内切圆半径公式为
ab
r
a
b
c
=
+
+
，代入得：
2
3
2 2
6
4 2
r =
=
−
+
．
7．（2026·四川南充·中考真题）抛物线
2
2
y
x
mx
m
=
+
+
−
与x 轴交于A，B 两点，且
5
AB =
，则m 的值为
_______．
【答案】1或3
【分析】设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，可得
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
0
x
mx
m
+
+
−
=
的两个根，利用根与系数的关
系表示
1
2
x
x
+
与
1
2
x x ，结合
5
AB =
的条件，建立关于m 的一元二次方程，求解即可得到m 的值．
【详解】解：设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，
令
0
y =
，得
2
2
0
x
mx
m
+
+
−
=
，
由根与系数的关系得
1
2
x
x
m
+
= −
，
1
2
2
x x
m
=
−
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1 2
|
|
4
4
2
4
8
AB
x
x
x
x
x x
m
m
m
m
=
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
+
，
∵
5
AB =
，
∴
2
4
8
5
m
m
−
+
=
，
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两边平方得
2
4
8
5
m
m
−
+
=
，
整理得
2
4
3
0
m
m
−
+
=
，
因式分解得(
)(
)
1
3
0
m
m
−
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
．
8．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程
2
4
3
0
x
x
−
+
= 的两个根是
1x 和
2x ，则
1
2
x x =_________．
【答案】3
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+ =
，若方程的两个实数根是
1
2
,
x x ，则
1
2
c
x x
a
=
，据此可得答
案．
【详解】解：∵方程
2
4
3
0
x
x
−
+
= 的两个根是
1x 和
2x ，
∴
1
2
3
3
1
x x =
= ．
9．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程
2
4
3
0
x
x
+
−
=
的两根是
1x ，2x ，则
2
2
1
2
x
x
+
的值为_______．
【答案】
22
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计
算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
4
3
0
x
x−
+
=
的两根为
1x ，
2x ，其中
1
a = ，
4
b =
，
3
c
−
=
，
∴
1
2
4
b
x
x
a
−
−
+
=
=
，
1
2
3
c
x x
a
−
=
=
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
(
4)
2 ( 3)
16
6
22
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
= −
−−
=
+
=
．
10．（2026·四川眉山·中考真题）若方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
的两个根是
1x ，
2x ，则
2
2
1
2
1
2
x x
x x
+
的值为________．
【答案】12
−
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最
后整体代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
，两个根为
1x ，
2x
根据根与系数的关系可得：
1
2
4
b
x
x
a
+
= −
=
，
1
2
3
c
x x
a
=
= −
∵
(
)
2
2
1
2
1 2
1 2
1
2
x x
x x
x x
x
x
+
=
+
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∴将
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
3
x x = −代入得：原式(
)
3
4
12
= −
= −
．
11．（2026·四川巴中·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
t
−
+ =
的两个实数根，则
2
2
1
2
x
x
+
的最小值是______________．
【答案】1
2
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数t 的取值范围，再利用根与系数的关系将
2
2
1
2
x
x
+
变形为关
于t 的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．
【详解】解：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
t
−
+ =
的两个实数根，
2
2
Δ
4
( 1)
4 1
0
b
ac
t
=
−
= −
−
，
解得
1
4
t
，
由根与系数的关系得：
1
2
1
x
x
+
= ，
1
2
x x
t
= ，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x x
t
t
+
=
+
−
=
−
= −
，
2
0
−
，
2
2
1
2
1 2
x
x
t
+
= −
随t 的增大而减小，
当t 取最大值1
4 时，
2
2
1
2
x
x
+
取得最小值，
代入得，最小值为
1
1
1 2
4
2
−
=
．
12．（2026·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
−
=
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
=
，求k 的值．
【答案】(1)
证明：∵原方程为
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k−
−
+
+
+
=
，
∴
(
)
2
2
Δ
(2
1)
4 1
2
k
k
k
−
−
=
+
−
+
2
2
4
4
1 4
4
8
k
k
k
k
=
+
+ −
−
+
9
0
=
，
∴方程有两个不相等的实数根．
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(2)
k 的值为4 或5
−
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合
1
2
2
x
x
=
的条件，得到关于k 的一元二次方程，求解即
可得到k 的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
2
x x
k
k −
=
+
，
∵
1
2
2
x
x
=
，
∴
2
2
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
∴
2
2
1
3
k
x
+
=
，
∴
1
2(2
1)
3
k
x
+
=
，
代入
2
1
2
2
x x
k
k −
=
+
得：
2
2
2(2
1)
2
9
k
k
k −
+
=
+
，
整理得
2
20
0
k
k −
+
=
，
解得
4
k =
或
5
k
−
=
．
13．（2026·四川眉山·中考真题）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经
济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880
件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，就可
多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每月产量的增长率为20% .
(2)应降价9元，最大利润为2205 元.
【分析】（1）设每月产量的增长率为x ，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的
负根即可得到结果；
（2）设降价x 元，每天总利润为y 元，根据总利润=每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据
二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．
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【详解】（1）解：设每月产量的增长率为x ，
根据题意列方程得:
2
2000(1
)
2880
x
+
=
，
解得
1
0.2
20%
x =
=
,
2
2.2
x = −
，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为20%；
（2）解：设降价x 元，每天总利润为y 元，
根据题意，每件盈利为(
)
30
x
−
元，每天销售量为(
)
60
5x
+
件，
∴
(
)(
)
2
2
30
60 5
5
90
1800
5(
9)
2205
y
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=
+
=
+
+
=
+
，
5
0
−
，
当
9
x =
时，y 取得最大值，最大值为2205 ，
答: 该食品厂应降价9元，才能使利润最大，最大利润为2205 元．
考点03 分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用
1．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗
粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量
的2 倍少4mg ，一年滞尘1000mg 所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg 所需的国槐树叶的片数相同．设
一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg
x
，则可列方程为（ ）
A．1000
550
2
4
x
x
=
−
B．1000
550
2
4
x
x
=
−
C．1000
550
2
4
x
x
=
+
D．1000
550
2
4
x
x
=
+
【答案】B
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，
再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程．
【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg
x
，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2 倍
少4mg ，
∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(
)
2
4 mg
x −
．
∵一年滞尘1000mg 所需的银杏树叶的片数为1000
2
4
x −
，一年滞尘550mg 所需的国槐树叶的片数为550
x ，且两
种树叶的片数相同，
∴可列方程：1000
550
2
4
x
x
=
−
．
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2．（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小
青龙河6 千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2 倍，小林比小明早15 分钟走完全程．设小明的速
度为x 千米/时，则符合题意的方程是（ ）
A．6
6
15
1.2
x
x
=
+
B．6
6
15
1.2
x
x
=
−
C．6
6
1
1.2
4
x
x
=
+
D．6
6
1
1.2
4
x
x
=
−
【答案】C
【分析】由题意得，小明走完全程的时间为6
x 小时，小林走完全程的时间为
6
1.2x 小时，而小林比小明早15
分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多
1
4 小时，即可建立方程．
【详解】解：设小明的速度为x 千米/时，则小林的速度为1.2x 千米/时，
由题意得，6
6
1
1.2
4
x
x
=
+
．
3．（2026·四川成都·中考真题）为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100 颗豆子，并给这些豆子做上
记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60 颗豆子，发现其中有5 颗豆子带有记号，
则瓶中豆子的颗数约为（ ）
A．300
B．600
C．1000
D．1200
【答案】D
【分析】设瓶中豆子的颗数约为x 颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等建立方
程求解即可．
【详解】解：设瓶中豆子的颗数约为x 颗，
由题意得：100
5
60
x =
，
解得
1200
x =
，经检验，是所列分式方程的解，
则瓶中豆子的颗数约为1200 颗．
4．（2026·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．若
A
B
=
+
90 ，则
A
与
B
互余
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．数据1，2，3，2，1 的中位数是3，众数是2
D．关于x 的分式方程
2
2
4
1
1
x
x
=
−
−的根为
1
x =
【答案】A
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【分析】根据互余的定义、特殊四边形的判定、中位数众数的求解、分式方程的根四个初中数学知识点，
只需逐个判断选项正误即可得到答案．
【详解】解：选项A、根据互余的定义：和为90的两个角互余，∵
90
A
B
+=
，∴
A
与
B
互余，故
A 正确；
选项B、根据平行四边形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形才
是矩形，故B 错误；
选项C、将原数据从小到大排序得1，1，2，2，3，中位数是中间位置的2 ，众数是出现次数最多的1和2 ，
故C 错误；
选项D、分式方程分母不能为0，当
1
x = 时，原方程分母
1
0
x −= ，
2
1
0
x −=
，则
1
x = 是增根，原方程无解，
故D 错误．
5．（2026·四川甘孜·中考真题）方程
3
1
4
x
=
−
的解为______．
【答案】
7
x =
【详解】解：
3
1
4
x
=
−
方程两边同时乘以(
)
4
x −
得3
4
x
=
−
，
解得
7
x =
，
检验：当
7
x =
时，
4
3
0
x −
=
，
∴
7
x =
是原方程的解．
考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用
1．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（ ）
A．m
n
，
7
7
m
n
+
+
B．m
n
，7
7
m
n
C．m
n
，7
7
m
n
D．m
n
，
7
7
m
n
+
+
【答案】B
【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得m
n
，7 天记的英语单词个数可得7
7
m
n
．
2．（2026·四川乐山·中考真题）下列各数是不等式
1
0
x−
的解的是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
−
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【答案】A
【详解】解：
1
0
x−
移项可得
1
x ，
∴四个选项中只有A 选项中的数是原不等式的解．
3．（2026·四川泸州·中考真题）不等式组
3
5
2
1
8
x
x−
+
的所有整数解的和为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公
共解集，再找出解集内的所有整数，计算它们的和即可得到结果．
【详解】解：
3
5
2
1
8
x
x−
+
①
②
解不等式①得
2
x
，
解不等式②得2
9
x
，即
4.5
x
，
∴不等式组的解集为2
4.5
x
，
∴该范围内的整数解为3和4 ，
∴所有整数解的和为3 4
7
+
=
．
4．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2
5
0
x−
的正整数解．则
等腰三角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据
三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案．
【详解】解：解不等式2
5
0
x−
，移项得2
5
x ．
5
2
x
．不等式的正整数解为1和2 ．
等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为1和2 ，
分两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为2 ，三边长为1,1,2 ．
1 1
2
+ =
，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为2 ，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系，
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此时周长为2
2 1
5
+ + = ．
因此等腰三角形的周长为5，
故选C．
5．（2026·四川广元·中考真题）若关于x 的不等式组
3
2
0
x
a
b
x
+
−
的解集为
1
1
2
x
−
，则a
b
+
的值是（ ）
A．1
B．1
−
C．1
2
D．
1
2
−
【答案】A
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含,a b 的解集，再对照已知解集求出,a b 的值，最后计
算a
b
+
即可．
【详解】解：
3
2
0
x
a
b
x
+
−
①
②，
解不等式①得
3
x
a
−
，
解不等式②得
2
b
x
，
∴原不等式组的解集为
3
2
b
x
a
−
，
∵不等式组的解集为
1
1
2
x
−
，
∴
1
2
2
b = −
，3
1
a
−
= ，
解得
1
b = −，
2
a =
，
∴
(
)
2
1
1
a
b
+
=
+ −
= ．
6．（2026·四川达州·中考真题）食盐的主要成分是NaCl ，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水
的浓度在1%~1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐
（ ）（水的密度是
3
1g / cm ，
3
1mL
1cm
=
）
A．6g
B．12g
C．18g
D．25g
【答案】B
【分析】先根据体积和密度求出水的质量，再利用浓度公式列出不等式，得到盐的质量取值范围，即可选
出符合范围的选项，本题用到浓度公式
= 溶质质量
浓度
溶液质量，溶液质量=溶质质量+溶剂质量．
【详解】解：∵
3
1000mL=1000cm ，水的密度为
3
1g/cm
∴水的质量为1000 1
1000g
=
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设放入盐的质量为g
x ，根据浓度要求在1%~1.5%，
可得不等式：1%
1.5%
1000
x
x
+
解左边不等式：
(
)
0.01 1000
x
x
+
10 0.01x
x
+
得
10
10.10
0.99
x
g
解右边不等式：
(
)
0.015 1000
x
x
+
15 0.015
x
x
+
得
15
15.23
0.985
x
g
∴盐的质量范围约为10.10
15.23
g
x
g
，
选项中只有12g 在此范围内．故选B．
7．（2026·四川凉山·中考真题）不等式组
2
1
1
8
4
1
x
x
x
x
−
+
+
−
的解集是_______．
【答案】
3
x
【详解】 解：{2𝑥−1 > 𝑥+ 1①
𝑥+ 8 < 4𝑥−1②
解不等式①得，
2
x
解不等式②得，
3
x
∴不等式组的解集为
3
x ．
8．（2026·四川宜宾·中考真题）不等式3
2
x−
5
4
x −的解集是________．
【答案】
1
x
【详解】解：3
2
5
4
x
x
−
−
移项得3
5
4 2
x
x
−
−+
，
合并同类项得2
2
x
−
−，
系数化为1 得
1
x ．
9．（2026·四川攀枝花·中考真题）一个整数x 满足
3
x
，写出一个这样的整数：_______．
【答案】1（答案不唯一，2, 1,0,2
−
−
都正确）
【分析】先根据绝对值的性质解绝对值不等式，得到x 的取值范围，再找出范围内的整数，任选一个作答即
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可．
【详解】解：解不等式
3
x
得，3
3
x
−
，
∴该范围内的整数为2, 1,0,1,2
−
−
，
∴写出一个这样的整数：1（答案不唯一）．
10．（2026·四川攀枝花·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：2
3
3
2
3
2
x
x
−
−
．
【答案】
0
x
，
【分析】第一步利用不等式的性质，两边同乘分母的最小公倍数6 去分母，注意不等号方向是否改变．去
分母后得到整式不等式，所以接下来按照去括号、移项、合并同类项的步骤化简不等式．化简得到系数不
为1 的一元一次不等式后，将未知数系数化为1，此时系数为负数，需要改变不等号的方向，最终得到解集．得
到解集后，按照数轴表示解集的规则，对应画出解集的范围．
【详解】解：去分母：
(
)
(
)
2 2
3
3 3
2
x
x
−
−
，
去括号： 4
6
9
6
x
x
−
−
，
移项： 4
9
6 6
x
x
−
−
+ ，
合并同类项：
5
0
x
−
，
系数化为1：
0
x
，
把解集在数轴上表示不等式的解集略．
11．（2026·四川自贡·中考真题）解不等式组：
(
)
2
2
3
1
6
x
x
x
+
+
①
②．
【答案】
1
2
x
【详解】解：
(
)
2
2
3
1
6
x
x
x
+
+
①
②，
解不等式①得
2
x
，
解不等式②，(
)
3
1
6
x+
，
3
3
6
x+
，
3
3
x ，
解得
1
x ，
不等式组的解集为1
2
x
．
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12．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组
(1)计算：
(
)
0
2
2026
π
2cos45
−
+
−
−
．
(2)解不等式组：
2
1
1
3
3
2
x
x
x
x
−
+
−
①
②
【答案】(1)1
(2)2
3
x
【详解】（1）解：
(
)
0
2
2026
π
2cos45
−
+
−
−
2
2
1
2
2
=
+ −
2
1
2
=
+ −
1
= ；
（2）解：
2
1
1
3
3
2
x
x
x
x
−
+
−
①
②
解不等式①得
2
x
，
解不等式②得
3
x ，
∴原不等式组的解集为2
3
x
．
13．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
(2)
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
【答案】(1)3
(2) 1
3
x
−
【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式
中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
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1
1
1
2 2
2
2 2
1
2
1
3
=
−
+
+
−
3 2 2 1 2 2 1
= −
+ +
−
3
= ；
（2）解：
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
，
解不等式①：(
)
3
2
2
5
x
x
+
+ ，
去括号得：3
6
2
5
x
x
+
+ ，
移项得：3
2
5 6
x
x
−
−，
合并同类项得：
1
x −，
解不等式②：
1
2
3
x
x
−
，
去分母得：(
)
3
1
2
x
x
−
，
去括号得：3
3
2
x
x
−
，
移项得：3
2
3
x
x
−
，
合并同类项得：
3
x ，
不等式组的解集为1
3
x
−
．
14．（2026·四川巴中·中考真题）计算：
(1)(
)
0
2026
π
12
6sin60
1
3
−
−
+
−−
；
(2)求不等式组
(
)
4
5
3
1
3
1
4
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
−
的解集；
(3)先化简
2
2
3
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
，然后从1、2、3 这三个数中选出合适的数代入求值．
【答案】(1)2
(2) 5
2
x
−
(3)
2
x−
，当
3
x = 时，值为1
【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并
同类项得到最终结果．
（2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集．
（3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的x ，将合适的x 代入得到
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计算结果．
【详解】（1）解：(
)
0
2026
π
12
6sin60
1
3
−
−
+
−−
(
)
3
1
2 3
6
3
1
2
= −
+
−
−
2 3
3 3
3 1
1−
+
−
+
=
2
=
（2）解：
(
)
4
5
3
1
3
1
4
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
−
①
②
解不等式①得：
2
x
，
解不等式②得
5
x −，
∴不等式组的解集为5
2
x
−
．
（3）解：
2
2
3
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
2
2
3
2
1
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
−
−
+
2
2
3
2
1
2
(
2)
x
x
x
x
x
−−
+
−
=
−
−
2
1 (
2)
2
1
x
x
x
x
−
−
=
−
−
2
x
=
−
根据分式有意义的条件，可得
2
0
x −
，
1
0
x−
，即
2
x
且
1
x ．
∴代入
3
x = ，原式
3 2
1
= −
= ．
15．（2026·四川泸州·中考真题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B 两种材料制作端午香包，
两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1 份A 材料和3 份B 材料的总费用为110 元；购买2 份
A 材料和1 份B 材料的总费用为70 元．
(1)购买1 份A 材料和1 份B 材料的费用分别是多少元？
(2)现甲、乙两家超市均对B 材料开展促销活动，甲超市对B 材料按9 折出售；乙超市对一次购买B 材料总
金额超过180 元的部分打8 折．该手工社团计划购买B 材料m 份（
6
m
），如何根据购买数量选择在哪家
超市购买？
【答案】(1)
购买1 份A 材料的费用为20 元，购买1 份B 材料的费用为30 元.
(2)
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当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；当
12
m
时，选择乙
超市购买更合算.
【分析】（1）根据购买1 份A 材料和3 份B 材料的总费用为110 元；购买2 份A 材料和1 份B 材料的总
费用为70 元列出方程组，解方程组即可；
（2）分别用m 的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和
乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可.
【详解】（1）解：设购买1 份A 材料的费用为x 元，购买1 份B 材料的费用为y 元，
根据题意，得：
3
110
2
70
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
20
30
x
y
=
=
，
答：购买1 份A 材料的费用为20 元，购买1 份B 材料的费用为30 元；
（2）解：在甲超市购买的费用为0.9 30
27
m
m
=
（元），在乙超市购买的费用为
(
)
(
)
180
0.8 30
6
24
36
m
m
+
−
=
+
（元），
当甲超市费用高于乙超市费用时，27
24
36
m
m
+
，
解得
12
m
，
∴当
12
m
时，选择乙超市购买更合算；
当甲超市费用和乙超市费用一样多时，27
24
36
m
m
=
+
，
解得
12
m =
，
∴当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；
当甲超市费用低于乙超市费用时，27
24
36
m
m
+
，
解得
12
m
，
又
6
m
，
∴6
12
m
，
∴当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；
综上，当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；当
12
m
时，
选择乙超市购买更合算
考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围
1．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点
(
2, 1)
P a +
−
是第三象限内一点，则a 的取值范围是（ ）
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A．
2
a
B．
2
a
−
C．
2
a
−
D．
2
a −
【答案】C
【分析】利用第三象限点横纵坐标均为负数的性质，列不等式求解即可得到a 的取值范围.
【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点(
)
2, 1
P a +
−
在第三象限，
∴
2
0
a +
，
解得
2
a −.
2．（2026·四川泸州·中考真题）若方程2
1
1
x
x
=
−的解是关于x 的方程
1
ax
x
= −
的解，则a 的值为（ ）
A．
1
2
−
B．1
2
C．3
2
D．2
【答案】A
【分析】先解分式方程得到x 的值，再将x 代入一元一次方程
1
ax
x
= −
求解a，解分式方程后需要检验．
【详解】解：解分式方程2
1
1
x
x
=
−，
∵方程两边同乘最简公分母(
)1
x x −
，得(
)
2
1
x
x
−
=
，
展开得2
2
x
x
−
=
，
移项解得
2
x =
，
检验：把
2
x =
代入(
)1
x x −
，得
(
)
2
2 1
2
0
−
=
，
∴
2
x =
是原分式方程的解，
∵
2
x =
是方程
1
ax
x
= −
的解，
将
2
x =
代入方程得2
1 2
a = −
，
解得
1
2
a
−
=
．
3．
（2026·四川广元·中考真题）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
+
+
=
有两个相等的实数根，则b 的值为（ ）
A．2 3
B．2 3
C．3
D．
3
±
【答案】B
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ
0
=
，代入方程系数计算即可得到b 的值．
【详解】解：
关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
+
+
=
有两个相等的实数根，
根的判别式满足
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
=
，其中二次项系数
1
a = ，常数项
3
c = ，
代入得，
2
4 1 3
0
b −
=
，
整理得，
2
12
b =
，
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解得，
2 3
b =
．
4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过
(
)
, 3
M a −
，
(
)
2,
N
b 两点，若
2
a
−
，则b 的取值范围
是（ ）
A．
3
b −
B．
3
−
b
C．
3
b
D．
3
b
【答案】D
【分析】利用反比例函数中比例系数k 的性质，建立a 与b 的等量关系，再结合已知a 的范围，根据不等式
性质推导b 的取值范围．
【详解】解：设反比例函数解析式为
k
y
x
=
，由反比例函数性质可得k
xy
=
，
∵ 点
(
)
, 3
M a −
，
(
)
2,
N
b 在反比例函数图象上，
∴
3
2
k
a
b
= −
=
，
∴
2
3
a
b
= −
，
∵
2
a −，
∴
2
2
3 b
−
−，
解得
3
b
．
5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x 的不等式组
2
3
1
x
x
x
k
−
−
+
的解集在数轴上的表示如图所示，则k 的值为
（ ）
A．2
−
B．1
−
C．3
D．4
【答案】B
【分析】分别解两个不等式得到 x 的取值范围，结合数轴上表示的解集
3
2
x
−
，建立关于 k 的方程
求解即可．
【详解】解：解不等式 2
3
x
x−
，
得
3
x −，
解不等式
1
x
k
−+
，
移项得
1
x
k
−
−
，
系数化为1 得
1
x
k
−
，
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不等式组的解集为3
1
x
k
−
−
，
由数轴可知，不等式组的解集为3
2
x
−
，
1
2
k
−
=
，
解得
1
k = −．
6．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等
．．．的实数根，则a 的取值范围为
______．
【答案】
4
a
【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
−
+
=
是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴
(
)
2
4
4 1
0
a
= −
−
，
∴16
4
0
a
−
，
∴
4
a
．
7．（2026·四川内江·中考真题）若关于x 的方程
(
)
2
3
1
x
m
x
−
=
+
的解是负数，且一次函数
(
)
2
4
y
m
x
=
−
−
中，函数值y 随x 的增大而减小，则所有满足条件的整数m 的值之和是______．
【答案】2
−
【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到m 的取值范围，再根据一次函数的
性质得到m 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数m 的值，最后相加即可求解．
【详解】解：解方程
(
)
2
3
1
x
m
x
−
=
+
，得
3
x
m
= −
−，
∵方程的解是负数，
∴
3
0
m
−
−
，
解得
3
m −，
∵一次函数
(
)
2
4
y
m
x
=
−
−中，函数值y 随x 的增大而减小，
∴
2
0
m−
，
解得
2
m
，
∴m 的取值范围是3
2
m
−
，
∴符合条件的整数m 为2, 1,0,1
−
−
，
∴所有满足条件的整数m 的值之和为(
) (
)
2
1
0 1
2
−
+ −
+ + = −．
8．（2026·四川成都·中考真题）把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常
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见策略．已知(
)(
)
5
5
2
2
1
2
2
1
x
a
b
x
x
x
x
−
=
+
+
−
+
−（a，b 为常数），则a
b
+
=_____．
【答案】2
【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于,a b 二元一次方程组，
解方程组可得,a b 的值，代入计算即可．
【详解】解：
2
2
1
a
b
x
x
+
+
−
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
2
1
2
2
2
1
2
2
1
a
x
b x
x
x
x
x
−
−
−
+
=
+
+
+
(
)(
)
2
2
2
2
1
ax
a
bx
b
x
x
−
−
+
+
=
+
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
1
a
b x
b
a
x
x
−
−
+
+
=
+
，
∵(
)(
)
5
5
2
2
1
2
2
1
x
a
b
x
x
x
x
−
−
−
=
+
+
+
，
∴(
)(
)
(
)
(
)(
)
2
2
5
5
2
2
1
2
2
1
a
b x
b
a
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
+
=
+
+
，
∴
2
5
2
5
a
b
b
a
−
−
+
=
=
，
解得
3
1
a
b
=
= −
，
∴
(
)
3
1
2
a
b
+
= + −
=
．
9．（2026·四川广安·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
−
+
=
的两个实数根，且
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
+
−
，则k 的取值范围是_____．
【答案】
1
2
k
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到k 的初步范围，再利用根与系数的关系得
到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解k 的范围，最后取交集得到最终结果．
【详解】解：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
−
+
=
的两根
方程的根的判别式
0
即
2
Δ
( 2)
4 1
4
4
0
k
k
= −
−
=
−
解得
1
k ，
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由根与系数的关系可得：
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
x x
k
=
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
+
−
代入得：2
3 2k
−
移项，系数化为1 得：
1
2
k
1
1
2 ，两个不等式解集的交集为
1
2
k
．
10．（2026·四川眉山·中考真题）若关于x 的不等式组
3
1 1
2
x
x
x
m
+
−
无解，且关于x 的分式方程
1
1
1
1
x
m
x
x
−
+
=
−
−
的解为正数，则符合条件的所有整数m 的值为_______．
【答案】1
− ，1
【分析】先解不等式组得到m 的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定m 的最终范围，即可
得到符合条件的整数m ．
【详解】解：
3
1 1
2
x
x
x
m
+
−
①
②
，
解不等式①得：
1
x ，
不等式组无解，
1
m
，
整理分式方程
1
1
1
1
x
m
x
x
−
+
=
−
−
，
得
1
1
1
1
x
m
x
x
−
−
=
−
−
，
两边同乘(
)1
x −
得：
(
)
1
1
x
m
x
−
−
=
−，
解得：
2
2
m
x
+
=
，
分式方程的解为正数，且分母不为0 ，
2
0
2
m +
且
2
1
2
m +
，
解得：
2
m − 且
0
m
，
综上可得，2
1
m
−
，且
0
m
，
∴符合条件的所有整数m 的值为1
−，1．
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考点06 方程与不等式综合方案设计、最值类应用题
1．（2026·四川遂宁·中考真题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4 个杯
子叠放成一摞的总高度为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ，如图所示．请问将50 个这款杯子
放在限高45cm 的摆放区，至少需要叠放________摞．
【答案】3
【分析】设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据“4 个杯子叠放成一摞的总高度
为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ”可列二元一次方程组
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，求得
8
2
a
b
=
=
，由此可得
n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，再根据高度不超过45cm 列不等式求出n 的最大值即可求解．
【详解】解：设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据题意得：
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
8
2
a
b
=
=
，
∴n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，
又每一摞的总高度不超过45cm ，
∴2
6
45
n+
，
解得
19.5
n
，
因为n 是整数，所以一摞最多放19 个杯，
50 19
2
=
（摞）
12 （个），
剩下的12 个还需要1 摞，所以至少需要2 1
3
+ = （摞）．
2．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B 两地收
到社会各界人士所捐物资共400 吨．据统计，A 地收到物资吨数的3 倍与B地收到物资吨数的5 倍相等．现
要把这批物资全部运往受灾的C，D 两地．从A 地运往C，D 两地的费用分别为15 元/吨和20 元/吨；从B
地运往C，D 两地的费用分别为12 元/吨和18 元/吨；现C 地需物资180 吨，D 地需物资220 吨．
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(1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资；
(2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用．
【答案】(1)A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
(2)从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，最
少费用为6650 元．
【分析】（1）设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，运往
D 地(
)
30
m−
吨，易得
6620
W
m
=
+
、30
180
m
再利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．
由题意得：
400
3
5
x
y
x
y
+
=
=
，解得：
250
150
x
y
=
=
．
答：A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
（2）解：设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，
运往D 地(
)
30
m−
吨，
由题意得：
(
)
(
)
(
)
15
20 250
12 180
18
30
6620
W
m
m
m
m
m
=
+
−
+
−
+
−
=
+
，
0,
250
0
180
0
30
0
m
m
m
m
−
−
−
30
180
m
1
0
k =
∴W 随m 的增大而增大，
当
30
m =
，总费用最少，
30
6620
6650
W =
+
=
元．
250
220
m
−
=
，180
150
m
−
=
，
30
0
m−
=
答：从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，
最少费用为6650 元．
3．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装
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销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3 件中果礼盒和2 件大果礼盒需190 元，购进2 件中果礼盒和4
件大果礼盒需260 元．
(1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格；
(2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100 件进行销售，中果礼盒每件售价50 元，大果礼盒
每件售价80 元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2 倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多
少？
【答案】(1)购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
(2)购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
【分析】（1）设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，根据题意可得
100
3
m
，即m 的最大值为33；再
列出获得利润：
10
2000
W
m
=
+
，再利用一次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．
则
3
2
190
2
4
260
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
30
50
x
y
=
=
，
答：购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
（2）解：设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，
由题意可得：2
100
m
m
−
，解得：
100
3
m
，
∵m 为整数，
∴m 的最大值为33，
由题意可得：获得利润：
(
)
(
)(
)
80 50
50 30 100
10
2000
W
m
m
m
=
−
+
−
−
=
+
，
∵10
0
，
∴W 随m 的增大而增大，
∴当
33
m =
时，有最大利润33 10 2000
2330
+
=
元．
答：购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
4．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，
合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红
薯淀粉”每袋多卖4 元，且用30 元购买“红薯粉条”的袋数与用18 元购买“红薯淀粉”的袋数相等．
(1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？
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(2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100 元．请问该游客有哪几种购买方案？
【答案】(1)
“红薯粉条”每袋售价10 元，“红薯淀粉”每袋售价6 元；
(2)
该游客共有3 种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1 袋，红薯淀粉15 袋；方案二：购买红薯粉条
4 袋，红薯淀粉10 袋；方案三：购买红薯粉条7 袋，红薯淀粉5 袋．
【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系；
（2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案．
【详解】（1）解： 设“红薯淀粉”每袋售价x 元，则“红薯粉条”每袋售价(
4)
x +
元，
根据题意得30
18
4
x
x
=
+
，
解得
6
x =
，
检验：当
6
x =
时，(
4)
0
x x +
，
因此
6
x =
是原分式方程的解，
4 10
x+
=
，
答：“红薯粉条”每袋售价10 元，“红薯淀粉”每袋售价6 元；
（2）解：设购买“红薯粉条”a 袋，购买“红薯淀粉”b 袋，其中,a b 均为正整数，
根据题意得10
6
100
a
b
+
=
，
整理得
50
5
3
a
b
−
=
，
b为正整数，
50 5a
−
是3 的正倍数，且50 5
0
a
−
，
即
10
a
，
当
1
a = 时，
50
5 1
15
3
b
−
=
=
，符合要求；
当
4
a =
时，
50
5 4
10
3
b
−
=
=
，符合要求；
当
7
a =
时，
50
5 7
5
3
b
−
=
=
，符合要求；
答：该游客共有3 种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1 袋，“红薯淀粉”15 袋；②购买“红薯粉条”4 袋，
“红薯淀粉”10 袋；③购买“红薯粉条”7 袋，“红薯淀粉”5 袋．
5．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100元，售价
160元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元．现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60 件．设
购进甲种衬衣x 件，两种衬衣全部售完，商场可获利y 元．
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(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案？
(3)在( )
2 的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a 元（0
30
a
）出
售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为4650 元，求a 的值．
【答案】(1)
20
4000
y
x
=
+
（60
100
x
，x 为整数）；
(2)共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣39
件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣64
件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
(3)
10
a =
【分析】( )
1 设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，然后根据“总利润=甲的利润+ 乙的利润”，
列出函数关系式即可；
( )
2 根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，结合自变量的取值范围得到所有整数
解，即所有进货方案；
( )
3 根据题意调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，则利润
(
)
20
4000
y
a x
−
=
+
，分情况
根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解a ，舍去不符合范围的解．
【详解】（1）解：设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，
甲每件利润为160 100
60
−
=
元，乙每件利润为120 80
40
−
=
元，
根据题意得
(
)
60
40 100
20
4000
y
x
x
x
−
=
+
=
+
由题意得
60
x
，100
0
x
−
，
因此60
100
x
，且x 为整数；
（2）解：根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，
整理得20
1300
x
，
解得
65
x
，
∵
60
x
，且x 为正整数，
∴60
65
x
，x 的取值为60,61,62,63,64,65，对应乙的数量为40,39,38,37,36,35，
因此共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣
39件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣
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64 件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
（3）解：根据题意，调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，
∴利润
(
)
(
) (
)
60
40 100
20
4000
y
a x
x
a x
−
−
−
=
+
=
+
，
①当0
20
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵60
65
x
，
∴当
65
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
65
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
10
a =
；
②当
20
a =
时，
4000
4650
y =
，不符合题意；
③当20
30
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵60
65
x
，
∴当
60
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
60
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
55
6
a =
，不符合题意；
综上可得：最大利润为4650 元时a 的值为10．
6．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到
下列信息．
背景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了
提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，
为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9 条加工线，将鸭蛋加工
成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）
素材一
若3 条加工线加工皮蛋和1 条加工线加工咸蛋，则每月可加工11
万枚；
若2 条加工线加工皮蛋和3 条加工线加工咸蛋，则每月可加工12
万枚．
素材二
现收购了30 万枚鸭蛋，计划在一月内用9 条加工线加工成皮蛋或
咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
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加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素材三
每万枚皮蛋可获利0.7 万元，每万枚咸蛋可获利1.2 万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1 万元处理．
根据以上信息，完成下列任务：
(1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
(2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？
(3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚
(2)共有3种安排加工线的方案
(3)安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元
【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，然后进
行求解即可；
（2）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，进而求解
即可；
（3）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得
0.2
20.4
W
m
= −
+
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得：
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
3
2
x
y
=
=
；
答：每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚．
（2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得：
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，解得：
36
3
7
m
，
∵m 为正整数，
∴m 的取值为3,4,5，
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答：共有3种安排加工线的方案．
（3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得：
(
)
(
)
0.7 3
1.2 2 9
0.1 30
3
2 9
W
m
m
m
m
=
+
−
−
−
−
−
(
)
2.1
21.6
2.4
0.1 12
m
m
m
=
+
−
−
−
0.2
20.4
m
= −
+
，
由（2）可知：
36
3
7
m
，
∵0.2
0
−
，
∴W 随m 的增大而减小，
∴当
3
m =
时，W 有最大值，最大值为0.2 3 20.4
19.8
−
+
=
，此时9
9 3
6
m
−
=
−=
；
答：安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元．
1．（2026·四川南充·二模）不等式组
3
0
3
1
1
2
x
x
−+
−
的解集是（ ）
A．
3
x
B．
3
x −
C．
8
3
x
D．
8
3
x
【答案】A
【详解】解：
3
0
3
1
1
2
x
x
−+
−
①
②
解不等式①得，
3
x
解不等式②得，
8
3
x
∴不等式组的解集为：
3
x ．
2．（2026·四川广元·二模）《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900 里处的城池，若
用慢马递送，所需时间比规定时间多2 天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3 天．已知快马速度是
慢马的2 倍，求规定的时间．设规定时间为x 天，根据题意可列方程为（ ）
A．900
900
2
2
3
x
x
=
−
−
B．900
900
2
2
3
x
x
=
+
+
C．900
900
2
3
x
x
=
−
−
D．900
900
2
2
3
x
x
=
+
−
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【答案】D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据速度=路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再结合快
马速度是慢马的2 倍列方程即可．
【详解】解：∵ 规定时间为x 天，慢马所需时间比规定时间多2 天，快马所需时间比规定时间少3天，
∴ 慢马走完全程的时间为(
)
2
x +
天，快马走完全程的时间为(
)
3
x−
天，
∵速度=路程时间，总路程为900 里，
∴ 慢马速度为900
2
x +
，快马速度为900
3
x −
，
∵ 快马速度是慢马的2 倍，
∴900
900
2
2
3
x
x
=
+
−
．
3．（2026·四川成都·一模）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1 个甲种零件需耗材5 元，加
工1 个乙种零件需耗材3 元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40 个，且购买耗材总费用为170 元，设加工
甲种零件x 个，则可列方程为（ ）
A．
(
)
5
3 40
170
x
x
+
−
=
B．
(
)
3
5 40
170
x
x
+
−
=
C．
170
40
5
3
x
x
−
+
=
D．
170
40
3
5
x
x
−
+
=
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的
等量关系列方程即可．
【详解】解：∵设加工甲种零件x 个，甲乙两种零件共加工40 个，
∴加工乙种零件的个数为(
)
40
x
−
个．
∵加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元，总耗材费用为170元，
∴甲零件总耗材为5x ，乙零件总耗材为(
)
3 40
x
−
，
可得方程：
(
)
5
3 40
170
x
x
+
−
=
．
4．（2026·四川南充·一模）北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两
人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2 个人共用1 个
盘子，则少2 个盘子；若3 个人共用1 个盘子，则多出来3 个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有x 个
客人，y 个盘子，则可列方程组为（ ）
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A．
2
2
3
3
x
y
x
y
=
+
+
=
B．
2
2
3
3
x
y
x
y
=
+
−
=
C．
2
2
3
3
x
y
x
y
+
=
+
=
D．
2
2
3
3
x
y
x
y
+
=
−
=
【答案】A
【详解】解：设有x 个客人，y 个盘子，
∵2 个人共用1 个盘子，少2 个盘子，即一共需要2
x 个盘子，现有y 个盘子比需要的少2 个，
∴
2
2
x
y
=
+
，
∵3 个人共用1 个盘子，多出来3 个盘子，即一共用掉3
x 个盘子，现有y 个盘子比用掉的多3 个，
∴
3
3
x
y
+
=
，
因此可得方程组
2
2
3
3
x
y
x
y
=
+
+
=
．
5．（2026·四川南充·二模）小乐要用20 元钱买A，B 两种饮料，两种饮料必须都买，20 元全部用完．若A
种饮料每瓶3 元，B 种饮料每瓶2 元，则小乐最多购买A，B 两种饮料共（ ）
A．7 瓶
B．8 瓶
C．9 瓶
D．10 瓶
【答案】C
【分析】设未知数构造方程，求整数解即可．
【详解】解：设小乐购买A 种饮料x 瓶，B 种饮料y 瓶，
则3
2
20
x
y
+
=
，
得
20
3
2
x
y
−
=
，
∵y 是正整数，20 3x
−
是偶数，
则3x是偶数，
则
2
x =
时，
7
y =
，
9
x
y
+
=
，
则
4
x =
时，
4
y =
，
8
x
y
+
=
，
则
6
x =
时，
1
y = ，
7
x
y
+
=
，
∴则小乐最多购买A，B 两种饮料共9瓶．
6．（2026·四川南充·二模）正整数m 使关于x 的方程
2
2
2
x
m
x
x
=
+
−
−
的解为正数，则m 的值为（ ）
A．1，2，3
B．1，2
C．1，3
D．2，3
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【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，用m 表示出x ，再根据解为正数、分式分母不为0 两个条件，确定
正整数m 的取值，即可选出答案．
【详解】解：解方程
2
2
2
x
m
x
x
=
+
−
−
得：
4
x
m
=
−
，
∵方程的解为正数，
∴4
0
m
−
，即
4
m
，
又∵分式方程分母不能为0，
∴
2
0
x −
，即4
2
m
−
，得
2
m
，
∵m 是正整数，
∴符合条件的m 为1和3．
7．（2026·四川乐山·一模）关于x 的方程
2
4
2
0
ax
x
−
+
=
有4 个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．
2
a
B．
2
a
C．1
2
a
D．0
2
a
【答案】D
【分析】分两种情况分析，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答
即可．
【详解】解：当
0
a =
时，方程为4
2
0
x
−
+
=
有两个不同的实数根，不符合题意；
当
0
a
且
0
x
时，方程
2
4
2
0
ax
x
−
+
= 有4 个不同的实数根，
∴方程
2
4
2
0
ax
x
−
+
=
一定有2 个不同的正实数根，
∴
2
1
2
1
2
Δ
( 4)
4
2
0
4
0
2
0
a
x
x
a
x x
a
= −
−
−
+
= −
=
解得：0
2
a
；
当
0
a
且
0
x
时，方程
2
4
2
0
ax
x
−
+
= 有4 个不同的实数根，
∴方程
2
4
2
0
ax
x
+
+
=
一定有2 个不同的负实数根，
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∴
2
1
2
1
2
Δ
4
4
2
0
4
0
2
0
a
x
x
a
x x
a
=
−
+
= −
=
解得：0
2
a
；
a
的取值范围是0
2
a
．
8．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y 的二元一次方程组
2
1
3
4
7
x
y
m
x
y
m
−
= +
−
=
−
的解满足x
y
，则m 的值可
以是（ ）
A．4
B．3
C．0
D．－4
【答案】A
【分析】先通过加减消元法解出,x y 关于m 的表达式，再根据x
y
得到m 的取值范围，最后判断选项．
【详解】解：解方程组
2
1
3
4
7
x
y
m
x
y
m
−
= +
−
=
−
①
②
∵ 将
2
−
①
② 得
5 3
x
m
−= −+
，整理得
5 3
x
m
= −
将
5 3
x
m
= −
代入①，得5
3
2
1
m
y
m
−
−
= +
整理得
2
2
y
m
=
−
∵ 方程组的解满足x
y
∴ 5 3
2 2
m
m
−
−
移项得
3
m
−
−
解得
3
m
选项中只有4
3
，
故选项A 符合题意．
9．（2026·四川广元·二模）已知
3
x = 是方程3
2
6
a
x
−
= 的解，则a 的值为_____．
【答案】4
【分析】将
3
x = 代入原方程，得到关于a 的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵
3
x = 是方程3
2
6
a
x
−
= 的解，
∴3
2 3
6
a−=
，
解得
4
a =
．
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10．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式4
1
2
1
3
x
x
−−
的解为___________．
【答案】
2
x
−
【分析】根据一元一次不等式的解法步骤求解即可．
【详解】解：4
1
2
1
3
x
x
−−
，
去分母得4
1 6
3
x
x
−−
，
移项得4
6
3 1
x
x
−
+ ，
合并同类项得2
4
x
−
，
2
x
−．
11．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式组
2
1
5
1
0
x
x
−
+
的整数解的和为__________．
【答案】2
【分析】根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，确定不等式组的解集，找出解集中的所有整数解，
计算整数解的和即可．
【详解】解：2
1
5
1
0
x
x
−
+
①
②，
解不等式①得
3
x ，
解不等式②得
1
x
−
，
因此不等式组的解集为1
3
x
−
，
所以不等式组的整数解为1,0,1,2
−
，
整数解的和为1 0 1 2
2
−+ + +
=
．
12．（2026·四川成都·二模）分式方程
5
2
2
2
x
x
x
−
=
−
−
的解为______．
【答案】
3
x =
【分析】按照解分式方程的一般步骤，先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后再进行检验即
可得到原分式方程的解．
【详解】解：
5
2
2
2
x
x
x
−
=
−
−
，
方程两边同时乘以(
)
2
x −
，约去分母，得
(
)
5
2
2
x
x
−
=
−
，
去括号，得 5
2
4
x
x
−
=
−
，
移项，得
2
4 5
x
x
−−
= −−，
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合并同类项，得
3
9
x
−
= −，
系数化为1，得
3
x = ，
检验：当
3
x = 时，
2
3 2
1
0
x−
= −
=
，
所以
3
x = 是原分式方程的解．
13．（2026·四川广元·二模）关于x 的不等式组
1
x
x
a
，恰好有三个整数解，则a 的取值范围是______ ．
【答案】3
2
a
−
−
【分析】先写出不等式的解集，再根据有3 个整数确定a 的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x 的不等式组
1
x
x
a
有解，
∴该不等式组的解集为
1
a
x
，
∵不等式组恰好有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1
−、2
−，
∴3
2
a
−
−．
14．（2026·四川绵阳·二模）已知关于x 的分式方程
3
2
1
1
m
x
x
+
= −
−
−
的解为非负数，则满足条件的所有正整
数m 的值为________．
【答案】5、4、2、1
【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母
为0 的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案．
【详解】解：去分母，得：
(
)
2
1
3
m
x
+
−
=
，
移项，合并同类项，得：
5
2
m
x
−
=
，
∵解为非负数，
∴5
0
2
m
−
，
∴
5
m
，
∵原分式方程有可能产生增根
1
x = ，
∴5
1
2
m
−
，
∴
3
m
，
∴正整数m 的值为5、4、2、1．
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故答案为：5、4、2、1．
15．（2026·四川南充·一模）关于x 的一元一次方程(
)1
1
4
m
m
x
m
−
−=
+
的解为____．
【答案】2
−
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数m 的值，再代入原方程求解未
知数即可．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，得
1
m = ，且
1
0
m−
，
解得
1
m = −，
将
1
m = −代入原方程，得(
)
(
)
1 1
1
4
1
x
−−
−=
+ −
，
整理得2
1
3
x
−
−= ，
移项得2
4
x
−
=
，
系数化为1得
2
x = −．
16．
（2026·四川遂宁·二模）若m ，n 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
−=
的两个实数根，则1
1
m
n
+
的值为___________．
【答案】3
【详解】解：∵m ，n是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
−=
的两个实数根，
∴
3
m
n
+
= −，
1
mn = −
∴1
1
3
3
1
n
m
m
n
m
n
mn
mn
mn
+
−
+
=
+
=
=
=
−
17．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字
是千位数字的2 倍，个位数字比百位数字多2，则称M 为“博文数”．如：四位数4183，∵8
2
4
=
，3 1
2
−=
，
∴4183 是“博文数”．若四位自然数56
x
y 是“博文数”，则这个数是________．
【答案】3567
【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于x 和y 的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位
数字是千位数字的2 倍， 即6
2x
=
，个位数字比百位数字多2 ， 即
5
2
y −
=
，由此求出x ，y 的值， 验证
条件后即可得到所求四位数．
【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数56
x
y 是“博文数”，
6
2x
=
，
5
2
y −
=
，
解得
3
x = ，
7
y =
，
因此这个数是3567 ，符合“博文数”的定义．
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18．
（2026·四川成都·三模）从2
−，1
−，0，1，2，3 中随机选取一个数作为k，则关于x 的分式方程
2
3
3
3
x
x
kx −
=
−
−
无解的概率为______．
【答案】1
3
【分析】先确定总的等可能结果数，再根据分式方程无解的条件找出符合条件的k 的个数，最后利用概率公
式计算即可．
【详解】解：给定数共有6 个，因此随机选取一个数，共有6 种等可能的结果．
分式方程
2
3
3
3
x
x
kx −
=
−
−
两边同乘
3
x−
去分母得：
(
)
2
3
3
kx
x
−
−
= −
整理得：
(
)
2
9
k
x
−
= −
分式方程无解分为两种情况：
①整式方程无解，此时一次项系数为0 ，
即
2
0
k −
=
，
解得
2
k =
，符合选取要求．
②整式方程的解为分式方程的增根，该分式方程的增根为
3
x = ，将
3
x = 代入(
)
2
9
k
x
−
= −得：
(
)
3
2
9
k −
= −
解得
1
k = −，符合选取要求．
因此使分式方程无解的k 共有2 个，
根据概率公式可得，所求概率为2
1
6
3
=
．
19．（2026·四川广安·模拟预测）若关于x 的不等式组
3
1
2
2
1
x
x
x
x
a
−
+
+ −+
至少有两个正整数解，且关于x 的分式
方程
1
3
2
1
1
a
x
x
−
=
−
−
−
的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为___________．
【答案】14
【分析】先解不等式组并结合解的情况确定出a 的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选
出a 的值，最后求和即可．
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【详解】解：
3
1
2
2
1
x
x
x
x
a
−
+
+ −+
①
②
，
解不等式①得：
5
x
解不等式②得：
1
2
a
x
−
，
∵关于x 的不等式组
3
1
2
2
1
x
x
x
x
a
−
+
+ −+
至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为
1
5
2
a
x
−
．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
∴
1
4
2
a −
，解得：
9
a
．
分式方程
1
3
2
1
1
a
x
x
−
=
−
−
−
化简为：
1
2
1
1
1
a
x
x
x
−
+
=
−
−
，解得
2
2
a
x
−
=
．
要求解为正整数且
1
x ，则
2
2
a −
为大于等于2 的整数，即a 为大于等于6 的偶数．
∵
9
a
，
∴
6
a =
或8，
∴所有满足条件的整数a 之和为6
8
14
+
=
．
20．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程
2
1
x = −没有实数根，即不存在一个实数的平方等
于1
−．若我们定义一个新数“i ”，使其满足2
1
i = −（即方程
2
1
x = −有一个根为i ），并且进一步规定：一切
实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有1i
i
= ，
( )
2
2
3
2
4
2
1,
,
1
i
i
i
i
i i
i
= −
=
= −
=
= ，例如：
2
3
4
5
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+
+
+
+
= −−+ + = ．则
2
3
2026
i
i
i
i
+
+
++
= ______．
【答案】
1
i −
【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出i 的指数的循环规律，每4 个为一个循环，每个
循环的和为0，计算总项数除以4 的余数，再根据余数计算最终结果即可
【详解】解：由题意得：
1i
i
= ，
2
1
i = −，3i
i
= −，4
1
i = ，5i
i
= ，6
1
i = −
可得i 的指数每4 个一循环，且一个循环的和为
2
3
4
1
1
0
i
i
i
i
i
i
+
+
+
= −−+ =
，
2026 4
506
2
=
，
即共有506 个完整循环，剩余2 项为2025
i
和2026
i
，
2025
4 506 1
4 506
( )
i
i
i
i
i
+
=
=
= ，
2026
4 506 2
4 506
2
( )
?
1
i
i
i
i
+
=
=
= −，
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2
3
2026
506 0
1
1
i
i
i
i
i
i
+
+
++
=
+ −= −
21．（2026·四川达州·模拟预测）按要求完成各题
(1)计算：
(
)
2
0
1
3
1
2026
π
tan 60
3
−+
−
+ −
−
∣
∣
(2)解二元一次方程组：
2
0
3
1
1
8
4
x
y
x
y
−
=
+
= −
【答案】(1)
1
9
(2)
2
{
1
x
y
= −
= −
【详解】（1）解：
(
)
2
0
1
3
1
2026
π
tan 60
3
−+
−
+ −
−
∣
∣
1
3
1 1
3
9
=
−+ +
−
1
9
=
；
（2）解：
2
0
3
1
1
8
4
x
y
x
y
−
=
+
= −
整理得
2
0
3
2
8
x
y
x
y
−
=
+
= −
①
②，
+
①
②得4
8
x = −，解得
2
x = −，
把
2
x = −代入①得2
2
0
y
−−
=
，解得
1
y = −，
∴原方程组的解为
2
{
1
x
y
= −
= −．
22．（2026·四川眉山·一模）解不等式组：
2
2 ?
1
2
1
2
3
x
x
x
x
+
−
−
，①
，②并写出该不等式组的所有整数解．
【答案】1
2
x
−
，整数解是1
−，0，1
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出其整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得
2
x
，
解不等式②，得
1
x −，
∴不等式组的解集是1
2
x
−
，
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∴不等式组的整数解是1
−，0，1．
23．（2026·四川资阳·模拟预测）2025 年，安岳柠檬实现了价格和价值的双重跃升，为我县持续领跑全国
柠檬市场奠定了坚实基础．在10-12 月，其价格处于顶峰稳定期，已知5 千克优质果和5 千克精品果可售
120 元；10 千克优质果和6 千克精品果可售188 元．
(1)求优质果和精品果的销售单价；
(2)小刘家准备购买这两类柠檬共30 千克，且购买的总费用不超过362 元，则最多能购买精品果多少千克？
【答案】(1)
优质果的销售单价为11 元/千克，精品果的销售单价为13 元/千克
(2)
最多能购买精品果16 千克
【分析】（1）根据“5 千克优质果和5 千克精品果可售120 元，10 千克优质果和6 千克精品果可售188 元”
列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买精品果a千克，根据总费用不超过362 元列一元一次不等式，取最大正整数解即可．
【详解】（1）解：设优质果的销售单价为x 元/千克，精品果的销售单价为y 元/千克，
根据题意得 { 5𝑥+ 5𝑦= 120
10𝑥+ 6𝑦= 188，
解得
11
13
x
y
=
=
，
答：优质果的销售单价为11 元/千克，精品果的销售单价为13 元/千克．
（2）设购买精品果a千克，则购买优质果(30
)
a
−
千克.，
根据题意得13
11(30
)
362
a
a
+
−
，
解得
16
a
，
答：最多能购买精品果16 千克．
24．（2026·四川乐山·一模）夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，2008 年被列入第二批国
家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接2026 年马年新春，某年画工艺传承人计划制作90幅骏马年画，
由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的1.5倍，结果提前3天完成任务，求实际每天制作多
少幅骏马年画？
【答案】实际每天制作15幅骏马年画
【分析】设原计划每天制作x 幅骏马年画，则实际每天制作1.5x 幅骏马年画，根据题意列出分式方程，据此
求解即可．
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【详解】解：设原计划每天制作x 幅骏马年画，则实际每天制作1.5x 幅骏马年画，
由题可知，90
90
3
1.5
x
x
−
=
，
解得
10
x =
，
实际每天制作1.5 10
15
=
幅骏马年画，
答：实际每天制作15幅骏马年画．
25．（2026·四川成都·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲，乙两种型号的充电
桩．已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少0.3 万元，且用18 万元购买甲型充电桩与用24 万元购买
乙型充电桩的数量相等．
(1)请问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？
(2)该停车场计划共购买25 个甲，乙两种型号充电桩，购买总费用不超过26 万元，且乙型充电桩的购买数
量不少于甲型充电桩购买数量的1
2 ，请问共有哪几种
．．．购买方案？
【答案】(1)甲型充电桩单价为0.9 万元，乙型充电桩单价为1.2万元
(2)共有3 种购买方案，分别为：方案1：购买14 个甲型充电桩，11 个乙型充电桩；方案2：购买15 个甲型
充电桩，10 个乙型充电桩；方案3：购买16 个甲型充电桩，9 个乙型充电桩．
【分析】（1）设甲型充电桩的单价是x 万元，则乙型充电桩的单价是(
0.3)
x +
万元，利用数量=总价单价，
结合用18 万元购买甲型充电桩与用24 万元购买乙型充电桩的数量相等，可列出关于x 的分式方程，解之经
检验后，可得出x 的值（即甲型充电桩的单价），再将其代入(
0.3)
x +
中，即可求出乙型充电桩的单价；
（2）设购买y 个甲型充电桩，则购买(25
)
y
−
个乙型充电桩，根据“购买总费用不超过26 万元，且乙型充电
桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的1
2 ”，可列出关于y 的一元一次不等式组，解之可得出y 的取值
范围，再结合y 为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设甲型充电桩的单价是x 万元，则乙型充电桩的单价是(
0.3)
x +
万元，
根据题意得：18
24
0.3
x
x
=
+
，
解得：
0.9
x =
，
经检验，
0.9
x =
是所列方程的解，且符合题意，
0.3
0.9 0.3 1.2
x
+
=
+
=
（万元）．
答：甲型充电桩的单价是0.9 万元，乙型充电桩的单价是1.2 万元；
（2）解：设购买y 个甲型充电桩，则购买(25
)
y
−
个乙型充电桩，
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根据题意得：
0.9
1.2(25
)
26
1
25
2
y
y
y
y
+
−
−
，
解得：40
50
3
3
y
，
又
y 为正整数，
y
可以为14，15，16，
共有3 种购买方案，
方案1：购买14 个甲型充电桩，11 个乙型充电桩；
方案2：购买15 个甲型充电桩，10 个乙型充电桩；
方案3：购买16 个甲型充电桩，9 个乙型充电桩．
26．（2026·四川成都·二模）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质
丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用16000元采购A ，B 两种解
压玩具共2000 件，其中A ，B 两种玩具的进价分别为10元/件和5元/件．
(1)求该玩具批发公司采购A ，B 两种玩具各多少件？
(2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划B 种玩具的售价定为7 元/件，若该公司想要获得不低于35%的
利润率，则A 种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数）
【答案】(1)该玩具批发公司采购A 种玩具1200件，B 种玩具800 件
(2)14元/件
【分析】（1）设该玩具批发公司采购A 种玩具x 件，B 种玩具y 件，根据“某玩具批发公司用16000元采购A ，
B 两种解压玩具共2000件”得到关于x ，y 的二元一次方程组，求解后可得答案；
（2）设A 种玩具的售价定为m 元/件，根据“该公司要获得不低于35%的利润率”得到关于m 的一元一次不
等式，求出解集后得到符合题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设该玩具批发公司采购A 种玩具x 件，B 种玩具y 件，
依题意，得：
2000
10
5
16000
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
1200
800
x
y
=
=
，
答：该玩具批发公司采购A 种玩具1200件，B 种玩具800 件；
（2）解：设A 种玩具的售价定为m 元/件（m 为整数），
依题意，得：
(
)
(
)
1200
10
800 7
5
35%
16000
m −
+
−
，
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解得：
1
3
13
m
．
∵m 为整数，
∴m 最小取14，
答：A 种玩具的售价至少应定为14元/件．
27．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50 元，全部售出后可获
利36000 元，若每个定价60 元，全部售出后可获利48000 元，在对5 个门店调查时发现此玩具的日销售量
（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表：
玩具店
A
B
C
D
E
销售单价
60
59
58
57
56
日销售量
20
22
24
26
28
(1)此玩具的进价是多少元？
(2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
(3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200 元，该门店要通过销售该玩具每天获得600
元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
【答案】(1)此玩具的进价是20 元
(2)日销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为
2
140
y
x
= −
+
(3)该益智玩具的销售单价定为30 元
【分析】（1）设此玩具的进价是m 元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答；
（2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y 与销售单价x 之间成一次函数关系，故可设日销售量y 与销
售单价x 之间的函数关系式为y
kx
b
=
+
，利用待定系数法求出k 与b 的值，进而得出该益智玩具的日销售
量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
（3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得(
)(
)
2
140
20
200
600
x
x
−
+
−
−
=
，
然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答．
【详解】（1）解：设此玩具的进价是m 元，
根据题意，得36000
48000
50
60
m
m
=
−
−
，
解得
20
m =
，
经检验，
20
m =
是所列方程的解，
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答：此玩具的进价是20 元；
（2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y
kx
b
=
+
，
将(
)
60,20 ，(
)
59,22 代入，得：
60
20
59
22
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得：
2
140
k
b
= −
=
，
答：该益智玩具的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为
2
140
y
x
= −
+
；
（3）解：该益智玩具的销售单价定为x 元，
根据题意，得：(
)(
)
2
140
20
200
600
x
x
−
+
−
−
=
，
解得：
1
30
x =
，
2
60
x =
，
当销售单价为60 元时，日销售量为2 60 140
20
−
+
=
个，
当销售单价为30 元时，日销售量为2 30 140
80
−
+
=
个，
20
80
，且要尽量减少库存，
∴ 应选择日销售量较大的方案，
30
x
=
．
答：该益智玩具的销售单价定为30 元．
