文档内容
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷
数学•全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知 是任意有理数，在下面各说法中：
（1）方程 的解是 ；
（2）方程 的解是 ；
（3）方程 的解是 ；
（4）方程 的解是 ．
结论正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的解的定义判断即可．
【解答】解：（1）当 时，方程 的解是全体实数，原说法错误；
（2）当 时，方程 的解是全体实数，原说法错误；
（3）当 时，方程 无解，原说法错误；
（4）当 时，方程 的解是全体实数，原说法错误．
结论正确的个数是0．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
2．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 有
非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集确定 的范围，再解分式方程求出 的值，然后根据分式方
程有非负整数解，确定 的值即可解答．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
，
，
，
，
解得： ，
分式方程有非负整数解，
且 ，
且 ，
综上所述： 且 ，
符合条件的所有整数 的值为： ， ，
符合条件的所有整数 的值的和为： ，
故选： ．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元
一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
3．设三角形的三边 、 、 满足 ，则这个三角形的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】把所给等式的左边“一、三”分组后，进行因式分解，可得 ， ， 的关系，根据勾股定理
的逆定理，可得这个三角形的形状是直角三角形．
【解答】解： ，
．
，
，
．
、 、 为三角形的三边长，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司．
．
．
这个三角形是斜边长为 的直角三角形．
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．把所给等式的左边合理分组后因式分解是解决本题的关键．
4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点 在 轴上，点 、 、
、 、 、 、 在 轴上．若正方形 的边长为1， ， ，则
点 到 轴的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得 ，然后解直角三角形求出
、 、 、 、 、 、 ；再求出 ，过点 延长正方形的边交 轴于 ，过
点 作 轴于 ，先求出 ，再解直角三角形求出 ，得出点 到 轴的距离．
【解答】解： ，
．
正方形 的边长为1，
，
，
，
，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
，
，
．
过点 作 轴于 ，过点 延长正方形的边交 轴于 ．
则 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含 角的直角三角形，依次求出 轴上各线段的长
度是解题的关键．
5．如图， 是函数 图象上一点，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，作 轴
于点 ，交 于点 ，作 轴于点 ，交 于点 ．则 的值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由于 的坐标为 ，且 ， ，那么 的坐标和 点的坐标都可以 表示，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司那么 、 的长度也可以用 表示，接着 点、 点的坐标也可以 表示，然后利用勾股定理可以分
别用 表示 ， ，最后即可求出 ．
【解答】解： 的坐标为 ，且 ， ，
的坐标为 ， 点的坐标为 ，
，
在直角三角形 中， ，三角形 是等腰直角三角形），
，
点的坐标为 ， ，
同理可得出 点的坐标为 ，
， （a） ，
，即 ．
解法二：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
由题意， ， ， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数的知识，解题关键是通过反比例函数上的点 来确定 、 两点的坐标，
进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．
6．二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为 ，点 是该抛物线上一
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司点，若点 ， 是抛物线上任意一点，有下列结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若方程 有两个实数根 和 ，且 ，则 ．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①由抛物线的对称轴方程 ，和顶点坐标为 ，便可用 的代数式表示 、 与，
进而代入 便可由 的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点 关于直线 的对称点
为 ，当 ，则 或 ，便可确定此小题的结论正确与否；③当 时，
，当 ，则 ，便可确定此小题的结论正确与否；④方
程 有两个实数根 和 ，可得抛物线 与直线 交点的坐标 ，
和 ， ，再由抛物线 与 轴的两个交点坐标分别为 和 ，便可确定
此小题的结论正确与否．
【解答】解：① 二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为 ，
，且 ，
， ，
抛物线开口向上，则 ，
于是①的结论正确；
② 点 关于直线 的对称点为 ，
当 ，则 或 ，
于是②错误；
③当 时， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司当 ，则 ，
于是③错误；
④ 方程 有两个实数根 和 ，且 ，
抛物线 与直线 交点的坐标 ， 和 ， ，
抛物线 时， 或3，
即抛物线 与 轴的两个交点坐标分别为 和 ，
，
于是④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．已知 、 是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 、 是一元二次方程
的两个不相等的实数根，其中 ．若 ，则 的值为
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】将方程与二次函数结合，根据二次函数的图象特点求出相关点的坐标，再将点的坐标代入求出答
案．
【解答】解：将方程 和 转化成函数 和 ，
如图所示， 两条抛物线都交于点 ，
，
，
两条抛物线的对称直线 的值为 和 ，
，
，
，
将点 代入 得： ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司故选： ．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，需熟知二次函数表达式所呈现的意义及对二次函数
图象做出大致分析．
8．如图，正方形 边长为4，点 ， 分别在边 ， 上，且满足 ， ， 交于 点，
， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， ， 可得 ，从而由角的关系可知 ，
故点 在以 为直径的半圆 上移动，如图 2，连 ， ，在 上截取 ，连接 ，
得 ，从而得 的最小值为线段 的长度，如图3，作 ，垂足
为 ，求出 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ．
又 ，
，
，
又 ，
，
，即 ，
点 在以 为直径的半圆 上移动，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司如图，连接 ， ，在 上截取 ，连接 ，
正方形 边长为4，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
而 的最小值为线段 的长度，
如图，作 ，垂足为 ，则四边形 是正方形，
，
，
，
的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
等知识，解决本题的关键是证明 ，而 的最小值为线段 的长度．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制
了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
【答案】CD
【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【解答】解： 、10月测试成绩为“优秀”的学生达到 （人 ，故不符合题意；
、测试的学生人数为： （名 ，
9月体育测试中学生的及格率为 ，故不符合题意；
、由折线统计图可知，从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故
符合题意；
、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多，故符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．
10．下列函数中，当 时，函数值 随 的增大而增大依次是
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据一次函数正比例函数反比例函数的增减性逐项解答即可．
【解答】解： 、 ， 随 的增大而减小，不符合题意；
、 ， 随 的增大而增大，符合题意；
、 ， 时，函数值 随 的增大而增大，符合题意；
、 ，在第一三象限内， 随 的增大而减小，不符合题意；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司故选： ．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键．
11．如图，点 是正方形 对角线 上一点（不与点 ，点 重合），点 是正方形 的外角
的角平分线 上一点，且 ，连接 ， ．下列说法正确的是
A．当点 是 的中点时，四边形 是平行四边形
B． 的值为常数
C．当 时，
D．当 时，
【答案】ABC
【分析】分别利用平行四边形的判定定理证明四边形 是平行四边形，证明 为等腰直角三角形、
算出 、算出 即可判断 ， ， ， 对
错．
【解答】解： ．当点 是 的中点时， ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故选项正确；
．连接 ， ，
， ， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
，
同理可证： ，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，故选项正确；
．当 时，
，
，
，
，
，
，
，故选项正确；
．当 时，
，
，
，
，
，
，故选项错误，
故选： ．
【点评】本题考查方形的性质，角平分线，三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定及性质、求正弦
值等知识，解题的关键是添加 辅助线构建全等三角形．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ， ， ， 这四个数中最小的数是 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【答案】
【分析】根据幂的乘方把这四个数化为指数相同的四个数，然后比较底数即可．
【解答】解： ， ， ， ，
，
，
，
所以最小的数是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方，幂的乘方，把这四个数化为指数相同的四个数是
解题的关键．
13．如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若 的顶点均是格点，则
的值是 ．
【答案】
【分析】过 作 于 ，由勾股定理求出 ， ， ，设 ，则
，由勾股定理得到 ，求出 ，即可求出 ．
【解答】解：过 作 于 ，
由勾股定理得： ， ， ，
设 ，则 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【点评】本题考查解直角三角形，关键是过 作 于 ，构造直角三角形，应用勾股定理列出关
于 的方程．
14．如图，点 、 、 均在坐标轴上， ，过 、 、 作 ， 是 上任意一点，
连结 ， ，则 的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接 ， ， ，设 ，利用 的圆周角所对的弦是直径可得， 是 的直径，
再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出 ， ，可得当 为
的直径时， 最大， 的值最大，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接 ， ， ，
设 ，
，
是 的直径，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司当 为 的直径时， 最大， 的值最大，
，
的最大值 ，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置
关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）解方程x2﹣1＝2(x+1)
（2）先化简，再求值： ，其中 、 满足 ．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3（2）2
【分析】（1）因式分解求解方程；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把
， 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵(x+1)(x﹣1)﹣2(x+1)＝0，
∴(x+1)(x﹣3)＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3．
（2）
，
，
，
当 ， 时，原式 ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是
解题的关键．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司16．（15分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能
利物，轮乃曲成”．如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点 、
，筒车的轴心 距离水面的高度 长为 ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 刚
浮出水面时开始计算时间．
（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒 距离水面约多高？
（2）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ，已知 ，求盛水筒 从最高
点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽 中（即点 恰好在直线 上）？
（参考数据 ， ，
【答案】（1）此时盛水简 距离水面的高度 ．
（2）从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒 恰好在直线 上．
【分析】（1）先根据时间和速度求出 ，进而得出 ，最后利用三角函数计算出 ，从而得
到水简 距离水面的高度；
（2）先确定当 在直线 上时，此时 是切点，再利用三角函数得到 ， ，从
而计算出 ，最后再计算出时间即可．
【解答】解：（1）连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，如图：
由题意得，筒车每秒转 ，
盛水简 浮出水面2.5秒后，此时 ，
，
，
，
，
在 中， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
答：此时盛水简 距离水面的高度 ．
（2）如图，因为点 在 上，且 与 相切，所以当 在直线 上时，此时 是切点，
连接 ，所以 ，
在 中， ，
．
在 中， ，
，
，
需要的时间为 （秒 ，
答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒 恰好在直线 上．
【点评】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的
三角函数值是解题的关键．
17．（15分）
已知关于 的一元二次方程 ．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 、 满足 ，求 值；
（3）若 的两边 、 的长是方程的两根，第三边 的长为5，
①则 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
② 为何值时， 是等腰三角形，并求出 的周长．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根．（2） ， ．．（3）①当 时， 是直角
三角形；
②当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为14；当 时， 是等腰三角形，此时
的周长为16．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△ ，由此即可得出方程有两个不相等的实数
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司根；
（2）根据根与系数的关系进行解答；
（3）利用分解因式法可求出 ， ．①不妨设 ， ，根据 利用勾
股定理即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出 的值；②根据（1）结论可得出 ，由此
可找出 是等腰三角形分两种情况，分 、 两种情况考虑，根据两边相等找出关于
的一元一次方程，解方程求出 值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 在 方 程 中 ， △
，
方程有两个不相等的实数根．
（2）由题知： ， ．
变形为：
．得： ， ．
（3） ．
， ．
①不妨设 ， ，
斜边 时，有 ，
即： ，
解得： ， 、 为负，舍去）．
当 时， 是直角三角形；
② ， ， ，由（1）知
故有两种情况：
当 时， ，
， ，
、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时 的周长为 ；
当 时， ，
， ，
、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时 的周长为 ．
综上可知：当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为14；当 时， 是等腰三角形，
此时 的周长为16．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的
判别式△ 时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．
18．（17分）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司如图， 为 的直径， 为 上一点，连接 ， ， 为 延长线上一点，连接 ，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2， ，
①求 的面积；
②点 为 上一点，连接 交半径 于点 ，若 ，求 的长．
4√5 8√6 8
【答案】（1）略．（2）① ．② − ．
3 3 3
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理和同圆的半径相等的性质得到 ，再利用圆的切线的
判定定理解答即可得出结论；
（2）①利用相似三角形的判定与性质求得 的长度， ，设 ，则 ，利用
勾股定理求得 值，再利用直角三角形的面积公式解答即可；
②利用等腰三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到 ，
则 ，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接 ，如图，
为 的直径，
，
．
，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
，
，
，
，
．
为 的半径，
是 的切线；
（2）解：① ， ，
，
，
，
．
，
，
设 ，则 ．
，
，
，
．
， ．
为 的直径，
，
的面积 ；
② ，
，
， ，
，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
．
， ，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定
与性质，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
19．（17分）
若函数 在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 ，则称函数 是在
上的“美好函数”．
（1）函数① ；② ；③ ，其中函数 是在 上的“美好函数”；（填序
号）
（2）已知函数 ．
①函数 是在 上的“美好函数”，求 的值；
②当 时，函数 是在 上的“美好函数”，请直接写出 的值；
（3）已知函数 ，若函数 是在 为整数）上的“美好函数”，
且存在整数 ，使得 ，求 的值．
1
【答案】（1）①．（2）① 或 ；② 或 ；（3） ．
64
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”
的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
【解答】解：（1）对于① ，
当 时， ，
当 时， ，
，符合题意；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司对于② ，
当 时， ，
当 时， ，
，不符合题意；
对于③ ，
当 时， ，
当 时， ，
，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数 对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时，则当 时， 随 的增大而增大，
，
，
当 时，则当 时， 随 的增大而减小，
，
，
综上所述， 或 ；
②二次函数 为 ，对称轴为直线 ，
当 ， ，
当 时， ，
当 时， ．
若 ，则 ，解得 （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）， ；
若 ，则 ，解得 ， （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）．
综上所述， 或 ；
（3）由上可知，二次函数 对称轴为直线 ，
又 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，
，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时取得最大值， 时取得最小值，
，
， 为整数，且 ，
，即 的值为5，
又 ，
，
．
【点评】本题属于函数与定义新运算的综合，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨
论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司
