拓展柯西不等式（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0620数学_柯西不等式--2027高三数学拓展

拓展 柯西不等式
( )( )
1. 柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则 a2 +b2 c2 +d2 ≥(ac+bd)2，当且仅当ac=bd
时，等号成立．
2. 柯西不等式的一般情形： (a2+a2++a2)(b2+b2++b2)(ab +a b ++a b )2 ，当且仅当
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a =kb (i=1,2,,n)时，等号成立．
i i
→ → → →
3. 柯西不等式的向量形式：αβ≥α⋅β，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成
立．
4. 柯西不等式的三角形式：
(1) ( x −x )2 +( y − y )2 + ( x −x )2 +( y − y )2 ≥ ( x −x )2 +( y − y )2
1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3
(2) a2 +b2 + c2 +d2 ≥ ( a−c )2 +( b−d )2
5. 反柯西不等式： ( a2 −b2 )( c2−d2 ) ≤( ac−bd )2
1 2a
1．已知正实数a，b满足a+b=1，则 + 的最小值为___________.
a b+1
5
【答案】 /
2
【难度】0.4
【知识点】条件等式求最值、柯西不等式求最值
1 4 1 4
【分析】将目标式转化为 + −2，应用柯西不等式求 + 的取值范围，进而可得目标式的最小
a b+1 a b+1
值，注意等号成立条件.
1 2a 1 2−2b 1 4
【详解】由题设，a=1−b，则 + = + = + −2，
a b+1 a b+1 a b+1
1
学科网（北京）股份有限公司1 4 1 2
又(a+b+1)( + )=[ a⋅ + b+1⋅ ]2 =9，
a b+1 a b+1
1 4 9 b+1
∴ + ≥ ，当且仅当a= 时等号成立，
a b+1 2 2
1 2a 9 5 b+1 2
∴ + ≥ −2= ，当且仅当a= = 时等号成立.
a b+1 2 2 2 3
1 2a 5
∴ + 的最小值为 .
a b+1 2
5
故答案为： .
2
xy
2．已知3x+2y+z=3，则x2+y2+2z2的取最小值时， 为_____________.
z
8
【答案】
3
【难度】0.15
【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值
xy
【分析】利用柯西不等式求出x2+y2+2z2的最小值，再根据等号成立的条件求出x,y,z，进而可求出
z
的值.
2
 1  3 6
【详解】由柯西不等式得：3=3x+2y+z≤ 32+22+
 
⋅ x2+y2+2z2 = ⋅ x2+y2+2z2 ，
 2 2
6 2
则 x2+y2+2z2 ≥ ，则x2+y2+2z2 ≥ ，
3 3
3x+2y+z=3
 2 4 1
根据等号成立条件知3 2 1 ，解得x= ，y= ，z= ，
 = = 3 9 9
x y 2z
2 4
×
xy 3 9 8
所以 = = .
z 1 3
9
8
故答案为：
3
3．（多选）设正实数x,y满足x+2y=4，则以下说法正确的有（ ）
A．x2+y2的最小值为 B． x+ y 的最大值为 6
1 1
C．x+y的最大值为4 D． + 的最小值为3+2 2
x y
【答案】AB
【难度】0.65
2
学科网（北京）股份有限公司【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、柯西不等式求最值、条件等式求最值
【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：
利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决.
8 16
【详解】对于A：x=4−2y，∴x2+y2 =(4−2y)2+y2 =5y2−16y+16=5(y− )2+ ，
5 5
8 4
所以当y= ,x= 时，x2+y2取得最小值 ，故A正确；
5 5
对于B：(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2−a2c2−2acbd−b2d2 =a2d2−2acbd+b2c2 =(ad−bc)2 ≥0
即(ac+bd)2 ≤(a2+b2)(c2+d2)，
当且仅当ad =bc时，等号成立，
2 2
所以( x+ y)2 =(1× x+ × 2y)2 ≤[12+( )2][( x)2+( 2y)2]=6，
2 2
2 8 2
当且仅当 2y = x，即x= ,y= 时，等号成立，
2 3 3
所以 x+ y 的最大值为 6，故B正确；
对于C：x=4−2y,y>0，∴x+y=4−2y+y=4−y<4，故C错误；
1 1 1 1 1 1 2y x 1 2y x 3+2 2
对于D： + = (x+2y)( + )= (3+ + )≥ (3+2 ⋅ )= ，
x y 4 x y 4 x y 4 x y 4
2y x
当且仅当 = ，即x=4 2−4,y=4−2 2时，等号成立，
x y
1 1 3+2 2
所以 + 的最小值为 ，故D错误.
x y 4
故选：AB.
4．已知x,y>0，x2+y≥x3+y2，求x2+y2的最大值．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值
1
【分析】解法1：根据y2 ≤x2+y−x3可得x2+y2 ≤x+y，再由x2+y2 ≥ (x+y)2可得x+y≤2即可求解
2
x2+y2的最值；解法2：根据柯西不等式法可得x3+y2 ≤x+1，再根据
x2+y2 ≤x+1+x2−x3 =−(x−1)2(x+1)+2即可求解x2+y2的最值.
3
学科网（北京）股份有限公司【详解】解法1：由题意知x,y>0，y2 ≤x2+y−x3，
所以x2+y2 ≤2x2+y−x3 =x+y−x(x−1)2 ≤x+y，
1
又因为x2+y2 ≥ (x+y)2，
2
1
所以 (x+y)2 ≤(x+y)，即x+y≤2，
2
所以x2+y2 ≤2．
解法2：柯西不等式法
3 1
x3+y2 ≤x2+y=x2x2 +y⋅1≤ x3+y2 x+1 ，
即 x3+y2 ≤ x+1，x3+y2 ≤x+1，
所以x2+y2 ≤x+1+x2−x3 =−(x−1)2(x+1)+2≤2．
5．（多选）若非零实数a,b满足a2+b2 =4，则下列结论一定成立的是（ ）
1 1
A． + ≥1 B．a+b≤2 2 C．ab≤2 D．3a+4b≤10
a b
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】用一般形式的柯西不等式证明不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D.
1 1
【详解】由a=b=− 2时，满足a2+b2 =4，此时 + <0<1，A错，
a b
(a+b)2
由 a2+b2 =4≥ ⇒(a+b)2 ≤8 ，有a+b≤2 2，当且仅当 a = b = 2 时取等号，B对，
2
由a2+b2 =4≥2ab⇒ab≤2，当且仅当a=b=± 2时取等号，C对，
由(3a+4b)2 ≤ ( 32+42)( a2+b2) =100，则3a+4b≤10，当且仅当4a=3b，即a= 6 ,b= 8 时取等号，D
5 5
对.
6．已知a,b,c,d∈R.
(1)证明： ( a2−b2)( c2−d2) ≤(ac−bd)2；
(2)已知x,y∈R，x2−4y2 =1，求 3x+2y 的最小值.
【答案】(1)
4
学科网（北京）股份有限公司由 ( a2−b2)( c2−d2) −(ac−bd)2 =−b2c2+2abcd−a2d2 =−(bc−ad)2 ≤0，
所以 ( a2−b2)( c2−d2) ≤(ac−bd)2，当且仅当bc=ad时取等号.
(2)
【难度】0.85
【知识点】用柯西不等式求参数取值范围、柯西不等式证明
【分析】（1）根据题意，结合作差比较法，即可求解；
（2）由（1）得( 3x+2y)2 ≥2，得到 3x+2y ≥ 2，进而得到答案.
【详解】（1）略
( )2 
（2）解：由（1）可得

x2−(2y)2

⋅

3 −(−1)2

≤[ 3x−(−2y)]2，所以( 3x+2y)2 ≥2，即 3x+2y ≥ 2，
当且仅当2y⋅ 3=(−1)⋅x时取等号，
x=−2 3y 6 2 6 2
又由 ，解得x=− ,y= 或x= ,y=− .
x2−4y2 =1 2 4 2 4
7．（多选）设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，a2+b2+c2 =16，则（ ）
24
A．− ≤a≤4 B．−6≤b≤7
7
10 22 ( )
C．− ≤c≤ D． 5 2+6 bc≤8b+12c
7 7
【答案】AD
【难度】0.4
【知识点】用柯西不等式求参数取值范围
【解析】结合柯西不等式 ( a2+b2)( c2+d2) ≥(ac+bd)2依次代换即可求解 范围，对D，代换 得关
于 的表达式，再利用重要不等式即可求解
【详解】对A，2b+3c=4−a，b2+c2 =16−a2，则( 22+32)( b2+c2) ≥(2b+3c)2，
24
即13 ( 16−a2) ≥(4−a)2，解得− ≤a≤4，故A正确；
7
对B，a+3c=4−2b，a2+c2 =16−b2，( 12+32)( a2+c2) ≥(a+3c)2，即10 ( 16−b2) ≥(4−2b)2，解得
4−2 130 4+2 130
≤b≤ ，故B错误；
7 7
对C，4−3c=a+2b,16−c2 =a2+b2，则( 12+22)( a2+b2) ≥(a+2b)2，即5 ( 16−c2) ≥(4−3c)2，
5
学科网（北京）股份有限公司6−2 65 6+2 65
解得 ≤c≤ ，故C错误；
7 7
对D，由a2+b2+c2 =16判断，a≤4，则2b+3c≥0，即 不能同时为负，
若 一正一负，则 ( 5 2+6 ) bc<0≤4(2b+3c)；
若b,c>0，2b+3c=4−a，b2+c2 =16−a2，4+a=8−(2b+3c)，
又16−a2 =(4+a)(4−a)= 8−(2b+3c)

(2b+3c)，化简得8(2b+3c)=5b2+10c2+12bc，
即8b+12c= 1( 5b2+10c2+12bc ) ≥ 1( 2 50bc+12bc ) ，化简得 ( 5 2+6 ) bc≤8b+12c，故D正确.
2 2
故选：AD
8．已知x,y∈[ 0,1 ]，求x 1−y+y 1−x的最大值．
【答案】最大值为1
【难度】0.15
【知识点】柯西不等式求最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求含sinx(型)函数的值域和
最值
【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用
柯西不等式计算求解.
 π
【详解】法一：（三角换元）令y=cos2α，x=cos2β，（α，β∈

0,

），
 2
x 1−y+y 1−x =cos2βsinα+cos2αsinβ
≤cosβsinα+cosαsinβ
=sin(α+β)≤1，
π π
当且仅当α=0，β= 或者β=0，α= 时等号成立，故最大值为1．
2 2
法二：（柯西不等式）
x 1−y+y 1−x ≤ ( 1−y+y2)( 1−x+x2) ≤1，
当且仅当 ，y=1或x=1,y=0时等号成立．
x 1−y+y 1−x 的最大值为1．
1 1
9．（1）若a>0,b>0，且 + =1，则a+2b的最小值为________．
2a+b b+1
6
学科网（北京）股份有限公司1 8
（2）已知正实数x,y满足x+y=1，则 + 的最小值为________．
x2 y2
2 3+1
【答案】 27
2
【难度】0.65
【知识点】柯西不等式求最值
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值.
a b ( a+ b)2
【详解】二元形式的权方和不等式：已知x,y,a,b∈R ，则有： + ≥ (当且仅当x:y= a: b
＋
x y x+y
时取等号)；
n
(∑a)m+1
一般形式的权方和不等式：设a,b ∈R ( i∈N∗) ，实数 ，则∑ n a i m+1 ≥ i=1 i (当且仅当
i i ＋ bm n
i=1 i (∑b)m
i
i=1
a a a
1 = 2 == n 时取等号)．
b b b
1 2 n
1 1 1 3 (1+ 3)2
（1） ，1= + = + ≥ ，则2a+4b+3≥(1+ 3)2，
2a+b b+1 2a+b 3(b+1) 2a+4b+3
 1 3
 =
2 3+1 2a+b 3(b+1) 3 1 3
因此a+2b≥ ，当且仅当 ，即a= + ,b= 时取等号，
2  1 1 3 2 3
+ =1

2a+b b+1
2 3+1
所以a+2b的最小值为 .
2
1 2
1 8 13 23 (1+2)3  = 1 2
（2） 是正实数， + = + ≥ =27，当且仅当x y ，即x= ,y= 时取等号，
x2 y2 x2 y2 (x+y)2  3 3
x+y=1
1 8
所以 + 的最小值为27.
x2 y2
2 3+1
故答案为： ；27
2
10．已知x,y,z∈R，且满足2x+ y+ 5z=2，求x2+y2+z2的最小值为_______________.
【答案】 /0.4
【难度】0.4
【知识点】柯西不等式求最值
【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.
7
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得2x+y+ 5z=2×x+1×y+ 5×z=2，
则由柯西不等式得(x2+y2+z2)×22+12+( 5)2≥(2x+y+ 5z)2 =22 =4，
 
2
可得(x2+y2+z2)×10≥4，解得x2+y2+z2 ≥ ，
5
x z 2 1 5
当且仅当 = y= 时取等，此时x= ,y= ,z= ，
2 5 5 5 5
2
可得x2+y2+z2的最小值为 .
5
2
故答案为：
5
a+1 b+1
11．已知正数a,b满足a+b= + ，则 的最小值为_________.
2a+1 2b+1
【答案】 2
【难度】0.65
【知识点】用柯西不等式求参数取值范围
1 1
【分析】根据分离常量法可得
a+b=1+ 2 + 2
，结合权方和不等式计算可得(a+b−1)(a+b+1)≥1，即
2a+1 2b+1
(a+b)2≥2，即可求解.
【详解】a>0,b>0，
1 1 1 1 1 1
a+b=
a+1
+
b+1
= 2
(2a+1)+
2+ 2
(2b+1)+
2 =1+ 2 + 2
，
2a+1 2b+1 2a+1 2b+1 2a+1 2b+1
2
 2 2
1 1  + 
所以
2 2  2 2  1
，
a+b−1= + ≥ =
2a+1 2b+1 2a+1+2b+1 a+b+1
2 2
当且仅当
2 2
即 时等号成立，
=
2a+1 2b+1
所以(a+b−1)(a+b+1)≥1，得(a+b)2≥2，
所以a+b≥ 2或 a+b≤− 2 （舍去），
即a+b的最小值为 .
故答案为：
12．求函数y=2 2x−1+ 5−2x 的取值范围．
【答案】2,2 5
 
8
学科网（北京）股份有限公司【难度】0.65
【知识点】柯西不等式求最值、由导数求函数的最值（不含参）、复杂（根式型、分式型等）函数的值
域
【分析】先求出定义域，由柯西不等式得到2 2x−1+ 5−2x ≤2 5，求导得到函数单调性，从而求出
y=2 2x−1+ 5−2x 的最小值为2，得到答案.
2x−1≥0 1 5
【详解】由题意得 ，解得 ≤x≤ ，
5−2x≥0 2 2
由柯西不等式得
( 22+12) (
2x−1
2
+ 5−2x
2 )
≥
(
2 2x−1+ 5−2x
)2
，
( )2
即 2 2x−1+ 5−2x ≤5×4=20，所以2 2x−1+ 5−2x ≤2 5，
2 1 21
当且仅当 = ，即x= 时取等号，
2x−1 5−2x 10
2 1 2 5−2x− 2x−1
又y′= − = ，
2x−1 5−2x 2x−1 5−2x
21
令y′=0得2 5−2x = 2x−1，即x= ，
10
1 21 21 5
当y′>0得x∈ , ，当y′<0得x∈ , ，
2 10 10 2
1 21 21 5
所以y=2 2x−1+ 5−2x 在x∈ , 上单调递增，在x∈ , 上单调递减，
2 10 10 2
5
且当 时，y= 5−1=2，当x= 时，y=2× 5−1=4，
2
所以y=2 2x−1+ 5−2x 的最小值为2，
所以y=2 2x−1+ 5−2x 的取值范围为

2,2 5

.
13．求函数Z =x+2y+ 9−x2−4y2 （x，y>0）的最大值．
【答案】3 3
【难度】0.65
【知识点】柯西不等式、柯西不等式求最值
【分析】根据柯西不等式求解即可.
【详解】根据柯西不等式得
9
学科网（北京）股份有限公司( x+2y+ 9−x2−4y2 )2 ≤ 

x2+4y2+ ( 9−x2−4y2 )2

( 12+12+12) =3 

x2+4y2+ ( 9−x2−4y2 )2

   
( )2
即Z =x+2y+ 9−x2−4y2 ≤ 3⋅ x2+4y2+ 9−x2−4y2 =3 3，
3
当 ，y= 时等号成立,
2
所以函数Z =x+2y+ 9−x2−4y2 (x,y>0)的最大值为3 3．
14．若(x+1)2+(y−1)2 =1，则3x+4y的最大值为______．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】柯西不等式求最值
【分析】由柯西不等式即可得到答案.
【详解】3x+4y= 3(x+1)+4(y−1)

+1≤ 32+42 ⋅ (x+1)2+(y−1)2 +1=6，
 2
 3(y−1)=4(x+1)>0 

x=−
5
当且仅当 ，即 时取“=”.
 (x+1)2+(y−1)2 =1  y= 9
 5
所以3x+4y的最大值为6.
故答案为:6
x2 y2
15．设 、 为正实数 且 则 + 的最小值为______
, x+y=1. .
x+2 y+1
1
【答案】
4
【难度】0.4
【知识点】柯西不等式
x2 y2 (x+y)2 1
【详解】由柯西不等式得 + ≥ = ，
x+2 y+1 x+2+y+1 4
x2 y2
1 2
当且仅当 x+2 = y+1 ⇔ x=2y ，即y= 3 , x= 3 时,等号成立.
x+2 y+1
16．设a，b，c为正数，且a2+b2+c2 =1，则a(a+b+c)的最大值为（ ）
3+1 2
A． B． C． D．
2 2
【答案】A
【难度】0.4
10
学科网（北京）股份有限公司【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、基本不等式求积的最大值、柯西不等式求最
值
【分析】利用待定系数法法结合基本不等式可求a(a+b+c)的最大值，也可以利用三角换元结合辅助角
公式、正弦函数的性质可求最大值.我们也可以利用基本不等式把b+c转化为关于 的代数式，从而可求
最大值.
λa2+ 1 b2 µa2+ 1 c2
【详解】解法一 根据题意，有 λ µ
a(a+b+c)≤a2+ +
2 2
 λ µ 1 1
=1+ + a2+ b2+ c2，
 2 2 2λ 2µ
λ µ 1 1
其中λ,µ>0，令1+ + = = ，
2 2 2λ 2µ
3−1
解得λ=µ= ，
2
于是a(a+b+c)≤ 1 ( a2+b2+c2) = 3+1 ，
2λ 2
( ) 3+1
等号当a:b:c= 3+1 :1:1时取得，因此所求最大值为 ．
2
解法二 令a=cosϕ,b=sinϕsinθ,c=sinϕcosθ，其中0≤ϕ≤π,0≤θ<2π，则
a(a+b+c)=cos2ϕ+sinϕcosϕ(sinθ+cosθ) ≤cos2ϕ+ 2sinϕcosϕ
2 1 1 3+1
= sin2ϕ+ cos2ϕ+ ≤ ，
2 2 2 2
( ) 3+1
等号当a:b:c= 3+1 :1:1时取得，因此所求最大值为 ．
2
解法三 根据题意，有
a(a+b+c)≤a

a+ 2
( b2+c2)
 
=a2+ 2a2( 1−a2)
 1 2 1  1 2 1 3+1
= a2−  + 2⋅ −a2−  + ≤ ，
 2 4  2 2 2
1  1 2  1 2 ( )
等号当b2 =c2，且 −a2−

=2a2−

即a:b:c= 3+1 :1:1时取得，
4  2  2
3+1
因此所求最大值为 ．
2
故选：A.
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