大招洛必达法则-学生版_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0616数学_高中数学解题技巧：洛必达法则

大招 洛必达法则
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小
之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比.这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果
我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则.
一．洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则.
二．法则形式
0
1.法则1( 型)：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
0
(1)设当x→a时，limfx
x→a
1
 =0 及limgx
x→a
 =0；
(2)在点a处函数f(x)和g(x)的图像是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数；
fx
(3)lim
x→∞

gx 
f(x) f(x)
=l；则：lim =lim =l.
x→a g(x) x→a g(x)
0
2.法则2( 型)：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
0
(1)limfx
x→∞
 =0 及limgx
x→∞
 =0；
(2)在点a处函数f(x)和g(x)的图像是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数；
fx
(3)lim
x→∞

gx 
fx
=l，则：lim
x→∞

gx 
fx
=lim
x→∞

gx 
=l.
∞
3.法则3( 型)：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
∞
(1)limfx
x→a
 =∞及limgx
x→a
 =∞；
(2)在点a处函数f(x)和g(x)的图像是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数；且g(x)≠0；
fx
(3)lim
x→a

gx 
fx
=l，则：lim
x→a

gx 
fx
=lim
x→a

gx 
=l.
【特别提醒】：
(1)将上面公式中的x→a,x→+∞换成x→+∞，x→-∞,x→a+,x→a-洛必达法则也成立.
0 ∞
(2)洛必达法则可处理 ， ，0⋅∞，1∞，∞0,00，∞-∞型.
0 ∞
0 ∞
(3)首先要检查是否满足 ， ，0⋅∞，1∞，∞0,00，∞-∞型定式，否则用洛必达法会出错.当不满足三个
0 ∞
前提条件时，就不能用洛必达法则
(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
(5)高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.
三．适用类型的转化
1 ∞ 1 0
(1)0⋅∞型的转化：0⋅∞⇒ ⋅∞= 或0⋅∞⇒0⋅ = ；
∞ ∞ 0 01 1 0-0 0
(2)∞-∞型的转化：∞-∞⇒ - ⇒ =
0 0 0⋅0 0
(3)00、1∞∞0型的转化：幂指函数类
00
1∞
∞0
2
 0⋅ln0
取对数
→ ∞⋅ln1 ⇒0⋅∞
0⋅ln∞
1.已知函数fx  =2sinx-xcosx-x，x∈0,π  ，fx  ≥ax恒成立，求a的取值范围．
【举一反三】
2.已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.3.已知函数fx
3
 =xex-1  -ax2，当x≥0时，fx  ≥0，求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.【举一反三】
5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
6.已知函数f(x)=mx-sinx，g(x)=axcosx-2sinx(a>0).
(1)若函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值；
π
(2)若m=1，且对任意x∈ 0,
 2
4
 ，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围.7.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达
ex-1
法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如lim =
x→0 x
ex-1
lim
x→0
5
  ex lnx+x-1
=lim =1，则lim = ( )
x x→0 1 x→1 x2+x-2
1 2
A. B. C. 1 D. 2
2 3
0 ex-1 0
8.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当x→0时， 的极限即为 型．两
0 x 0
个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通
ex-1 ex-1
过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lim =lim
x→0 x x→0
  ex
=lim =1，
x x→0 1
x2-1
则lim = ( )
x→1 x3lnx
1
A. 0 B. C. 1 D. 2
2
9.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商
的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
sinx sinx
lim =lim
x→0 x x→0
  cosx ex-e-x
=lim =1，按此方法则有lim = ．
x x→0 1 x→0 sinx
10.已知函数fx 
a a lnx
= - - ，且fx
x x3 x
 ≤0.
(1)求实数a的值；
(2)求证：fx  存在唯一的极小值点x 0 ，且-e-1<fx 0  <-e-2；
(3)设Fx  =xfx 
a
+ -a，Gx
x2

1
= x2+x+bsinx.对∀x∈0,π
2
 ，Fx+1  ≤Gx  恒成立，求实
数b的取值范围.11.已知函数fx
6
 =exx-3  +ax2+2x+3
1
(1)当a=- 时，求函数fx
2
 的单调区间；
(2)若函数fx  有3个不同零点，求实数a的取值范围.12.已知f(x)=x+1
7
 lnx.
(1)求f(x)的单调区间；
 f(x)
(2)若对任意x≥1，不等式x -ax
x+1

+a≤0恒成立，求a的取值范围.π
13.若不等式ax>sinx对于x∈0,
2
8
 恒成立，求a的取值范围？
14.已知函数f(x)=ex-x-1，若当x≥0时，恒有|f(x)|≤mx2e|x|成立，求实数m的取值范围．x
15.设函数f(x)=1-e-x.设当x≥0时，f(x)≤ ，求a的取值范围.
ax+1
alnx b
16.已知函数f(x)= + ，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0．
x+1 x
（1）求a、b的值；
lnx k
（2）如果当x>0，且x≠1时，f(x)> + ，求k的取值范围．
x-1 x
9