复合函数、嵌套函数的零点问题（学生版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0623数学_复合函数、嵌套函数的零点问题--高三数学

复合函数、嵌套函数的零点问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 y=f[f(x)]型函数的零点问题 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯01
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
题型02 y=f[g(x)]型函数的零点问题 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯07
题型03 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18
创新提升 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1嵌套函数的概念
嵌套函数，又称复合函数，是指一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成如 f(g(x))或f(f(x))的结
构。其中，g(x)为内层函数，f(x)为外层函数。这类函数在数学分析与实际建模中广泛应用，其零点问
题(即方程f(g(x))=0的解)常需借助特殊策略求解。
知识点2嵌套函数零点问题的处理策略
处理嵌套函数零点的核心思想是“换元转化、分层讨论”。首先，令t=gx
1
 ，将原方程转化为ft  =0，
先求解外层函数的零点t 1 ,t 2 , 。然后，将每个t i 代回，解方程gx  =t，从而得到原函数的零点。此过程 i
体现了“由外到内”的分解逻辑。
在实际操作中，常结合图像法辅助分析。例如，若ft  =0有两个解t=a和t=b，则原函数零点个数
即为方程gx  =a与gx  =b的实数解个数之和。通过绘制y=gx  的图像，并观察其与水平线y=
a、y=b 的交点个数，可直观判断零点数量。
此外，需注意内层函数的值域对外层函数定义域的限制，避免增解或漏解。对于含参问题，可通过分
析交点个数随参数变化的情况，确定参数范围。
总之，嵌套函数零点问题的关键在于换元降维、分层求解，并辅以数形结合，提升解题效率与准确性。
题型深研·通法变式提能力
题型1 y=f[f(x)]型函数的零点问题
角度1零点个数的判断
1.(多选)(2026高三·一轮·专题复习)已知函数fx 
kx+1, x≤0

= ，下列是关于函数y=f fx
log x, x>0
2
   +1的零点的判断，其中正确的是 ( )
A. 在-1,0
2
 内一定有零点 B. 在0,1  内一定有零点
C. 当k>0时，有4个零点 D. 当k<0时，有1个零点
角度2根据零点个数求参数范围
2.(2026·山西忻州·模拟预测)已知函数 fx  =x2-2x．若关于x的方程 f fx    =a有4个不同的实数
根，则实数a的取值范围为 ．
lnx
3.已知函数f(x)=
 , x>0 
 ，则方程f(f(x)-2)=2实数根的个数为 ( )
x2+2x+2, x≤0
A. 6 B. 7 C. 10 D. 11
4.(25-26高一下·重庆·期中)已知函数fx 
lnx+1, x>0

= ，若函数y=f fx
-x2+2ax, x≤0
   有8个零点，则实
数a的取值范围为 ．
5.(25-26高二·全国·暑假作业)函数fx 
x, x≤2
=
log x-2
2


 ，则函数y=f(f(x))的所有零点之和为
, x>2
．
6.(25-26高三下·湖北武汉·阶段检测)已知函数 fx 
2x
=
 π
，若0<θ< ，则函数gx
x2+1 2
 =f fx    -
cosθ的零点个数是 ．
7.(2026·浙江宁波·二模)已知函数 fx 
2
- -1, -2≤x<0
=  x ，设a,b,c是三个不同的实数，且满足
lnx, x>0
f fa    =f fb    =f fc    ，则a+b+c的最小值为 ( )
1 1
A. e2-1 B. e-1 C. e2-1+ D. e-1+
e e2
题型2 y=f[g(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
8.已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图象如下所示:给出下列四个命题：
(1)方程f[g(x)]=0有且仅有6个根 (2)方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
(3)方程f[f(x)]=0有且仅有5个根 (4)方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确的命题是 .
(将所有正确的命题序号填在横线上)
9.(25-26高三上·北京海淀·阶段检测)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+c，若函数y=f(g(x))与y=
g(f(x))都没有零点，则函数y=f(f(x))与y=g(g(x)) ( )
A. 恰有一个零点 B. 至少有一个没有零点
C. 至少有一个有零点 D. 无法确定
10.已知函数f(x)=|2-x-1|，gx
3
 log x 2 =  , 0<x<2   ，且方程f(x)=m有两个不同的解，则实数m的取
3-x, x≥2
值范围为 ，方程g[f(x)]=m解的个数为 .
角度2 已知零点个数求参数
11.(25-26高一上·山东·期中)已知函数fx 
1
x+ , x>0
= x ，gx
x+2, x≤0
 =-x2-2x+1，若方程f gx    -a=
0有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ( )
5
A. 2,
2

5
B.  2,
 2
 C. 2,+∞  D. 2,+∞ 
12.已知函数fx 
x+ 1 ，x>0
x
= 1 
2


 ，g(x)=x2+ax+b，若方程g[f(x)]=0有且仅有5个不相等的解，则a x ，x<0
-b的取值范围是 ．
13.已知函数fx 
4
x+ , x>0
= x
log -x
3


 ，gx
, x<0
 =x2+ax+b，其中a,b均为实数．若方程g fx    =0有且仅
有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为 ( )
A. -972 B. -486 C. -324 D. -162
14.已知函数fx 
ex+1, x≤0
=
x2-4x+3 

 ,gx
, x>0
 =x2-ax+1，若y=g fx    有6个零点，则a的取值范围
为 .
题型3 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题
角度1函数零点个数的判断
15.(2026·广东·模拟预测)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x ，x ，且x <x ，若f(x )=x ，f(x )=
1 2 1 2 1 2 2
x ，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是 ( )
1
A. 3 B. 4 C. 5 D. 616.(25-26高一上·天津·阶段检测)已知函数fx
4

x2-4x-5
=
 , x≥0
1

2


 x ，则方程 fx
, x<0
   2-6fx  +5=0
的解的个数为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
17.．(25-26高三上·海南海口·期中)设函数fx 
x2+3x+1
= ，则方程f2x
ex
 -4efx  -5e2=0的实数根
的个数可能为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
18.(25 - 26 高一上·天津蓟州·阶段检测) 已知定义在 R 上的奇函数 f x  ，当 x > 0 时，f x  =
2x-1  -1, 0<x≤2
1
fx-2
2


 ，则关于x的方程6f(x)
, x>2
 2-f(x)-1=0的所有实数根的和是 ( )
A. -2 B. 0 C. 7 D. 6
角度2已知零点个数求参数
xlnx, x>0

19.(2026·吉林延边·三模)已知函数f(x)= ，若函数g(x)=[f(x)]2+(2a+1)f(x)+2a
|x2+2x-1|, x≤0
有4个零点，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. [0,1] B. (1,2] C. - ,1
e

1
D. -1,-
2

20.(2026·云南玉溪·模拟预测)已知函数fx 
3x-1+1, x≤1
=

lnx-1   

 ，若Fx
, (x>1)
 =f2x  -2afx 
4
+ 的零
3
点个数为4，则实数a取值范围为 ( )
6 5
A.  ,
3 6
 4
∪ ,+∞
3

6 5
B.  ,
3 6

∪(2,+∞)
5
C.   ,2
 6

4
D.  ,+∞
3

21.(25 - 26 高三下·江苏泰州·阶段检测) 已知 fx  是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，fx  =
π
1-cos x, 0<x≤3
3
1
fx-3
2


 ，若关于x的方程f2x
, x>3
 -a-1  fx  -a=0 恰有4个互不相等的实数根，则实
数a的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
22.(2026·湖南邵阳·三模)已知函数fx 
-x2-2x+2, x≤0
=
lnx 

 ，若函数gx
, x>0
 = fx    2-afx  +5有8个
不同的零点，则实数a的取值范围是 ( )9
A. 2 5,
2
5

9
B. 2 5,
2

9 14
C.  ,
2 3

9 14
D.   ,
 2 3

分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
23.(25-26高三上·福建漳州·阶段检测)已知函数 fx 
2x-1
=
 ,x≤1, 
 则方程 f fx
2-x,x>1,
  
1
= 的解的个数
2
为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
24.若函数fx 
2x3-6x+3, x≤0

= ，则gx
3ex, x>0
 =2 fx    2-13fx  +21的零点个数为( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
25.已知函数fx 
3x-3
=
 , x≥0 
 ，则函数gx
x2+2x+2, x<0
 =f fx   -1  -2的零点个数为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
26.(25-26高三上·重庆·月考)已知函数fx 
lnx, x>0

= ，若函数y=f fx
-x2+2ax, x≤0
   有6个零点，则实
数a的取值范围为 ( )
A. a>1 B. a<0 C. a<-1 D. -1<a<0
27.(25-26高二下·重庆·期中)已知函数fx 
ex
= ，关于x的方程2f2x
2-x
 =5a fx    -2a2有且仅有4个
不同的实根，则实数a的取值范围为 ( )
A. e4,2e3 
e3
B.  ,2e3
2

e
C.  ,2e3
2
 D. e,3e3 
28.(25-26高三上·河南·阶段检测)已知函数fx 
2x, x<1

= ，gx
3-x, x≥1
 =f fx    =a的零点个数为m，
a为实数，则下列正确的有 ( )
A. 当a=2时，m=2 B. 当1<a<2时，m=3
C. gx  在0,1  上单调递增 D. gx  在1,2  上单调递增
29.(25-26高三上·福建福州·阶段检测)已知函数fx 
2x+1, x≤0
=
log x
2


 ，关于x的方程f2x
-1, x>0
 -2fx 
=1-a2的解的个数可能是 .
创新提升30.(25-26高一上·浙江杭州·期末)已知fx
6

2x+2
, x≤1
= 2
log x-1
2
  

 ，则实数a满足ff(a)
, x>1
 =0，则满足条
件的实数a的值的个数为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
31.(25-26高三上·山东济南·期中)已知函数 fx  是定义在 -∞,0  ∪ 0,+∞  上的偶函数，且当x∈
0,+∞  时，fx 
x-1
=
 2, 0<x≤2
fx-2 

 ，则函数gx
+1, x>2
 =f fx    -1的零点个数为 ( )
A. 5 B. 6 C. 16 D. 8
32.(25-26高三上·山东·期中)已知函数 fx 
-x2-2x+2，x≤0
=
lnx 

 ，若函数gx
,x>0
 =f2x  -afx  +6有8
个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( )
A. 2 6,5  B. 2 6,5  C. 4,5  D. 4,5 
33.设函数fx  =x2+ax+b,gx  =x2+cx+d.若函数y=f gx    与y=g fx    都没有零点，则函数y
=f fx    与y=g gx    ( )
A. 都没有零点 B. 都有零点
C. 至少有一个没有零点 D. 至少有一个有零点
34.(2026·湖南衡阳·二模)已知函数y=ex与y=gx  的图象关于直线y=x对称，函数 fx  =gx  +
a-1  x，a>1，若方程f fx    =x在区间 2,4  上有解，则实数a的取值范围为 ( )
ln2 1
A.  1+ ,1+
 2 e

1
B. 1,1+
e

1 ln2
C.  2- ,2-
 e 2

1 ln2
D. 2+ ,3+
e 2

35.(多选)已知函数fx 
4
x+ ,x>0,
= x
log 1-x
2


 ，gx
,x<0,
 =x2+ax+b，若方程g fx    =0有且仅有5个不相
等的整数解，则下列说法正确的是 ( )
A. a=9 B. b=20 C. 最大的整数解是4 D. 最小的整数解是-31
36.(多选)(2026·江苏扬州·三模)已知函数fx 
ex,x≤0,
=   设a,b,c是三个不同的实数，且满足a<b
lnx+1,x>0,
<c，f fa    =f fb    =f fc    ，则下列选项中正确的有( )．
A. fa  =fc  B. a≤lnc
2
C. a+b的最小值为2 e-1 D. a+b+c的最大值为1+
e
37.(多选)(2026·山东德州·模拟预测)已知函数fx 
π
=sinωx-
6
 ω>0  ，关于x的方程[f(x)]2=4[f(x)]
4在0,π  上恰有14个不同的实数根，则ω的值可能为 ( )14 16
A. 4 B. C. 5 D.
3 3
38.(25 - 26 高三上·湖南怀化·开学考试) 已知函数 f x
7

x
, x>0
= 3
2x+2-2 

 ，若函数 gx
, x≤0
 =
f-x2+2x+m  -m恰有6个零点，则m的取值范围为 ．
39.(2026·天津东丽·二模)设a∈R，函数fx 
ex, x>0

= 1 ，当a=0时，fx
, x<0
x+a
 的值域为 ；若关于
x的方程fx+1 
1
=
fx 
恰有一个根，则a的取值范围是 ．
40.(25-26高三上·河南·阶段检测)设函数fx  =2x-a  a>1  ，则关于x的方程f fx    =0根的个数为
，其所有根之和的取值范围为 ．