大招权方和不等式-学生版_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0612数学_解题技巧之权方和不等式讲义

权方和不等式
在遇到利用不等式法求最值时，常常会遇到无法利用基本不等式解决的问题，可以利用权方和不等
式处理.
a2 b2 (a+b)2 a b
一、二维权方和不等式：若a,b,x,y>0，则 + ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
x y x+y x y
a2 b2 (a+b)2 ya2+xb2 (a+b)2
证明：∵a,b,x,y>0，要证 + ≥ ，只需证 ≥
x y x+y xy x+y
即证xya2+y2a2+x2b2+xyb2≥xya2+2xyab+xyb2，故只要证y2a2+x2b2≥2xyab，
则(ya-xb)2≥0，当且仅当ya-xb=0时，等号成立
a2 b2 (a+b)2 a b
即 + ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
x y x+y x y
a b  a+ b
变形1：已知x,y,a,b∈R+，则有： + ≥
x y
1
 2
(当且仅当x:y= a: b时，等号成立).
x+y
am+1 bm+1 a+b
变形2：已知x,y,a,b∈R+，且m>0，则 + ≥
xm ym
 m+1
x+y 
a b
当且仅当 = 时，等号成立.
m x y
二、多维权方和不等式：
a2 a2 a2 (a +a +⋯+a )2
公式1：若a >0,b >0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n ，当a =λb 时，等号成立.
i i b b b b +b +⋯+b i i
1 2 n 1 2 n
am+1 am+1 am+1 (a +a +⋯+a )m+1
公式2：若a >0,b >0,m>0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n
i i bm 1 bm 2 bm n b 1 +b 2 +⋯+b n 
，当a =λb 时，等号成
m i i
立.
权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最
值，本质还是代数式常数化.
x2 y2
1.已知a>0，b>0，且x+y=1，则 + 的最小值是____.
x+2 y+1
【举一反三】
1 2
1.设a>1，b>0，若a+b=2，则 + 的最小值为
a-1 b
1 1 1
2.已知a，b，c为正实数，且满足a+4b+9c=4，则 + + 的最小值为 .
a+1 b+1 c+11 3
3.若x>0，y>0， + =2，则6x+5y的最小值为______________
2x+y x+y
【举一反三】
4.已知a>b>0，且满足EF= 3,AF⊥BF，则a+b的最小值为 .
1 9
5.已知x>0，y>0且 + =1，求x+y的最小值为 .
x y
x2 y2
6.已知x>1，y>1，则 + 的最小值是__________.
y-1 x-1
【举一反三】
1
7.已知x∈0,
2
2

2 9
，则 + 的最小值为 ．
x 1-2x
8.已知x∈0,3 
2x-8 1
，则y= + 的最小值 .
x-3 2x
5 8
9.求f(x)= + 的最小值为______________.
2sin2x+3 5cos2x+6
【举一反三】
1 4
10.函数y= + 的最小值是 .
sin2x cos2x
1 8
11.已知正实数x、y且满足x+y=1，求 + 的最小值 .
x2 y2
12.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，
a2 b2 a+b
x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b 2
，当且仅当 = 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)= +
x+y x y x
9 1
0<x<
1-2x 2
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
π
13.设p、q∈R+，x∈0,
2

p q
，则 + 的最小值是 ( )
sinx cosx
3 3
A. p5+q5 
5 4 4
3 B. p5+q5 
5 1 1
4 C. p2+q2 
2 1 1
D. p4+q4 
4
1 8
14.已知θ为锐角，则 + 的最小值为 .
sinθ cosθ
15.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，
a2 b2 a+b
x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．根据权方和不等式，函数 fx
x+y x y

3
=
x1 2
+ 0<x<
2-3x 3
3
 的最小值为 ．
x2 y2 z2
16.已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则 + + 的最小值为
y+2z z+2x x+2y
4 9 4 9
17.已知正数x,y满足 + =1，则 + 的最小值为
x y 2x2+x y2+y
18.已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为
19.设a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为 ．
20.求fx  = x2-3x+2+ 2+3x-x2的最大值为
3 1
21.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M= + 的最小值为 .
x+2y 2x-y