大招权方和不等式-解析版_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0612数学_解题技巧之权方和不等式讲义

权方和不等式
在遇到利用不等式法求最值时，常常会遇到无法利用基本不等式解决的问题，可以利用权方和不等
式处理.
a2 b2 (a+b)2 a b
一、二维权方和不等式：若a,b,x,y>0，则 + ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
x y x+y x y
a2 b2 (a+b)2 ya2+xb2 (a+b)2
证明：∵a,b,x,y>0，要证 + ≥ ，只需证 ≥
x y x+y xy x+y
即证xya2+y2a2+x2b2+xyb2≥xya2+2xyab+xyb2，故只要证y2a2+x2b2≥2xyab，
则(ya-xb)2≥0，当且仅当ya-xb=0时，等号成立
a2 b2 (a+b)2 a b
即 + ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
x y x+y x y
a b  a+ b
变形1：已知x,y,a,b∈R+，则有： + ≥
x y
1
 2
(当且仅当x:y= a: b时，等号成立).
x+y
am+1 bm+1 a+b
变形2：已知x,y,a,b∈R+，且m>0，则 + ≥
xm ym
 m+1
x+y 
a b
当且仅当 = 时，等号成立.
m x y
二、多维权方和不等式：
a2 a2 a2 (a +a +⋯+a )2
公式1：若a >0,b >0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n ，当a =λb 时，等号成立.
i i b b b b +b +⋯+b i i
1 2 n 1 2 n
am+1 am+1 am+1 (a +a +⋯+a )m+1
公式2：若a >0,b >0,m>0，则 1 + 2 +⋯+ n ≥ 1 2 n
i i bm 1 bm 2 bm n b 1 +b 2 +⋯+b n 
，当a =λb 时，等号成
m i i
立.
权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最
值，本质还是代数式常数化.
x2 y2
1.已知a>0，b>0，且x+y=1，则 + 的最小值是____.
x+2 y+1
【大招指引】本题给定了已知整式和方程，待求式符合权方和的形式：分子的幂指数比分母的幂指数大1，
利用权方和会得到x+y.根据已知条件知不等式右侧为定值，从而可直接使用.
x2 y2 x+y
解析： + ≥
x+2 y+1
 2 1 x y 2 1
= ；当 = ，即x= ,y= 时，等号成立.
x+y+3 4 x+2 y+1 3 3
【题后反思】不等式的最值求法方法较多，关键是要熟知每种不等式的结构特征，根据题中特征选择合适
的方法.【温馨提醒】权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，
本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
【举一反三】
1 2
1.设a>1，b>0，若a+b=2，则 + 的最小值为
a-1 b
【答案】3+2 2
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：∵a+b=2，
∴a-1+b=1，
1 2 1 2
∴ + =  +
a-1 b a-1 b
2

b 2(a-1) b 2(a-1)
∙(a-1+b)=1+2+ + =3+2 ∙ =3+
a-1 b a-1 b
2 2，
当且仅当a= 2，b=2- 2时取等号，
1 2
故a+b=2，则 + 的最小值为3+2 2，
a-1 b
故答案为：3+2 2
【点睛】本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属于基础题．
1 1 1
2.已知a，b，c为正实数，且满足a+4b+9c=4，则 + + 的最小值为 .
a+1 b+1 c+1
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
1 1 1 1 4 9 1+2+3
+ + = + + ≥
a+1 b+1 c+1 a+1 4b+4 9c+9
 2
a+1  +4+4b  +9c+9 
36
= =2，
18
1
当且仅当a=2,b= ,c=0时等号成立，
2
1 1 1
所以 + + 的最小值为2.
a+1 b+1 c+1
故答案为：2.
1 3
3.若x>0，y>0， + =2，则6x+5y的最小值为______________
2x+y x+y
【大招指引】本题给定了分式和方程，而我们的权方和不等式就是分式形状，因此需要对已知式变形，一
3
方面符合权方和的形式，另一方面需要出现待求式，于是可将 分子分母同乘4，则可见分母2x+y
x+y
+4(x+y)=6x+5y，正是待求式，便可顺利解决.
1 3 1 12
解析： + = +
2x+y x+y 2x+y 4x+y 
12 2 3
= +
2x+y
 2
4x+y 
1+2 3
≥
 2 13+4 3
=
6x+5y 6x+5y
13+4 3 13 1 3
即2≥ ，则6x+5y≥ +2 3，当且仅当 =
6x+5y 2 2x+y 4x+y 
时取等号.
【题后反思】很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形，得出我们
所要的结果.【举一反三】
4.已知a>b>0，且满足EF= 3,AF⊥BF，则a+b的最小值为 .
1
【答案】 + 2
2
【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可.
2 1 ( 2+ 1)2
【详解】由权方和不等式，可知 + ≥ ，
a+2 a+2b (a+2)+(a+2b)
( 2+ 1)2 1 2 1
⇒1≥ ⇒a+b≥ + 2，当且仅当 = 时取等号，
(a+2)+(a+2b) 2 a+2 a+2b
1
即当a= 2,b= 时取等号，
2
1
所以a+b的最小值为 + 2.
2
1
故答案为： + 2
2
1 9
5.已知x>0，y>0且 + =1，求x+y的最小值为 .
x y
【答案】16
【分析】根据x+y=x+y
3

1 9
 +
x y
 ，利用基本不等式可求得最小值.
1 9
【详解】∵x>0，y>0且 + =1，
x y
∴x+y=x+y 
1 9
 +
x y

9x y 9x y 9x y
=10+ + ≥10+2 ⋅ =16(当且仅当 = ，即y=3x时取
y x y x y x
等号)，
∴x+y  =16.
min
故答案为：16.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”
的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.
x2 y2
6.已知x>1，y>1，则 + 的最小值是__________.
y-1 x-1
【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权
方和不等式，这样分子出现x+y，分母也出现x+y，接着就可以利用换元换成一个变量，再利用基本不
等式即可解决.
x2 y2 x+y
解析：令x+y-2=t(t>0)， + ≥
y-1 x-1
 2 t+2
=
x+y-2
 2 4
=t+ +4≥8
t t
x+y-2=2

当 x y ，即x=2,y=2，两个等号同时成立.
=
y-1 x-1
【题后反思】权方和不等式在使用时也跟基本不等式相似，“一正，二定，三等式”，关键也是需要变形和验
证.
【举一反三】
1
7.已知x∈0,
2

2 9
，则 + 的最小值为 ．
x 1-2x【答案】25
2 9
【分析】先判断 + 得每一项均为正，然后利用两个分布的关系得2x+1-2x
x 1-2x
4
 =1，利用均值不
等式计算即可.
1
【详解】因为x∈0,
2

2 9 2 9
，所以1-2x>0， + = +
x 1-2x x 1-2x
 2x+1-2x 
21-2x
=4+

+
x
18x 21-2x
+9，显然
1-2x
 18x 21-2x
>0， >0，所以
x 1-2x
 18x 21-2x
+ ≥2
x 1-2x
 18x
× =12，
x 1-2x
21-2x
当
 18x 1 2 9 21-2x
= ，即x= 时，等号成立，所以 + =4+
x 1-2x 5 x 1-2x
 18x
+ +9≥25，
x 1-2x
2 9
所以 + 的最小值为25.
x 1-2x
故答案为：25
8.已知x∈0,3 
2x-8 1
，则y= + 的最小值 .
x-3 2x
7
【答案】
2
2 1 2 1 3-x x
【分析】将函数解析式变形为y= + +2，然后在代数式 + 上乘以1= +
3-x 2x 3-x 2x 3 3
 ，
展开后利用基本不等式可求出该函数的最小值.
2x-8 1 2x-3
【详解】∵0<x<3，∴0<3-x<3，∵y= + =
x-3 2x
 -2 1 2 1
+ = + +2，
x-3 2x 3-x 2x
2 1
由基本不等式得y= +
3-x 2x

3-x x
 +
3 3

2x
+2=
33-x 
3-x 17 2x
+ + ≥2
6x 6 33-x 
3-x
⋅ +
6x
17 7
= .
6 2
2x
当且仅当
33-x 
3-x
= 时，即当x=1时，等号成立，
6x
2x-8 1 7
因此，函数y= + 的最小值为 .
x-3 2x 2
7
故答案为： .
2
【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力，
属于中等题.
5 8
9.求f(x)= + 的最小值为______________.
2sin2x+3 5cos2x+6
【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权
方和不等式，需要寻求定值，与三角函数有关的定值就是sin2x+cos2x=1，于是通过配凑得出sin2x+
cos2x=1即可.
解析：
5 8 52
f(x)= + =
2sin2x+3 5cos2x+6 52sin2x+3 
42
+
25cos2x+6 
5+4
≥
 2
10sin2x+cos2x 
81
= ，当且
+27 37
5
仅当
52sin2x+3 
4
=
25cos2x+6 
时取等号.
【题后反思】遇到求最值的问题还是需要寻求定值，有时给了最值，有时是在给定式中，灵活的变形也是
解题的关键.【举一反三】
1 4
10.函数y= + 的最小值是 .
sin2x cos2x
【答案】9
【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值.
【详解】由sin2x+cos2x=1，
1 4
y= + =sin2x+cos2x
sin2x cos2x
5

1 4
 +
sin2x cos2x

4sin2x cos2x
=1+ + +4
cos2x sin2x
4sin2x cos2x
≥5+2 ⋅ =5+4=9，
cos2x sin2x
4sin2x cos2x 1 2
当 = ，即sin2x= ,cos2x= 时等号成立.
cos2x sin2x 3 3
1 4
所以函数y= + 的最小值是9.
sin2x cos2x
故答案为：9.
1 8
11.已知正实数x、y且满足x+y=1，求 + 的最小值 .
x2 y2
【答案】27
π
【分析】设x=cos2α，y=sin2α，α∈0,
2
 ，由权方和不等式计算可得.
π
【详解】设x=cos2α，y=sin2α，α∈0,
2
 ，
1 8 13
由权方和不等式，可知 + =
x2 y2 cos2α 
23
+
2 sin2α 
1+2
≥
2
 3
cos2α+sin2α 
=27，
2
1 2 1 2
当且仅当 = ，即x= ，y= 时取等号，
cos2α sin2α 3 3
1 8
所以 + 的最小值为27.
x2 y2
故答案为：27
12.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，
a2 b2 a+b
x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b 2
，当且仅当 = 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)= +
x+y x y x
9 1
0<x<
1-2x 2
 的最小值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
a2 b2 a+b
【详解】因a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时等号成立，
x+y x y
1
又0<x< ，即1-2x>0，
2
22 32 (2+3)2 2 3 1
于是得f(x)= + ≥ =25，当且仅当 = ，即x= 时取“=”，
2x 1-2x 2x+(1-2x) 2x 1-2x 52 9 1
所以函数f(x)= + 0<x<
x 1-2x 2
6
 的最小值为25.
故选：B
π
13.设p、q∈R+，x∈0,
2

p q
，则 + 的最小值是 ( )
sinx cosx
3 3
A. p5+q5 
5 4 4
3 B. p5+q5 
5 1 1
4 C. p2+q2 
2 1 1
D. p4+q4 
4
【答案】B
p q 5 p4+ 5q4
【分析】设f= + ，利用基本不等式可得出5≥5⋅ ，即可求得f的最小值.
sinx cosx 5 f4
p q π
【详解】设f= + ，因为x∈0,
sinx cosx 2
 ，则0<sinx<1且0<cosx<1，
p q
因为sin2x+cos2x=1，构造数字式5=1+4=1+4 +
f sinx f cosx

4p
= +sin2x
f sinx

4q
+ +cos2x
f cosx

5 p
≥5 
f sinx

4 5 q
⋅sin2x+5 
f cosx

4 5 p4+ 5q4
⋅cos2x=5⋅ ，
5 f4
4 4 4 4
所以，5 f4≥ 5 p4+ 5q4=p5 +q5，故f≥p5+q5 
5
4，
p
 f sinx =sin2x p 当且仅当 ，即当tanx=
q =cos2x q
f cosx
 2 5 时，等号成立，
p q 4 4
因此， + 的最小值是p5+q5
sinx cosx

5
4.
故选：B.
1 8
14.已知θ为锐角，则 + 的最小值为 .
sinθ cosθ
【答案】5 5
bn+1 dn+1 b+d
【分析】利用权方和不等式： + ≥
an cn
 n+1
a+c 
求解.
n
3
1 8 12
【详解】 + =
sinθ cosθ
sin2θ 
3
42
+
1
2 cos2θ 
1+4
≥
1
2

3
2
sin2θ+cos2θ 
3
=52 =5 5
1
2
1 4 5 2 5
当且仅当 = 即sinθ= ，cosθ= 时取“=”.
sin2θ cos2θ 5 5
故答案为：5 5
(2023秋·贵州贵阳·统考期末)
15.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，
a2 b2 a+b
x，y>0，则 + ≥
x y
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立．根据权方和不等式，函数 fx
x+y x y

3
=
x
1 2
+ 0<x<
2-3x 3
 的最小值为 ．
【答案】8【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
a2 b2 a+b
【详解】因为a，b，x，y>0，则 + ≥
x y
7
 2 a b
，当且仅当 = 时，等号成立，
x+y x y
2
又0<x< ，即2-3x>0，
3
所以fx 
3 1 32 12 3+1
= + = + ≥
x 2-3x 3x 2-3x
 2
3x+2-3x 
=8，
3 1 1
当且仅当 = ，即x= 时，等号成立，
3x 2-3x 2
所以fx 
3 1 2
= + 0<x<
x 2-3x 3
 的最小值为8.
故答案为：8.
x2 y2 z2
16.已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则 + + 的最小值为
y+2z z+2x x+2y
1
【答案】
3
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数x，y满足x+y+z=1，
x2 y2 z2 x+y+z
所以 + + ≥
y+2z z+2x x+2y
 2 1
= ，
y+2z+z+2x+x+2y 3
x y z 1
当且仅当 = = 即x=y=z= 时取等号.
y+2z z+2x x+2y 3
1
故答案为： .
3
4 9 4 9
17.已知正数x,y满足 + =1，则 + 的最小值为
x y 2x2+x y2+y
1
【答案】
18
【分析】
运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条
件则迅速求解.
【详解】
a2 b2 (a+b)2
要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a>0,b>0,x>0,y>0,有 + ≥ ,当且仅当
x y x+y
a b
= 时取等号.
x y
m n
证明：利用柯西不等式：m,n,x,y>0,(m2+n2)(x2+y2)≥(mx+ny)2，当且仅当 = 时取等号，
x y
a2 b2 (a+b)2 a2 b2
要证 + ≥ ,只须证(x+y) +
x y x+y x y
 ≥(a+b)2，
a2 b2
因 a > 0,b > 0,x > 0,y > 0, 则 (x + y) +
x y

a
= [( x )2 + ( y )2] 
x

2 b
+
y

 2




≥
a b
 x⋅ + y⋅
x y

2
=(a+b)2,
x y a b
当且仅当 = 时，即 = 时取等号.
a b x y
x y4 9 42
故由 + =
2x2+x y2+y 42x2+x
8

92
+
9y2+y 
42 92

4
+
9
x2 y2 x y
= + ≥
4 9 8+ 9+
x y

2
1
=
4 9 18 + +17
x y
4 9
当且仅当 x
4
= y
9
时取等号.由


 x
4
+ y =1
9 ,解得：   x=
1
2
7
，
8+ 4 9+ 9  x = y y=17
x y  8+4 9+9
x y
17 4 9 1
即当x= ,y=17时， + 的最小值为 .
2 2x2+x y2+y 18
1
故答案为： .
18
18.已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为
【答案】60
【分析】应用权方和不等式即可求解.
x2 2y
x2+2y2+3z2+4u2+5v2= +
1
【详解】
 2 3z
+
2
 2 4u
+
3
 2 5v
+
4
 2
5
x+2y+3z+4u+5v
≥
 2 302
= =60
1+2+3+4+5 15
当且仅当x=y=z=u=v时取等号
故答案为：60
19.设a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为 ．
【答案】3 2
【详解】由2ab≤a2+b2两边同时加上a2+b2
得(a+b)2≤2(a2+b2)两边同时开方即得：a+b≤ 2(a2+b2)(a>0,b>0且当且仅当a=b时取
“=”)，
7 3
从而有 a+1+ b+3≤ 2(a+1+b+3)= 2×9=3 2(当且仅当a+1=b+3,即a= ,b= 时，
2 2
“=”成立)
故填：3 2.
考点：基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式2ab≤a2+b2转化为a+b≤ 2(a2+b2)
(a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”)再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条
件.
20.求fx  = x2-3x+2+ 2+3x-x2的最大值为
【答案】2 2
【分析】根据权方和不等式直接求解即可.
f(x)= x2-3x+2+ 2+3x-x2= x2-3x+2
【详解】

1
2 + 2+3x-x2
1-2 1

1
2
1-2 1
≤ x2-3x+2+2+3x-x2 
1
2
1+1 
=2 2
-2 1
当且仅当x2-3x+2=2+3x-x2，即x=0或x=3时取等号
故答案为：2 2.3 1
21.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M= + 的最小值为 .
x+2y 2x-y
8
【答案】 ##1.6
5
【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内
在联系.
a2 b2 (a+b)2
【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a>0,b>0,x>0,y>0,有 + ≥ ,当
x y x+y
a b
且仅当 = 时取等号.
x y
m n
证明：利用柯西不等式：m,n,x,y>0,(m2+n2)(x2+y2)≥(mx+ny)2，当且仅当 = 时取等号，
x y
a2 b2 (a+b)2 a2 b2
要证 + ≥ ,只须证(x+y) +
x y x+y x y
9
 ≥(a+b)2，
a2 b2
因 a > 0,b > 0,x > 0,y > 0, 则 (x + y) +
x y

a
= [( x )2 + ( y )2] 
x

2 b
+
y

 2




≥
a b
 x⋅ + y⋅
x y

2
=(a+b)2,
x y a b
当且仅当 = 时，即 = 时取等号.
a b x y
x y
不妨令m(x+2y)+(2x-y)=n(x+y),整理得(m+2)x+(2m-1)y=nx+ny，
则   m+2=n , 解得   m=3 , 则 M = 3 + 1 = 9 + 1 = 9 + 1 =
2m-1=n n=5 x+2y 2x-y 3x+6y 2x-y 3x+6y 2x-y
32 12 (3+1)2 8
+ ≥ = ，
3x+6y 2x-y 5(x+y) 5
当且仅当 3 = 1 时等式成立，由   3x+ 3 6y = 2x 1 -y 解得：   x= 3 2 ，即当x= 3 ,y= 1 时，M=
3x+6y 2x-y x+y=2 y= 1 2 2
2
3 1 8
+ 的最小值为 .
x+2y 2x-y 5
8
故答案为： .
5