回归课本高中数学公式简洁版_2024-2027高三（6-6月题库）_2025年04月试卷_0402回归课本高中数学公式简洁版

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高中数学公式
第一部分：集合、条件、不等式
⑴常用数集：正整数集N(N )，自然数集N ，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

1、集合 ⑵子集（包括真子集和相等）、交集、并集、补集、全集、空集（是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）
⑶含n个元素的集合个数：子集有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
定义：可以判断真假的陈述句叫命题。
四种命题：①原命题：若p则q； ②逆命题：若q则p；
2、命题
③否命题：若p则q； ④逆否命题：若q则p
注：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。四种命题的真假个数：0个，2个，4个
① p是q的充分不必要条件（p是q的真子集） ② p是q的必要不充分条件（q是p的真子集）
3、条件
③ p是q的充要条件 （p = q相等） ④ p是q的既不充分也不必要条件（p、q互不包含）
技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的
⑴逻辑联词或且非，或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换。
4、逻辑连 ①且(交集）： pq； ②或（并集）： pq； ③非（结论否定）：p .
词、量词
⑵量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式。全称命题 p：x；特称命题p：x；
两项：⑴ 直接开平方；（形如x2  1） ⑵ 提取公因式；（形如x2 2x  0）；
b b2 4ac
三项：⑶ 十字相乘法；⑷ 配方法（提；配；括；完） ⑸公式法：求根公式：x 
5、二次方 2a
程  b
判别式b24ac：韦达定理：
x
1
 x
2
 
a

x x  c
 1 2 a
a
 >1⇔a>b
b
a－b>0⇔a>b

a
两个实数比较大小的方法：(1)作差法：与0比a－b＝0⇔a＝b (2)作商法：与1比 ＝1⇔a＝b (b>0)
b
6、不等式 
a－b<0⇔a<b 
a
的性质 <1⇔a<b
b
a>b a>b a>b a>b>0
(1)乘法 ⇒ac>bc ⇒ac<bc (2)同向相加 ⇒a＋c>b＋d (3)同向相乘 ⇒ac>bd
c>0 c<0 c>d c>d>0
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⑴ ax2＋bx＋c＞0的解集{x| x  x 或x  x } “大于取两边”
1 2
7、二次不 ⑵ ax2＋bx＋c＜0的解集{x| x  x x } “小于取中间”
1 2
等式
a  0 a 0
若f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则当 时，f(x)>0恒成立；当

时，f(x)<0恒成立.
Δ  0 Δ0
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
方法：⑴ 配方法，顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n 对称轴x＝m；顶点（m，n）
8、二次函
数
⑵ 十字相乘法，交点式：f(x)＝a(x－x
1
)(x－x
2
) 与x轴的交点：x＝x
1、
x
2
⑶ 对称轴方程：x   b  x 1  x 2 顶点坐标：( b , 4acb2 )
2a 2 2a 4a
f(x) f(x)
9、分式不 (1) >0 ⇔ f(x)·g(x)>0． (2) ≥ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≥ 0且g(x)≠0.
g(x) g(x)
等式
f(x) f(x)
(3) <0 ⇔ f(x)·g(x)<0． (4) ≤ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≤ 0且g(x)≠0.
化整式 g(x) g(x)
若a＞0， ⑴ x  a  a  x  a “小于取中间”
10、绝对值 ⑵ x  a  x  a 或 x  a “大于取两边”
不等式
若c＞0， ⑴ |ax＋b| < c －c < ax＋b < c；
⑵ |ax＋b| ＞ c ax＋b＞c或ax＋b <－c
第二部分：函数、导数
根式运算： a b  ab； a  a  a b  ab 整数幂：⑴an  aaa(n个a相乘) ⑵an  1 ⑶
b b b b b an
1、指数运 a0 1(a0) 分数幂：⑴ an 1  na ⑵ a m n  nam ⑶a  m n  1
算 nam
指数运算：aman amn；am

amn；abm ambm；(am)n amn
an
⑴ 指数与对数互化：xlog N ax N(a0,a1,N 0)
a
⑵ 对数恒等式：⑴log 10 ⑵log a1 ⑶ alog a N  N ⑷log aN＝N （指对之后还是N）
a a a
⑶ 常用对数：lgN ＝log N；自然对数：lnN＝log N (e  2.7)
10 e
2、对数运
算 ⑷ 对数的运算: ① 加乘：log M log N log (MN) ② 减除：log M log N log M
a a a a a a N
n
③ 顶在外：log bn  nlog b ④ 顶在外，体位不变：log bn  log b
a a am m a
log b
⑤ 体位不变：log b  c （学名换底公式，常用在对数的乘法运算中，但不常用）
a log a
c
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3、函数的 1
⑴分式： (x≠0) ⑵偶次方根：√𝑥 (𝑥≥0) ⑶零指数幂：𝑥0 (𝑥≠0) 𝑥−𝑛 (𝑥≠0) ⑷对数：log 𝑥 (𝑥>0)
𝑎
定义域 x
求函数解析式的4种方法
4、函数的
1
解析式 (1)换元法（从前到后）(2)配凑法（从后到前）(3)待定系数法．(4)解方程组法：f(x)与f( ) f(－x)解方程组．
x
设x、x [a,b],那么
1 2
f(x )－f(x )
⑴ 若x  x，f(x ) f(x ) 0 f(x)为增函数；若 1 2>0 ⇔ f(x)为增函数 （同号为增）
5、函数的 1 2 1 2 x 1 －x 2
单调性 f(x )－f(x )
⑵ 若x  x，f(x ) f(x ) 0 f(x)为减函数；若 1 2<0 ⇔ f(x)是减函数 （异号为减）
1 2 1 2 x－x
1 2
复合函数f(g(x))的单调性：f(u)、u＝g(x) “同增异减”
偶函数：⑴ 定义域关于原点对称 ⑵ f(x)  f(x) 偶函数图象关于y轴对称。
6、函数的
奇函数：⑴ 定义域关于原点对称 ⑵ f(x)f(x) 奇函数图象关于原点对称。
奇偶性
公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
ab
对称轴：f(a＋x)＝f(a－x) ⇔ f(x)图像关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x) ⇔ 对称轴x 
7、函数的 2
对称性 ab
对称中心：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(x)图像关于点(a，b)对称． f(a＋x)＋f(b－x)＝0 ⇔ 对称中心（ ，0）
2
1 1
(1)f(x＋a)＝f(x)，T＝a． (2) f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a． (3) f(x＋a)＝ ，T＝2a． (4) f(x＋a)＝－ ，T＝2a．
f(x) f(x)
1
(5)f(a＋x)＝f(b＋x)，T＝ab．(6) 两个对称轴是半个周期 T：f(x)关于直线x＝a，x＝b对称，那么T＝2ab．
8、函数的 2
周期性 1
(7) 两个对称中心也是半个周期 T：f(x)关于点（a，0）（b，0）对称，那么T＝2ab．
2
1
(8) 对称轴与对称点是 个周期：f(x)关于直线x＝a、点（b，0）对称，那么T＝4ab． 三角函数图像可证明678
4
(1)一次函数：y  kx  b (k≠0) k：斜率 b：y轴上的截距 ①k>0,递增；②k<0，递减。
(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c (a≠0) ①看a；②看Δ；③画图；④求解
9、常见的 (3)三次函数：y  ax3  bx2  cx  d 求导
五种函数
k
(4)反比例函数：y  (k≠0) ①k>0,图像在一、三象限；②k<0，图像在二、四象限。
x
a
(5)双勾函数：y  x  (a>0) ①x>0,当x＝ a时，y min ＝2 a；②x<0,当x＝ a 时，y max ＝ 2 a
x
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a  b a2  b2
10、基本不 ⑴ab2 ab；a2 b2  2ab； ⑵ ab  ( )2 
2 2
等式
满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：ab≤均值的平方≤平方的均值 .
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数零点存在性定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则存在零点．函数单调，则存在一个零点。
11、零点问
函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；
题
(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断
幂函数定义：形如y＝xα 的函数称为幂函数
当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数 当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
1
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝ ＝x1
y  x  x2
x
函数
图象
12、幂函数
定义域：x左右 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域：y上下 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
(－∞，0)减 (－∞，0)和
单调性 增 增 增
(0，＋∞)增 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
指数函数
①a>1 ②0<a<1 (1)y＝ax
y＝ax
(2)y＝bx
(3)y＝cx
图象
(4)y ＝dx
13、指数函
数
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点(0,1) 即x＝0时，y＝1
当x>0时，y > 1； 当x> 0时，0 < y < 1；
性质
当x<0时，0 < y < 1 当x < 0时，y > 1
在(－∞，＋∞)上是增函数（同号） 在(－∞，＋∞)上是减函数（异号） c>d>1>a>b
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对数函数
①a>1 ②0<a<1 (1)y＝log
a
x
y＝log x
a
(2)y＝log x
b
(3)y＝log x
c
图象
(4)y＝log x
14、对数函 d
数
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
性质
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数（同号） 在(0，＋∞)上是减函数（异号） 0<c<d<1<a<b
(1)平移变换 (2)对称变换
关于x轴对称
①y＝f(x)―――――――→y＝－f(x)；
关于y轴对称
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)；
关于原点对称
③y＝f(x) ―――――→ y＝－f(－x)；
(3) 伸缩变换
15、四种图
1
a＞1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
像变换 a
①y＝f(x) →y＝f(ax)；
1
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变
a
a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
②y＝f(x) →y＝af(x)．
0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
(4)翻折变换
保留x轴上方图象
①y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|.
将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右边图象，并作其
②y＝f(x)――――――――――――――→y＝f(|x|)．
关于y轴对称的图象
导数部分
fx  fx
1、函数 f(x)从x 到x 的平均变化率： 2 1
1 2 x x
2 1
Δy fx ＋Δx－fx 
1、导数公 2、导数定义： f(x)在点x 0 处的导数（瞬时变化率）记作 y xx0  f(x 0 ) Δ l x i → m 0 Δx = Δ li x m →0 0 Δx 0 ；
式
3、函数y＝f(x)在点x 处的导数的几何意义--切线的斜率
0
切点P(x，f(x))，斜率k＝f′(x )，切线方程：y－y＝ f'(x )(x－x )．
0 0 0 0 0 0
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4、常见函数的导数
常函数f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
幂函数f(x)＝xα f ′(x)＝αxα－1
三角函数f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
指数函数f(x)＝ax f ′(x)＝axln a
f(x)＝ex f ′ (x)＝ex
1
对数函数f(x)＝logx f ′(x)＝
a xln a
1
f(x)＝ln x f ′(x)＝
x
5、导数的运算法则
① [𝑘𝑓(𝑥)]’= k f′(x) 常数不用导
②
fxgx   fxgx
各自导各自
③ 

fxgx

  fxgx fxgx 前导后不导加上后导前不导
fx  fxgx fxgx
④    gx0 上导下不导减去下导上不导 除以分母的平方
 gx    gx  2
6、复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y ′·u′.
x u x
1、求导
2、因式分解
3、令 f'(x)  0，解得x的值，即极值点
4、求单调性： f(x) 0 f(x)是增函数； f(x) 0 f(x)为减函数．
2、导数研
5、求极值：列表得极值：
究函数
①如果在x 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x)是极大值；
0 0
②如果在x 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x)是极小值
0 0
6、函数的最值
①连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值．
②将函数的极值与端点处的值f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．
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第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）
1、
⑴ 角的概念：任意角的定义；正角（逆）、负角（顺）、零角；象限角轴上角；终边相同的角（代表+周期）
角的概念
与弧度制 ⑵ 角度制与弧度制的互化： 180 ，1  57
⑴ 圆的周长c  2 r；圆的面积S  r2
2、
扇形弧长 ⑵ 扇形的弧长公式：𝒍=|𝜶|𝒓；
扇形面积
⑶ 扇形面积公式：𝑺= 𝟏 𝒍𝒓= 𝟏|𝜶|𝒓𝟐.
𝟐 𝟐
⑴ 三角函数的定义:角终边上任一点P(x,y),设|OP|r
则：sin 对  y cos 邻  x tan 对  y
斜 r 斜 r 邻 x
⑵ 三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦
⑶ 特殊角的三角函数值：（单位圆或查表）
3、三角函 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
数的定义 弧度 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 5𝜋 3𝜋
0 𝜋 2𝜋
6 4 3 2 3 4 6 2
sin α 1 √2 √3 √3 √2 1
0 1 0 −1 0
2 2 2 2 2 2
cos α √3 √2 1 1 √2 √3
1 0 − − − −1 0 1
2 2 2 2 2 2
tan α √3 √3
0 1 √3 不存在 −√3 −1 − 0 不存在 0
3 3
⑴ sin2θ＋cos2θ＝1 知一求二sinθ、cosθ、tan θ；平方搭桥(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
4、同角关
sin θ
系式 ⑵ tan θ＝ . 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以cosθ）
cos θ
⑴ 诱导公式的作用：化简大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角.
5、
⑵ 谨记：出现轴上角才用诱导公式
诱导公式
⑶ 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
⑴S ：sin(α±β)＝sinα cosβ ± cosα sinβ； ⑵C ：cos(α±β)＝cosα cos β ∓ sinα sinβ；
α±β α±β
6、两角和 tan α±tan β
⑶T ：tan(α±β)＝ .
α±β 1∓tan αtan β
差
配角技巧：所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式。
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⑴ sin22sincos. ⑵cos2cos2sin22cos2112sin2.
7、二倍角、
2tan 1cos2 1cos2
降幂公式 ⑶tan2 . 降幂公式： cos2 ;sin2 .
1tan2 2 2
y sinx y cosx y  tanx
图象

定义域 R R {x| x  k}
2
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性T 2 2 
奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 偶函数，图像关于y对称 奇函数，关于原点对称
当x  2k  ，y 1 当x  2k， y max  1
2 max 无最大值
最值
当x  2k，y  1
8、三角函  min 无最小值
当x  2k ，y  1
数图像 2 min
增
 
函 [ 2k, 2k] [2k,2k]
单 2 2  
数 ( k, k)单
调 2 2
减
性  3 调递增，无递减区间
函 [ 2k, 2k] [2k,2k]
2 2
数
 k
对 点 对称中心（k,0） 对称中心（k ,0） 对称中心（ ,0）
2 2
称
直 
性 对称轴x  k 对称轴x  k 无对称轴
线 2
1 1
周期与对称性之间的关系：相邻两对称中心（两对称轴）间隔半个周期 T；相邻对称中心与对称轴间隔 T。
2 4
9、辅助角 yasinxbcosx a2 b2 sin(x) tan其 b 中, sin b ，cos a
公式 a a2b2 a2b2
( π)
y＝sin x经过图像变换得到y＝2sin 2x＋ ＋1：
3
π ( π) 1 ( π)
方法一：①向左平移 ，得到y＝sin x＋ ；②横坐标缩短到原来的 倍，得到y＝sin 2x＋ ；
10、三角函 3 3 2 3
数的图像
( π) ( π)
③纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 2x＋ ；④向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x＋ ＋1．
变换 3 3
1 π  ( π) ( π)
方法二：①横坐标缩短为原来的 倍，得到y＝sin 2x；②向左平移 ，得到y＝sin 2 x＋ ＝sin 2x＋ ；③④同上
2 6  6  3
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M－m M＋m 2π
(1)A＝ ，(2)B＝ . (3)ω：先求周期T，再由T＝ 得ω.
2 2 ω
把A、B、ω代入y＝Asin(ωx＋φ)＋B中
11、三角函
(4)φ：代特殊点：上升点（2k,0）、最高点（  2k,1）下降点（2k,0）最低点（3 2k,1）
数的解析 2 2
式 即得统一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B
三角函数图像化简思路：
二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差） 即化成统一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ) （A 0） 方法：整体代入
2
⑴ 周期：T 

π
12、 ⑵ 奇偶性：当φ＝kπ＋ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±Acosωx偶函数；当φ＝kπ时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±sinωx奇函数
2
正弦型函 ⑶ 最值：当ωx＋φ＝ π
2
＋2kπ时，y最大；ωx＋φ＝ ＋2kπ时，y最小。
数的性质 2
   3
⑷ 单调性：增区间： 2kx 2k 减区间： 2kx 2k
2 2 2 2
π
⑸ 对称轴：ωx＋φ＝kπ＋ ；对称中心：ωx＋φ＝kπ
2
⑴ 三角形内角和定理：ABCC(AB)
①sin C＝sin(A＋B)； ②cos C＝－cos(A＋B)； ③tan C＝－tan (A＋B)；
⑵ 三边关系： 两边之和大于第三边 a+b>c ；两边之差小于第三边 a−b<c
a b c
⑶ 正弦定理 ＝ ＝ ＝2R.
sin A sin B sin C
边化角：a＝2Rsin A；b＝2Rsin B； c＝2Rsin C
对应关系：a:b:csinA:sinB:sinC
13、解三角
形 ⑷ 余弦定理：a2 b2c22bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b22abcosC
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 b2＋a2－c2
求角：cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ .
2bc 2ac 2ab
1
⑸ 三角形面积公式 S ＝ a·h (h 表示边a上的高)；
ABC 2 a a
1 1 1
S ＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A (两边夹角)
ABC 2 2 2
解三角形谨记：常想正弦、余弦、面积公式；正弦余弦两条路，角多用正弦，边多用余弦；
对应关系用正弦，余弦值、平方用余弦；提到面积必用面积公式。
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第四部分：解析几何--直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）
y  y  
1、直线的 斜率k  tan 1 2 倾斜角 0,180 ， 注意：当 90时，斜率k 不存在.
x  x
倾斜角与 1 2
A
斜率 一般式Ax＋By＋C＝0的斜率 k＝－
B
名称 方程 已知条件
(1)点斜式 y－y ＝k(x－x ) 点(x，y) 、斜率k
1 1 1 1
(2)斜截式 y＝kx＋b 斜率k、在y轴上截距b
(3)一般式 Ax＋By＋C＝0 ①ABC整数；②A正整数
2、五种直
线方程
(4)两点式
y－y
1＝
x－x
1
两点(x，y)，(x，y)
y －y x －x 1 1 2 2
2 1 2 1
x y
（5）截距式 ＋ ＝1 x轴截距a、y轴截距b
a b
(1) 若l :yk xb ，l :yk xb
1 1 1 2 2 2
① l ||l k k ,b b ② l l kk 1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3、两条直
(2) 若l :AxByC 0,l :A xB yC 0
1 1 1 1 2 2 2 2
线的平行
A B C
和垂直 ① l
1
||l
2

A
1 
B
1 
C
1 ② l
1
l
2
 A
1
A
2
B
1
B
2
0
2 2 2
⑶ 与直线 平行的直线可设为Ax Byc  0
1
⑷ 与直线 垂直的直线可设为Bx Ayc  0.
2
⑴ 两点间的距离公式： AB  (x x)2(y y)2 (点A(x,y)，点B(x ,y )).
2 1 2 1 1 1 2 2
4、 ⑵ 点到直线的距离： d |Ax 0 By 0 C| (点P 0 (x 0 ，y 0 )到直线l：Ax＋By＋C＝0).
A2B2
距离公式
C C
⑶ 两平行线之间的距离公式： d 2 1 （l :AxByC 0,l :AxByC 0）
1 1 2 2
A2B2
中点公式：点P(x，y)、点P′(x′，y′)的中点Q( x 1  x 2, y 1  y 2)
5、 2 2
中点公式 x′＝2a－x，
(1)中心对称：①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
与 y′＝2b－y.
对称公式
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
第 10 页 共 22 页.
n－b
×
(
－
A)
＝－1，
m－a B

(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
a＋m b＋n
 A· ＋B· ＋C＝0.
2 2
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
(1) 约束条件：画可行域
a z z a
(2) 目标函数：①截距型：形如z＝ax＋by；变形为y＝－ x＋ ，分析z的最值与截距 的关系，再平移y＝－ x
b b b b
6、线性规
划 ②距离型：形如z＝ （x－a）2＋（y－b）2；表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
y－b
③斜率型：形如z＝ .表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
x－a
（1）圆的标准方程： (xa)2(yb)2 r2.圆心为(a,b)，半径为r.
7、圆 （2）圆的一般方程 x2y2DxEyF 0.圆心为( D , E )，半径为 r D2E24F .
2 2 2
(表示圆的充要条件D2E24F＞0).
直线l:AxByC 0与圆C:(xa)2 (yb)2 r2 的位置关系：d 与r 比较
|Ax By C|
（必求d ）设圆心C到直线l的距离为d ，且d  0 0
A2B2
切线方程：⑴ 过圆上一点有1条切线；先拆后代：过切点P(x，y)的切线方程为xx＋yy＝r2 .
0 0 0 0
⑵ 过圆外一点有且必有2条切线（如有1条，另一条切线斜率不存在）
8、直线与
圆
（1）相交d r：弦长公式AB2 r2d2 （求圆的弦长必用）
（2）相切d r：切线方程 由d r得斜率k ，代入点斜式
y y  k(x x )
0 0
（3）相离d r：距离最大：PQ  d r距离最小：PQ  d r
max min
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
9、圆与圆 图像
公切线条数 4 3 2 1 0
设两个圆的半径分别为R，r，（R＞r），圆心距为d：
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⑴ 椭圆定义：平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于定值（大于
FF
）的点的轨迹称为椭圆．
1 2 1 2
即：|PF ||PF |2a|FF |2 c．在题目中，与焦点有关就用定义！
1 2 1 2
⑵ 标准方程与性质
焦点的位置（谁大） 焦点在 x轴上 焦点在y轴上
图像
10、椭圆
x2 y2 y2 x2
标准方程
a2
＋
b2
＝1(a＞b＞0)
a2
＋
b2
＝1(a＞b＞0)
焦点 F(c,0),F(c,0) F(0,c),F(0,c)
1 2 1 2
轴长与焦距 长轴长:2a， 短轴长:2b， 焦距:2c a,b,c的关系a2 b2c2
四个顶点 (a,0),(a,0),(0,b),(0,b) (0,a),(0,a),(b,0),(b,0)
离心率 e c  1 b2 (0,1)列一个方程即可求值；列一个不等式即可求范围.（关于a,b,c）
a a2
弦长 |AB|＝ 1＋k2[x ＋x 2－4x x ] 直线与椭圆的交点A(x，y)，B(x，y)，
1 2 1 2 1 1 2 2
⑴ 双曲线定义：平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于定值（小于 FF ）的点的轨迹称为双曲线．即：
1 2 1 2
||MF ||MF ||2a|FF |2c．在题目中，与焦点有关就用定义！
1 2 1 2
⑵双曲线的几何性质：
焦点的位置（谁正） 焦点在 x轴上 焦点在y轴上
图像
11、双曲线
x2 y2 y2 x2
标准方程  1a0,b0  1a0,b0
a2 b2 a2 b2
轴长与焦距 实轴长2a 虚轴长2b 焦距:2c
焦点Fc,0F c,0顶点 a,0
焦点与顶点 1 2 1 焦点F0,c F 0,c顶点 0,a  0,a
 a,0 1 2 1 2
2
离心率 e c  c2  a2b2  1 b2 (e1) a,b,c的关系c2  a2 b2
a a2 a2 a2
渐近线方程 y
b
x y
a
x
a b
弦长 |AB|＝ 1＋k2[x ＋x 2－4x x ] 直线与双曲线的交点A(x，y)，B(x，y)，
1 2 1 2 1 1 2 2
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⑴ 抛物线定义：到定点F 与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.离心率e1,焦点弦长 AB  x  x  p
1 2
⑵抛物线的图像：在题目中，与焦点有关就用定义！
标准方程 y22px (p0) y2 2px (p0) x22py (p0) x22py (p0)
p
谨记：2p,p,
2
12、抛物线
p   p   p  p
焦点坐标 F ，0 F － ，0 F 0， F 0，－
2   2   2  2
p p p p
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
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第五部分：立体几何、空间向量
三视图包括正视图、侧视图、俯视图，基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
1、直观图、
画三视图的直观图：长方体，把俯视图画在底面，再找点连线，不行再切割。
三视图 2
直观图：斜二测画法得到的平面图形，其面积与原图形的面积的关系：S
直观图
＝
4
S
原图形
，S
原图形
＝2 2S
直观图．
侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积
棱柱
圆
S ＝2πrl S ＝S ＋2S V＝Sh
柱 圆柱侧 表 侧 底
圆柱
棱锥
2、表面积 圆
S ＝πrl S ＝S ＋S V＝
1
Sh
锥 圆锥侧 表 侧 底 3
体积 圆锥
棱台
圆 1
S ＝π(r＋r)l S ＝S ＋S ＋S V＝ (S ＋S ＋ S S )h
台 圆台侧 1 2 表 侧 上 下 3 上 下 上 下
圆台
棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面 4
球 S＝4πR2 V＝ πR3
积--不外乎三角形面积，平行四边形面积 3
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：证明点、直线在平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 作用：确定平面；判断点、线共面
推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面.
3、四大公 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
理
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：证明三线共点或三点共线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即平行的传递性
直线与直线 直线与平面 平面与平面
相交 平行 异面 相交 平行 在平面内 相交 平行
4、点线面
的位置关
系
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5、平行
6、垂直
几何法求角的步骤：
(1)一作：作辅助线．
(2)二证：证明作出的角是所求角．
7、角 (3)三求：解三角形
异面直线角：平移
线面角：作平面垂线（由面面垂直得线面垂直）
二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长）
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1.异面直线所成角
|a·b| ( π]
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝ ， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量，θ的范围： 0， ．
|a||b| 2
2.直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l ∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，
|a·n| ( π]
φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝ . θ的范围： 0，
|a||n| 2
3.二面角
8、空间向
量
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n，平面β的法向量为n，〈n，n〉＝θ ∈[0，π]，则二面角α l β
1 2 1 2
|n ·n|
为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ 1 2.
|n ||n |
1 2
a·b a b＋ab＋ab
cos〈a，b〉＝ ＝ 1 1 2 2 3 3
|a|·|b| a2＋a2＋a2· b2＋b2＋b2
1 2 3 1 2 3
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第六部分：数列
1、前n项
S , n1
通项公式与前n项和的关系：a  1 前n项和：S  a a a a a
和与通项 n  S S ,n2 n 1 2 3 n1 n
n n1
⑴ 定义：a a  d (公差) (n N )
n1 n 
a a  d (公差) (n  2 ，n N )
n n1 
⑵ 通项公式：①a  a (n1) d；
n 1
② a  a (nm) d； a  An B（一次函数）
n m n
⑶ 等差中项：① 若a,b,c成等差数列，则ac2b；
②若m n  pq  2s，则a a  a a  2a
m n p q s
2、等差数
列 (a  a )n
⑷ 前n项和公式：S  1 n ；
n 2
n(n1)
S  na  d；
n 1 2
S  An2  Bn（没有常数项的二次函数）
n
⑸ 仍是等差数列：若等差数列  a  的前n 项和S ，则S ，S  S S  S … 是等差数列
n n m 2m m 3m 2m
a
⑴ 定义： n1  q(公比) (n N )
a 
n
a
n  q(公比) (n  2 ，n N )
a 
n1
⑵ 通项公式：① a  a qn1；
n 1
② a  a qnm
n m
⑶ 等比中项：① 若a,b,c成等比数列，则ac  b2
3、等比数
列
② 若m n  pq  2s，则a a  a a  a 2
m n p q s
⑷ 前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；
n 1
a (1－qn)
当q≠1时，S ＝ 1
n 1－q
⑸ 仍是等比数列：若等比数列  a  的前n 项和S ，则S ，S  S S  S … 是等比数列
n n m 2m m 3m 2m
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S , n1
⑴ 前n项和法：a  1
n S S ,n2
n n1
⑵ 累加法：形如a a  f(n)
n1 n
4、求通项--
a
五种 ⑶ 累乘法：形如 n1  f(n)
a
n
⑷ 构造法：形如a  pa  f(n)，又叫待定系数法，构成一个新的等差或等比数列
n1 n
a
⑸ 倒数法：形如a  n
n1 pa  q
n
⑴ 分组求和法 —— 等差数列等比数列
⑵ 倒序相加法 —— 首尾项相加之和为定值
5、求和-四
种
⑶ 错位相减法 —— 等差数列*等比数列
⑷ 裂项相消法 —— 把数列的通项拆成两项之差，再正负相消，剩下首尾若干项
证明步骤：(1)当n=1时，命题成立；
6、数学归
(2)假设当nk（k  2）时，命题成立；
纳法
那么当nk1时，证明命题也成立（核心步骤）．
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第七部分：平面向量、复数
⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量（位移、力、速度等）；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
⑵零向量：模为0的向量；记作0，手写“0”。零向量的方向是任意的，与任何向量都平行（共线）。
a
1、平面向 ⑶单位向量：模为1的向量.与非零向量a同向的单位向量为
|a|
量的概念
⑷平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量。向量可以平移。
⑸相等向量：大小相等，方向相同
⑹相反向量：大小相等，方向相反
⑴向量的加法：𝐴⃗⃗⃗⃗B⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 满足三角形法则和平行四边形法则
⑵向量的减法：𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗
2、线性运
⑶向量的数乘： λa ①当λ>0时，λa与a的方向相同；
算
②当λ<0时，λa与a的方向相反；
③当λ＝0时，λa＝0
共线向量定理
⑴ 若向量a与b共线，则b＝λa.（λ唯一）
3、共线向 → 1 → →
⑵ 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB)
2
量定理、定
比分点 ⑶ O → A＝λO → B＋μO → C，A，B，C三点共线 ⇔ λ＋μ＝1.
定比分点：若AP PB,则
0P 
1
0A

0B
1 1
平面向量基本定理：a＝λe＋λe. 不共线的向量e，e 叫做平面内的一组基底，λ，λ 唯一．
1 1 2 2 1 2 1 2
⑴ 原点（0,0）点A（x , y），则OA （x, y）终点减起点，模 OA  x2  y2 .
⑵ 点A（x 1 , y 1 ），点B（x 2 , y 2 ），则AB  (x 2  x 1 , y 2  y 1 )终点减起点， AB  (x 2  x 1 )2 (y 2  y 1 )2
4、坐标运
算 ⑶ OA （x, y），为实数，则OA （x,y）
⑷ ax,y ，bx ,y ，则ab x x ,y y ，a b  (x  x , y  y )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x  x y  y
⑸ 点A（x , y），点B（x , y ）的中点坐标为（ 1 2 ，1 2 ）
1 1 2 2 2 2
→ →
⑴向量的夹角：OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，夹角范围[0，π]．
a·b
5、数量积 ⑵数量积定义：a·b=|a||b|·cos θ 夹角公式cos θ＝ 锐角⇔a·b>0；钝角⇔a·b<0
|a||b|
公式
⑶投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
⑷a⊥b⇔a·b＝0. a·a＝|a|2 |a·b|≤|a||b|.
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⑸当a与b同向，a·b＝|a||b|；当a与b反向，a·b＝－|a||b|
⑹设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则向量的数量积a·b＝xx＋yy，
1 1 2 2 1 2 1 2
a·b xx＋yy
向量垂直：a⊥b ⇔ xx＋yy＝0. 向量平行： a∥b⇔ x y＝x y cos θ＝ ＝ 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 |a||b| x2＋y2 x2＋y2
1 1 2 2
⑺平面向量数量积运算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(1) 复数的定义：形如z=a＋bi的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部(i为虚数单位)．
(2) 规定：i2  1
(3) 𝔦的幂的周期性：周期T=4
𝖎𝟎=𝟏，𝖎𝟏=𝖎， 𝖎𝟐=−𝟏， 𝖎𝟑=−𝖎 ，𝖎𝟒=𝟏 ， 𝔦5=𝔦 …
(4)复数的分类：
实数：b  0,z  a  bi  a
6、复数 复数
 虚数：b  0,z  a  bi  纯虚数a  0,z  bi
(5)复数相等：a＋bi＝c＋di ⇔ a＝c且b＝d
(6)共轭复数：z=a＋bi的共轭复数为z  abi ，且zz  (abi)(abi） a2 b2i2  a2 b2
(7)复数的模：复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2．
(8)在复平面的象限：复数z＝a＋bi与点(a，b)的象限相同．
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第八部分：排列组合、二项式、期望方程
1．加法原理：做一件事有n类办法，则方法数N=m +m +……+m
1、计数原 1 2 n
理 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则方法数N=m m …m
1 2 n
排列定义：n中取m，m排一排（有顺序）
n！
⑴ .排列公式：Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ⑵ 全排列 An nn1n2 21n!
n n－m！ n
注意：0! 1，A0  1,A1  n
n n
2、排列组
组合定义：n中取m（无顺序）
合
Am nn－1n－2…n－m＋1 n！
⑴ 公式：Cm n ＝ A n m ＝ m！ ＝ m！n－m！ 注意：C n 0 1，C n n 1，C n 1  n
m
⑵ 组合的性质：① Cm =Cnm ；若Ca  Cb,则a  b或ab  n
n n n n
②
Cm +Cm1 =Cm
（头取大，底加1）.
n n n1
⑴ 二项展开式共n1项：abn C0an C1an1bC2an2b2  Cranrbr  Cnbn
n n n n n
⑵ 展开式中的通项公式： T Cranrbr （第r1项）
r1 n
⑶ 二项式系数：C0,C1, ,Cn ， 二项式系数之和：C0C1 Cr  Cn 2n；
n n n n n n n
偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即C0C2C4 C1C3C5 2n1
n n n n n n
⑷ 中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为1时，各项的系数等于二项式系数。
当n是偶数时，中间项仅有一项为 ；当n是奇数时，中间项有两项T 和T .
T n-1 n1
n 2 1 2 1 2 1
3、二项式 ⑸ 各项的系数：是指未知数前面的系数。(axb)n  a a xa xa xn1 a xn
0 1 2 n1 n
赋值法：① 令x0；a  (a b)n
0
② 令x1；a a a a  (ab)n （各项的系数之和）
0 1 2 n
③ 令x 1；a a a a a  (ab)n
0 1 2 3 n
1
由①③得a  a  a   (②+③)
0 2 4 2
1
a  a  a   (②-③)
1 3 5 2
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1．离散型随机变量的均值与方差
随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示
步骤：第一步列表；第二步代公式
变量X x x … x … x
1 2 i n
概率P p p … p … p
1 2 i n
分布列的性质①: p i0，（i＝1,2,3…n） ②: p
1
＋p
2
＋p
3
＋…＋p
n
＝1.
(1)期望：E(X)＝x p ＋x p ＋…＋xp＋…＋x p
1 1 2 2 i i n n
(2)方差： DX n x EX2p
i i
i1
期望方差的性质：
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)
(3)D (𝒙)＝E(𝒙𝟐)－[𝑬(𝒙)]𝟐
2．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布: X 0 1
P 1－p p
4、
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
期望
(2)超几何分布：在含有M 个特殊元素的N 个元素中，不放回的任取n件，其中含有特殊元素的个数记为X ，
方差
CkCnk
则有PX k M NM ,k 0,1,2, ,m，即：
Cn
N
X 0 1 m
C0Cn0 C1Cn1 CmCnm
P M NM M NM M NM
Cn Cn Cn
N N N
(3)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为 p，设在n次试验中事件A发生的次数为随机变量
X，则有PX kCkpk1 pnk,k 0,1,2, n ，即：
n
X 0 1 k n
P C01 pn C1p1pn1 Ckpk1 pnk Cnpn
n n n n
若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
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