文档内容
导数与零点问题
一、 函数的零点
1. 函数零点定义
．零点的概念：
对于函数 ，把使 成立的 叫做函数 的零点．
．函数 有零点 有实数根 函数 与 有交点．
． 有几个根 函数 与 图象有几个交点 函数 图象与 轴有几
个交点．
．方程 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点 函数
的图象与 轴有几个交点．
经典例题
1. 函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2.
已知函数 若 ， ， 互不相等，且 ，则 的取值范
围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 利用导数求解函数零点问题
利用导数求解函数零点：
指数类、对数类、分式类、复合类等函数求零点时都要考虑函数的图象与 轴的位置关系．比如一个函
数的最小值大于零或者最大值小于零，那么显然这个函数没有零点；但如果一个函数一个函数的最小值
小于零，这个函数有几个零点却是不确定的．研究这些函数图象或者最值可以借助导数协助判断。
经典例题
3. 已知函数 ．求证： 在 上存在唯一的零点．
1巩固练习
4. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
利用导数求解函数零点含参问题常用方法：
1，分离参数，转变为两个函数图像的交点问题（上面有题目涉及到）；画出函数图像，通过参数（直
线）与图象交点问题个数问题，从而通过零点个数问题控制参数的取值范围；
2，不能分离参数类型，则通过分类讨论判断函数的零点个数，从而求解出符合要求的参数范围.
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
巩固练习
6. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
7. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同的实数解，则
实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，证明：当 时， ．
（ 2 ）若 在 上只有一个零点，求 的值．
9. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在 处取得极值，求实数 的值；
（ 2 ）求函数 的单调区间；
（ 3 ）若 在 上没有零点，求实数 的取值范围．
3. 三次函数的零点问题
三次函数 ，
， ．
2，当 时， 且不恒为 ， 在 上单调递增，函数 有且仅有 个零点，如下图 ．
，当 时， 有极大值和极小值；
①当 的极大值小于 或 的极小值大于 时， 有且仅有 个零点；如图 和 ；
②当 的极大值或 的极小值等于 时， 有 个零点；如图 和 ；
③当 的极大值大于 且 的极小值小于 时， 有 个零点，如图 ．
经典例题
10. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，则函数 的零点有 个．
（ 2 ）若存在实数 ，使得函数 总有三个不同的零点，则实数 的取值范围
是 ．
巩固练习
11.
3已知函数 ， ，若函数 恰有 个不同的零
点，则 的取值范围为 ．
二、 论证函数零点的存在性与个数判断
经典例题
12. 设函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间和极值；
（ 2 ）若函数 在区间 上存在唯一零点，求 的取值范围．
巩固练习
13. 已知函数 ，（其中 ）
（ 1 ）若 ，讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，求证：函数 有唯一的零点．
14. 已知函数 ， 为 的导数．
（ 1 ）证明： 在区间 上存在唯一零点．
（ 2 ）若 时， ，求 的取值范围．
三、 隐零点问题
在导数压轴题中，导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处“咽喉”，至
关重要．然而有些导函数的零点在数值上却不易求出或求不出（我们把它叫作隐零点），这就需要对零
点采取特殊方法进行处理．
其基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换．然而，在使用虚设零点（我们把这种方法称为隐零
点法）后，往往需要对隐零点的范围限制，这时，范围越小就越精确，同时也会越困难，所以在实际解
题中就会出现因范围过大而使问题无法解决的情况，这正是此方法的弊端所在．
经典例题
15. 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）函数 的图象能否与 轴相切？若能与 轴相切，求实数 的值；否则，请说明理由．
（ 2 ）若函数 在 上单调递增，求实数 能取到的最大整数值．
4巩固练习
16. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 零点的个数．
（ 2 ）对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
四、 课程总结
1. 导图总结
2. 出门检测
17. 已知函数 ，将 的图象上所有点向左平移 个单
位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．若 为偶函数，且最
小正周期为 ，则（ ）．
A. 图象关于 对称 B. )在 单调递增
C. 在 有且仅有 个解 D. 在 有仅有 个极大值点
18. 设 为实数，已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）当 时，若 有两个不同的零点，求 的取值范围．
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