导数与恒能成立题集(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思高中面授升高三暑假讲义+题集（小一轮）

导数与恒能成立 一、 填空题 1. 设 ， 为实数，对于任意的 ，关于 的不等式 ( 为自然对数的底数)在实数域 上恒 成立，则 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当 时， 恒成立， 当 时， 即为 ， 考虑函数 的图象和直线 的平行线 ， 即 ， 当 时，设直线 与函数 相切，设切点为 ， 由 的导数为 ， 可得 ，即 ， ，即 ， 由 可得 ，即 ， 则 ， 故 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题 二、 解答题 2. 已知函数 （ 为常数）． （ 1 ）若 ，求曲线 在 处的切线方程． （ 2 ）讨论函数 在 上的单调性． （ 3 ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）当 即 时， 在 上单调递增． 1当 即 时， 在区间 上单调递减； 在区间 上单调递增； 当 即 时， 在 上单调递减． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）当 时， ， ∴ ． ∴ ， 又∵ ， ∴所求切线方程为 ． （ 2 ） ， ． ①当 即 时， ， ，此时， 在 上单调递增． ②当 即 时， 时， ， 在区间 上单调递减； 时， ， 在区间 上单调递增； ③当 即 时， ， ，此时， 在 上单调递减． （ 3 ）方法一：①当 时， 在 上单调增， ∴ 的最小值 ， ∴ ． ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ 的最小值为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ③当 时， 在 上单调递减， ∴ 的最小值为 ， ∵ ， 2∴ ， ∴ ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 方法二：不等式 ，可转化为 ， ∵ ， ∴ 且等号不能同时取，所以 ，即 ， 因而 ， 令 ， 又 ， 当 时， ， ， ， 从而 （仅当 时取等号），所以 在 上为增函数， 故 的最小值为 ，所以 的取值范围是 ． 【标注】【知识点】导数与最值；利用导数证明不等式能成立问题 3. 设函数 ， ， ，其中 是 的导函数． （ 1 ）令 ， ， ，求 的表达式． （ 2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）由题设得 ， 由已知， ， ， ， ， 可猜想 ， 下面用数学归纳法证明． ①当 时， ，结论成立， ②假设当 时结论成立， 即 ， 3则当 时， ， 即结论成立， 由①②可知，结论对 成立． （ 2 ）已知 恒成立， 即 恒成立， 设 ， 则 ， 当 时， （当且仅当 ， 时等号成立）， ∴ 在 上单调递增， 又 ， ∴ 在 上恒成立， ∴当 时， 恒成立（当且仅当 时等号成立）， 当 时，对 ，有 ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ， 即当 时，存在 ，使 ， ∴ 不恒成立， 综上可知， 的取值范围是 ． 【标注】【知识点】数学归纳法；利用导数证明不等式恒成立问题 4. 设 ， ，其中 ， ． （ 1 ）求 的极大值． （ 2 ）设 ， ，若 对任意的 ， 恒成立，求 的最大值． （ 3 ）设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在 ， ，使 成立，求 的取值范围． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 4（ 3 ） ． 【解析】（ 1 ） ． 当 时， ， 在 递减； 当 时, , 在 递增． 则 的极大值为 ． （ 2 ）当 , 时, , ． 由 在 恒成立, 则 在 递增． 由 , 在 恒成立, 则 在 递增． 设 , 原不等式等价为 , 即 , 设 , 则 在 递减． 又 , 在 恒成立, 即 在 上恒成立， 令 ， ． 由 ． 则 在 递增， 即有 ， 即 ． （ 3 ） ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减． 又因为 ， ， ， 所以，函数 在 上的值域为 ． 由题意，当 取 的每一个值时，在区间 上存在 、 与该值对应． 当 时， ， ． 5当 时， ， 单调递减，不合题意； 当 时， 时， ． 由题意， 在区间 上不单调，所以 ． 当 时， ； 当 时， ． 所以，当 时， ． 由题意，只需满足以下三个条件： ① ， ② ， ③ 使 ． 因为 ，所以①成立． 由 ， 当 时， ，所以③满足． 所以当 满足 ， 即 时，符合题意． 故 的取值范围为 ． 【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的最值；利用导数证明不等式恒成立问题； 双变量问题；通过构造函数证明不等式 5. 设函数 ， （ ）． （ 1 ）求函数 的单调增区间． （ 2 ）若对任意 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【答案】（ 1 ） 递增区间为 ， ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ） ， 令 ，得 ， 解得： ， ， 6∴ 递增区间为 ， ． （ 2 ）当 ， ， ∴ 在 上递减， ∴ ， 当 时， ， ∵ ， ， ∴ 在 上递减， ∴ ， 由题意可知， ，又 ， ∴ ， 当 时， ， 在 上递增， ∴ ， ∴ ， 当 时，当 ， ， 当 ， ， ∴ ， ∴ ， 综上， ． 【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数证明不等式恒成立与能成立 综合问题；双变量问题；利用导数求函数的最值 7