文档内容
导数与零点问题
学习目标
1.导数与零点存在性判断问题：理解导数判断函数零点问题的逻辑，掌握导数判断函数零点问题的方法.
2.导数与零点个数判断问题：理解导数判断函数零点个数问题的逻辑，掌握导数判断函数零点个数问题
的方法.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
导数与零点问题 导数与零点问题 24（68.6%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试
卷.
高频考点
1. 三次函数零点问题．
2. 判断函数零点存在性和个数．
3. 利用零点、导数求解函数中参数的取值范围.
难点
1. 函数零点的条件转化问题．
2. 分类讨论和分离参数的方法选择．
3. 隐零点问题的处理.
易错点
1. 忽视函数定义域导致零点判断失误．
2. 导函数零点与原函数极值点不完全等价，缺少验证导致出错．
一、 函数的零点
1. 函数零点定义
1．零点的概念：
对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．
．函数 有零点 有实数根 函数 与 轴有交点．
． 有几个根 函数 与 图象有几个交点 函数 图象与 轴有几个交点．
．方程 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点 函数 的图象
与 轴有几个交点．
经典例题
1. 函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的：旨在让学生回顾一般零点求解方式——数形结合．
（2）本题关键的解题步骤：挖掘函数性质，绘制函数图象，确定交点及交点性质．
（3）本题需要注意的地方：图象的平移变换．
【答案】D
【解析】函数 的图象关于点 中心对称，函数 的图象也关于点 中心对
称，
作出两个函数在区间 上的图象如图所示，
y
2
x
–2 –1 O 1 2 3 4
–2
易知在 上共有 个交点，由对称性可知，在区间 上共有 个交点，且这 个交点两两关于
点 中心对称，其横坐标之和为 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
巩固练习
2.
2已知函数 若 ， ， 互不相等，且 ，则 的取值范围是（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由分段函数可得函数的图象如下:
则有 ，即 ， ，故 ，
又因为当直线与函数存在三个交点时，
，解得： ，
所以 的取值范围是 ．故选 ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质
2. 利用导数求解函数零点问题
利用导数求解函数零点：
指数类、对数类、分式类、复合类等函数求零点时都要考虑函数的图象与 轴的位置关系．比如一个函
数的最小值大于零或者最大值小于零，那么显然这个函数没有零点；但如果一个函数一个函数的最小值
小于零，这个函数有几个零点却是不确定的．研究这些函数图象或者最值可以借助导数协助判断。
经典例题
3. 已知函数 ．求证： 在 上存在唯一的零点．
【备注】（1）选本题的目的：当函数形式较为复杂，无法直接识别单调性时需要借助求导研究函数
单调性，计算极值最值绘制函数图象，确定零点问题．
（2）本题关键的解题步骤：求导，求极值，简易勾勒函数图象，确定与x轴的交点．
（3）本题需要注意的地方：只要涉及函数，第一步都是确定定义域．
【答案】证明见解析．
【解析】由函数 ， 可知，
3，
令 得 ， ，
且当 时， ，
当 时， ，
∴ 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 处取极小值，在 处取极大值．
又∵ ， ，
∴当 时， 恒成立，
又 ，
故存在唯一零点 使得 ，
综上， 在 上存在唯一零点．
【标注】【知识点】求函数零点（含参三角型导函数）
巩固练习
4. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由
，
故 是函数 的零点，
构造函数 ，
注意到 ，
，
在 上单调递增，
故 只有唯一零点 ，
所以 有两个零点 或 ，
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
利用导数求解函数零点含参问题常用方法：
41，分离参数，转变为两个函数图像的交点问题（上面有题目涉及到）；画出函数图像，通过参数（直
线）与图象交点问题个数问题，从而通过零点个数问题控制参数的取值范围；
2，不能分离参数类型，则通过分类讨论判断函数的零点个数，从而求解出符合要求的参数范围.
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
【备注】对于有零点的函数，我们可以借助于零点存在性定理就能证明函数在区间某个区间有零
点，但是如何寻找选择合适的自变量控制函数符号在导数这里确是个非常棘手的问题，这
里给出两种常见的选择原则：
（1）首先选择特殊常数值，比如 ， ， ， 等．
（2）选取一些和参数相关的数值，比如参数为 ，可以选取 ， ， ， ， 等一些能够
简化运算的自变量．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ， ．
①若 ，则 ，所以 在 上单调递减；
②若 ，则由 得 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上
单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ）方法一：①若 ，由（ ）知， 至多有一个零点；
②若 ，由（ ）知，当 时， 取得最小值，最小值为
．
当 时，由于 ，故 只有一个零点；
当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；
当 时， ，即 ，
又 ，故 在 内有一个零点，
设正整数 满足 ，则 ，
由于 ，因此 在 内有一个零点．
5综上， 的取值范围为 ．
方法二：若 时，由（ ）可知 最多有一个零点，不符合题意，故舍去，
当 时， ，令 ，
则 （ ）， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数有两个零点时， 的最小值小于 即可，
，令 ，则 ，
故 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 （ ），
则 ，由 ，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
巩固练习
6. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ．
当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
当 时， 的单调递增区间是 ．
当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由 ，
可得 ，
① 当 时，由 ，可得 ．由 ，可得 ，
6∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
② 当 时，若 ，则 恒成立，即 在 上单调递增．
若 ，易知 ，由 ，可得 或 ．
由 ，可得 ．
即有 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
若 ，易知 ，由 ，可得 或 ．
由 ，可得 ．
即 在 上单调递增，在 上单调递减．
（ 2 ）1） 当 时，方程 只有 一个根，不合题意，舍去；
2） 当 时， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是 ，
又 ，当 时， ，当 时， ，
有两个零点，满足题意．
3） 当 时，
若 ， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
又 ，显然无两个零点，故不合题意；
若 ， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
，
易知 ， ，又 ，
要使得 有两个零点，则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
显然方程无解，矛盾，即 ，不合题意；
若 ， 在 上单调递增，不可能有两个零点．
∴综上得 有两个零点时， ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
7. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同的实数解，则实数 的
取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
7【解析】 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ．
作出 的大致函数图象如下：
由图象可知当 时， 有两解，
当 或 时， 有一解，当 时， 无解．
令 ，则 有三个零点，
∴ 在 上有一个零点，在 上有一个零点．
∵ 的图象开口向上，且 ，
∴ 在 上必有一个零点，
当 时，代入 ，可得 ，此时 ， ，
，不符合题意．
当 时，代入 ，可得 ，此时 ， 不符合题意．
∴ 在 上有一个零点，在 上有一个零点．
∴ ， ，即 ， ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
8. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，证明：当 时， ．
（ 2 ）若 在 上只有一个零点，求 的值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一：当 时， 等价于 ．
8设函数 ，
则 ．
所以 在 上单调递减．而 ，
故当 时， ，即 ．
方法二：当 时，
， ．
设函数 ，
则 ．
令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．故 是 的极小值点，也是最小值
点，所以 ，
从而 ，故 是单调递增函数．
又 ，故当 时， ．
方法三：当 时， 等价于 ．
设函数 ，则 ．
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 在 上单调递增．而 ，故
当 时， ，即 ．
方法四：设 ，则 ．
所以当 时 ，故 在 上单调递增．而 ，故当 时 ，即
当 时 ．
若 ，则 ， ．
当 时， ．
当 时， ．
因此 在 上单调递增，而 ，所以 ．
（ 2 ）方法一：设函数 ．
在 上只有一个零点，即 在 上只有一个零点．
（）当 时， ， 没有零点．
（ ）当 时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 是 在 上的最小值．
①若 ，即 ， 在 上没有零点．
②若 ，即 ， 在 上只有一个零点．
9③若 ，即 ，又 ，所以 在 上有一个零点．
由（ ）知，当 时， ，所以
，
故 在 上有一个零点．因此 在 上有两个零点．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法二：当 时， ， 没有零点，故 ．
由于当 且 时，
， ，
故 ．
又 ，从而不存在 ，使得 ．否则在 内 有零点，在 内 有
零点，与 有唯一零点矛盾．
所以 在 上的唯一零点是 在 上的极小值点，即若 ，则
，从而由 ，解得 ．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法三：设函数 ，则 在 上只有一个零点，即 在 上只有
一个零点．
（）当 时， ， 没有零点．
（ ）当 时， ．当 时， ；当 时，
．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ， 在 上没有零点．
②若 ，即 ， 在 上只有一个零点．
③若 ，即 ，又当 ，且 时， ，
所以 在 上有一个零点．
由（ ）知，当 时， ，所以
，
故 在 上有一个零点．因此 在 上有两个零点．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法四：由于当 时， ， 没有零点，故 ，
．
10又当 时， ，所以 在 上只有一个零点，等价于 在
上只有一个零点，即 在 上只有一个零点．
设函数 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在
上单调递增，故 是 在 上的最小值．
①若 ，即 ， 在 上没有零点．
②若 ，即 ， 在 上只有一个零点．
③若 ，即 ，又 ，所以 在 上有一个零点．
由（ ）知，当 时， ，所以
，故当 时， ，则 在 上有一个零点．因此 在
上有两个零点．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法五：设 是 在 上的唯一零点，则 ，由（ ）知 ．
由于 ， 是 在 上的唯一零点，故当 时， ，所以
，故 ，可得 ．
取 ，则 ，从而 ．
又由（ ）得 ，所以 ，
故当 时， ，从而 ．
于是可得 ，即 ．
由 解得 ．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法六：由于当 时， ， 没有零点，故 ，
所以 ．
又当 时， ，所以 在 上只有一个零点，等价于 在
上只有一个零点．
设 ，则 ．
由 得 ．
（）若 ，即 ，则 在 上单调递增，而 ，所以 在
上没有零点．
（ ）若 ，即 ，则当 时， ；当 时，
．所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 是 在 上的最小值．
①若 ，即 ， 没有零点．
11②若 ，即 ， 只有一个零点．
③若 ，即 ，由（ ）知，当 时， ，所以 ，
从而当 时， ．又 ，故 有两个零点．
综上， 在 上只有一个零点时， ．
方法七： ，令 ，可知 ，
进一步有 ，
故 在 上只有一个零点等价于函数 的图象与直线 有且
只有一个交点．
，
，∴当 时， ， 在 上单调递减．
当 时， ， 在 上单调递增．
故 的最小值为 ，又 且 ，
要使直线 与函数 的图象有且只有一个交点，故 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；求参数范围（含参指对型导函数）
9. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在 处取得极值，求实数 的值；
（ 2 ）求函数 的单调区间；
（ 3 ）若 在 上没有零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ．
．
在 处取得极值,
,解得 或 （舍）．
当 时, , ； , ,
经检验 符合题意，所以 的值为 ．
（ 2 ）令 ，解得 或 （舍）．
当 在 内变化时， 的变化情况如下：
12（ 3 ）要使 在 上没有零点，只需在 上 或 ，
由上表知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
又 ，只须在区间 上 ．
（ⅰ）当 时， 在区间 上单调递减，
，
解得 与 矛盾．
（ⅱ）当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
解得 ，
所以 ．
（ⅲ）当 时， 在区间 上单调递增， ，满足题意．
综上， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）
3. 三次函数的零点问题
三次函数 ，
， ．
，当 时， 且不恒为 ， 在 上单调递增，函数 有且仅有 个零点，如下图 ．
，当 时， 有极大值和极小值；
①当 的极大值小于 或 的极小值大于 时， 有且仅有 个零点；如图 和 ；
②当 的极大值或 的极小值等于 时， 有 个零点；如图 和 ；
③当 的极大值大于 且 的极小值小于 时， 有 个零点，如图 ．
13经典例题
10. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，则函数 的零点有 个．
（ 2 ）若存在实数 ，使得函数 总有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的：旨在让学生感受我们的方法在具体题目里的应用，题目难度一般，可
以引导学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：求导，绘图，分析交点问题．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）若 ，则 ，
当 时， ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，∴ 或 ，
当 时， 即 得： （舍去），
∴函数 的零点是 和 ，共 个．
14（ 2 ）函数 ，
令 ， ，
则
∴当 得： ，
当 得： 或 ，
∴ 在 上单调递增，
在 和 上递减，
做出 的图象如图所示，
单调递增，且与 有两个交点 和 ．如图，
由图象可知，当 时，存在 使 有三个要点；而 或
时， 最多有两个要点．
∴ 的取值范围为 ．
y
x
O
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
11. 已知函数 ， ，若函数 恰有 个不同的零点，则 的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】函数 ，
当 时， 的导数为 在 恒成立，
可得 在 递减，
15可令 ，
再令 ，即有 ，
当 时， ，只有 ， 只有两解；
当 时， 有两解，可得 或 （ ），
由 和 有两解，共 解，
当 时， ，由 ，
即有 ，解得 ，
可得 的范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
二、 论证函数零点的存在性与个数判断
经典例题
12. 设函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间和极值；
（ 2 ）若函数 在区间 上存在唯一零点，求 的取值范围．
【备注】对于研究函数交点个数或者方程根的分布问题，在利用导数确定函数单调性之后，得到了
函数的极值（最值），然后利用题目的条件结合零点存在性定理就可以灵活控制交点或者
根的个数．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递增区间为 ，没有极值点．
16当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，有极小
值为 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ） ，
（1）若 ，则在区间 上 ， 单调递增．
所以当 时， 的单调递增区间为 ，没有极值点．
（2）若 ，令 ，即 ，解得 ，
因为函数 在区间 是递增函数，
所以在区间 内 ， 单调递减；
在区间 内 ， 单调递增．
所以当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以当 时，函数 有极小值为 ．
（ 2 ）（1）当 时，由（Ⅰ）可知， 在 上单调递增， 因为 ，
，
令 ，得 ．
所以当 时， 在区间上 上存在唯一零点．
（2）当 时，由（Ⅰ）可知， 为函数 的最小值点
因为 ，若函数 在区间上 上存在唯一零点，则只能是：
① ，或② ．
由①得 ；由②得 ．
综上所述，函数 在区间上 上存在唯一零点，
则 或 ．
【标注】【知识点】求函数极值（含参指对型导函数）；求参数范围（含参指对型导函数）
巩固练习
13. 已知函数 ，（其中 ）
（ 1 ）若 ，讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，求证：函数 有唯一的零点．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减．
当 时， 在 单调递增．
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减．
17（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ，
，
令 ，即 ，
①当 ，即 ， 时， ， 是 上的增函数．
②当 ，即 ， 时，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
当 时， ， 单调递增．
③当 ，即 ， 时，当 时， ， 单调递增．
当 时 ， 单调递减．
当 时， ， 单调递增．
综上所述，当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减．
当 时， 在 单调递增．
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减．
（ 2 ）若 ，令 ，即 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时， 取得极小值 ，
以下证明：在区间 上， ，
令 ， ，
则 ， ，
，
因为 ， ，不等 显然成立，故在区间 上， ，
又 ，即 ，故当 时，函数 有唯一的零点 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；求函数零点（含参指对型导函数）
14. 已知函数 ， 为 的导数．
（ 1 ）证明： 在区间 上存在唯一零点．
（ 2 ）若 时， ，求 的取值范围．
18【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） .
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， 有极大值为 ，
又 ， ，
∴ 在 上有唯一零点，
即 在 上有唯一零点．
（ 2 ）方法一：由题设知 ，可得 .
由 知， 在 上只有一个零点，设为 ，
且当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，
所以，当 时， .
又当 时， ，故 .
因此， 的取值范围是 .
方法二：由 知， 在 上有唯一零点 ，使得 ，
且 在 为正，在 为负，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
结合 ， ，
可知 在 上非负，
令 ，
作出图示，
19∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数零点（含参三角型导函数）
三、 隐零点问题
在导数压轴题中，导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处“咽喉”，至关
重要．然而有些导函数的零点在数值上却不易求出或求不出（我们把它叫作隐零点），这就需要对零点
采取特殊方法进行处理．
其基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换．然而，在使用虚设零点（我们把这种方法称为隐零
点法）后，往往需要对隐零点的范围限制，这时，范围越小就越精确，同时也会越困难，所以在实际解
题中就会出现因范围过大而使问题无法解决的情况，这正是此方法的弊端所在．
经典例题
15. 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）函数 的图象能否与 轴相切？若能与 轴相切，求实数 的值；否则，请说明理由．
（ 2 ）若函数 在 上单调递增，求实数 能取到的最大整数值．
【备注】（1）选本题的目的：函数的零点问题不仅包括原函数的零点还包括导函数的零点问题，本
题难度较大，目的是让学生完善题型分类，体会做题精髓，积累做题思路．
（2）本题关键的解题步骤：虚设零点，通过零点范围确定最终取值．
【答案】（ 1 ）无论 取何值，函数 的图象都不与 轴相切．
（ 2 ） 能取得的最大整数为 ．
【解析】（ 1 ） ，
假设函数 的图象与 轴相切于点 ，则有 ，
①
即 ，由②可知 ，代入①中可得 ，
②
20∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，∴方程 无解，
故无论 取何值，函数 的图象都不与 轴相切．
（ 2 ）记 ，
由题意知 在 上恒成立，
由 ，可得， 的必要条件是 ，
当 时，则 ，
当 时， ，与已知矛盾，故 ．
下面证明：当 时，不等式 在 上恒成立，
令 ，则 ，记 ，则 ，
当 时， ， 单调递增且 ；
当 时， ，
单调递减且 ，
∵ ， ，
∴存在唯一的 使得 ．
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
从而 在 上恒成立，故 能取得的最大整数为 ．
【标注】【知识点】隐零点问题；区间上恒单调；二阶导问题
巩固练习
16. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 零点的个数．
（ 2 ）对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
21【答案】（ 1 ）当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
定义域为： ，∴ ．
当 时， ， ，∴ ，∴ 在 单调递增，
，
当 时， ， ，
∴ 在 时， ，
∴ 有且只有一个零点．
当 时， ， ， 时， ，
在 单调递增， 单调递减．
，
当 ，即 时， 有且仅有一个零点．
当 ，即 时， 有 个零点．
当 ，即 时， 有 个零点．
综上：当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
当 时， 有 个零点．
（ 2 ）方法一： （ ）
，
令 （ ）,
，
令 ， ，
显然 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增，
， ，
∴ 在 上有一根，不妨设为 ，∴ ，
∴ 在 上单调递减， 上单调递增．
22，
∵ ，
构造函数 ， 在 上恒成立．
∴ 在 上单调递增， ， ，
∵ 在 上有一根不妨设为 ，∴ ．
即 ， ．
∴ ，∴ ，
，∴ ．
方法二：任意的 ， 恒成立，
即为 恒成立，
设 ，
设 ， ，
，
设 的根为 ，即有 ， 递增； 时， 递减，
可得 处 取得最小值 ，
由 ，
可得 恒成立，即有 ，
则 ，即 的范围是 ，
另解：任意的 ， 恒成立，
即为 恒成立，
由 ，（ 取得等号），
时， ，
即有 ，
可得 ，（当 取得等号），
则 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
四、 课程总结
231. 导图总结
2. 出门检测
17. 已知函数 ，将 的图象上所有点向左平移 个单位，然后纵
坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．若 为偶函数，且最小正周期为 ，
则（ ）．
A. 图象关于 对称 B. )在 单调递增
C. 在 有且仅有 个解 D. 在 有仅有 个极大值点
【答案】AC
【解析】函数 ，
将 的图象上所有点向左平移 个单位，然后纵坐标不变，可得 的图
象；
再把横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．
∴ 的最小正周期为 ，则 ，又 为偶函数，
∴ ，
∴ ， ．
令 ，求得 ，故 正确；
在 上， ， 没有单调性，故 错误；
在 有且仅有 个解，
即 在 有且仅有 个解，
化简得： 在 有且仅有 个解，
令 ，解得 ，
24又 ，可得 或 或 ，
故 正确；
在 上， ， 有极大值点 ， ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；正弦函数的图象和性质
18. 设 为实数，已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）当 时，若 有两个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 时， ，
则 ， ，
故 在 上单调递增，而 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ， 在 上单调递增，
而 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
若 有两个不同的零点，
则 ，
解得： ，
故 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）；直接求函数的单调性（不含参）；二阶
导问题
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