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柯西不等式
( )( )
1. 柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则 a2 +b2 c2 +d2 ≥(ac+bd)2，当且仅当ac=bd
时，等号成立．
2. 柯西不等式的一般情形： (a2+a2++a2)(b2+b2++b2)(ab +a b ++a b )2 ，当且仅当
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a =kb (i=1,2,,n)时，等号成立．
i i
→ → → →
3. 柯西不等式的向量形式：αβ≥α⋅β，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成
立．
4. 柯西不等式的三角形式：
(1) ( x −x )2 +( y − y )2 + ( x −x )2 +( y − y )2 ≥ ( x −x )2 +( y − y )2
1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3
(2) a2 +b2 + c2 +d2 ≥ ( a−c )2 +( b−d )2
5. 反柯西不等式： ( a2 −b2 )( c2−d2 ) ≤( ac−bd )2
1 2a
1．已知正实数a，b满足a+b=1，则 + 的最小值为___________.
a b+1
xy
2．已知3x+2y+z=3，则x2+y2+2z2的取最小值时， 为_____________.
z
3．（多选）设正实数x,y满足x+2y=4，则以下说法正确的有（ ）
A．x2+y2的最小值为 B． x+ y 的最大值为 6
1 1
C．x+y的最大值为4 D． + 的最小值为3+2 2
x y
4．已知x,y>0，x2+y≥x3+y2，求x2+y2的最大值．
1
学科网（北京）股份有限公司5．（多选）若非零实数a,b满足a2+b2 =4，则下列结论一定成立的是（ ）
1 1
A． + ≥1 B．a+b≤2 2 C．ab≤2 D．3a+4b≤10
a b
6．已知a,b,c,d∈R.
(1)证明： ( a2−b2)( c2−d2) ≤(ac−bd)2；
(2)已知x,y∈R，x2−4y2 =1，求 3x+2y 的最小值.
7．（多选）设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，a2+b2+c2 =16，则（ ）
24
A．− ≤a≤4 B．−6≤b≤7
7
10 22 ( )
C．− ≤c≤ D． 5 2+6 bc≤8b+12c
7 7
8．已知x,y∈[ 0,1 ]，求x 1−y+y 1−x的最大值．
1 1
9．（1）若a>0,b>0，且 + =1，则a+2b的最小值为________．
2a+b b+1
1 8
（2）已知正实数x,y满足x+y=1，则 + 的最小值为________．
x2 y2
10．已知x,y,z∈R，且满足2x+ y+ 5z=2，求x2+y2+z2的最小值为_______________.
a+1 b+1
11．已知正数a,b满足a+b= + ，则 的最小值为_________.
2a+1 2b+1
12．求函数y=2 2x−1+ 5−2x 的取值范围．
13．求函数Z =x+2y+ 9−x2−4y2 （x，y>0）的最大值．
14．若(x+1)2+(y−1)2 =1，则3x+4y的最大值为______．
x2 y2
15．设 、 为正实数 且 则 + 的最小值为______
, x+y=1. .
x+2 y+1
16．设a，b，c为正数，且a2+b2+c2 =1，则a(a+b+c)的最大值为（ ）
3+1 2
A． B． C． D．
2 2
2
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