拉格朗日中值定理-学生版_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0614数学_拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理
fx
在高考题中有一类题是考查 1
1
 -fx
2

斜率特点的证明或求参数的范围的问题，它的出题背景
x -x
1 2
是高数中拉格朗日中值定理，下面将拉格朗日中值定理及其使用进行介绍.
一．拉格朗日中值定理的定义及应用
1.拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数f(x)满足如下条件：
(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；
(2)f(x)在开区间(a，b)内可导．
则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得fξ 
fb
=
 -fa 
．
b-a
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线y=fx  上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，该曲线在该点处的切线平行于
曲线两端的连线．
3.需要注意的地方(逆命题不成立)
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如
fx  =x3在x=0处的切线斜率为0,但fx  不存在割线使割线斜率等于0
4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式
fb  -fa  =fξ  b-a  a<ξ<b  ，
fb  -fa  =f a+θb-a    b-a  0<θ<1  ，
fa+h  -fa  =fa+θh  h0<θ<1  ．
注：拉格朗日公式无论对于a<b还是a>b都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当0<
θ<1时，a<a+θb-a  <b．
二．应用拉格朗日中值定理的答题模板：
1.小题：由 fx 1  -fx 2  >a，则f'(x)≥a恒成立.
x -x
1 22.解答题：①研究f(x)的单调性;
(1)自定义x 1 ，x 2 的大小,并判断fx 1
2
 ，fx 2  的大小,去掉分母或绝对值(根据题目特点);
(2)构造新函数F(x),转化为新函数的单调性或最值讨论.
1.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 fx  在闭区间 a,b  上的图象连
续不间断，在开区间a,b  内的导数为 fx  ，那么在区间a,b  内至少存在一点c，使得 fb  - fa  =
fc  b-a  成立，其中c叫做fx  在 a,b  上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数fx  =x3
-2x在 -2,2  上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【举一反三】
2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要
联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果
函数fx  在闭区间 a,b  上的图象不间断，在开区间a,b  内可导，则在区间a,b  内至少存在一个点ξ
∈a,b  ，使得fb  -fa  =fξ  b-a  ，ξ称为函数y=fx  在闭区间 a,b  上的中值点.则函数fx 
π π
=tanx在区间 - ,
 4 4
 上的中值点的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，
在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一个点x 0 ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=fx 0  (b-a),x
=x 称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，若关于函数f(x)=sinx在区间[0,π]上的“中值点”
0
的个数为m，函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”的个数为n，则有m+n=( )(参考数据：π≈
3.14,e≈2.72.)
A. 1 B. 2 C. 0 D. n=3
4.已知函数fx  =1+x  ln1+x  1 1 - x2-x，∀a，b∈  -1,e-1
2  e
 fb ，a≠b，λ=  -fa  ，那么实数
b-a
λ的最大值为 ( )
1
A. e-2 B. 0 C. D. ln2
e【举一反三】
5.已知fx
3
 =lnx+ax+1a∈R  ，fx  为fx  的导函数.
(1)若对任意x>0都有fx  ≤0，求a的取值范围；
(2)若0<x 1 <x 2 ，证明：对任意常数a，存在唯一的x 0 ∈x 1 ,x 2  ，使得fx 0  = fx 1  -fx 2  成立. x -x
1 21
6.已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)lnx,a>1.
2
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
f(x )-f(x )
(Ⅱ)证明：若a<5，则对任意x ,x ∈(0,+∞)，x ≠x ，有 1 2 >-1．
1 2 1 2 x -x
1 2
7.已知函数f(x)=ex-x2-1，若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，则k的取值范围为 .
4【举一反三】
sinx
8.设函数f(x)= ，如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围
2+cosx
9.设函数fx
5
 =ex-e-x．证明：若对所有x≥0，都有fx  ≥ax ，则a的取值范围是(-∞,2].
10.已知函数fx  =ln1+x  -x,gx  =xlnx.
(1)求函数fx  的最大值；
(2)设0<a<b,证明0<ga  +gb 
a+b
-2g
2
 <b-a  ln2.【举一反三】
11.已知函数fx
6

2
=x2+ +alnx,(x>0),fx x  的导函数是fx  ，对任意两个不相等的正数x ,x ，证明： 1 2
(1)当a≤0时， fx 1  +fx 2  x +x >f 1 2
2 2
 ；
(2)当a≤4时，fx 1  -fx 2    >x -x 1 2  ．12.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
1
(1)若a=- ，求函数f(x)的单调区间；
2
(2)设a<-1，若对任意x 1 ,x 2 ∈(0,+∞)，恒有 fx 1
7
 -fx 2    ≥4x -x 1 2  ，求a的取值范围.大招应用专训
13.若函数fx
8
 对任意的实数x 1 ，x 2 ∈D，均有 fx 2  -fx 1    ≤x -x 2 1  成立，则称函数fx  在区间D上的
“平缓函数”．下列函数是R上的“平缓函数”的是 ( )
A. fx  =cosx B. fx  =x2-x C. fx 
1
=
2

x
D. fx  =3x-2
14.如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速
度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：fx 
fb
是距离关于时间的函数，那么一定存在：
 -fa 
b-a
=fc  ，fc  就是c时刻的瞬时速度.前提条件是函数fx  在 a,b  上连续，fx  在a,b  内可导，且a
fb
<c<b.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是
 -fa 
，fc
b-a
 是与割线平行的一条
切线，与曲线相切于C点.已知对任意实数x 1 ,x 2 ∈1,3  ，且x 1 >x 2 ，不等式fx 1  -fx 2  <kx 1 -x 2  恒
成立，若函数fx  =2x2-klnx，则实数k的可能取值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
15.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均
变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若fx  在 a,b  上满足以下条件：①在 a,b 
上图象连续，②在a,b  内导数存在，则在a,b  内至少存在一点c，使得fb  -fa  =fc  b-a  (fx 
为fx  的导函数)．则函数fx  =xex-1在 0,1  上这样的c点的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16.已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(I)当a=4时，求曲线y=f(x)在1,f(1)  处的切线方程；
(Ⅱ)若当x∈1,+∞  时，f(x)>0，求a的取值范围.17.已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R，m≠0)的图象在 2,f2
9
   处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f(x)的单调减区间；
f(x )-f(x )
（2）证明：对任意实数0<x <x <1，关于x的方程：f(x)- 2 1 =0在(x ,x )恒有实数解；
1 2 x -x 1 2
2 1
（3）结合(2)的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且
f(b)-f(a)
在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x ，使得f(x )= ．如我们所学过的
0 0 b-a
指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
b-a b b-a
当0<a<b时， <ln < (可不用证明函数的连续性和可导性)．
b a a18.设f(x)在 0,1
10
 可导，且0<f(x)<1，又对于(0,1)内所有的点有fx  ≠-1证明方程f(x)+x-1=0
在(0,1)内有唯一的实根．
19.已知函数f(x)=lnx-mx+m(m∈R).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
f(b)-f(a) 1
（3）在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，对任意的0<a<b，证明： < -1.
b-a a2
20.已知f(x)= x3-2x2+cx+4，g(x)=ex-e2-x+f(x)，
3
(1)若f(x)在x=1+ 2处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
(2)如图所示，若函数y=f(x)的图象在 a,b
11
 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a,
f(b)-f(a)
b)，使得f(c)= ，利用这条性质证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-
b-a
4．21.已知函数fx
12
 =x2+lnx-ax
(1)求函数fx  的单调区间；
(2)若fx  ≤2x2，对x∈0,+∞  恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a=1时，设gx  =xex2-fx  -x-1.若正实数λ 1 ，λ 2 满足λ 1 +λ 2 =1，x 1 ，x 2 ∈0,+∞  x 1 ≠x 2  ，证
明：gλ 1 x 1 +λ 2 x 2  <λ 1 gx 1  +λ 2 gx 2  .