文档内容
2008 年四川省高考数学试卷（文科）延考卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•四川）集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】子集与真子集．
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【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；
故选B．
【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．
2．（5分）（2008•四川）函数 的定义域为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0）∪[1，+∞） D．（0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
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【分析】偶次根式被开方数一定要非负，即1﹣x≥0，并且，对数函数的真数一定要大于0，
即，x＞0．
【解答】解：由 ⇒0＜x≤1
故选D．
【点评】注意：定义域是函数式子有意义时要满足的条件，偶次开方一定要非负，对数函数
的真数一定要大于0．
3．（5分）（2008•四川） 的展开式中含x2的项的系数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
【考点】二项式定理的应用．
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【专题】计算题．
【分析】利用二项定理将（1+x）4展开，从而求出 的展开式中含x2的
项的系数．
【解答】解：
展开式中含x2项的系数为C 2+C 3=10．
4 4
故选项为C
【点评】本题考查二项式定理的展开式形式．
4．（5分）（2008•四川）不等式|x﹣2|＜1的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜3} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
【考点】其他不等式的解法．
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第1页 | 共14页【分析】由绝对值的意义去绝对值符号求解．
【解答】解：x﹣2|＜1⇔﹣1＜x﹣2＜1⇔1＜x＜3
故选A．|
【点评】本题考查解简单的分式不等式，属基本题．
5．（5分）（2008•四川）已知 ，则 =（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
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【分析】对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．
【解答】解：∵
故选C．
【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．
6．（5分）（2008•四川）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于
这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的结构特征．
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【专题】计算题．
【分析】因为正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，
可以设出球半径r，求解再做比即可．
【解答】解：设球的半径为r ；正三棱锥的底面面积 ，h=2r，
．
所以
故选A．
【点评】本题考查学生对几何体结构的认识，几何体内部边长的关系，是基础题．
7．（5分）（2008•四川）若点P（2，0）到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，
则双曲线的离心率为（ ）
第2页 | 共14页A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
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【专题】计算题．
【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P（2，0）到此渐近线的距离为 ，
可求出倾斜角α的值，进而得到a，b的关系，再由双曲线的基本性质c2=a2+b2得到a与c
的关系，得到答案．
【解答】解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α
所以 ⇒a=b，
因此 ，
故选A．
【点评】本题主要考查双曲线的基本性质c2=a2+b2和渐近线方程以及离心率的概念．
8．（5分）（2008•四川）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺
书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】等可能事件．
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【分析】因为文艺书只有2本，若选3本必有科技书，所以问题等价于选3本书有文艺书的
概率，用它的对立事件选三本书没有文艺书来表示．
【解答】解：∵文艺书只有2本，
∴选3本必有科技书，
问题等价于选3本书有文艺书的概率： ．
故选D．
【点评】本题也可以采用分类讨论：①只有一本文艺书有C 1C 2种选法；②有二本文艺书
2 4
有C 2C 1种选法．
2 4
9．（5分）（2008•四川）过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最
小值为（ ）
第3页 | 共14页A．2 B． C．3 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
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【分析】计算弦心距，再求半弦长，得出结论．
【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1， ．
故选B．
【点评】数形结合解答本题，它是选择题可以口算、心算、甚至不算，得出结果最好．
10．（5分）（2008•四川）已知两个单位向量 与 的夹角为 ，则 与 互相
垂直的充要条件是（ ）
A． 或 B． 或 C．λ=﹣1或λ=1 D．λ为任意实数
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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【专题】计算题．
【分析】由 与 互相垂直等价于（ ）与（ ）数量积为零，又
因为 ，运算整理可得结果．
【解答】解：法一∵
，
又∵ ．
法二∵ 与 是夹角为 的单位向量，画图知λ=1时 与 构成菱形，排除A，B，D
选项，
故选C．
【点评】本题考查了向量垂直关系，又考查了充分必要条件，一题双向考查，比较接近高考
题的出题趋势．
11．（5分）（2008•四川）设函数y=f（x）（x∈R）的图象关于直线x=0及直线x=1对称，
且x∈[0，1]时，f（x）=x2，则 =
（ ）
第4页 | 共14页A． B． C． D．
【考点】函数的值；函数的图象与图象变化．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】由于函数y=f（x）（x∈R）的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f（﹣x）
=f（x）和f（1﹣x）=f（1+x），结合函数在[0，1]上的解析式即可求得 的值．
【解答】解析：∵函数y=f（x）（x∈R）的图象关于直线x=0对称，
∴f（﹣x）=f（x）；
∵函数y=f（x）（x∈R）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1﹣x）=f（1+x）；
∴ ．
选B．
【点评】本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握
程度以及数形结合的思维能力．
12．（5分）（2008•四川）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E是棱A B 的中点，则A B与
1 1 1 1 1 1 1
D E所成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
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【专题】压轴题．
【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．
【解答】解：如图，以D为坐标系原点，AB为单位长，DA，DC，DD 分别为x，y，z轴
1
建立坐标系，
易见 ， ，
所以
=
=
= ，
故选B．
第5页 | 共14页【点评】本题考查空间两直线夹角的求法．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•四川）函数y=ex+1﹣1（x∈R）的反函数为 y=ln（x+1）﹣1（x＞﹣1） ．
【考点】反函数．
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【分析】本题考查三个层面的知识，一是指数式与对数式的互化，二是反函数的求法，三是
函数的值域的求解；
将y=ex+1﹣1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．
【解答】解：由y=ex+1﹣1得：ex+1=y+1
解得：x=ln（y+1）﹣1，
又y=ex+1﹣1＞﹣1
∴反函数y=ln（x+1）﹣1（x＞﹣1）．
答案：y=ln（x+1）﹣1（x＞﹣1）
【点评】本题属于基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，容易解答；解答时注意函数
y=ex+1﹣1的值域的求解，这里利用ex+1＞0，则ex+1﹣1＞﹣1分析推理法得到．
14．（4分）（2008•四川）函数 的最大值是
．
【考点】三角函数的最值．
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【专题】计算题；转化思想；配方法．
【分析】先用同角三角函数基本关系式将（cosx）2转化为1﹣（sinx）2再用配方和换元法
转化为关于sinx的二次函数求最值．
【解答】解：
当sinx=1时，f（x）取最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和配方法，换元法，进一步考查二次函数
求最值问题
15．（4分）（2008•四川）设等差数列{a }的前n项和为S ，且S =a ．若a ≠0，则 = 3 ．
n n 5 5 4
【考点】等差数列的性质．
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【专题】计算题；压轴题．
第6页 | 共14页【分析】先根据S =a ，可知a +a +a +a =0再根据等差中项的性质可得a +a =a +a =0，代
5 5 1 2 3 4 1 4 2 3
入a 和d求得二者的关系，代入 答案可得．
1
【解答】解：由已知S =a ∴a +a +a +a =0
5 5 1 2 3 4
∴a +a =a +a =0，
1 4 2 3
∴
∴
故答案为3
【点评】本题主要考查了等差数列的性质．运用了等差数列的等差中项和等差数列的通项公
式，作为数列的基础知识，应强化记忆．
16．（4分）（2008•四川）已知∠AOB=90°，C为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线
OC与平面AOB所成角的正弦值为 ．
【考点】直线与平面所成的角．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上，作DE⊥OA于E，
根据线面所成角的定义可知∠COD为直线OC与平面AOB所成角，在三角形COD中求解
此角即可．
【解答】解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上
作DE⊥OA于E，连接CE则由三垂线定理CE⊥OE，
设DE=1 ，又∠COE=60°，CE⊥OE⇒OC=2，
所以 ，
因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值 ．
【点评】本题主要考查了直线与平面所成角，以及三垂线定理，考查空间想象能力、运算能
力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2008•四川）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知
a2+c2=2b2．
第7页 | 共14页（Ⅰ）若 ，且A为钝角，求内角A与C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得
sinC=﹣cosA．进而求得C和A的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得b的表达式，根据基本不等式求得cosB的范围，进而求得sinB的大
值．
【解答】解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin2A+sin2C=2sin2B=1．
故sin2C=cos2A．因为A为钝角，所以sinC=﹣cosA．
由 ，可得 ，得 ， ．
（Ⅱ）由余弦定理及条件 ，有 ，
因a2+c2≥2ac，
所以 ．
故 ，
当a=c时，等号成立．从而，sinB的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了三角函数与不等式基础知识的
结合．
18．（12分）（2008•四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C
类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2
件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A
类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学
期望．
【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．
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【分析】（1）在一次抽检后，设备不需要调整表示两件都是A类产品或两件中最多有一件B
类产品，共包括三种情况，这三种结果是互斥的，而一次测的两件产品质量相互之间没有影
响．
（2）检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，则ξ的可能取值为0、1、
2、3，由题意知ξ～B（3，0.1），写出随机变量的分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）设A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i=1，2．
i
B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i=1，2．
i
C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．
则C=A •A +A •B +B •A ．
1 2 1 2 1 2
由已知P（A）=0.9，P（B）=0.05 i=1，2．
i i
第8页 | 共14页∴所求的概率为P（C）=P（A •A ）+P（A •B ）+P（B •A ）
1 2 1 2 1 2
=0.92+2×0.9×0.05=0.9．
（Ⅱ）∵检验员一天抽检3次，
以ξ表示一天中需要调整设备的次数则ξ的可能取值为0、1、2、3
由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
=1﹣0.9=0.1，
依题意知 ，
ξ的分布列为
Eξ=np=3×0.1=0.3．
【点评】本题考查分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机
变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
19．（12分）（2008•四川）如图，一张平行四边形的硬纸片ABC D中，AD=BD=1，
0
．沿它的对角线BD把△BDC 折起，使点C 到达平面ABC D外点C的位置．
0 0 0
（Ⅰ）证明：平面ABC D⊥平面CBC ；
0 0
（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，要证线面垂直，只要证线线垂直，由题意
易得DB⊥BC，又DB⊥BC ，则题目可证．
0
（Ⅱ）解法一：由DB⊥BC，AD⊥BD，故只要过B做BE∥AD，则角∠CBE为二面角A﹣BD﹣C
的平面角，构造三角形求角即可．
解法二：根据题意，建立空间坐标系，利用空间向量求解．由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以
与 夹角的大小等于二面角A﹣BD﹣C的大小．由夹角公式求 与 的夹角的余弦，从
而确定角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD=BC =BD=1， ，所以∠DBC =90°，
0 0
∠ADB=90°．
因为折叠过程中，∠DBC=∠DBC =90°，所以DB⊥BC，又DB⊥BC ，
0 0
故DB⊥平面CBC ．
0
又DB⊂平面ABC D，
0
第9页 | 共14页所以平面ABC D⊥平面CBC ．
0 0
（Ⅱ）解法一：如图，延长C B到E，使BE=C B，连接AE，CE．
0 0
因为AD平行等于BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90°，
所以AEBD为正方形，AE=1．
由于AE，DB都与平面CBC 垂直，
0
所以AE⊥CE，可知AC＞1．
因此只有 时，△ABC为等腰三角形．
在Rt△AEC中， ，又BC=1，
所以△CEB为等边三角形，∠CBE=60°．
由（Ⅰ）可知，CB⊥BD，EB⊥BD，
所以∠CBE为二面角A﹣BD﹣C的平面角，
即二面角A﹣BD﹣C的大小为60°．
解法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，
建立如图的空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．
由（Ⅰ）可设点C的坐标为（x，1，z），其中z＞0，则有x2+z2=1．①
因为△ABC为等腰三角形，所以AC=1或 ．
若AC=1，则有（x﹣1）2+1+z2=1．
由此得x=1，z=0，不合题意．
若 ，则有（x﹣1）2+1+z2=2．②
联立①和②得 ， ．故点C的坐标为 ．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以 与 夹角的大小等于二面角A﹣BD﹣C的大小．
又 ， ， ．
所以 ．
即二面角A﹣BD﹣C的大小为60°．
第10页 | 共14页【点评】本题考查空间的位置关系可空间二面角的求法，考查运算能力和空间想象能力．
20．（12分）（2008•四川）在数列{a }中，a =1， ．
n 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）令 ，求数列{b }的前n项和S ；
n n
（Ⅲ）求数列{a }的前n项和T ．
n n
【考点】数列递推式；数列的求和．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由题设条件得 ，由此可知 ．
（Ⅱ）由题设条件知 ， ，再由错位相减
得 ，由此可知 ．
（Ⅲ）由 得
．由此可知T =2S +2a ﹣2a = ．
n n 1 n+1
【解答】解：（Ⅰ）由条件得 ，又n=1时， ，
故数列 构成首项为1，公式为 的等比数列．从而 ，即 ．
（Ⅱ）由 得 ，
，
第11页 | 共14页两式相减得： ，所以 ．
（Ⅲ）由 得
．
所以T =2S +2a ﹣2a = ．
n n 1 n+1
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．
21．（12分）（2008•四川）已知椭圆C 的中心和抛物线C 的顶点都在坐标原点O，C 和
1 2 1
C 有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C 的长轴长、短轴长及点F到C 右准线的距
2 1 1
离成等比数列．
（Ⅰ）当C 的准线与C 右准线间的距离为15时，求C 及C 的方程；
2 1 1 2
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C 于P，Q两点，交C 于M，N两点．当|MN|=8时，
1 2
求|PQ|的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比数列的性质；椭圆的标准方程；抛物线的标准方
程．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设C ： （a＞b＞0），由题意知C ：y2=4cx．由条件知a=2c．C 的
1 2 1
右准线方程为x=4c．C 的准线方程为x=﹣c．
2
由条件知c=3，a=6， ．由此可知C ： ，C ：y2=12x．
1 2
（Ⅱ）由题设知l：y=x﹣c，设M（x ，y ），N（x ，y ），P（x ，y ），Q（x ，y ）．由
1 1 2 2 3 3 4 4
，得x2﹣6cx+c2=0，所以x +x =6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x +x +2c=8c，由条件
1 2 1 2
|MN|=8，得c=1．由此可知 ．
【解答】解：（Ⅰ）设C ： （a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C ：y2=4cx．
1 2
由条件知 ，得a=2c．C 的右准线方程为 ，即x=4c．C 的
1 2
准线方程为x=﹣c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6， ．
从而C ： ，C ：y2=12x．
1 2
第12页 | 共14页（Ⅱ）由题设知l：y=x﹣c，设M（x ，y ），N（x ，y ），P（x ，y ），Q（x ，y ）．
1 1 2 2 3 3 4 4
由 ，得x2﹣6cx+c2=0，所以x +x =6c．
1 2
而|MN|=|MF|+|FN|=x +x +2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．
1 2
由（Ⅰ）得a=2， ．从而，C ： ，即3x2+4y2=12．
1
由 ，得7x2﹣8x﹣8=0．所以 ， ．
故 ．
【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
22．（14分）（2008•四川）设函数f（x）=x3﹣x2﹣x+2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当x∈[﹣1，2]时，﹣3≤af（x）+b≤3，求a﹣b的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；简单线性规划的应用．
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【专题】压轴题．
【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，令f'（x）＞0解出x的范围得到其增区间，同理
令f'（x）＜0解出x的范围得到减区间；令f'（x）=0解出x的值得到极值点．
（2）先求出函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大与最小值，由 可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）．
于是，当 时，f'（x）＜0； 时，f'
（x）＞0．
故f（x）在 单调减少，在 ，（1，+∞）单调增加．
当 时，f（x）取得极大值 ；
当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及f（﹣1）=1，f（2）=4，f（x）在[﹣1，2]的最大值为4，最小值为1．
因此，当x∈[﹣1，2]时，﹣3≤af（x）+b≤3的充要条件是 ，
即a，b满足约束条件 ，
第13页 | 共14页由线性规划得，a﹣b的最大值为7．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数的极值点与导数的
关系，即令导数大于0可求函数的增区间，令导数小于0可求函数的减区间，令导数等于0
可求其极值点．
第14页 | 共14页
