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n 1 × n 2 2× 5 5 10 arccos 由图知，二面角A-ED-B为锐角，∴其大小为 5 ． 20、解析：由题意，在 ba n -2n =(b-1)S n中，令 n=1，得 ba 1 -2=(b-1)a 1， a =2 1 ． ba -2n =(b-1)S 由 n n ba -2n-1 =(b-1)S (n³2,nÎN*) 得 n-1 n-1 b(a -a )-2n-1 =(b-1)a 两式相减得： n n-1 n a =ba +2n-1(n³2,nÎN*) 即 n n-1 …………① （Ⅰ）当b=2时，由①知， a n =2a n-1 +2n-1 第13页 | 共17页a -n×2n-1 =2a -(n-1)×2n-1 于是 n n-1 =2[a -(n-1)×2n-2] (n³2,nÎN*) n-1 a -1×21-1 =1¹0 {a -n×2n-1} 又 1 ，所以 n 是首项为1，公比为2的等比数列． a （Ⅰ）变：当b=2时，求 n的通项公式．解法如下： 解：当b=2时，由①知， a n =2a n-1 +2n-1 a a 1 n = n-1 + 两边同时除以2n得2n 2n-1 2 (n³2,nÎN*) a a 1 n - n-1 = 2n 2n-1 2 (n³2,nÎN*) a 1 a { n} 1 =1 ∴ 2n 是等差数列，公差为2 ，首项为 2 a 1 1 n =1+ (n-1)= (n+1) ∴2n 2 2 a =(n+1)2n-1 a -n×2n-1 =2n-1 {a -n×2n-1} ∴ n （∴ n ，∴ n 是等比数列， 首项为1，公比为2） （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知， a n -n×2n-1 =2n-1 ，即 a n =(n+1)×2n-1 当b¹2时，由①： a n =ba n-1 +2n-1 a b a 1 n = × n-1 + 两边同时除以2n得2n 2 2n-1 2 a b a n +l= ×( n-1 +l) 可设2n 2 2n-1 …………② a b a b-2 a b a 1 n = × n-1 + ×l n = × n-1 + 展开②得2n 2 2n-1 2 ，与2n 2 2n-1 2比较， b-2 1 1 ×l= l= 得 2 2，∴ b-2． a 1 b a 1 n + = ×( n-1 + ) ∴2n b-2 2 2n-1 b-2 第14页 | 共17页a 1 b { n + } ∴ 2n b-2 是 等 比 数 列 ， 公 比 为 2 ， 首 项 为 1 b-1 1+ = b-2 b-2 a 1 b-1 b n + = ×( )n-1 ∴2n b-2 b-2 2 a b-1 b 1 n = ×( )n-1- ∴2n b-2 2 b-2 éb-1 b 1 ù 2(b-1)bn-1-2n a =2n ×( )n-1- = ∴ n ê ëb-2 2 b-2 ú û b-2 21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧． 2 c2 1 e= = （Ⅰ）由已知， F 1 (-c,0) ， F 2 (c,0) ．由 2 ，a2 2，∴a2 =2c2 ． 又a2 =b2 +c2 ，∴b2 =c2 ，a2 =2b2 ． a2 2c2 x= = =2c M(2c,y ) N(2c,y ) ∴l： c c ， 1 ， 2 ． 延长 NF 2交 MF 1于P，记右准线l交x轴于 Q ． uuuur uuuur uuuur uuuur FM ×F N =0 FM ^ F N FM ^ F N ∵ 1 2 ，∴ 1 2 ． 1 2 RtDMQF RtDFQN 由平几知识易证 1≌ 2 QN = FQ =3c QM = FQ =c ∴ 1 ， 2 y =c y =3c 即 1 ， 2 ． uuuur uuuur FM = F N =2 5 ∵ 1 2 ， ∴9c2 +c2 =20，c2 =2，b2 =2，a2 =4． ∴a=2，b= 2 ． uuuur uuuur FM ×F N =0 (3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2 <0 （Ⅰ）另解：∵ 1 2 ，∴ 1 2 ， 1 2 ． uuuur uuuur FM = F N =2 5 又 1 2 第15页 | 共17页ìy y =-3c2 1 2 ï í9c2 + y2 =20 1 ï 联立î c2 + y 2 2 =20 ，消去 y 1、 y 2得： (20-9c2)(20-c2)=9c2 ， 整理得：9c4 -209c2 +400=0， (c2 -2)(9c2 -200)=0 ．解得c2 =2．但解 此方程组要考倒不少人． uuuur uuuur FM ×F N =(3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2 <0 （Ⅱ）∵ 1 2 1 2 ，∴ 1 2 ． M uuu N ur2 = y - y 2 = y2 + y 2 -2y y ³-2y y -2y y =-4y y =12c2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ． uuuur y =-y = 3c y =-y = 3c MN 当且仅当 1 2 或 2 1 时，取等号．此时 取最小值 2 3c ． uuuur uuuur uuuur FM +F N =(3c,± 3c)+(c, 3c)=(4c,0)=2FF 此时 1 2 m 1 2 ． uuuur uuuur uuuur FM +F N FF ∴ 1 2 与 1 2 共线． uuuur uuuur FM ×F N =0 (3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2 （Ⅱ）另解：∵ 1 2 ，∴ 1 2 ， 1 2 ． 1 - MF NF 设 1， 2的斜率分别为k， k ． ì 1 ïy =- (x-c) c ìy =k(x+c) í k Þ y =- í Þ y =3kc 2 k 由îx=2c 1 ，由 ï îx=2c uuuur 1 1 1 3 MN = y - y =c× 3k+ ³2 3c 3k = k2 = k =± 1 2 k ．当且仅当 k 即 3， 3 时 取等号． 3 uuuur MN k =± 即当 最小时， 3 ， 此 时 uuuur uuuur c uuuur FM +F N =(3c,3kc)+(c,- )=(3c,± 3c)+(c, 3c)=(4c,0)=2FF 1 2 k m 1 2 ． uuuur uuuur uuuur FM +F N FF ∴ 1 2 与 1 2 共线． 22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得 第16页 | 共17页分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手． f(x)=aln(1+x)+x2 -10x （Ⅰ） a f '(x)= +2x-10 1+x x=3是函数 f(x)=aln(1+x)+x2 -10x 的一个极值点． a f '(3)= -4=0 4 a=16 f(x)=16ln(1+x)+x2 -10x xÎ(-1,+¥) （Ⅱ）由（Ⅰ） ， ． 16 2x2 -8x+6 2(x-1)(x-3) f '(x)= +2x-10= = 1+x x+1 x+1 令 f '(x)=0 ，得x=1，x=3． f '(x) 和 f(x) 随x的变化情况如下： x (-1,1) 1 (1,3) 3 (3,+¥) f '(x) + 0 - 0 + 极小 f(x) 增 极大值 减 增 值 f(x) (-1,1) (3,+¥) (1,3) 的增区间是 ， ；减区间是 ． f(x) (-1,1) (3,+¥) (1,3) （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 上单调递增，在 上单调递增，在 上 单调递减． f(x) = f(1)=16ln2-9 f(x) = f(3)=32ln2-21 ∴ 极大 ， 极小 ． 又x®-1+ 时， f(x)®-¥ ；x®+¥时， f(x)®+¥ ； y = f(x) 可据此画出函数 的草图（图略），由图可知， 当直线 y =b 与函数 y = f(x) 的图像有 3 个交点时，b的取值范围为 (32ln2-21,16ln2-9) ． 第17页 | 共17页
