2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学(非延考卷)
说明：2008 年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六
市州 40 县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（5'´12=60'）
1．若集合U ={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2，3，4}，则C (A B)=（ ）
U I
A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5} D．{1,5}
2．复数2i(1+i)2 =（ ）
A．-4 B．4 C．-4i D．4i
3．(tanx+cotx)cos2 x=（ ）
A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx
4．直线 y =3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移 1 个单位后所得的直线为
（ ）
1 1 1 1
A．y =- x+ B．y =- x+1 C．y =3x-3 D．y = x+1
3 3 3 3
5．若0£a<2p，sina> 3cosa，则a的取值范围是（ ）
p p p p 4p p 3p
A．( , ) B．( ,p) C．( , ) D．( , )
3 2 3 3 3 3 2
6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，
则不同的选法有（ ）
A．70 B．112 C．140 D．168
7．已知等比数列{a }中，a =1，则该数列前三项和S 的取值范围是（ ）
n 2 3
A．(-¥,-1] B．(-¥,0) (1,+¥) C ． [3,+¥)
U
D．(-¥,-1] [3,+¥)
U
8．设M 、N 是球O的半径OP上的两点，且NP=MN =OM ，分别过N 、M 、
O作垂直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）
A．3：5：6 B．3：6：8 C．5：7：9 D．5：8：9
9．设直线l Ì平面a，过平面a外一点A且与l、a都成30°角的直线有且只有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．设 f(x)=sin(wx+j)，其中j>0，则函数 f(x)是偶函数的充分必要条件是
第1页 | 共17页（ ）
A． f(0)=0 B． f(0)=1 C． f '(0)=1 D． f '(0)=0
11．定义在R上的函数 f(x)满足：f(x)× f(x+2)=13，f(1)=2，则 f(99)=（ ）
13 2
A．13 B．2 C． D．
2 13
12．设抛物线C: y2 =8x的焦点为F ，准线与x轴相交于点K，点 A在C上且
AK = 2 AF ，则DAFK 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：（4'´4=16'）
13．(1+2x)3(1-x)4的展开式中x2项的系数是
14．已知直线l:x- y+6=0，圆C:(x-1)2 +(y-1)2 =2，则圆C上各点到直线l
的距离的最小值是
3
15．已知正四棱柱的一条对角线长为 6 ，且与底面所成的角的余弦值为 ，
3
则该正四棱柱的体积是 ．
16．设等差数列{a }的前n项和为S ，S ³10，S £15，则a 的最大值
n n 4 5 4
是 .
三、解答题：（12'+12'+12'+12'+12'+14'=76'）解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
17．求函数y =7-4sinxcosx+4cos2 x-4cos4 x的最大值和最小值．
第2页 | 共17页18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率 0.5，购买乙商品的概率为
0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独
立．
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分
布列及期望．
第3页 | 共17页19．如图，面ABEF ^面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
1 1
ÐBAD=ÐBAF =90°，BC // AD，BE // AF ． F
= =
2 2
（Ⅰ）求证：C、D、E、F 四点共面；
（Ⅱ）若BA= BC = BE，求二面角A-ED-B的大小．
E
A
D
B C
第4页 | 共17页20．设数列{a }满足：ba -2n =(b-1)S ．
n n n
（Ⅰ）当b=2时，求证：{a -n×2n-1}是等比数列；
n
（Ⅱ）求a 通项公式．
n
第5页 | 共17页x2 y2 2
21．设椭圆 + =1(a >b>0)的左、右焦点分别是F 、F ，离心率e= ，
a2 b2 1 2 2
uuuur uuuur
右准线l上的两动点M 、N ，且FM ×F N =0．
1 2 y
M
uuuur uuuur
（Ⅰ）若 FM = F N =2 5 ，求a、b的值；
1 2
x
uuuur uuuur uuuur uuuur
（Ⅱ）当 MN 最小时，求证FM +F N 与FF 共线．
1 2 1 2 F O F
1 2
N
第6页 | 共17页22．已知x=3是函数 f(x)=aln(1+x)+x2 -10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当直线y =b与函数y = f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．
第7页 | 共17页2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学
说明：2008 年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六
市州 40 县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（5'´12=60'）
1、解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，
盖汶川地震之故．
2、解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．
3、解析：
原式
sinx cosx cos3 x
=( + )cos2 x=sinxcosx+
cosx sinx sinx
sin2 xcosx+cos3 x cosx(sin2 x+cos2 x)
= =
sinx sinx
cosx
=
sinx =cotx，
选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常
规的代数变形．中等生无忧．
4、解析：本题有新意，审题是关键．
1 1
- y =- (x-1)
旋转90°则与原直线垂直，故旋转后斜率为 3．再右移 1 得 3 ．选
A．
本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．
p
2sin(a- )>0
5 、 解 析 ： sina> 3cosa ， 即 sina- 3cosa>0 ， 即 3 ， 即
p
sin(a- )>0
3 ；
p p 5p
- £a- <
又由0£a<2p，得 3 3 3 ；
p p 4p
0£a- <p £a<
综上， 3 ，即 3 3 ．选C．本题考到了正弦函数的正负
第8页 | 共17页区间．
除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要
记对称轴、对称中心、正负区间．
3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．
6 、 解 析 ： 审 题 后 针 对 题 目 中 的 至 少 二 字 ， 首 选 排 除
C4 -C4 =210-70=140
法． 10 8 ．选C．本题应注意解题策略．
1 1 1
S = x+1+ y = x+ x+ ³2
7、解析： 3 x (x¹0) ．由双勾函数 x 的图象知， x 或
1
x+ £-2
x ，故本题选 D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象
和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．
8、解析：由题知，M 、N 是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平
方之比．在球的轴载面图中易求得：
R 8R2 2R 5R2
R2 -( )2 = R2 -( )2 =
3 9 ， 3 9 ， 故 三 个 圆 的 半 径 的 平 方 之 比 为 ：
8 5
R2 : R2 : R2
9 9 ，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．
9、解析：所求直线在平面a内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，
选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．
f(x)
10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数 是偶函数，则
p
j= +kp
2 ， f(0)=±1 ，故排除A，B．
p
j= +kp
又 f '(x)=wcos(wx+j) ， 2 ， f '(0)=0 ．选 D．此为一般化思路．也可
p
j=±
走特殊化思路，取w=1， 2 验证．
f(x)× f(x+2)=13 f(x+2)× f(x+4)=13
11 、 解 析 ： 由 ， 知 ， 所 以
f(x+4)= f(x) f(x)
，即 是周期函数，
13 13
f(99)= f(3+4´24)= f(3)= =
f(1) 2
周期为4．所以 ．选C．题着意考查抽象函
第9页 | 共17页数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，
实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．
y2 =8x F(2,0)
12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图． 的焦点 ，准
线 x=-2， K(-2,0) ． 设 A(x,y) ， 由 AK = 2 AF ， 得
(x+2)2 + y2 = 2 (x-2)2 + y2 (x+2)2 + y2 =2[(x-2)2 + y2]
，即 ．化简得：
y2 =-x2 +12x-4 ， 与 y2 =8x 联 立 求 解 ， 解 得 ： x=2，
1 1
S = × FK × y = ×4×4=8
y =±4 ． DAFK 2 A 2 ，选B．
本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．
二、填空题：（4'´4=16'）
13、答案：-6．
解析：二项式定理再现，难度高于文科。
(1+2x)3(1-x)4 =(1+C1×2x+C2×4x2 + )(1-C1x+C2x2 + )
． 3 3 L 4 4 L
x2
项的系数是
C
4
2 -2C
3
1C
4
1+4C
3
2 =6-24+12=-6
．这是中档略偏难的常规题．中
差生在准确性和快捷性上有缺陷．
14、答案：2 2．
(1,1)
解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心 到直
6
d = =3 2
线 x- y+6=0 的距离 2 ．故最小值为3 2- 2 =2 2．
15、答案：2．
ìa2 +a2 +h2 =6
ï
í 2a 3 ìa=1
ïcosq= = Þí
解析：由题意，î 6 3 ， îh=2 ，ÞV =a2h=2
16、答案：4．
ì 4´3
4a + d ³10
ï ï 1 2
í ì4a +6d ³10 ì2a +3d ³5
ï 5a + 5´4 d £15 í 1 í 1
解析：由题意， ïî 1 2 ，即î 5a 1 +10d £15 ，î a 1 +2d £3 ，
a =a +3d
4 1 ．
第10页 | 共17页aod
这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系 1 ，画出可行
ì2a +3d ³5
1
í
域î a 1 +2d £3 （图略），画出目标函数即直线 a 4 =a 1 +3d ，由图知，当直线
a =a +3d (1,1) a =4
4 1 过可行域内 点时截距最大，此时目标函数取最大值 4 ．本题
明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划
问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本
题的命题意图．
因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设
ì2l+l =1 ìl=-1
1 2 1
í í
a 1 +3d =l 1 (2a 1 +3d)+l 2 (a 1 +2d) ，由î 3l 1 +2l 2 =3 解得î l 2 =3 ，∴
ì2a +3d ³5
1
í
a
1
+3d =-(2a
1
+3d)+3(a
1
+2d) ，由不等式的性质得：î a
1
+2d £3
ì-(2a +3d)£-5
Þí 1
î 3(a 1 +2d)£9 Þ-(2a 1 +3d)+3(a 1 +2d)£4 ，即 a 4 =a 1 +3d £4 ， a 4的最大
值是4．
从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本
题解题策略的选择至关重要．
三、解答题：（12'+12'+12'+12'+12'+14'=76'）解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
y =7-4sinxcosx+4cos2 x-4cos4 x
17、解析：
=8-4sinxcosx-1+4cos2 x-4cos4 x
=8-4sinxcosx-(1-2cos2 x)2
=8-2sin2x-cos22x
=8-2sin2x-(1-sin22x)
=7-2sin2x+sin22x
=6+(1-sin2x)2
y =10 y =6
max ， min ．
y =7-4sinxcosx+4cos2 x-4cos4 x
解析：
第11页 | 共17页=7-2sin2x+4cos2 x(1-cos2 x)
=7-2sin2x+4cos2 xsin2 x
=7-2sin2x+sin22x
=6+(1-sin2x)2
y =10 y =6
max ， min ．
18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．
（Ⅰ） P=0.5´(1-0.6)+(1-0.5)´0.6 =0.2+0.3=0.5
P=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8
（Ⅱ）
（Ⅲ） 可取0，1，2，3．
P(=0)=C0´(1-0.8)3 =0.008
3
P(=1)=C1´(1-0.8)2´0.8=0.096
3
P(=2)=C2´(1-0.8)´0.82 =0.384 P(=3)=C3´0.83 =0.512
3 3
的分布列为
0 1 2 3
P 0.00 0.09 0.38 0.51
8 6 4 2
~ B(3,0.8)
E=3´0.8=2.4
．
19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．
（Ⅰ）∵面ABEF ^面ABCD，AF ^ AB=90°
∴AF ^面ABCD．
∴以A为原点，以AB，AD，AF 所在直线为x轴， y 轴，z轴，
A-xyz
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
第12页 | 共17页不妨设AB=a，AD=2b，AF =2c，则
A(0,0,0) B(a,0,0) C(a,b,0) D(0,2b,0) E(a,0,c) F(0,0,2c)
， ， ， ， ， ．
uuur uuur uuur uuur
∴ DF =(0,-2b,2c) ， CE =(0,-b,c) ，∴DF =2CE，
uuur uuur
∴DF//CE ，
∵EÏDF，∴DF//CE ，
∴C、D、E、F 四点共面．
（Ⅱ）设AB=1，则BC = BE =1，∴ B(1,0,0) ， D(0,2,0) ， E(1,0,1) ．
ur
n =(x ,y ,z )
设平面AED的法向量为 1 1 1 1 ，
ur uuur
ì ïn ×AE =0 ìx +z =0
í ur 1 uuur í 1 1 ur
由 ïî n 1 ×AD=0 ，得î 2y 1 =0 ， n 1 =(1,0,-1)
uur
n =(x ,y ,z )
设平面BED的法向量为
2 2 2 2
uur uuur
ì ïn ×BE =0 ìz =0
í ur 2 uuur í 2 uur
由 ïî n 1 ×BD=0 ，得î -x 2 +2y 2 =0 ， n 2 =(2,1,0)
ur uur
n ×n
= 1 2 2 10
ur uur ur uur = =
cos<n 1 ,n 2 > n 1 × n 2 2× 5 5
10
arccos
由图知，二面角A-ED-B为锐角，∴其大小为 5 ．
20、解析：由题意，在
ba
n
-2n =(b-1)S
n中，令 n=1，得
ba
1
-2=(b-1)a
1，
a =2
1 ．
ba -2n =(b-1)S
由 n n
ba -2n-1 =(b-1)S (n³2,nÎN*)
得 n-1 n-1
b(a -a )-2n-1 =(b-1)a
两式相减得： n n-1 n
a =ba +2n-1(n³2,nÎN*)
即 n n-1 …………①
（Ⅰ）当b=2时，由①知，
a
n
=2a
n-1
+2n-1
第13页 | 共17页a -n×2n-1 =2a -(n-1)×2n-1
于是 n n-1
=2[a -(n-1)×2n-2] (n³2,nÎN*)
n-1
a -1×21-1 =1¹0 {a -n×2n-1}
又 1 ，所以 n 是首项为1，公比为2的等比数列．
a
（Ⅰ）变：当b=2时，求 n的通项公式．解法如下：
解：当b=2时，由①知，
a
n
=2a
n-1
+2n-1
a a 1
n = n-1 +
两边同时除以2n得2n 2n-1 2 (n³2,nÎN*)
a a 1
n - n-1 =
2n 2n-1 2 (n³2,nÎN*)
a 1 a
{ n} 1 =1
∴ 2n 是等差数列，公差为2 ，首项为 2
a 1 1
n =1+ (n-1)= (n+1)
∴2n 2 2
a =(n+1)2n-1 a -n×2n-1 =2n-1 {a -n×2n-1}
∴ n （∴ n ，∴ n 是等比数列，
首项为1，公比为2）
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知，
a
n
-n×2n-1 =2n-1
，即
a
n
=(n+1)×2n-1
当b¹2时，由①：
a
n
=ba
n-1
+2n-1
a b a 1
n = × n-1 +
两边同时除以2n得2n 2 2n-1 2
a b a
n +l= ×( n-1 +l)
可设2n 2 2n-1 …………②
a b a b-2 a b a 1
n = × n-1 + ×l n = × n-1 +
展开②得2n 2 2n-1 2 ，与2n 2 2n-1 2比较，
b-2 1 1
×l= l=
得 2 2，∴ b-2．
a 1 b a 1
n + = ×( n-1 + )
∴2n b-2 2 2n-1 b-2
第14页 | 共17页a 1 b
{ n + }
∴ 2n b-2 是 等 比 数 列 ， 公 比 为 2 ， 首 项 为
1 b-1
1+ =
b-2 b-2
a 1 b-1 b
n + = ×( )n-1
∴2n b-2 b-2 2
a b-1 b 1
n = ×( )n-1-
∴2n b-2 2 b-2
éb-1 b 1 ù 2(b-1)bn-1-2n
a =2n ×( )n-1- =
∴ n ê ëb-2 2 b-2 ú û b-2
21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．
2 c2 1
e= =
（Ⅰ）由已知， F 1 (-c,0) ， F 2 (c,0) ．由 2 ，a2 2，∴a2 =2c2 ．
又a2 =b2 +c2 ，∴b2 =c2 ，a2 =2b2
．
a2 2c2
x= = =2c
M(2c,y ) N(2c,y )
∴l： c c ， 1 ， 2 ．
延长 NF 2交 MF 1于P，记右准线l交x轴于 Q ．
uuuur uuuur uuuur uuuur
FM ×F N =0 FM ^ F N FM ^ F N
∵ 1 2 ，∴ 1 2 ． 1 2
RtDMQF RtDFQN
由平几知识易证 1≌ 2
QN = FQ =3c QM = FQ =c
∴ 1 ， 2
y =c y =3c
即 1 ， 2 ．
uuuur uuuur
FM = F N =2 5
∵ 1 2 ，
∴9c2 +c2 =20，c2 =2，b2 =2，a2 =4．
∴a=2，b= 2 ．
uuuur uuuur
FM ×F N =0 (3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2 <0
（Ⅰ）另解：∵ 1 2 ，∴ 1 2 ， 1 2 ．
uuuur uuuur
FM = F N =2 5
又 1 2
第15页 | 共17页ìy y =-3c2
1 2
ï
í9c2 + y2 =20
1
ï
联立î c2 + y 2 2 =20 ，消去 y 1、 y 2得： (20-9c2)(20-c2)=9c2 ，
整理得：9c4 -209c2 +400=0， (c2 -2)(9c2 -200)=0 ．解得c2 =2．但解
此方程组要考倒不少人．
uuuur uuuur
FM ×F N =(3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2 <0
（Ⅱ）∵ 1 2 1 2 ，∴ 1 2 ．
M
uuu
N
ur2
= y - y 2 = y2 + y 2 -2y y ³-2y y -2y y =-4y y =12c2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ．
uuuur
y =-y = 3c y =-y = 3c MN
当且仅当 1 2 或 2 1 时，取等号．此时 取最小值
2 3c
．
uuuur uuuur uuuur
FM +F N =(3c,± 3c)+(c, 3c)=(4c,0)=2FF
此时 1 2 m 1 2 ．
uuuur uuuur uuuur
FM +F N FF
∴ 1 2 与 1 2 共线．
uuuur uuuur
FM ×F N =0 (3c,y )×(c,y )=0 y y =-3c2
（Ⅱ）另解：∵ 1 2 ，∴ 1 2 ， 1 2 ．
1
-
MF NF
设 1， 2的斜率分别为k， k ．
ì 1
ïy =- (x-c) c
ìy =k(x+c) í k Þ y =-
í Þ y =3kc 2 k
由îx=2c 1
，由
ï îx=2c
uuuur 1 1 1 3
MN = y - y =c× 3k+ ³2 3c 3k = k2 = k =±
1 2 k ．当且仅当 k 即 3， 3 时
取等号．
3
uuuur
MN k =±
即当 最小时， 3 ，
此 时
uuuur uuuur c uuuur
FM +F N =(3c,3kc)+(c,- )=(3c,± 3c)+(c, 3c)=(4c,0)=2FF
1 2 k m 1 2 ．
uuuur uuuur uuuur
FM +F N FF
∴ 1 2 与 1 2 共线．
22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得
第16页 | 共17页分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．
f(x)=aln(1+x)+x2 -10x
（Ⅰ）
a
f '(x)= +2x-10
1+x
x=3是函数 f(x)=aln(1+x)+x2 -10x 的一个极值点．
a
f '(3)= -4=0
4
a=16
f(x)=16ln(1+x)+x2 -10x xÎ(-1,+¥)
（Ⅱ）由（Ⅰ） ， ．
16 2x2 -8x+6 2(x-1)(x-3)
f '(x)= +2x-10= =
1+x x+1 x+1
令 f '(x)=0 ，得x=1，x=3．
f '(x) 和 f(x) 随x的变化情况如下：
x (-1,1) 1 (1,3) 3 (3,+¥)
f '(x) + 0 - 0 +
极小
f(x) 增 极大值 减 增
值
f(x) (-1,1) (3,+¥) (1,3)
的增区间是 ， ；减区间是 ．
f(x) (-1,1) (3,+¥) (1,3)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 上单调递增，在 上单调递增，在 上
单调递减．
f(x) = f(1)=16ln2-9 f(x) = f(3)=32ln2-21
∴ 极大 ， 极小 ．
又x®-1+ 时， f(x)®-¥ ；x®+¥时， f(x)®+¥ ；
y = f(x)
可据此画出函数 的草图（图略），由图可知，
当直线 y =b 与函数 y = f(x) 的图像有 3 个交点时，b的取值范围为
(32ln2-21,16ln2-9)
．
第17页 | 共17页
