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专题 11 相似与四边形
考情概览
考点1 四边形
考点2 相似
考点 1 四边形
1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，垂足
为F．若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】 /0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，
熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作 ，垂足为M，N，连接
，则 ，先根据平行线间的距离处处相等得出 ，继而得出
，通过解直角三角形得出 ，即可求解．
【详解】解：过点F分别作 ，垂足为M，N，连接 ，则
，∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∵ ，垂足为F， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2021·北京·中考真题）如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．
只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 （写出
一个即可）．【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意易得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形
的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
考点 2 相似
3．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点 在 上， 于点 ，
于点 ．若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，得 ， ，得到 ，结合 ，
得到 , ， ，求得
的长，解答即可.
本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.
【详解】解：根据正方形的性质，得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
故答案为： ．
4．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O， .若 ，
， .则 的值为 ．
【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得， ， ，得出 ，，从而 .
【详解】 ， ， ，
，
，
，
，
；
故答案为： .
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之
间的关系是解决本题的关键.
5．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形 中，若 ，则 的
长为 ．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
1．（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，
并拼出一个新图形如图所示，其中四边形 是正方形．如果 ，四边形 的
面积为25，那么 的长为 ．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以求得 和 的长，然后即可得到 和
的长，再计算 的长即可．
【解答】解：由已知可得，
△ △ △ △ ， ， ，
则 ， ，
设 ，则 ，
，
，
即 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
， ，
， ，
，
故答案为：7．
2．（2025•石景山区一模）如图，等边△ 中， 于点 ，点 在 上，
的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则四边形
的周长为 ．【分析】先利用等边三角形的性质可得 ， ，从而可得
， ，然后在 △ 中，利用含30度角的直角三角形可得 ，
再利用线段垂直平分线的性质可得： ，最后利用四边形的周长公式进行计算，即
可解答．
【解答】解： △ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
是 的垂直平分线，
，
四边形 的周长
，
故答案为： ．
3．（2025•石景山区一模）如图，将△ 沿 边向右平移2个单位长度得到△ ．
若 ，阴影部分的面积为6，则△ 的面积为 ．【分析】设 与 交于点 ，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算△
的面积即可．
【解答】解：如图，设 与 交于点 ．
将△ 沿 边向右平移2个单位长度得到△ ，
， ，
，△ △ ，
，
，即 ，
．
故答案为：24．
4．（2025·北京顺义·一模）如图，在正方形 中，点E在 上，连接 交对角线
于点F．若 ， ，则 _____________．
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形和相似三
角形的性质是解题的关键．根据正方形的性质得到 ，推出 ，得出
，再代入数据即可求解．
【详解】解： 正方形 ，
， ， ，，
，
，
，
，
解得： ．
故答案为： ．
5．（2025·北京朝阳·一模）如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．若 ，
，则 的面积为_________．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌
握相关知识．根据矩形的性质可得 ， ，根据勾股定理求出 ，
证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ，
， ，即 ，
， ，
， ，
，
，
，
，即 ，，
，
故答案为： ．
6．（2025·北京大兴·一模）如图，在 中， ， ．当
时，正方形 恰好有三个顶点落在 的边上，则正方形 的面
积为_________．
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方
形的性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
过点 作 ，根据全等三角形的判定和性质得出 ，再由等腰三角形
的判定和性质得出 为等腰直角三角形，设 ，则： ，结合图形
及各边之间的关系即可求解．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为5，
故答案为：5．
7．（2025·北京西城·一模）如图，在矩形 中，点E，F分别在边 上，且
．若 ， ， ，则EF的长为_________．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得
是解题的关键．
根据矩形的性质以及勾股定理可得 、 ，再证明 ，然后根据
相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为： ．
8．（2025·北京平谷·一模）在菱形 中， 于点 ，连接
交 于点 ，则 的长为_________．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，关键是由平行线
得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．
根据菱形的性质和勾股定理可得出 ，根据菱形的对边平行且相等的性质，可证得
，可得 ，再根据 ，据此即可求得．
【详解】解：∵在菱 中， ，且 ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
9．（2025·北京·一模）如图，在 中， ， ， ，点D在边
上，过点D作 交 于点E，作 交 于点F，若 ，则
的长为_________．【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定
与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形 是平行四边形，进而得出
四边形 是正方形；设正方形的边长为 ，利用 ，得到 ，得出
比例式，列出方程即可求解．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
设这个正方形的边长为 ，
则 ，
，
，
，
，
．
， ，
．
解得： ．
正方形的边长为 ．
，
故答案为： ．10．（2025·北京海淀·一模）如图，点 是正方形 对角线 上的一点， 于
点 ．连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为
_________．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定
与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形 是平行四边形，进而得出
四边形 是正方形；设正方形的边长为 ，利用 ，得到 ，得出
比例式，列出方程即可求解．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
设这个正方形的边长为 ，
则 ，
，
，
，
，
．
， ，
．
解得： ．正方形的边长为 ．
，
故答案为： ．
11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形 中， 垂足为E，延长 交 于
F， ， ，则 的长为_________．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求
得 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
12．（2025·北京东城·一模）如图，在 中，点 在 上， ， 交于点 ，若
，且 ，则 _________．【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出
和求出 是解此题的关键．设 ， ，则 ，根
据平行四边形的性质得出 ， ，证出 ，得出比例式，
代入求出即可．
【详解】解： ，
设 ， ，则 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ， ，
，
解得： ，
故答案为：6．
13．（2025·北京西城·二模）如图，在 中，点 是 上一点，延长 ， 交于
点 ．若 ， 的面积为6，则 的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别
相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在
于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形
面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形 展开，已知和 的面积，要求 的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找
出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ．
∴ ， ．
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ． 即 ，
∴
故答案为： ．
14．（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形 的边长为2， 为 边上的一点，以
为边作矩形 ，使 经过点 ，则矩形 的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可
得 ， ，则 ，同理可得，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
同理可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形 的边长为3，点 在 上，连接 ，以
为边作正方形 ，点 与点 在直线 异侧．若正方形 的面积为10，则点
到 的距离为 ．
【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．作 于点 ，根据正方形的性质和勾股定理可求得 、
和 的长度，以及可证得 ，从而得到 ，代入计算求得 的
长度即为答案．
【详解】解：作 于点 ，如图所示，
则 ，
四边形 是边长为3的正方形，
， ，
四边形 是正方形，且面积为10，
， ，
在 中， ，
，
又 ， ，
，
，
，即 ，
．
故答案为： ．16．（2025·北京密云·一模）如图，矩形 中， 垂足为E，延长 交 于
F， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求
得 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
17．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形 中，点 在 上， ， 相交于
点 ， ．若 ，则 的长为 ．
【答案】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的
计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
18．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形 的边长为3，点E为 边的中点，连接
， 与 相交于点F，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的
性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意可求 ，证明 ，则 ，即 ，
计算求解即可．【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
故答案为： ．
19．（2024·北京朝阳·二模）如图，在 中，E是 上一点， ， 的延长
线与 的延长线相交于点F，若 ，则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得
到 ，推出 ，得到 ，即可求出 ，即可求出 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
20．（2025·北京石景山·二模）如图，在 中， 于点D， 平分 ，于点E， 于点F．若 ，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】由全等三角形的性质得 ， ，得到 是 的面积的两倍，
然后用等面积法求得 和 的关系，进而得到 的长．本题考查了全等三角形的判定
与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高．
【详解】解：∵ 于点D， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
是 的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
