文档内容
专题 19 几何综合
考情概览
考点1 几何综合
考点 1 几何综合
1．（2025·北京·中考真题）在 中， ， ，点 在射线 上，
连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 （点 不在直线 上），
过点 作 ，交直线 于点 ．
(1)如图1， ，点 与点 重合，求证： ；
(2)如图2，点 ， 都在 的延长线上，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形
内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据 ，得出 ，根据旋转可得 ，
，进而证明四边形 是平行四边形，得出 ，
；即可得证；
（2）在 上取一点 ，使得 ，证明 得出 ，
，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出 ，进而得出 ，根
据等角对等边可得 ，则 ，根据三线合一可得 ，进而根据
，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 与点 重合
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
证明：如图，在 上取一点 ，使得
∵
∴
∴ ，
∴
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，又∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
2．（2024·北京·中考真题）已知 ，点 ， 分别在射线 ，
上，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 的垂线交射线
于点 .
(1)如图1，当点 在射线 上时，求证： 是 的中点；
(2)如图2，当点 在 内部时，作 ，交射线 于点 ，用等式表示线段
与 的数量关系，并证明。
【答案】(1)见详解
(2) ，理由见详解
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得
，则 ，故 ，再根据等角的余角相等即
可得到 ，故 ，最后等量代换出 ，即点 是 的中点；
（2）在射线 上取点H，使得 ，取 的中点G，连接 ，可证明，则 ， ，则 ，根据平行线的性质以及
等腰三角形的性质得到 ，则 ，而 ，故可等量代换出
．
【详解】（1）证明：连接 ，
由题意得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点；
（2）解： ，
在射线 上取点H，使得 ，取 的中点G，连接 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，
平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023·北京·中考真题）在 中、 ， 于点M，
D是线段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段
．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，
直接写出 的大小，并证明．【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出
，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出
，设 ， ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形
中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形
是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）在 中， ，D为 内一点，连接 ，
，延长 到点 ，使得
(1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证：
；
(2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，
用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明 ，得出 ，推出
，再由 即可证明 ；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证 ，推出
，通过等量代换得到 ，利用平行线的性质得出
，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到 ．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：补全后的图形如图所示， ，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵ ，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，
勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证
明 是解题的关键．
5．（2021·北京·中考真题）如图，在 中， 为 的中点，点
在 上，以点A为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证
明．
【答案】（1） ， ，理由见详解；（2） ，理由见
详解．
【分析】（1）由题意及旋转的性质易得 ， ，然后可证，进而问题可求解；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得 ，
，易证 ，进而可得 ，然后可得 ，最后根
据相似三角形的性质可求证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示：
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形
的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等
腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．
1．（2025·北京东城·一模）如图，在 中， ，点D在 上
（ ），过点D作 ，交 的延长线于点E，连接 ，以 为底
作等腰 （点E，F在直线 的异侧），连接 ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证： ；
(3)用等式表示线段 与 的数量关系，并证明，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ．理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的
性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，
（1）根据题意补全图形即可；
（2）证明 即可得到结论；（3）延长 到点G，使 ，连接 ．证明 ．得到
．证明 ．得到 ，根据直角三角形的性质
即可得到结论，
【详解】（1）解：补全图形如图．
（2）证明：在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3） ．证明如下：
如图，延长 到点G，使 ，连接 ．
∵ 是以 为底的等腰直角三角形，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴
在 中， ，F为 的中点，
∴ ．
∴ ．
2．（2025·北京顺义·一模）在 中， ，过点B作 ，
，E是 上一点，连接 交 于点G， ．
(1)如图1，用含有α的式子表示 的度数；
(2)如图2，将射线 绕点E顺时针旋转 ，分别交 ， 于点F，H．用等式表示线
段 ， 与 之间的数量关系，并证明．【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析．
【分析】（1）先得出 ，结合 ， ，故
，再整理得 的度数，
（2）延长 交 的延长线于点P，取 的中点J，连接 ，过点B作 于点
Q，作 于点N．结合 ，得证 是 的中位线， 平分 ．
由角平分线的性质得 ， ，运用三角形内角和得出
，再根据等角对等边，则 ，然后证明 ，
故 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：延长 交 的延长线于点P，取 的中点J，连接 ，过点B作
于点Q，作 于点N．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．又∵ ，
∴ ， ．
∴ 是 的中位线， 平分 ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ．
在 中， ．
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
在 与 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025·北京房山·一模）如图，在 中， ， ， 是 边上一
点． 为 的中点．将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．(1)依题意补全图形；
(2)若点N是 的中点，连接 和 ，猜想线段 与 的数量关系和位置关系，并证
明．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判
定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段 与 的数量关系和位置关
系．
（1）根据题意作图即可；
（2）延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ， ，
， ，根据中位线定理可得 ， ， ， ，可得
、 和 都是等腰直角三角形，继而得到 、 和 都是等
腰直角三角形，证明 ，可得 ， ，
，从而得到 ，延长 ， ，相交于点 ，证得 ，即
可得到 ．
【详解】（1）解：如图所示，可得 ， ．
（2）解：如图所示，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，连接， ， ， ， ，
、 、 分别是 、 、 的中点，
， ，
， ，
， ， ，
且 ，
和 都是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
， ，
， ， 是 的中点，
， ，
，
，
、 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
在 和 中，
，，
， ， ，
， ， ，
，
延长 ， ，相交于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
4．（2025·北京平谷·一模）已知线段 ，将线段 绕着点 顺时针旋转
得到线段 ，再将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线
段 ，连接 ，点 恰好在一条直线上．
(1)如图1，求 与 的数量关系；
(2)如图2，当 时，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，取 的中点 ，
连接 ，在 上截取 ，连接 ，依题意补全图形；判断线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)图见解析， ．理由见解析
【分析】（1）由旋转的性质求得 ， ，再利用等边对等角求得
，再根据 ，列式计算即可求解；
（2）先求得 ， ，再证明 是 的平分线，再证明 是等腰直角
三角形，设 ，求得 ，根据线段垂直平分线的性质求得
，据此求得 ．
【详解】（1）解：∵将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ．理由如下：
如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作 于点 ，
∴点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 是 的平分线，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
连接 ，作 于点 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三
角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
5．（2025·北京·一模）如图，在四边形 中， ， 于 ，
于 ， ， 的延长线交 于 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，交 于 ，以 为圆心， 长为半径作弧，交 于 ，连接
．
①依题意补全图形；
②用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析(2)①见解析 ② ；证明见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键．
（1）根据题意 ， ， ，由 ，得到 即可求
解；
（2）①根据题意补全图形即可；②延长 到 ，使 ，连接 ，则
，
由（1）得 ，可证 ，得到 ，即可求解．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
；
（2）解：①依题意补全图形，如图：② 与 之间的数量关系是 ，
证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
，
，
又∵由（1）得 ，
，
∵以 为圆心， 长为半径作弧，交 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
6．（2025·北京石景山·一模）如图，在 中， ， ，D是 的中
点，E是线段 上的动点（不与点B，D重合），连接 ．F是 的中点，线段 绕
点F逆时针旋转α得到线段 ，连接 ．
(1)求 的大小；
(2)连接 ，判断 与 的位置关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆
周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的定义即可解答；
（2）连接 ，连接 ，可得点 在以点 为圆心，以 为半径的圆上，再连
接 并延长交 于点 ，证明 即可解答．
【详解】（1）解： F是 的中点，线段 绕点F逆时针旋转α得到线段 ，
， ，
， ，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ，连接 ，
，D是 的中点，，
F是 的中点，
，
点 在以点 为圆心，以 为半径的圆上，如图，连接 并延长交 于点
，
，
∵ ，
，
，
， ，D是 的中点，
，
，
，
，即 ．
7．（2025·北京朝阳·一模）在正方形 中，E为 边上一点（不与点A，D重合），
将线段 沿直线 翻折，得到线段 ，连接 并延长，与线段 的延长线相交于点
G，连接 ．
(1)依题意补全图形；
(2)求 的度数；(3)用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．
（1）依题意补全图形即可；
（2）设 ，利用正方形和翻折的性质得到 ，
，再利用等腰三角形的性质即可求出 的度数；
（3）作 ，交 的延长线于点H，连接 ，利用正方形和翻折的性质证明
，得到 ， ，推出 是等腰直角三角形，则有
，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：设 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
将线段 沿直线 翻折，得到线段 ，
， ，
，
，
．
（3）解： ，证明如下：
如图2，作 ，交 的延长线于点H，连接 ．，
，
四边形 是正方形，
， ，
，即 ，
将线段 沿直线 翻折，得到线段 ，
， ，
， ，
，
，
， ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
．
8．（2025·北京海淀·一模）如图，在 中， ， ，
于 ，将射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，过点 作 的垂线交
于点 ，交射线 于点 ，连接 ．
(1)依题意补全图形，并求 的大小（用含 的式子表示）；
(2)在 上取点 ，使 ，连接 ．用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据要求画出图形，证明 ，再证明 ，即
可得到结论；
（2）过点 作 于 ，连接DH，证明 ．则 ， ， 在以 为圆
心，BD为半径的圆上．得到 ．证明 ．得到
．求出 ．即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：
如图，∵射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，
∴
．
， 于 ．
∴ ．
∵ 于 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．（2）线段 和 的数量关系为 ．
证明：过点 作 于 ，连接 ，如图所示．
∵ 于 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵由（1）， ，
∴ ．
， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理
直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
9．（2025·北京丰台·一模）如图，在 中， ，
为 延长线上一点，过点 作射线 为射线 上一点（不与点 重合），连
接 ．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，作 ，交射线 于点 ．连接 交 于点 ，若 ，用等
式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质求得 ， ，证明 ，求
得 ，再根据等腰三角形的性质即可证明 ；
（2）先求得 ，作 交 于点 ，证明 ，
，再证明 是 的中位线，据此即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，
旋转的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
10．（2025·北京西城·一模）在 中， ， 为边 上一点，点
与点 关于直线 对称，过点 作 的垂线，交线段 的延长线于点 ，连接 交
直线 于 ，连接 ， ，设 ．
(1)如图，当 时．
①求 的大小（用含 的式子表示）；
②请用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；
(2)当 时，请直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】(1)① ；② ，证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）①连接 ， ，利用等腰直角三角形的性质求得 ，
，再利用四边形内角和来求解；②过点 作 交 于 ,易得，利用全等三角形的性质得到 ，再利用对称性来求解；
（2）利用②的方法来求解．
【详解】（1）解：①连接 ， ，如下图
为边 上一点，点 与点 关于直线 对称，
， ， ，
．
在 中， ，
， ，
．
，
，
，
．
②
证明：过点 作 交 于 ,
∴ .
∵
∴ ,
．
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上，∴ ，
，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，
，
，
，
，
．
（2）
证明：同②的方法．
【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性
质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
11．（2025·北京通州·一模）以 为斜边在它的同侧分别作 和 ，其中
， 交于点 ．
(1)如图1，当 平分 时，求证： ；
(2)如图2，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，过点 作 ，分别交 、
于点 、点 ．①依据题意补全图形；
②求证： 是 的中点．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）过点 作 于点 ，由角平分线的性质得到 ，由
得到 ，即可证明结论；
（2）①按照题意补全图形；②连接 、 ．证明 ，得到 ，
由 及 得到 ，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点 作 于点 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
．
（2）①依据题意补全图形；②证明：如图3，连接 、 ．
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点．【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三
角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键．
12．（2025·北京大兴·一模）已知正方形 ，点E是 边上一点（不与点B，C重
合），将线段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，作射线 ，将射线
绕点A逆时针旋转 得到射线 ，过点D作 交 于点M，连接 ．
(1)求 的大小（用含 的式子表示）；
(2)用等式表示线段 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，
理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键．
（1）延长 交 的延长线于点P，根据平行线的性质得出 ，确
定 ，再由各角之间的等量代换即可得出结果；
（2）过点A作 且 ，连接 ，根据全等三角形的判定和性质得出
， ，确定 ，继续利
用全等三角形的判定和性质证明 ，结合图形利用勾股定理即可得出结
果．
【详解】（1）解：延长 交 的延长线于点P，如图所示：∵ ，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点A作 且 ，连接 ，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，由（1）得 ，
∴ ，
∵将射线 绕点A逆时针旋转 得到射线 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
13．（2025·北京房山·二模）在 和 中，
，连接 ，点 是 的中点，连接 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 的数量关系是______；
(2)如图2，当点 在 内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如
果不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立；证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）延长 交 于点 ，过点 作 ，连接 ，则 ，进而根据等
腰直角三角形的性质得出 ，证明四边形 是矩形，得出 ，即可得
证；
（2）延长 到 ，使得 ，证明 ，进而证明
，得出 ，根据 ，即可得证．
【详解】（1） ，理由如下如图，延长 交 于点 ，过点 作 ，连接 ，则 ，
∵在 和 中， ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
又∵ 是 的中点，
∴
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）证明：如图，延长 到 ，使得 ．
是 的中点，
，
又 ，
．
， ．．
，
．
，
，
．
即 ．
又 ，
．
．
，
．
14．（2025·北京朝阳·二模）在Rt 中， 为射线 上一
点（不与点 重合），将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，线段 与直线
相交于点 ．
(1)如图，当 时，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
(2)若对于任意的点 ，上一问的结论总成立，写出满足条件的 的值，画出相应的图形，
并证明．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) ，图形和证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质
与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。（1）连接 ．由旋转的性质可得 ．可证明 垂直平分 ，得
到 ．则 ，证明 ，则
．即可证明 ．
（2）作 于点 ．证明 ．得到 ．再证明
．得到 ．证明 ．得到 ．则 ．再证明
．即可证明 ．
【详解】（1）解： ，证明如下：
如图所示，连接 ．
由题意可知， ．
，
∴ 垂直平分 ，
．
．
，
∴ ，
∴ ，
．
．
（2）解： ．证明如下：
如图，作 于点 ．由题意可知， ．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
15．（2025·北京大兴·二模）如图，在 中， ， ， 为
内一点， ，其中 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段
，连接 ，作直线 交 于点 ．(1)求 的度数；
(2)用等式表示 ， ， 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】（1）利用 证明 ，即可求得 ；
（2）过点 作 交 于点 ，求得 ，再证明 ，求得
，在 和 中，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： ，
．
即 ，
又 ，
，
；
（2）解：用等式表示线段 ， ， 的数量关系为： ，
证明：过点 作 交 于点 ，
在 中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
在 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
16．（2025·北京石景山·二模）如图 ，在 中， ， ， 是
边上一点（不与点 ， 重合），线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接．
(1)求 的度数．
(2)如图 ，连接 ， 是 中点， 是 中点，连接 ， ，用等式表示线段
与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（ ）在 上取点 ，使得 ，可证 ，可得
，再根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而即可求解；
（ ）延长 与 交于点 ，连接 ， ， ，由等腰直角三角形的性质可得
， ， ，再证明 ，可证
，可得 ， ，即得 ，即可证明
，得到 ， ，即得到 为等腰直角三角
形，进而即可求证．
【详解】（1）解：在 上取点 ，使得 ，∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．
证明：延长 与 交于点 ，连接 ， ， ，
∵ ， ， 是 中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线
是解题的关键．
17．（2025·北京西城·二模）如图，在 中， ， ，
点 为边 上一点（ ），连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，连接 交 于点 ，连接 ．(1)求证： 平分 ；
(2)若点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，连接 ，补全图形，用等式表示线
段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)详见解析
(2) ，图见解析，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定
和性质是关键．
（1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）按照题意补全图形，证明 ， ， ．即可得到结论；
【详解】（1）证明：∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 平分 ．
（2）解：补全图形如图所示．
线段 与 之间的数量关系： ．
证明：在 上取点 ，使得 ，连接 ．
∵ ，∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
设 ， ，则 ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
18．（2025·北京丰台·二模）在 中， ， ， 是 内一动点，
连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，当点 与点 重合时，求证： ；
(2)如图2，当点 在 外部时， 与 交于点 ，取 中点 ，连接 、 ，
直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) 的大小为 ，见解析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到 ，进而得出
，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）延长 至点G，使得 ，连接 、 ， ．证明 ，
从而得到 ，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到 进而证明
，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
【详解】（1）证明：由题意可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解： 的大小为 ．证明如下：
如图，延长 至点G，使得 ，连接 、 ， ．
∵ 是 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．∴ ．
∴ ，
∵ ， ，
∴在四边形 中， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
19．（2025·北京顺义·二模）如图，在 中， ， ，
是线段 上的动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 顺时针旋转 得到线
段 ，连接 ．
(1)连接 ，求 的大小（用含 的代数式表示）；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）过点 作 于点H，由旋转的性质得： ，易证 是等腰三角形，进而推出 ，求出 ，根据
，即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明
，再根据 证明 得 ，得到 ，再根据
平行线分线段成比例定理可得结论
【详解】（1）解：过点 作 于点H，
由旋转的性质得： ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：①如图所示.
② ，
证明：取 中点P，连接 ，
∵ ， ，
，
又 ， ，，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 点 中点，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的
一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构
造相似三角形是解题的关键．
20．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形 中， ， 是线段
上一点（ ），连接 ，过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，交
延长线于点 ．
(1)依题意补全图形；
(2)若 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
(3)若点 在线段 上，且 ，连接 ，用等式表示 ， ， 之间的数量
关系并证明．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键；
（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）如图2，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，证明 ，
得出 ，可得 ， 、 是等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：补全图形，如图1，
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ，理由如下：
如图2，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，
，
，
，
， ，
，
， ，，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
、 、 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
设 ， ，
， ，
，
．
21．（2025·北京海淀·二模）在 中， 为 上一点，将线
段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ．
(1)如图1，若点 在线段 上，求证： ；
(2)如图2，若 ，点 关于点 的对称点为点 ，连接 ．
①依题意补全图2；
②直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② ，理由见解析【分析】（1）根据旋转得出 ，证明 ，根据等腰三角形
判定得出 ，即可得出答案；
（2）①先作出对称点F，再连接即可；
②，连接 ，取 的中点 ，连接 ，证明 ，得出
，证明 ．得出 四点在以点 为圆心， 为
半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据 ，求出结果
即可．
【详解】（1）证明： 线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
，
．
，
，
．
（2）解：①补全图形如图：
② ．
证明：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ．
点 关于点 的对称点为 ，．
为 的中点，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
．
四点在以点 为圆心， 为半径的圆上．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和
性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性
质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
