(398)--专题一求极限的方法和技巧03笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题1-3 求极限的题型方法和技巧 （P29-43） 主讲 武忠祥 教授 2. “ ”型极限  常用的方法有两种 1）洛必达法则 2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大 ln(x 3  1) 【例1】求极限 lim . x ln(x 2  2) 2 3x 【解1】 lim ln(x 3  1)  lim x 3  1  3 lim x(x 2  2)  3 x ln(x 2  2) x 2x 2 x x 3  1 2 x 2  2ln(x 3  1) 【例1】求极限 lim . x ln(x 2  2) 1 3ln x  ln(1  ) 3 【解2】原式 x  lim 1 x 2ln x  ln(1  ) 2 x1  x e t 2 t 2 dt (x  1)e 2  1 2 【例2】求极限 lim 1  lim 积分中值定理 x  x (1  1 ) t 4 dt x (x  1)(1  1 ) c 4 1 t 2 c 2 x 2 1 x 2 1 x 2 1 e x 2 e x 2 e x 2 【解】 原式  lim  lim  lim  1 x (1  1 ) x 4 x [(1  1 ) x 2 ] x 2 x e x 2 x 2 x 2 2 x e 经典的错误 标准的0分  lim 1 x x 4 ln(1 ) 2 e x 1 x 2x 4 ln(1 )  lim e x 2 x 1  e2   3. “ ”型极限 常用的方法有三种 0 1）通分化为 （适用于分式差） 0 2）根式有理化（适用于根式差） 3）提无穷因子然后等价代换 1 cos 2 x  【例1】求极限 lim     2 2 x0 sin x x   1 cos 2 x  x 2  sin 2 x cos 2 x 【解】 lim    lim (cos 2 x  1  sin 2 x) 2 2 4 x0 sin x x  x0 x x 2  sin 2 x sin 4 x  lim  lim 4 4 x0 x x0 x x  sin x x  sin x  lim  lim  1 3 x0 x x0 x 1 4   1  3 31 1 【例2】求极限 lim[  ]. x0 ln(1  x) x   x ln(1  t)dt 0 x x   ln(1  t)dt  ln(1  x) 【解】原式  lim 0 x x0 [x   ln(1  t)dt]ln(1  x) 0 x x   ln(1  t)dt  ln(1  x)  lim 0 x0 x ln(1  x) x  ln(1  t)dt x  ln(1  x)  lim  lim 0 x0 x 2 x0 x 2 1 2 x ln(1  x) 2  lim  lim  1 2 x0 x x0 2x  【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5 x  5  2x 【解1】原式  lim 6 x 6  x 5  6 1   1    x x 6  x 5    1 2x 5   lim 6 x 6  x 5   （等价无穷小代换） x  6 x 6  x 5  1  1 2x 6   lim 6 1    x x  6 x 6  x 5  1  3  【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5 x  1 1  【解2】原式  lim x 6 1   6 1   x  x x   1 1   lim x[6 1   1][6 1   1] x  x x   1 1   lim x[ ][ ] （等价无穷小代换） x  6x 6x  1  35     6   x 5 1 【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5  lim 2x 5  lim  5 x x 6 x 3 36 5   1 1   6  2  1 【解3】原式  lim x 6 1   6 1    lim x    x  x x  x 6  x  3  1 1 1 1   lim x[1  ( )] [1  ( )] 【解4】拉格朗日 x  6x x 6x x  x 1  lim [  x ( )] x 3x x 1  3 x  1  【例4】求极限 lim  x 3 ln  2x 2  x x  1   x  1 2  【 解 】 原 式  lim x 3  ln   x  x  1 x   1   1   2 x  lim x 3 ln   x  1 x   1    x   1 1 2   lim x 3  ln(1  )  ln(1  )   x  x x x   1 1 1 1 1 1 1 1 2   lim x 3 (   ( ))  (   ( )   2 3 3 2 3 3 x  x 2x 3x x x 2x 3x x x   2 1  2  lim x 3  ( )  3 3 x  3x x  3  4. “ 0 ”型极限  0 常用的方法是化为 或  0【例1】求极限 lim ln x  ln(x  1  x 2 )  x0 1 ln(x  1  x 2 ) 1  x 2 【解1】原式  lim  lim x0  1 x0   1 2 ln x x ln x 2 ln x   lim x ln 2 x   lim x0  x0  1 x 1 1 2ln x  ln x x x   lim  2 lim  2 lim  0 x0  1 x0  1 x0  1   x 2 x x 2【例1】求极限 lim ln x  ln(x  1  x 2 )  x0 【解2】原式  lim x ln x  x0 x  【例2】求极限 lim x  arctan . x  4 x  1  x  arctan 【解1】原式 4 x  1  lim 1 x x 1 (x  1)  x   x (x  1) 2 1  ( ) 2 x  1  lim （洛必达法则） 1 x  2 x 2 x 1  lim  x 2x 2  2x  1 2 x  【例2】求极限 lim x  arctan . x  4 x  1  x  【解2】原式  lim xarctan1  arctan . x  x  1 x  x   lim 1  . x 1 2  x  1 1 x  lim 2 x 1  x 1  2 5.“ 1 ”型极限 常用的方法有三种 1 1）凑基本极限 lim[1 (x)] (x)  e; 其中 lim(x)  0 ((x)  0). 2）改写成指数 lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x) 用洛必达法则； 3）利用结论：若 且 lim(x)  0,lim(x)  , lim(x)(x)  A. 则 lim(1 (x)) (x)  e A 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ; 2)求极限 lim(x)(x)  A; 3)写结果 原式  e A .1  ln(1  x) e x1 【例1】求极限 lim  . x0  x  1  ln(1  x)  x  e x1 【解】 原式  lim1   x0  x  1  x 2 ln(1  x)  x 1 1 2 lim  lim   x  ln(1  x) ~ x 2 x0 x(e x  1) x0 x 2 2 2 1  原式  e 21  1  x  (1  x)x  【例2】求极限 lim .   x0 e    1 1  1   1  x x  (1  x)x   (1  x)x  e  【解1】由于  1      e e     1      1  x  (1  x)x   1 1 ln(1x) lim  e 2   (1  x)x  e 1 e x  e x0 e  而 lim  lim   x0 xe e x0 x ln(1  x)  x  e 1 ln(1  x)  x x  lim  lim e x0 x x0 x 2 1  x 2 1 2  lim   2 x0 x 21  1  x  (1  x)x  【例2】求极限 lim .   x0 e    1  1  ln(1  x) x  1  (1  x)x  【解2】 x lim ln    lim x0  e  x0 x   ln(1  x)  x  lim 2 x0 x 1  x 2 1 2  lim   2 x0 x 2 1  1  x  (1  x)x   1 lim  e 2   x0 e   1  1  x  (1  x)x  【例2】求极限 lim .   x0 e    1 ln(1x) (1  x)x 2 e x 2 【解3】原式  lim  lim 1 1 x0 x0 e x e x ln(1x)x  lim e x 2 x0 1  x 2 2  lim e x 2 x0 1   e 22 n  1  【例3】求极限 lim ntan  n n  2 n  1  【解】原式  lim1  ntan  1 n n   1  1 1 1 1 1 lim ntan  1n 2  lim(tan  )n 3  lim( )n 3  n n  n n n n 3 n 3 3 1 原式  e3 1 【例4】求极限 lim tan n (  ). n 4 n n   1  【解】原式  lim 1  tan(  )  1   n 4 n   1  tan(  )  tan   1    1  lim  tan(  )  1  n  lim  tan(  )  tan  n  lim 4 n 4 n 4 n  n 4 n 4  n 1 n  1   lim sec 2 n  2  sec 2  2   n n 4 原式  e 2  1 1 【例5】设 0  a  b, 求极限 lim  [bx  a(1  x)] t dx t t0 0 1 1 1 【解】 [bx  a(1  x)] t dx   [bx  a(1  x)] t d[bx  a(1  x)] 0 b  a 0 1 [bx  a(1  x)] t1 b t1  a t1   (b  a)(t  1) (b  a)(t  1) 0 1 1   1  b t1  a t1  t b t1  a t1  t 1 1 lim  [bx  a(1  x)] t dx t  lim    lim    lim(1  t) t t  0 0 t0 (b  a)(t  1) t0  b  a  t0 1 1  b t1  a t1  b  a t  b b  ba  e 1 lim  1   原式  e 1    t0  b  a  a a   1 b t1  a t1  b  a b t1 ln b  a t1 ln a blnb  a lna  b b  ba lim  lim   ln     t0 (b  a)t t0 b  a b  a a a  6.“ 0 0 ”型极限 ,0 lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x) 【例1】求极限 sin2x lim (cot x) .  x0 【解1】 lim (cot x) sin2x lim e sin2xlncot x   x0 x0 lim sin 2x lncot x  lim 2x lncot x   x0 x0  csc 2 x lncot x  2 lim  2 lim cot x lim (cot x) sin2x  e 0  1. x0  1 x0  1 x0   x x 2  2 lim tan x  0  x0【例1】求极限 sin2x lim (cot x) .  x0 【解2】 lim (cot x) sin2x lim e sin2xlncot x   x0 x0 lim sin 2x lncot x  lim 2sin x cos x[ln cos x  ln sin x]   x0 x0  2 lim sin x ln sin x  x0  0 lim (cot x) sin2x  e 0  1.  x0（二）数列的极限 n 1. 项和的数列极限 1）夹逼原理 2）定积分定义 3）分项相消2 n e e e 【例1】求极限 lim[     ]. n e n  n e n  2n e n  n 2 e  e 2    e n e e 2 e n e  e 2    e n 【解】  [     ]  e n  n 2 e n  n e n  2n e n  n 2 e n  n e(1  e n ) e  e 2    e n 1  e e e lim  lim  原式  n e n  n 2 n e n  n 2 e  1 e  1 e(1  e n ) e  e 2    e n 1  e e lim  lim  n e n  n n e n  n e  1n  1 1 1  【例2】求极限 lim       n n 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n  n n n  n   1 1 1   n  【解】              n 2  n  n   n 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n   n 2  n  1 n n  n   n 2  n  n  n 1 lim    lim   n   n n 2  n  n  n  n  同理 lim    e 2 n n 2  n  1 n   1 1  2  lim 1     n n n n 1   e 21  1 2 n  【例3】求极限 lim      ; n n  n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2    1 2 n   1 【解】原式  lim  n  n    n  ; n n  1 2 n   1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2   n n n  x 1 1   dx  1  x 2 0 1  x 2 0  2  11 2 n n n 【例4】求极限 lim(     ) lim  n n 2  1 2  1 n 2  2 2  2 n 2  n 2  n n n 2  k 2  1 k1 n k k k 【解】由于    ，则 n  1 n 2  k 2 n 2  k 2  k n 2  k 2 n 1 2 n 1 2 n (     )      n  1 n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2  1 2  1 n 2  2 2  2 n 2  n 2  n ； 1 2 n      n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 1 2 n 1 2 n 1 lim(     )  lim [ n  n    n ] n n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 n n 1 2 n 1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2 n n n x 1 ln 2   dx  0 1  x 2 21 2 n 【例5】求极限 lim[     ] n 2! 3! (n  1)! n (n  1)  1 1 1 【解1】由于    (n  1)! (n  1)! n! (n  1)! 1 2 n 1 1 1 1 1 1 lim[     ]  lim[(  )  (  )    (  )] n 2! 3! (n  1)! n 1! 2! 2! 3! n! (n  1)! 1  lim[1  ] n (n  1)!  11 2 n 【例5】求极限 lim[     ] n 2! 3! (n  1)!  n1 nx 【解2】令  ，则 S(x)  (n  1)! n1  1 2 n n  lim[     ]   S(1) n 2! 3! (n  1)! (n  1)! n1  nx n1  [(n  1)  1]x n1   S(x)   (n  1)! (n  1)! n1 n1  n1  n1 x x      x(e x  1)  (e x  1  x) n! (n  1)! n1 n1 1 2 n lim[     ]  S(1)  1 n 2! 3! (n  1)!n 3. 项连乘的数列极限 常用方法: 1）夹逼原理 2）取对数化为n项和 3）消去分子分母的公因子 【例1】求极限 2 lim n (n  1)(n  2)(2n). n 【解1】 n 2 (n  1) n  n 2 (n  1)(n  2)(2n)  n 2 (2n) n lim n 2 (2n) n  lim n 2  lim n n  1 n n n ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n) 【解2】 ln n 2 (n  1)(n  2)(2n)  2 n nln(2n) ln 2 ln n    2 n n n1 2 n 【例2】求极限 lim n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n n n n n 1 2 n 【解】令 y  n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n n n n n 1  1 2 1  ln y  ln(1  )  2ln(1  )    nln(1  )   n 2 n  n n n  1 1 1 2 2 n 1   ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )   n n n n n n n  1 1 lim ln y   x ln(1  x)dx  n n 0 4 1 1 2 n lim n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n  e4 n n n n1 2 n 【例3】设 x  (1  )(1  )(1  ), 则 lim x  _______. n n n 2 n 2 n 2 n 1 2 n 【解】 ln x  ln(1  )  ln(1  )  ln(1  ) n 2 2 2 n n n x 当 时， 则 x  0  ln(1  x)  x, 1  x k k k 2 k k n    ln(1  )  n 2  n n 2  k k n 2 n 2 1  2 n n n k k    ln x  n 2  n n n 2 k1 k1 1 1 n(n  1) n(n  1) n k 1 n k 1  2  2 lim  lim  lim  lim  n n 2 n n 2 2 n n 2  n n n 2  n 2 k1 k1 1 1 则 li m ln x  lim x  e2 . n n n 2 n1 1 1 【例4】求极限 lim(1  )(1  ) (1  ) 2 2 2 n 2 3 n 1 3 2 4 3 5 (n  1) (n  1) 【解】原式  lim( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 n 2 3 4 n 1 n  1 1  lim   n 2 n 23.递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列 1 n1 n 1）常用方法 方法1 1）证明极限 lim x 存在（单调有界准则); n n 2）令 lim x  A. 由 A  f (A) 解得 A. n n 方法2 1）令 lim x  A. 由 A  f (A) 解得 A. n n 2）证明 lim x  A. （夹逼原理） n n2）单调性和有界性判定常用不等式 a  b  c 1 ） 2ab  a 2  b 2 ;3 abc  (a  0,b  0,c  0); 3  有界性判定常用三种方法 2) sin x  x  tan x (0  x  ); 2 x 1）归纳法   3 ）  ln(1  x)  x 0  x   ; 1  x 2）常用不等式 3）单调性判定常用三种方法 3）若数列递增（减） x 1) x  x  0 ( 0), 2）若  x  不变号，且 n1  1 ( 1), n1 n n x 则极限为上（下）界. n   3）设数列 x 由 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 所确定 n 1 n1 n （1）若 单调增，则 f (x) 当 x  x 时， x  单调增； 当 x  x 时， x  单调减； 1 2 1 2 n n   （2）若 单调减，则 不单调； f (x) x n1  1  【例1】 设 x  0, x   2x  ， n  1,2,, 求极限 lim x . 1 n1 n 2 n 3  x  n n 【解】由题设知 x  0, 且 n 1  1  1 x   x  x    x  x   1 3 n1 3 n n x 2  n n x 2 n n x 1  1  1  1 n1  2   2   1     3 x 3  x  3  1 n n   则数列 x 单调减且下有界，极限 lim x 存在，设 lim x  a. n n n n n 1 1  a  2a   由此解得 a  1 2 3 a 【例2】设 x  2,x  2  2,, x  2  2  2    2 , 求极限 lim x . 1 2 n n n 1 【解1】 x  2  x , 令 f (x)  2  x, 由于 f  (x)   0, n1 n 2 2  x 则 f (x) 单调增，又 x  x , 则 {x } 单调增. 1 2 n x  2  2, 若 x  2, 则 x  2  x  2, 1 n1 n n1   从而, 数列 x 上有界，则 lim x 存在，设 lim x  A. 则 n n n n n A  2  A 解得 A  2 或 A   1（舍去）则 lim x  2. n n【例2】设 x  2,x  2  2,, x  2  2  2    2 , 求极限 lim x . 1 2 n n n 【解2】直接证明 lim x  2 n n 由 知 x  2  x n n1 x  2 x  2  2  x  2  n1 n n1 2  x  2 n1 1 1  x  2   x  2 n1 n1 1 2 2 则 l im x  2. n n1 2 1 x 【例3】设数列  x  由 x (,) 和 x  x    n e t 2 dt(n  1,2,) n 1 n1 n 3 3 2 1 所确定, 证明：极限 lim x 存在并求此极限. n n 1 2 1 【分析】令 f (x)  x    x e t 2 dt, 则 x  f (x ) ，且 f  (x)  1  1 e x 2 n1 n 3 3 2 1 3 2 由于  可正可负，则数列   的单调性不能确定，因此考虑方法2. f (x) x n 1 2 1 a 【证1】令 lim x  a. 则 a  a    e t 2 dt, 显然 a  1 满足该方程，令 n n 3 3 2 1 1 2 1 x 2 1 F(x)  x  x    e t 2 dt, 则 F  (x)   e x 2  0, 故 a  1 是原方程唯一根. 3 3 2 1 3 2 2 1 1 x 1 1 x 1 e x  1  (x  1)   n1 e t 2 dt  x  1   n1 e t 2 dt  x  1  x  1 n 3 n1 2 1 3 n1 2 1 3 n1 2 n1 n1 1 1 5  5   x  1  x  1  x  1      x  1  0 n1 n1 n1 1 3 2 6  6 1 2 1 x 【例3】设数列  x  由 x (,) 和 x  x    n e t 2 dt(n  1,2,) n 1 n1 n 3 3 2 1 所确定, 证明：极限 lim x 存在并求此极限. n n  【证2】(数学二不要求）数列  x  收敛等价于级数  (x  x ) n n n1 n1 1 2 1 1 1 x 收敛.以下证明该级数收敛.这里 f (x)  x    e t 2 dt, f  (x)   e x 2 3 3 2 1 3 2 x  x  f (x )  f (x ) n n1 n1 n2  f  ( ) x  x （拉格朗日定理） n1 n1 n 2 n1 5  5  x  x      x  x n1 n2 1 0 6  6   5 由于级数  ( ) n 收敛,则级数  (x  x ) 收敛,从而极限 lim x 存在.令 lim x  a. n n1 n n 6 n n n1 n11 【例4】设 x  1, x  1  (n  1,2,), 求极限 lim x . 1 n1 x  1 n n n 1 【分析】令 f (x)  1  , 则 x  f (x ) ，显然 f (x) 在 x  0 x  1 n1 n   处单调减，则 不具有单调性，因此用方法2. x n 1 1 【解】令 lim x  A. 则 lim x  lim(1  ), 即 A  1  , n n n n1 n x  1 A  1 n 则 A   2, 由于 x  1, n 则 A  2. 以下证明 lim x  2. n n 1 1 x  A x  A  (1  )  (1  )  n1 n x  1 A  1 (A  1)(x  1) n1 n1 x  A x  A x  A  n1  n2    1  0 (n  ) 2 n1 2 2 2关于几个网传结论：   1）若 x  f (x ), 且 f  (x)  k  1, 则数列 x 收敛. n1 n n 2）若 x  f (x ),a  f (a), 且 f  (x)  k  1, 则 lim x  a. n1 n n n 3）压缩映射原理二. 求极限常见的题型 （一）函数的极限 0  7 种不定式.即 0     1  0 0 0 0  0  重点 1 0 （二）数列的极限 n 1. 项和的数列极限 n 2. 项积的数列极限 3. 递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列 1 n1 n祝同学们 考研路上一路顺利！