(398)--专题一求极限的方法和技巧03笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题1-3 求极限的题型方法和技巧
（P29-43）
主讲 武忠祥 教授
2. “ ”型极限

常用的方法有两种
1）洛必达法则
2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
ln(x 3  1)
【例1】求极限
lim .
x ln(x 2  2)
2
3x
【解1】 lim ln(x 3  1)  lim x 3  1  3 lim x(x 2  2)  3
x ln(x 2  2) x 2x 2 x x 3  1 2
x 2  2ln(x 3  1)
【例1】求极限
lim .
x ln(x 2  2)
1
3ln x  ln(1  )
3
【解2】原式 x
 lim
1
x
2ln x  ln(1  )
2
x1

x
e
t 2
t 2 dt (x  1)e
2

1
2
【例2】求极限
lim 1  lim 积分中值定理
x  x (1  1 ) t 4 dt x (x  1)(1  1 ) c 4
1 t 2 c 2
x 2 1 x 2 1 x 2 1
e x 2 e x 2 e x 2
【解】 原式
 lim  lim  lim  1
x (1  1 ) x 4 x [(1  1 ) x 2 ] x 2 x e x 2
x 2 x 2
2
x
e 经典的错误 标准的0分
 lim
1
x x 4 ln(1 )
2
e x
1
x 2x 4 ln(1 )
 lim e x 2
x
1
 e2  
3. “ ”型极限
常用的方法有三种
0
1）通分化为 （适用于分式差）
0
2）根式有理化（适用于根式差）
3）提无穷因子然后等价代换 1 cos 2 x 
【例1】求极限
lim  
 
2 2
x0 sin x x 
 1 cos 2 x  x 2  sin 2 x cos 2 x
【解】
lim    lim (cos 2 x  1  sin 2 x)
2 2 4
x0 sin x x  x0 x
x 2  sin 2 x sin 4 x
 lim  lim
4 4
x0 x x0 x
x  sin x x  sin x
 lim  lim  1
3
x0 x x0 x
1 4
  1 
3 31 1
【例2】求极限 lim[  ].
x0 ln(1  x) x   x ln(1  t)dt
0
x
x   ln(1  t)dt  ln(1  x)
【解】原式  lim 0
x
x0 [x   ln(1  t)dt]ln(1  x)
0
x
x   ln(1  t)dt  ln(1  x)
 lim 0
x0 x ln(1  x)
x
 ln(1  t)dt
x  ln(1  x)
 lim  lim 0
x0 x 2 x0 x 2
1
2
x
ln(1  x)
2
 lim  lim  1
2
x0 x x0 2x 
【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5
x
 5 
2x
【解1】原式  lim 6 x 6  x 5  6 1   1 
 
x x 6  x 5
 
 1 2x 5 
 lim 6 x 6  x 5   （等价无穷小代换）
x  6 x 6  x 5 
1  1 2x 6 
 lim 6 1   
x x  6 x 6  x 5 
1

3 
【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5
x
 1 1 
【解2】原式  lim x 6 1   6 1  
x  x x 
 1 1 
 lim x[6 1   1][6 1   1]
x  x x 
 1 1 
 lim x[ ][ ] （等价无穷小代换）
x  6x 6x 
1

35

   6   x 5 1
【例3】求极限 lim 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5  lim 2x 5  lim 
5
x x 6 x 3
36
5

 1 1   6  2  1
【解3】原式  lim x 6 1   6 1    lim x   
x  x x  x 6  x  3
 1 1 1 1 
 lim x[1  ( )] [1  ( )] 【解4】拉格朗日
x  6x x 6x x 
x 1
 lim [  x ( )]
x 3x x
1

3 x  1 
【例4】求极限 lim  x 3 ln  2x 2 
x x  1 
 x  1 2 
【 解 】 原 式  lim x 3  ln  
x  x  1 x 
 1 
 1  
2
x
 lim x 3 ln  
x  1 x 
 1  
 x 
 1 1 2 
 lim x 3  ln(1  )  ln(1  )  
x  x x x 
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 
 lim x 3 (   ( ))  (   ( )  
2 3 3 2 3 3
x  x 2x 3x x x 2x 3x x x 
 2 1 
2
 lim x 3  ( ) 
3 3
x  3x x 
3 
4. “ 0 ”型极限

0
常用的方法是化为 或

0【例1】求极限 lim ln x  ln(x  1  x 2 )

x0
1
ln(x  1  x 2 ) 1  x 2
【解1】原式  lim  lim
x0  1 x0   1
2
ln x x ln x
2
ln x
  lim x ln 2 x   lim
x0  x0  1
x
1 1
2ln x 
ln x
x x
  lim  2 lim  2 lim  0
x0  1 x0  1 x0  1
 
x 2 x x 2【例1】求极限
lim ln x  ln(x  1  x 2 )

x0
【解2】原式  lim x ln x

x0 x 
【例2】求极限 lim x  arctan .
x  4 x  1
 x
 arctan
【解1】原式 4 x  1
 lim
1
x
x
1 (x  1)  x
 
x (x  1) 2
1  ( ) 2
x  1
 lim （洛必达法则）
1
x

2
x
2
x
1
 lim 
x 2x 2  2x  1 2 x 
【例2】求极限 lim x  arctan .
x  4 x  1
 x 
【解2】原式  lim xarctan1  arctan .
x  x  1
x  x 
 lim 1  .
x 1 2  x  1
1 x
 lim
2 x 1  x
1

2
5.“ 1 ”型极限
常用的方法有三种
1
1）凑基本极限 lim[1 (x)] (x)  e; 其中 lim(x)  0 ((x)  0).
2）改写成指数 lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x) 用洛必达法则；
3）利用结论：若 且
lim(x)  0,lim(x)  , lim(x)(x)  A.
则 lim(1 (x)) (x)  e A
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ;
2)求极限 lim(x)(x)  A;
3)写结果 原式  e A .1
 ln(1  x)
e
x1
【例1】求极限
lim  .
x0  x 
1
 ln(1  x)  x 
e
x1
【解】 原式
 lim1  
x0  x 
1
 x 2
ln(1  x)  x 1 1
2
lim  lim   x  ln(1  x) ~ x 2
x0 x(e x  1) x0 x 2 2 2
1

原式  e 21
 1 
x
 (1  x)x 
【例2】求极限
lim .
 
x0 e

 
1 1
 1   1 
x x
 (1  x)x   (1  x)x  e 
【解1】由于
 1 
   
e e
   
1
   
 1 
x
 (1  x)x   1
1 ln(1x)
lim  e 2
 
(1  x)x  e 1 e x  e x0 e 
而 lim  lim
 
x0 xe e x0 x
ln(1  x)  x

e
1 ln(1  x)  x
x
 lim  lim
e x0 x x0 x 2
1
 x 2
1
2
 lim  
2
x0 x 21
 1 
x
 (1  x)x 
【例2】求极限
lim .
 
x0 e

 
1
 1  ln(1  x)
x
 1
 (1  x)x 
【解2】 x
lim ln    lim
x0  e  x0 x
 
ln(1  x)  x
 lim
2
x0 x
1
 x 2
1
2
 lim  
2
x0 x 2
1
 1 
x
 (1  x)x   1
lim  e 2
 
x0 e 
 1
 1 
x
 (1  x)x 
【例2】求极限
lim .
 
x0 e

 
1 ln(1x)
(1  x)x 2 e x 2
【解3】原式  lim  lim
1 1
x0 x0
e x e x
ln(1x)x
 lim e x 2
x0
1
 x 2
2
 lim e x 2
x0
1

 e 22
n
 1 
【例3】求极限
lim ntan 
n n 
2
n
 1 
【解】原式  lim1  ntan  1
n n 
 1  1 1 1 1 1
lim ntan  1n 2  lim(tan  )n 3  lim( )n 3 
n n  n n n n 3 n 3 3
1
原式  e3 1
【例4】求极限 lim tan n (  ).
n 4 n
n
  1 
【解】原式  lim 1  tan(  )  1
 
n 4 n 
 1 
tan(  )  tan
  1    1 
lim  tan(  )  1  n  lim  tan(  )  tan  n  lim 4 n 4
n 4 n  n 4 n 4 
n
1
n
 1 
 lim sec 2 n  2  sec 2  2
 
n n 4
原式  e 2 
1
1
【例5】设 0  a  b, 求极限 lim  [bx  a(1  x)] t dx t
t0 0
1 1 1
【解】 [bx  a(1  x)] t dx   [bx  a(1  x)] t d[bx  a(1  x)]
0 b  a 0
1
[bx  a(1  x)] t1 b t1  a t1
 
(b  a)(t  1) (b  a)(t  1)
0
1 1
  1  b t1  a t1  t b t1  a t1  t 1
1
lim  [bx  a(1  x)] t dx t  lim    lim    lim(1  t) t
t  0 0 t0 (b  a)(t  1) t0  b  a  t0
1
1
 b t1  a t1  b  a t  b b  ba
 e
1
lim  1   原式  e 1 
 
t0  b  a  a a
 
1
b
t1
 a
t1
 b  a b
t1
ln b  a
t1
ln a blnb  a lna  b b  ba
lim  lim   ln  
 
t0 (b  a)t t0 b  a b  a a a
 6.“ 0 0 ”型极限
,0
lim[ f (x)] g(x)  lime g(x)ln f (x)
【例1】求极限 sin2x
lim (cot x) .

x0
【解1】
lim (cot x)
sin2x
lim e
sin2xlncot x
 
x0 x0
lim sin 2x lncot x  lim 2x lncot x
 
x0 x0
 csc 2 x
lncot x
 2 lim  2 lim cot x lim (cot x) sin2x  e 0  1.
x0  1 x0  1 x0 

x x 2
 2 lim tan x  0

x0【例1】求极限 sin2x
lim (cot x) .

x0
【解2】
lim (cot x)
sin2x
lim e
sin2xlncot x
 
x0 x0
lim sin 2x lncot x  lim 2sin x cos x[ln cos x  ln sin x]
 
x0 x0
 2 lim sin x ln sin x

x0
 0
lim (cot x) sin2x  e 0  1.

x0（二）数列的极限
n
1. 项和的数列极限
1）夹逼原理
2）定积分定义
3）分项相消2 n
e e e
【例1】求极限
lim[     ].
n e n  n e n  2n e n  n 2
e  e 2    e n e e 2 e n e  e 2    e n
【解】
 [     ] 
e n  n 2 e n  n e n  2n e n  n 2 e n  n
e(1  e n )
e  e 2    e n 1  e e e
lim  lim  原式 
n e n  n 2 n e n  n 2 e  1 e  1
e(1  e n )
e  e 2    e n 1  e e
lim  lim 
n e n  n n e n  n e  1n
 1 1 1 
【例2】求极限
lim    
 
n n 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n 
n n n
 n   1 1 1   n 
【解】
    

     
 n 2  n  n   n 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n   n 2  n  1
n n
 n   n 2  n  n 
n 1
lim    lim   n  
n n 2  n  n  n  n  同理 lim    e 2
n n 2  n  1
n

 1 1 
2
 lim 1  
 
n n n n
1

 e 21  1 2 n 
【例3】求极限 lim      ;
n n  n 2  1 n 2  2 2 n 2  n 2 
 
1 2 n
 
1
【解】原式  lim  n  n    n  ;
n n  1 2 n 
 1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2 
 n n n 
x
1 1
  dx  1  x 2
0 1  x 2 0
 2  11 2 n n n
【例4】求极限 lim(     ) lim 
n n 2  1 2  1 n 2  2 2  2 n 2  n 2  n n n 2  k 2  1
k1
n k k k
【解】由于
   ，则
n  1 n 2  k 2 n 2  k 2  k n 2  k 2
n 1 2 n 1 2 n
(     )     
n  1 n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 n 2  1 2  1 n 2  2 2  2 n 2  n 2  n
；
1 2 n
   

n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2
1 2 n
1 2 n
1
lim(     )  lim [ n  n    n ]
n n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 n n 1 2 n
1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2
n n n
x
1 ln 2
  dx 
0 1  x 2 21 2 n
【例5】求极限 lim[     ]
n 2! 3! (n  1)!
n (n  1)  1 1 1
【解1】由于
  
(n  1)! (n  1)! n! (n  1)!
1 2 n 1 1 1 1 1 1
lim[     ]  lim[(  )  (  )    (  )]
n 2! 3! (n  1)! n 1! 2! 2! 3! n! (n  1)!
1
 lim[1  ]
n (n  1)!
 11 2 n
【例5】求极限 lim[     ]
n 2! 3! (n  1)!
 n1
nx
【解2】令  ，则
S(x) 
(n  1)!
n1

1 2 n n

lim[     ]   S(1)
n 2! 3! (n  1)! (n  1)!
n1
 nx n1  [(n  1)  1]x n1
 
S(x)  
(n  1)! (n  1)!
n1 n1
 n1  n1
x x
 
   x(e x  1)  (e x  1  x)
n! (n  1)!
n1 n1
1 2 n
lim[     ]  S(1)  1
n 2! 3! (n  1)!n
3. 项连乘的数列极限
常用方法: 1）夹逼原理
2）取对数化为n项和
3）消去分子分母的公因子
【例1】求极限 2
lim n (n  1)(n  2)(2n).
n
【解1】 n 2 (n  1) n  n 2 (n  1)(n  2)(2n)  n 2 (2n) n lim n 2 (2n) n  lim n 2  lim n n  1
n n
n
ln(n  1)  ln(n  2)    ln(2n)
【解2】 ln n 2 (n  1)(n  2)(2n) 
2
n
nln(2n) ln 2 ln n
  
2
n n n1 2 n
【例2】求极限 lim n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n
n n n n
1 2 n
【解】令 y  n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n
n
n n n
1  1 2 1 
ln y  ln(1  )  2ln(1  )    nln(1  )
 
n 2
n  n n n 
1 1 1 2 2 n 1 
 ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )
 
n n n n n n n 
1 1
lim ln y   x ln(1  x)dx 
n
n 0 4
1
1 2 n
lim n （ 2 1  )(1  ) 2 (1  ) n  e4
n n n n1 2 n
【例3】设 x  (1  )(1  )(1  ), 则 lim x  _______.
n
n n 2 n 2 n 2 n
1 2 n
【解】
ln x  ln(1  )  ln(1  )  ln(1  )
n 2 2 2
n n n
x
当 时， 则
x  0  ln(1  x)  x,
1  x
k
k k 2 k k
n
   ln(1  ) 
n 2  n n 2  k k n 2 n 2
1 
2
n
n n
k k
 
 ln x 
n 2  n n n 2
k1 k1
1 1
n(n  1) n(n  1)
n k 1 n k 1
 2  2
lim  lim  lim  lim 
n n 2 n n 2 2 n n 2  n n n 2  n 2
k1 k1
1
1
则 li m ln x  lim x  e2 .
n n
n 2 n1 1 1
【例4】求极限 lim(1  )(1  ) (1  )
2 2 2
n 2 3 n
1 3 2 4 3 5 (n  1) (n  1)
【解】原式
 lim( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
n 2 3 4 n
1 n  1 1
 lim  
n 2 n 23.递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列
1 n1 n
1）常用方法
方法1 1）证明极限 lim x 存在（单调有界准则);
n
n
2）令 lim x  A. 由 A  f (A) 解得 A.
n
n
方法2 1）令 lim x  A. 由 A  f (A) 解得 A.
n
n
2）证明 lim x  A. （夹逼原理）
n
n2）单调性和有界性判定常用不等式
a  b  c
1 ） 2ab  a 2  b 2 ;3 abc  (a  0,b  0,c  0);
3
 有界性判定常用三种方法
2) sin x  x  tan x (0  x  );
2
x 1）归纳法
 
3 ）  ln(1  x)  x 0  x   ;
1  x
2）常用不等式
3）单调性判定常用三种方法
3）若数列递增（减）
x
1) x  x  0 ( 0), 2）若  x  不变号，且 n1  1 ( 1),
n1 n n
x
则极限为上（下）界.
n
 
3）设数列 x 由 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 所确定
n 1 n1 n
（1）若 单调增，则
f (x)
当 x  x 时， x  单调增； 当 x  x 时， x  单调减；
1 2
1 2 n n
 
（2）若 单调减，则 不单调；
f (x) x
n1  1 
【例1】 设 x  0, x   2x  ， n  1,2,, 求极限 lim x .
1 n1 n 2 n
3  x  n
n
【解】由题设知 x  0, 且
n
1  1  1
x   x  x    x  x   1
3
n1 3 n n x 2  n n x 2
n n
x 1  1  1  1
n1  2   2   1
   
3
x 3  x  3  1
n n
 
则数列 x 单调减且下有界，极限 lim x 存在，设 lim x  a.
n n n
n n
1 1 
a  2a   由此解得 a  1
2
3 a 【例2】设 x  2,x  2  2,, x  2  2  2    2 , 求极限 lim x .
1 2 n n
n
1
【解1】 x  2  x , 令 f (x)  2  x, 由于 f  (x)   0,
n1 n 2 2  x
则 f (x) 单调增，又 x  x , 则 {x } 单调增.
1 2 n
x  2  2, 若 x  2, 则 x  2  x  2,
1
n1 n n1
 
从而, 数列 x 上有界，则 lim x 存在，设 lim x  A. 则
n n n
n n
A  2  A
解得 A  2 或 A   1（舍去）则 lim x  2.
n
n【例2】设 x  2,x  2  2,, x  2  2  2    2 , 求极限 lim x .
1 2 n n
n
【解2】直接证明 lim x  2
n
n
由 知
x  2  x
n n1
x  2
x  2  2  x  2  n1
n n1
2  x  2
n1
1 1
 x  2   x  2
n1 n1 1
2 2
则 l im x  2.
n
n1 2 1
x
【例3】设数列  x  由 x (,) 和 x  x    n e t 2 dt(n  1,2,)
n 1 n1 n
3 3 2 1
所确定, 证明：极限 lim x 存在并求此极限.
n
n
1 2 1
【分析】令 f (x)  x    x e t 2 dt, 则 x  f (x ) ，且 f  (x)  1  1 e x 2
n1 n
3 3 2 1
3 2
由于  可正可负，则数列   的单调性不能确定，因此考虑方法2.
f (x) x
n
1 2 1
a
【证1】令 lim x  a. 则 a  a    e t 2 dt, 显然 a  1 满足该方程，令
n
n 3 3 2 1
1 2 1 x 2 1
F(x)  x  x    e t 2 dt, 则 F  (x)   e x 2  0, 故 a  1 是原方程唯一根.
3 3 2 1 3 2
2
1 1 x 1 1 x 1 e
x  1  (x  1)   n1 e t 2 dt  x  1   n1 e t 2 dt  x  1  x  1
n 3
n1
2 1 3
n1
2 1 3
n1
2
n1
n1
1 1 5  5 
 x  1  x  1  x  1      x  1  0
n1 n1 n1 1
3 2 6  6 1 2 1
x
【例3】设数列  x  由 x (,) 和 x  x    n e t 2 dt(n  1,2,)
n 1 n1 n
3 3 2 1
所确定, 证明：极限 lim x 存在并求此极限.
n
n

【证2】(数学二不要求）数列  x  收敛等价于级数  (x  x )
n n n1
n1
1 2 1 1 1
x
收敛.以下证明该级数收敛.这里 f (x)  x    e t 2 dt, f  (x)   e x 2
3 3 2 1 3 2
x  x  f (x )  f (x )
n n1 n1 n2
 f  ( ) x  x （拉格朗日定理）
n1 n1 n 2
n1
5  5
 x  x      x  x
n1 n2 1 0
6  6
 
5
由于级数  ( ) n 收敛,则级数  (x  x ) 收敛,从而极限 lim x 存在.令 lim x  a.
n n1 n n
6 n n
n1 n11
【例4】设 x  1, x  1  (n  1,2,), 求极限 lim x .
1 n1 x  1 n n
n
1
【分析】令 f (x)  1  , 则 x  f (x ) ，显然 f (x) 在 x  0
x  1 n1 n
 
处单调减，则 不具有单调性，因此用方法2.
x
n
1 1
【解】令 lim x  A. 则 lim x  lim(1  ), 即 A  1  ,
n n n
n1
n x  1 A  1
n
则 A   2, 由于 x  1,
n
则 A  2. 以下证明 lim x  2.
n
n
1 1 x  A
x  A  (1  )  (1  )  n1
n
x  1 A  1 (A  1)(x  1)
n1 n1
x  A x  A x  A
 n1  n2    1  0 (n  )
2 n1
2 2 2关于几个网传结论：
 
1）若 x  f (x ), 且 f  (x)  k  1, 则数列 x 收敛.
n1 n n
2）若 x  f (x ),a  f (a), 且 f  (x)  k  1, 则 lim x  a.
n1 n n
n
3）压缩映射原理二. 求极限常见的题型
（一）函数的极限
0 
7 种不定式.即 0     1  0 0 0
0 
0

重点 1
0
（二）数列的极限
n
1. 项和的数列极限
n
2. 项积的数列极限
3. 递推关系 x  a, x  f (x )(n  1,2,...) 定义的数列
1 n1 n祝同学们
考研路上一路顺利！