(399)--17堂课专题一举一反三拓展题（2）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

17 堂课专题一
在真题中的考查：
1.3 洛必达法则和泰勒公式
atanxb(1cosx)
1.（1994，数一、二）设lim 2 ，其中a2 c2  0，则必有
x0 cln(12x)d(1ex2 )
（A）b4d （B）b4d
（C）a 4c （D）a 4c
上图为《17堂课》讲义P15例1，对应第2题
lncos(x1)
2.（1992，数三）求极限lim .

x1
1sin x
2
axsinx
3.（1998，数二）确定常数a,b,c的值，使lim c,c0.
x0 xln(1t3)
 dt
b t
上图为《17堂课》讲义P15例2，对应第4、5题
x
 tln(1tsint)dt
4. （2016，数一）lim 0 
x0 1cosx2
x
 xtetdt
5.（2017，数二、三）求 lim 0 .
x0 x3上图为《17堂课》讲义P30例2，对应第6题
  1  
x
 t2 et 1tdt
 
1    
6. (2014，数一、二、三)求极限 lim .
x  1
x2ln1

 x
1
 1 lnx
7.（2010，数三）求极限 lim xx 1 .
x 
上图为《17堂课》讲义P34例2，对应第8题
1
8.（2016，数二、三）求极限lim(cos2x2xsinx)x4
.
x0
1.4 利用夹逼准则求极限
上图为《17堂课》讲义P20例1，对应第9题
上图为《17堂课》讲义P37例1，对应第9题
 1 2 n 
9.（1995，数三）lim    ________.
nn2 n1 n2 n2 n2 nn
1.5.利用定积分的定义、单调有界准则、微分和积分中值定理求极限上图为《17堂课》讲义P23例2，对应第10-14题
上图为《17堂课》讲义P38例3，对应第10-14题
1  2 n
10.（2002，数二）lim  1cos  1cos ... 1cos   .
nn n n n 
n 2 2 2
 1  2  n
11.（2004，数二）limln 1  1  1  等于
n  n  n  n
2 2
（A）  ln2 xdx. （B）2 lnxdx.
1 1
2 2
（C）2 ln(1x)dx. （D） ln2(1x)dx.
1 1
 1 1 1 
12.（2012，数二）计算limn    ________.
n 1n2 22 n2 n2 n2 
1  1 2 n
13.（2016，数二、三）极限lim sin 2sin nsin   .
nn2  n n n
n k  k 
14.（2017，数一、二、三）求lim ln1 ．
n n2  n
k1
n n n
15.（2010，数一、二）lim 
n (ni)(n2  j2)
i1 j1
1 x 1 1 x 1
（A） dx dy （B） dx dy
0 0 (1x)(1 y2) 0 0 (1x)(1 y)
1 1 1 1 1 1
（C） dx dy （D） dx dy
0 0 (1x)(1 y) 0 0 (1x)(1 y2)
上图为《17堂课》讲义P38例4，对应第16题  2 
sin sin

n n
sin 
16.（1998，数一）求lim   .
n n1 n 1 n 1 
 2 n 
上图为《17堂课》讲义P23例1，对应第17-18题
 
17.（2002，数二）设0 x 3,x  x (3x )(n1,2,) ，证明数列 x 的极限存
1 n1 n n n
在，并求此极限.
 
18.（2006，数一、二）设数列 x 满足
n
0 x ,x sinx (n1,2,...) .
1 n1 n
（1）证明limx 存在，并求该极限;
n
n
1
 x x2
（2）计算lim n1 n .
n x 
n
19.（2018年，数一、二、三）设数列 x  满足：x 0, x exn1 exn 1(n1,2,...).证明x 
n 1 n n
收敛，并求limx .
n
n
1  1 1
20.（2011，数一、二）（1）证明：对任意的正整数n，都有 ln1   成立；
n1  n n
1 1
（2）设 a 1  lnn(n1,2,)，证明数列  a  收敛.
n 2 n n
1 
21.（2012，数二）（1）证明方程xn xn1x1（n是大于1的整数）在区间 ,1
2 
内有且仅有一个实根；
（2）记（1）中的实根为x ，证明limx 存在，并求此极限.
n n
n
1
22.（2013，数二）设函数 f(x)lnx ，
x
（1）求 f(x)的最小值；1
（2）设数列 x 满足lnx  1，证明limx 存在，并求此极限．
n n x n n
n1
上图为《17堂课》讲义P24例4，对应第23题
23.（2018，数二） lim x2 arctan(x1)arctanx  ______.
x