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专题 20 新定义
考情概览
考点1 新定义
考点 1 新定义
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：若
上存在两个不同的点 ， ，对于 上任意满足 的两个不同的点 ， ，
都有 ，则称点 是 的关联点，称 的大小为点 与 的关联角
度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图， 的半径为 ．
①在点 ， ， 中，点_______是 的关联点且其与 的关联角度
小于 ，该点与 的关联角度为 ；
②点 在第一象限，若对于任意长度小于 的线段 ， 上所有的点都是 的关
联点，则 的最小值为_______；
(2)已知点 ， 经过原点，线段 上所有的点都是 的关联点，
记这些点与 的关联角度的最大值为 ．若 ，直接写出 的取值范围．2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦
和不在直线 上的点 ，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内
部，且 ，则称点 是弦 的“ 可及点”．
(1)如图，点 ， ．
①在点 ， ， 中，点___________是弦 的“ 可及点”，其中
____________ ；
②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为__________；
(2)已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可
及点”．记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦
和 外一点C给出如下定义：
若直线 ， 中一条经过点O，另一条是 的切线，则称点C是弦 的“关联点”．
(1)如图，点 ， ，
①在点 ， ， 中，弦 的“关联点”是______．
②若点C是弦 的“关联点”，直接写出 的长；
(2)已知点 ， ．对于线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是
弦 的“关联点”，记 的长为t，当点S在线段 上运动时，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如
下定义：将点 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下
平移 个单位长度，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应
点”．
(1)如图，点 点 在线段 的延长线上，若点 点 为点 的“对应点”．
①在图中画出点 ；
②连接 交线段 于点 求证：
(2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为
外一点，点 为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的
最大值与最小值的差（用含 的式子表示）.5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段
，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是
的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中，
的以点 为中心的“关联线段”是______________；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中
心的“关联线段”，求 的值；
（3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写
出 的最小值和最大值，以及相应的 长．1．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于平面内点
和 轴上点 ，给出如下定义：将点 绕着点 旋转 得到的对应点 恰好在 上，称
点 为 的“赋能点”．
(1)已知点 的坐标为 ．
①如图1，在点 中， 的“赋能点”是_____；
②如图2，若直线 上存在点 ，使点 为 的“赋能点”，求 的取值范围；
(2)如图3，点 ．若线段 上存在点 ，使点 为 的“赋能
点”，直接写出 的取值范围．2．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系 中，对于点P、点M、点Q，给出如下
定义：点P绕点M逆时针旋转 得到点 ，点N为线段 的中点（点N不与点 重
合），则称线段 的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为 ．
(1)已知点 ．
①若点 ，则 为______________；
②若点C为y轴上一动点，则 的最小值为______________．
(2)若 ，直接写出 的取值范围．3．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系 中，已知半径为1的 和线段 ，
给出如下定义：若存在点 使得线段 关于点 中心对称的线段 恰为 的一条弦，
则称线段 是 的关于点 的关联线段．
(1)如图，点 的横、纵坐标都是整数，在线段 中， 的以
点 为中心的关联线段是___________；
(2)若 ，线段 是 的关于点 的关联线段，则点 的坐标为
___________；
(3)已知点 是 一点，线段 在直线 上，线段 是 的关于点 的关
联线段，则线段 长度的最大值为___________；此时 点坐标为___________．4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中， 的半径为 ．对于 的弦
和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线 经过弦 的一个端点，另一端
点与点C之间的距离恰好等于 ，则称点C是弦 的“关联点”．
(1)如图，点 ．
①点 ，在点 ， ， 中，弦AB的“关联点”是________；
②点 ，若点C是弦 的“关联点”，直接写出点D的坐标________；
(2)已知点 ， ．线段 上存在弦 的“关联点”，记 的长为t，直
接写出t的取值范围．5．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，对于点 和点 给出如下规定：如
果将点 沿直线 翻折后得到点 ，再将点 沿直线 翻折后得到点 ，点 就是
点 的“相称点”．
(1)如图1，如果点 ， ，
① 在点 ， ， 中，点 的“相称点”的是________；
② 点 的“相称点”与点 的距离最小值是_______．
(2)如图2， 的半径和等边 的边长均为 ，点 ，点 和点 都在
上，如果在图中的 边上存在点 的“相称点”，求 的取值范围．6．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于两点A和
B，其中点A在 上．给出如下定义：若线段 的垂直平分线与 相交，且两交点之
间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”．
(1)如图1，点 ．
①在点 ， ， 中，点______是点A的“d关联点”，其中
d=______；
②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______；
(2)直线 与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在
上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围．7．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 ．
给出如下定义：若存在点C，使得直线 与 有且仅有一个公共点．并且 ，
则称点C为弦 的“α伴随点”．
(1)已知点A的坐标为 ，B的坐标为 ，在点 ， ，
中，点______是弦 的“ 伴随点”；
(2)若弦 的长度为 ，且存在唯一的点D为弦 的“α伴随点”，直接写出α的取值
范围；
(3)已知直线 与x轴交于点N，与y轴交于点M，若 上存在弦 ，使
得线段 上总存在弦 的“ 伴随点”，直接写出m的取值范围．8．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．对于 的弦
和平面内的点 ，给出如下定义：若弦 上存在点 ，使得点 绕点 旋转 后得到
的对应点 在 上，则称点 是弦 的“伴随点”．
(1)如图，点 ．
①在点 中，弦 的“伴随点”是___________；
②若点 是弦 的“伴随点”，则点 的横坐标的最小值为___________；
(2)已知直线 与坐标轴交于点 和点 ，点 是线段 上任意一点，且存在
的弦 ，使得点 是弦 的“伴随点”．直接写出 的取值范围．9．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，对于点 、 和图形 ，将图形
沿射线 方向平移，平移距离为线段 的长，得到图形 ．若点 在图形 上，
则称点 为图形 关于点 的“位移点”．
如图，点 、 ．
(1)若 半径为1，
①在 、 、 中， 关于点 的“位移点”是______；
②若在线段 上存在一点 ，使得点 为 关于点 的“位移点”，直接写出 的长
的取值范围；
(2)已知点 ， 半径为1，点 在 上，点 为线段 关于点 的“位移点”．
点 ， 半径为 ，点 在 上．若存在点D，P，使 为以点 为直角顶
点的等腰直角三角形，直接写出 的取值范围．10．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系 中，过 上一点P作切线l，在圆的
外部过点P分别作射线 ， ，当 时，则称 ， 为点P关
于该圆的“关联等角射线”．如图1．
(1)如图2， 的半径为1，已知 ， ， ，
，在射线 ， ， 中， 的“关联等角射线”是__________；
(2)如图3， 的半径为1，点P在第三象限， ， 为点P关于 “关联等角射线”，
与x轴平行， 与y轴平行，则此时 的度数为__________°；
(3)如图4，点M的坐标为 ， 的半径为1．点P在第一象限， ， 为点P关于
“关联等角射线”，若 过点O， 与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为 ，
则 的取值范围是__________．11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和
外一点P，给出如下定义：若直线 ， 都是 的切线，则称点P是弦 的“关
联点”
(1)已知点 ．
①如图1，若 的弦 ，在点 ， ， 中，弦 的“关联
点”是 ；
②如图2，若点 ，点P是 的弦 的“关联点”，直接写出线段 ，线段
的长；
(2)已知点 ，线段 是以点C为圆心，以1为半径的 的直径，对于线段 上任
意一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的“关联点”．当点S在线段 上运动时，
将其对应的弦 长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．12．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系 中，有两个图形 和 ， 为图形
上一点，点 到图形 上任意一点的距离的最小值，称为点 到图形 的距离，若图形
上任意一点到图形 的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形 到图形 的“
距离”，记为 ．例如：如图，点 ， ， ，若图形 为点 和
，图形 为点 和 ，则 为线段 的长度，即 ， 为线
段 的长度，即 ．特殊地，若 ，则称图形 和图形 之
间存在“ 距离”，记为 ．
(1)图形 为线段 ，
①若图形 为线段 ，则 ___________， ___________；
②点 ，点 ，图形 为线段 ，直接写出 的最小值，及当
取得最小值时， 的取值范围；
(2)已知 的半径为1，直线 ，图形 为 ，图形 为直线 上的一条
线段 （点 在点 左侧），记点 ， 的横坐标分别为 ， ，若图形 和图形 之
间存在“ 距离”，直接写出 的最小值，及当 取得最小值时， 的最小
值和对应的 的取值范围．13．（2025·北京西城·一模）对于点 和 ，若在 上或 内存在一点 ，使得
是顶角为 的等腰三角形，则称点 为点 关于 的“ —关联点”．
在平面直角坐标系 中．
(1)已知点 ， 的半径为2．
①在点 ， ， ， 中，是点 关于 的“ —关联
点”的是______；
②若直线 上存在点 关于 的“ —关联点”，则 的取值范围是
______；
(2)已知 是 轴上一动点，点 满足 ， 的半径为2，若点 既是点 关于
的“ －关联点”，也是点 关于 的“ —关联点”，设点 的纵坐标为 ，直接
写出 的取值范围．14．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系 中，已知图形 ，点 是 上任意两
点，我们把线段 的长度的最大值称为平面图形 的“宽距”，记作 ．
(1)边长为1的正方形的宽距为______；
(2)已知点 ，连接 所形成的图形为 ．
①若 ，直接写出 的取值范围；
②已知点 ，以 为圆心，1为半径作圆．若点 为 上任意一点时，都有
，直接写出 的取值范围．15．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，对于 和 外一点 ，给出如
下定义：若 的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是 的一条弦，则称点 是
的“ -旋称点”，此时的 是 关于点 的一条“ -旋称弦”．
(1)如图1， 的半径为2．
①在点 ， ， ， 中， 的“ -旋称点”可以是
___________；
②弦 的长为2， 轴．若 是 关于点 的“ -旋称弦”，直接写出点 的
坐标；
(2)如图2， ， ， ．若点 ， ， 都是 的“ -旋称点”，
且 的边上存在 关于点 ， ， 的“ -旋称弦”，直接写出点 的坐标，和
的半径 的取值范围．16．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系 中，对于点 和直线 ，给出如下
定义：若点 ， 其中 ，且 ，直线 的解析式为 ，
则称直线 为点 ， 的关联直线，关联直线 上的所有点称为点 的关联点．例如，
对于点 ， 的关联直线为 ，关联直线 上所有点是点 的
关联点．
(1)已知点
①点 的关联直线为___________；
②半径为1的 的圆心为 ，半径为2的 的圆心为 ， 都与点
的关联直线相切，且 ，则线段 的长为___________；
(2)半径为 的 圆心为 为 上不同两点，若直线 是点 的
关联直线，且 上存在点 ，使得点 是点 的关联点，直接写出 的取值范围．17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系 中，对于 和图形 ，给出如下定
义：若图形 上任意两个不同点 ， ， 上存在两点 ，使得 ，则称图形
为 的“平衡图形”
(1)如图1， 的半径为1
①点 ， ， ， ， ， ．在线段 ， ，
中，线段______是 的“平衡图形”；
②若直线 与坐标轴交于点 ，线段 为 的“平衡图形”．则 的
取值范围是______；
(2)如图2，点 ， ， ．若 是 的“平衡图形”，直
接写出 的半径 的取值范围．18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．对于点 和
的弦 ，给出如下定义：点 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到点
，若点 在弦 上，且不与点 ， 重合，则称点 是弦 “伴随点”．
(1)如图，点 ， ，在点 ， ， 中，弦 的“伴随点”是
______；
(2)已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“伴随点”．
记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围；
(3)已知点 ．对于线段 上任意一点 ，存在 的弦 ，使得点
是弦 的“伴随点”，将点 对应的弦 的长度的最小值记为 ，直接写出 的最大值
及 的取值范围．19．（2025·北京西城·二模）给定线段 和位于直线 同一侧的两点 ， ，若在线段
上（不含端点 ， ）存在点 ，使得 且 ，则称点 与
关于线段 等角等距．在平面直角坐标系 中，已知点 ．
(1)点 的坐标为 ，
①在点 ， ， ， 中，与点 关于线段 等角等距的点是
______；
②点 是直线 上一点，若在以点 为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点 关于
线段 等角等距，则点 的横坐标 的取值范围是______；
(2)已知点 ，在以 为圆心，1为半径的圆上存在点 ，使得点 与 关于线
段 等角等距，直接写出 的取值范围．20．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系 中，对于图形 ，点 给出如
下定义：图形 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下
平移 个单位长度，得到图形 ，若图形 与图形 有且只有一个公共点，称点
为图形 的“限定点”．
已知点 ， ，
(1)在点 ， ， 中， 的“限定点”是____．
(2)点 在直线 上，且点 为 的“限定点”，则点 的坐标为____．
(3) 的圆心在 轴上，半径为 ，若 上存在点 ，使得点 为 的“限定点”，
则点 的横坐标 的取值范围为____．21．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，点 是 上
一点．对平面内的一点 ，先将点 关于点 作中心对称变换得到点 ，再将点 沿射线
的方向平移半径 的长度得到点 ，称为一次关于半径 的反射平移，点 称为点
关于半径 的反射平移点．如图，已知点 ．
(1)点 是 上的动点，当 时，在 ， ， ， 中，
可能是点 关于半径 的反射平移点的是_______；
(2)设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 经过 ．
在上述条件下， ________；
当 的坐标为 时，如果线段 上一点 关于半径 的反射平移点在 上或内
部，直接写出点 的横坐标的取值范围；
当 在 轴的正半轴上时，如果线段 上存在点 ，使点 关于半径 的反射平移
点在 上，直接写出 的半径 的取值范围．22．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系 中，对于 的弦 （非直径）和圆
外一点 ，给出如下定义：若弦 所对的劣弧上存在两点 （可与 重合），使
直线 与 相切，则称点 是 关于 的“切弧点”．
(1)如图， 的半径为1，点 ， ．
①在点 中， 关于 的“切弧点”是___________；
②直线 经过点（0，2），且与 轴垂直，点 在 上．若直线 上存在 关于 的
“切弧点”，记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围；
(2)已知点 ．若存在半径为 的 ，使得对于 上任意一点 ，都
存在 的长为 的弦 ，满足点 是 关于 的“切弧点”，直接写出 的取值范围．23．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，线段 轴于
点 为平面内一条线段，将点 绕点 旋转 后得到点 ．若点 到点 的距离为
1，则称线段 为点 的“隐圆线段”．
(1)若点 在 轴上时，点 的“隐圆线段”长为_____________；
(2)求点 的“隐圆线段”长的最大值；
(3)若点 的“隐圆线段”所在直线为 ，直接写出 的取值范围．
