2025-2026 学年高一数学下学期期初数学 第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 已知集合 A={x∥x∣≤2},B={x∈N∣x2<10} ，则 A∩B= ( )
A. {−2,−1,0,1,2,3} B. {0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2}
2. 已知向量 ⃗a=(m,2),⃗b=(1,m−1) ，若 (⃗a+2⃗b)//(3⃗a−4⃗b) ，则实数 m 的值为(
)
2
A. B. 2 C. 1 或 -2 D. 2 或 -1
3
3. 总体由编号为 01,02,⋯,19,20 的 20 个个体组成. 利用下面的随机数表选取 6
个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 7 个数字开始，由左到右依次选取两个
数字，则选取的第 6 个个体的编号为( )
080 436
7816 6572 2 6314 0702 9 9728 0198
3204 9234 493 8200 3623 486 6938 7481
5 9
A. 01 B. 02 C. 04 D. 14
4. 下列函数中,在 (0,+∞) 上是增函数的是( )
3 1 1
A.
f (x)=x2
B. f (x)=
3x
C. f (x)=−lnx D. f (x)=x+
x
5. 已知不等式 x+a√x+a2−1≥0 恒成立，则 a 的取值范围为( )
( 2√3] [ 2√3 ] ( 2√3] [ 2√3]
A. −∞,− B. − ,1 C. −∞,− ∪[1,+∞) D. −1,
3 3 3 3
{x2−2mx+m+m2,x≤2
6. 已知函数 f (x)= ，当 x=2 时， f (x) 取得最小值，则 m
2x+1,x>2
的取值范围为( )
A. [−1,4] B. [2,4] C. [−1,2] D. [−1,1]
7. 若函数 f (1+x) 在其定义域 [1,2] 上单调递增，则函数 f (1−x) ( )
A. 在其定义域 [−2,−1] 上单调递增 B. 在其定义域 [−2,−1] 上单调递减
C. 在其定义域 [−1,0] 上单调递增 D. 在其定义域 [−1,0] 上单调递减8. 已知函数 f (x) 的定义域为 R ,对于任意实数 x,y 满足: f (x+ y)=f (x)+f (y)−1 ,
当 x<0 时, f (x)>1 , 则下列结论错误的是( )
A. f (0)=1 B. f (x)−1 为偶函数
C. f (x) 为 R 上的减函数 D. 若 f (a−6)+f (a2)>2 则 a 的取值范围为 (−3,2)
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 公
众号: 高一高二高三试卷
9. 已知实数 a,b 满足 a>0,b>0 且 a+2b=1 ，则下列说法正确的有( )
b+1 b
A. 若 a>b ,则对任意实数 c,ac2>bc2 B. 若 a>b ,则 >
a+1 a
1 1
C. + 的最小值是 3+2√2 D. a2+4b2 的最小值是 1
a b
10. 一个袋子中有标号分别为 1,2,3,4 的 4 个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放
回方式从中任意摸球两次, 设事件 A= “第一次摸出球的标号小于 3 ”事件 B=
“第二次摸出球的标号小于 3 ”，事件 C= “第一次摸出球的标号为奇数”, 则 (
)
A. P(A)=P(B) B. A 与 B 互为对立事件
C. B 与 C 互斥 D. B 与 C 相互独立
{x2+2x−3,x≤0
11. 已知函数 f (x)= ,若 f (x)=k 有 3 个不等实根 x ,x ,x ,且
−2+lnx,x>0 1 2 3
x <x <x ,则( )
1 2 3
A. f (x) 的单调递增区间为 [−1,0],(0,+∞) B. k 的取值范围是 (−4,−3)
( 1 1 ]
C. x +x +x 的取值范围是 −2, −2 D. 方程 f (f (x))=0 有 5 个根
1 2 3 e2 e
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. log √8+2lg5+lg4−3log 3 2+log 3= _____.
2 9
{ x+a,x≤1
13. 已知函数 f (x)= , g(x)=3x−1 ,对任意的 x ∈[0,3] ,总存在
x2−2x+a,x>1 1
x ∈[0,2] ,使 f (x )=g(x ) 成立，则实数 a 的取值范围是_____.
2 1 2e2025−2m e5−ln2
14. 已知实数 m,n 满足 −m= −lnn−ln(2e2020)=0 ，则 mn= _____.
2 n
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15. (本小题满分 13 分) 已知集合
A={x|1≤2x+1≤8},B={x|(x−a)(x−a−1)<0},a∈R
.
(1)若 1∈B ，求实数 a 取值范围；
(2)若 “ x∈B ” 是 “ x∈A ” 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分) 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产, 为弘扬棋类运动精神,
传承中华优秀传统文化, 丰富校园文化生活, 培养学生良好的心态和认真谨慎的生活
观, 某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞
赛，共有 500 名学生参加，从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数,将数据
分成 5 组: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,并整理得到如图频率分布直
方图:
(1)根据直方图，求 a 的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数；
(2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场
2
棋艺比拼，比赛采取三局两胜制. 若甲每局比赛获胜的概率均为 ,且各轮比赛结
3
果相互独立. 求乙最终获胜的概率.
17. (本小题满分 15 分) 已知函数 f (x)=lg(ax2+2x−3) ( a 为常数)
(1)若函数 f (x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值集合:
(2)当 a=0 时,是否存在正整数 k ,使得关于 x 的不等式 2f (x+1)>lg(kx2) 在区间
[2,3] 上有解? 若存在,求出 k 的最大值,若不存在,请说明理由.
ax+b 1
18. (本小题满分 17 分) 已知定义在 [−1,1] 上的奇函数 f (x)= ,且 f (1)= .
x2+1 2
(1)求 a ， b 的值，判断 f (x) 在 [−1,1] 上的单调性，并用定义证明；(2)解关于实数 t 的不等式 f (2t−1)+f (t)<0
1
(3)若 f (x)≤m2−2km+ 对 ∀x∈[−1,1],∀k∈[−1,1] 恒成立,求实数 m 的取
2
值范围.
19. (本小题满分 17 分) 定义在 I 上的函数 F(x) ,如果满足: 对任意 x∈I ,存在
常数 M>0 ,都有 −M≤F(x)≤M 成立,则称函数 F(x) 是 I 上的有界函数,其中
M 称为函数 F(x) 在 I 的上界.
(1)判断函数 f (x)=√4−x2 在其定义域内是否属于有界函数；
1−m⋅2x
( 2 )若函数 f (x)= ，且 m>1 ，则函数 f (x) 在区间 [0,+∞) 上是否存
1+m⋅2x
在上界 M ，若存在，求出 M 的取值范围; 若不存在, 请说明理由;
(3)若函数 g(x)=1+ae−x+e−2x 在 [0,+∞) 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a
的取值范围.
2025-2026 学年高一数学下学期期初数学答案
1.由 |x|≤2 得 −2≤x≤2 ,所以 A={x∣−2≤x≤2} ,因为 x∈N 且 x2<10 ,满足
条件的自然数 x 为0,1,2,3,即 B={0,1,2,3} ,
所以 A∩B={0,1,2} ,
故选: B.
2.因为 ⃗a=(m,2),⃗b=(1,m−1) ,
所以 ⃗a+2⃗b=(m+2,2m),3⃗a−4⃗b=(3m−4,10−4m) ,
因为 (⃗a+2⃗b)//(3⃗a−4⃗b) ,
所以 (m+2)(10−4m)−2m(3m−4)=0 ,整理得 m2−m−2=0 ,解得 m=2 或 m=−1
所以实数 m 的值为 2 或 -1
故选: D
3. C
3
4.对于选项 A ,函数
f (x)=x2
的定义域为 [0,+∞) ,在定义域为单调递增函数, 则
A 正确;
1 (1) x
对于选项 B ,函数 f (x)= = 在定义域 R 上单调递减,则 B 错误;
3x 3对于选项 C ,函数 f (x)=−lnx 可以看成 y=−t 和 t=lnx 的复合函数,由此可知
函数 f (x) 在定义域 (0,+∞) 上单调递减,则 C 错误;
1
对于选项 C ,函数 f (x)=x+ 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1,+∞) 上单调递
x
增,则 D 错误;
故选: A.
5. C
令 t=√x≥0 ,
则不等式变为 t2+at+a2−1≥0 在 [0,+∞) 上恒成立,
a
设 f (t)=t2+at+a2−1 ,对称轴 t=− ,
2
a
当 − ≤0⇒a≥0 时,函数 f (t) 在 [0,+∞) 上单调递增,最小值为
2
f (0)=a2−1≥0⇒a≥1 或
a≤−1 ,所以 a≥1 ;
当 − a >0⇒a<0 时,最小值在对称轴处取得,即 f ( − a) = ( − a) 2 +a ( − a) +a2−1≥0
2 2 2 2
2√3 2√3 2√3
,解得 a≥ 或 a≤− ,所以 a≤− ,
3 3 3
( 2√3]
综上, a 的取值范围为 −∞,− ∪[1,+∞) .
3
6. B
7. B 因为函数 f (1+x) 的定义域为 1≤x≤2 ,所以 2≤1+x≤3 ,即函数 f (x) 的定义
域为 [2,3] ;
对于函数 f (1−x) ,由 2≤1−x≤3 可得 −2≤x≤−1 ,即函数 f (1−x) 的定义域为
[−2,−1] ,故 CD 错误;
对于函数 f (1+x) 在 [1,2] 上单调递增,由于其内层函数 u=1+x 为单调增函数,所
以可得 f (x) 在 [2,3] 上单调递增;
对于函数 f (1−x) ,由于其内层函数 v=1−x 为单调减函数,所以可得 f (1−x) 在
[−2,−1] 上单调递减.
故选: B
8. 对于 A ,令 x= y=0 ,则 f (0)=2f (0)−1 ,所以 f (0)=1 ,所以 A 正确;对于 B ,令 y=−x ,则 f (0)=f (x)+f (−x)−1 ,所以 f (−x)−1=−[f (x)−1] .
又因为函数 f (x) 的定义域为 R ,所以函数 f (x)−1 的定义域为 R ,所以 f (x)−1
是奇函数, 所以 B 错误;
对于 C ,设任意 x ,x ∈R 且 x <x ,则 x −x <0 . 由题意得 f (x −x )>1 ,即
1 2 1 2 1 2 1 2
f (x −x )−1>0 . 因为 f (x )=f ((x −x )+x )=f (x −x )+f (x )−1 ,
1 2 1 1 2 2 1 2 2
所以 f (x )−f (x )=f (x −x )−1>0 ,即 f (x )>f (x ) .
1 2 1 2 1 2
所以函数 f (x) 为 R 上的减函数,所以 C 正确;
对于 D ,由 B 选项的分析可知,函数 f (x)−1 是奇函数,由 C 选项可知函数
f (x)−1 是 R 上
的减函数.
若 f (a−6)+f (a2)>2 ,则 f (a−6)−1>1−f (a2)=−[f (a2)−1]=f (−a2)−1 .
所以 a−6<−a2 ,即 a2+a−6<0,(a+3)(a−2)<0 ,解得 −3<a<2 ,所以 D 正确.
故选: B.
9. A: 当 c=0 ,此时 ac2=bc2 ,错;
b+1 b ab+a−ab−b a−b b+1 b
B: 由 a>b ,则 − = = >0 ,即 > ,对;
a+1 a a(a+1) a(a+1) a+1 a
1 1 (1 1) 2b a √2b a
C: + = + (a+2b)=3+ + ≥3+2 ⋅ =3+2√2 ,
a b a b a b a b
2−√2
当且仅当 a=√2−1,b= 时取等号,对;
2
D: 由 a=1−2b>0 ,则 0<b< 1 ,故 a2+4b2=8b2−4b+1=8 ( b− 1) 2 + 1 ,
2 4 2
1 1
当 b= 时, a2+4b2 取得最小值 ,错误;
4 2
故选: BC
10. 事件 A : “第一次摸出球的标号小于3 ",
2 1
第一次摸球时,总共有 4 个球,标号小于 3 的是 1、2,共 2 种情况,因此 P(A)= =
4 2
; 事件 B : “第二次摸出球的标号小于 3 ”,
采用不放回摸两次,总基本事件数为 4×3=12 种,若第一次摸的是 1 或 2,第二次剩下 3 个球,其中小于 3 的有 1 个,情况数为
2×1=2 ;
若第一次摸的是 3 或 4，第二次剩下 3 个球，其中小于 3 的有 2 个，情况数为
2×2=4 ；
6 1
因此事件 B 的情况数为 2+4=6 ,故 P(B)= = ;
12 2
1
由此, P(A)=P(B)= ,选项 A 正确;
2
对立事件要求“两个事件不能同时发生,且必有一个发生”即 A∪B 为必然事件,
A∩B=⌀ , 但存在情况: 第一次摸 1 ，第二次摸 2 ，此时 A 和 B 同时发生，因
此 A 与 B 不是对立事件， 选项 B 错误;
互斥事件要求“两个事件不能同时发生”,
事件 C: “第一次摸出球的标号为奇数”,
存在情况: 第一次摸 1 ,第二次摸 2 ,此时 B 和 C 同时发生,因此 B 与 C 不是互
斥事件,选项 C 错误;
相互独立的定义是 P(B∩C)=P(B)P(C) ,
6 1
事件 C : 第一次摸奇数,情况数为 2×3=6 ,因此 P(C)= = ,
12 2
事件 B∩C : “第一次摸奇数,且第二次摸小于 3 ",
3 1
情况包括: (1,2)、(3,1)、(3,2) ,共 3 种,因此 P(B∩C)= = ,
12 4
1 1 1
P(B)P(C)= × = ,满足 P(B∩C)=P(B)P(C) ,因此 B 与 C 相互独立,选项 D
2 2 4
正确. 故选: AD.
11. 作函数 f (x) 草图如下:
由图可知: f (x) 的单调递增区间为 [−1,0],(0,+∞) ,故 A 正确;
f (x)=k 有 3 个不等实根,则 −4<k≤−3 ,故 B 错误;1 1
因为 x +x =−2 ,由 −2+lnx=−4⇒x= ; 由 −2+lnx=−3⇒x= .
1 2 e2 e
1 1 ( 1 1 ]
所以 <x ≤ ,所以 x +x +x 的取值范围是 −2, −2 ,故 C 正确;
e2 3 e 1 2 3 e2 e
由 x2+2x−3=0⇒(x+3)(x−1)=0 ,且 x≤0 ,所以 x=−3 ;
由 −2+lnx=0⇒x=e2 .
所以,由 f (t)=0⇒t=−3 或 t=e2 .
因为方程 f (x)=−3 有 3 个不同的实根,方程 f (x)=e2 有 2 个不同的实根,且两方
程的根互不相同,所以方程 f (f (x))=0 有 5 个不同实根,故 D 正确.
故选: ACD
3 1
12. 原式 =log 22+2lg5+2lg2−2+log 92
2 9
3 1
= +2(lg5+lg2)−2+
2 2
3 1
= +2lg10−2+
2 2
3 1
= +2−2+ =2 .
2 2
13当 0≤x≤1 时， a £ x+a £ a+1 ，
当 1<x≤3 时， x2−2x+a=(x−1) 2+a−1∈(a−1,a+3] ，
则 x∈[0,3] 时, f (x)∈(a−1,a+3] ;
g(x)=3x−1 在 [0,2] 上单调递增,则 g(x)∈[0,8] ,
因对任意的 x ∈[0,3] ,总存在 x ∈[0,2] ,使 f (x )=g(x ) 成立,
1 2 1 2
则 (a−1,a+3]⊆[0,8] ,
则 a−1≥0 且 a+3≤8 ,得 1≤a≤5 ,
则实数 a 的取值范围是 [1,5] .
故答案为: [1,5]
e5
14.
4
15. 解: (1) 若 1∈B ,则 −a(1−a)<0 ,得 0<a<1 4 分(2)由 1≤2x+1≤8 ，得 0≤x+1≤3 ，即 −1≤x≤2 ，
所以 A={x∣−1≤x≤2} 6 分
B={x∣(x−a)(x−a−1)<0}={x∣a<x<a+1} 8 分
因为 “ x∈B ” 是 “ x∈A ” 的充分不必要条件,所以 B 是 A 的真子集,
{a≥−1
即 ” 10 分
a+1≤2
解得 −1≤a≤1 12 分
即实数 a 的取值范围是 [−1,1] 13 分
16.(1)由频率分布直方图， [50,60) 的频率为 0.08， [60,70) 的频率为 0.12，
[80,90) 的频率为 0.42 , [90,100] 的频率为 0.08 ,
0.3
所以 [70,80) 的频率为 1−0.08−0.12−0.42−0.08=0.30 ,可得 a= =0.030 ,
10
众数: 最高矩形对应区间为 [80,90) ,中点即为众数: 85
中位数: 因为 0.08+0.12+0.3=0.5 ,由频率分布直方图知中位数为 80 .
(2)因为乙最终获胜，比分可能是 2:0,2:1 ，
设乙 2:0 获胜为事件 A,2:1 获胜为事件 B ,
( 2) 2 1
若乙 2:0 获胜,则概率为 P(A)= 1− = ,
3 9
2 (1) 2 1 2 1 4
若乙 2:1 获胜,则概率为 P(B)= × + × × = ,
3 3 3 3 3 27
7
又 A,B 两个事件互斥,则乙最终获胜的概率为 P(A)+P(B)= .
27
17. (1) 由题意函数 f (x) 的定义域为 R ,
则 ax2+2x−3>0 对于 x∈R 恒成立,
当 a=0 时, 2x−3>0 ,不恒成立;
{ a>0
当 a≠0 时, ,无解;
Δ=4+12a<0
综上所述，实数 a 的取值范围为 ⌀ .
(2)存在; k 的最大值为 2,理由如下:
当 a=0 时， f (x)=lg(2x−3) ，则 f (x+1)=lg[2(x+1)−3]=lg(2x−1) ，则不等式 2f (x+1)>lg(kx2) 可化为 lg(2x−1) 2>lg(kx2) ,
(2x−1) 2
则 (2x−1) 2>kx2 ,即 k< 在区间 [2,3] 上有解,
x2
(2x−1) 2
令 h(x)= ,x∈[2,3] ,则 k<h(x) ,
x2 max
(2x−1) 2 4x2−4x+1 1 4 (1 ) 2 1 [1 1]
因为 h(x)= = = − +4= −2 , ∈ , ,
x2 x2 x2 x x x 3 2
可得: h(x) 在区间 [2,3] 上单调递增.
25
所以 k<h(x) =h(3)= ,
max 9
又因为 k 为正整数,所以 k 的最大值为 2 .
ax+b
18. (1) f (x)= 为定义在 [−1,1] 上的奇函数,
x2+1
−ax+b ax+b
故 f (−x)=−f (x) ,即 =− ,故 −ax+b=−ax−b,b=0 ,
x2+1 x2+1
1 a+0 1
又 f (1)= ,故 = ,解得 a=1 , .2 分
2 12+1 2
f (x) 在 [−1,1] 上单调递增,证明如下:
x
f (x)= ,任取 x ,x ∈[−1,1] ,且 x <x ,
x2+1 1 2 1 2
x x x (x2+1)−x (x2+1) (x −x )(x x −1)
故 f (x )−f (x )= 1 − 2 = 1 2 2 1 = 2 1 1 2 ,
1 2 x2+1 x2+1 (x2+1)(x2+1) (x2+1)(x2+1)
1 2 1 2 1 2
因为 x ,x ∈[−1,1] ,且 x <x ,所以 x −x >0,x x −1<0 ,
1 2 1 2 2 1 1 2
(x −x )(x x −1)
又 x2+1>0,x2+1>0 ,所以 f (x )−f (x )= 2 1 1 2 <0 ,
1 2 1 2 (x2+1)(x2+1)
1 2
故 f (x )<f (x ) ,所以 f (x) 在 [−1,1] 上单调递增; ..5 分
1 2
x
(2) f (x)= 为定义在 [−1,1] 上的奇函数，
x2+1
f (2t−1)+f (t)<0⇒f (2t−1)<−f (t)=f (−t), .7 分{−1≤2t−1≤1
1
又 f (x) 在 [−1,1] 上单调递增,故 −1≤t≤1 ,解得 0≤t< ,
3
2t−1<−t
1
故不等式 f (2t−1)+f (t)<0 的解集为 [0, ) ; 10 分
3
1
(3)令 g(k)=−2mk+m2+ ，
2
1
f (x)≤m2−2km+ 对 ∀x∈[−1,1],∀k∈[−1,1] 恒成立,
2
故只需 f (x) ≤g(k) , 12 分
max min
1
其中 f (x) 在 [−1,1] 上单调递增,故 f (x) =f (1)= ,
max 2
1
若 m=0 ,则 g(k)= ,满足 f (x) ≤g(k) ;
2 max min
1
若 m>0,g(k)=−2mk+m2+ 在 k∈[−1,1] 上单调递减,
2
1 1 1
故 g(k) =g(1)=−2m+m2+ ,故 −2m+m2+ ≥ ,解得 m≥2 或 m≤0 (舍去);
min 2 2 2
.15 分
1
若 m<0,g(k)=−2mk+m2+ 在 k∈[−1,1] 上单调递增,
2
1 1 1
故 g(k) =g(−1)=2m+m2+ ,故 2m+m2+ ≥ ,解得 m≤−2 或 m≥0 (舍去);
min 2 2 2
综上, m 的取值范围是 m≥2 或 m≤−2 或 m=0 .
19.
(1) 令 y=4−x2(y≥0) ,则 f (x)=√y ,
当 x=0 时,函数 y=4−x2(y≥0) 的最大值为 y =4 ,
max
所以 y∈[0,4] ,即 f (x)∈[0,2],|f (x)|≤2 ,所以 f (x) 为有界函数. .4 分
1−m⋅2x 2
(2) f (x)= =−1+ ,
1+m⋅2x m⋅2x+1
∵m>1,x∈[0,+∞),∴y=m⋅2x+1 在 [0,+∞) 上递增,1 1 1−m
∴m⋅2x+1≥m+1,∴0< ≤ ,∴−1<f (x)≤ , .6 分
m⋅2x+1 m+1 1+m
1−m
∵m>1,∴ <0 ,所以 |f (x)|<1 ,
1+m
∴f (x) 存在上界 M,M 的范围是 M≥1 . .8 分
(3)由题意知， |g(x)|≤3 在 [0,+∞) 上恒成立，
∴−3≤g(x)≤3,∴−3≤1+ae−x+e−2x≤3 ,
因此 −4ex−e−x≤a≤2ex−e−x 在 [0,+∞) 上恒成立,
∴(−4ex−e−x) ≤a≤(2ex−e−x) , 11 分
max min
1 1
设 t=ex,h(t)=−4t− ,p(t)=2t− ,由 x∈[0,+∞) 知 t≥1 ,
t t
设 1≤t <t ,则
1 2
(t −t )(4t t −1) (t −t )(2t t +1)
h(t )−h(t )= 2 1 1 2 >0,p(t )−p(t )= 1 2 1 2 <0 , .14 分
1 2 t t 1 2 t t
1 2 1 2
∴h(t) 在 [1,+∞) 上单调递减, p(t) 在 [1,+∞) 上单调递增,
∴h(t) 在 [1,+∞) 上的最大值为 h(1)=−5,p(t) 在 [1,+∞) 上的最小值为
p(1)=1 ,
∴−5≤a≤1.∴a 的取值范围 [−5,1] . .17 分
