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专题40 重要的几何模型之12345 模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
【模型解读】
模型1、12345 模型及其衍生模型
【模型来源】2019 年北京市中考
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P 是网格交点）．
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB=
，tan∠PBA=
，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】下面模型中
，
，2，3，
，
均为对应角的正切值。
∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
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∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用
来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙
的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是AC 上一点，连接
BD．若
，
，则CD 的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形
，
，点E 为
上一动点，将三角形
沿
折叠，点A 落在点F 处，连接
并延长，与边
交于点G，若点G 为
中点，则
．
例 3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形
中，
，以点B 为圆心，适当长为半径画
弧，分别交
，
于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于
长为半径画弧交于点P，作射线
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，过点C 作
的垂线分别交
于点M，N，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
例4.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点
，点
，点
在
轴
上，且点
在点
右方，连接
，
，若
，则点
的坐标为 ．
例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3 的正方形
中，点
是边
上的点，且
，过点
作
的垂线交正方形外角
的平分线于点
，交边
于点
，连接
交边
于点
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．1
例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在
中，
，将
绕点A 逆时针
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方向旋转
，得到
．连接
，交
于点D，则
的值为 ．
例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形
的边长为
，点
是
的中点，
与
交于点
，
是
上一点，连接
分别交
，
于点
，
，且
，连接
，则
，
．
课后专项训练
1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形
中，
是
中点，连接
，
，作
交
于
，交
于
，交
于
，延长
交
延长线于
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2018 湖北中考真题）如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点，将△ABG 沿AG 对折至
△AFG，延长GF 交DC 于点E，则DE 长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
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3.（2021 宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E，F 分别在边AB，AD 上，将矩形纸片沿CE，CF
折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C，H，G 恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF
的长是（ ）．
A．2 B．
7
4 C．
3 2
2
D．3
4.（2023.湖北 九年级期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE＝2，F 是
AB 边上一点，将△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H，则FH 的长
是（ ）
A．
B．
C．1
D．
5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D 是边长为1 的小正方形组成的6×5 网格中的格点，连接
交
于点E，连接
．给出4 个结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的是（ ）
H
G
F
E
A
B
D
C
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A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记
为点B'，折痕为CE，再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B'C 上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝
1
3 BC
，则矩形纸片ABCD 的面积为_________．
7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片
，折痕是
，点
落在点
处，分
别延长
、
交
于点
、
，若点
是
边的中点，则
cm．
8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，∠EAF＝45°，连
接AE 与BF 交于点G，连接AF 与DG 交于点H，则
DH
HG 的值为_________．
B′
D′
F
E
C
B
D
A
H
G
F
E
C
B
D
A
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9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4 2 ，对角线AC，BD 相交于点O．点E 是对角
线AC 上一点，连接BE，过点E 作EF⊥BE，分别交CD，BD 于点F，G，连接BF 交AC 于点H，将△EFH 沿EF
翻折，点H 的对应点H′ 恰好落在BD 上，得到△EFH′．若点F 为CD 的中点，则△EGH′ 的周长是
_________．
10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在BC、CD 上，若
AE=√5 ，∠EAF=45°，则AF 的长为 .
11.（2019 盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点A、B，
将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C，则直线BC 的函数表达式是_______________．
12.（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D 都
在格点处，AB 与CD 相交于O，则tan∠BOD 的值等于__________．
C
B
O
H
G
F
H′
E
D
A
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13.（2023 甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x
轴、y 轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A’位置，OB=
，tan∠BOC=
，则点
A’的坐标为____________．
14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C 落在点E 处，
分别延长ME，DE 交AB 于点F，G，若点M 是BC 边的中点，则FG＝_________cm．
15.（2017 浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+m 分别交x 轴、y 轴于A、B 两
点，已知点C（2，0），点P 为线段OB 的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m 的值是
__________．
G
E
M
F
B
A
C
D
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16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD 的边长为 6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线
AE 折叠后，点B 落在点F 处，AF 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________．
G
F
E
B
C
A
D
17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别在边BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF 的长为_________．
18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点
，
，
为坐标原点，点
关于直线
的对称点
恰好落在反比例函数
的图象上，则
．
19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点A 的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A 在反比例函数y
的图象上．作射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转
，交y 轴于C 点，则△ABC 面积为
．
F
E
C
B
D
A
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20．（2023 上·绍兴·期中）如图，已知点A（3，3
），点B（0，
），点A 在二次函数y＝
x2+
x
9
﹣
的图象上，作射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C
的坐标为 ．
21．（21·22 下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系
中，直线
的解析式为
分别交
轴，
轴于
，
两点，已知点
．（1）当直线
经过点
时，
；
（2）设点
为线段
的中点，连接
，
，若
，则
的值是 ．
22．（22·23 下·泰安·一模）如图，把一个矩形纸片
放入平面直角坐标系中，使
分别落在x
轴，y 轴上，连接
，将纸片
沿
翻折，点A 落在点
位置，若
，
，直线
与y 轴交于点F，则点F 的坐标为 ．
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23．（22·23 上·齐齐哈尔·期末）如图，在
中，
，点
是
边的中点，
，则
的值为 ．
24．（2023·运城·期末）仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为，点
,
,
,
都在格点上，
与
相交于点
，求
的值.
解析：连接
,
，导出
，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问
题.具体解法如下：连接
,
，则
，
，根据勾股定理可得：
,
,
,
，
是直角三角形，
，
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即
.
任务：（1）如图2，
,
,
,
四点均在边长为的正方形网格的格点上，线段
,
相交于点
，求
图中
的正切值；（2）如图3，
,
,
均在边长为的正方形网格的格点上，请直接写出
的值.
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