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淘宝：学思创想
专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股
以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三
角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相
等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
淘宝：学思创想
例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
，
分别在
轴、
轴正半轴上，点
在
边上，将矩形
沿
折叠，点
恰好落在边
上的点
处．若
，
，则点
的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出
，在
中，勾股定理求得
，进而得出
，
在
中，勾股定理建立方程，求得
的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形
是矩形，∴
，
∵折叠，∴
，在
中，
∴
，∴设
，则
，
∵折叠，∴
，在
中，
，
∴
，解得：
，∴
，∴
的坐标为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关
键．
例2．（2023 春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形
中，
，
，E 是
的中点，
将
沿直线
翻折，点落B 在点F 处，连结
，则
的长为（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】连接
交
于点
，根据三角形的面积公式求出
，得到
，根据直角三角形的判定得到
，根据勾股定理求出答案．
【详解】解：连接
交
于点
，
将
沿直线
翻折，点落
在点
处，
点
、
关于
对称，
，
，
，点
为
的中点，
，
又
，
，
，则
，
，
，
．故选：B．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形
沿直线
折叠，使点
的对应点
落在边
上（点
不与点
重合），点
落在点
处，
与
交于点
，折痕分别与边
，
交于点
，连接
．(1)求证：
；(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到
，则
，进而证
明
，再由平行线的性质证明
即可证明
；
（2）如图，延长
交于点
．证明
得到
，
，
设
，则
，
．由
，得到
．则
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．由勾股定理建立方程
，解方程即可得到
．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，
．
∴
．∴
，即
，
∵四边形
是正方形，∴
．∴
．∴
．
（2）解：如图，延长
交于点
．∵
，∴
．
又∵
，正方形
边长为3，∴
∴
，
∴
，
，设
，则
，∴
．
∵
，即
，∴
．∴
．
在
中，
，∴
．解得：
（舍），
．∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
例4．（2023 春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形
中，
，
．点O 为矩形
的对称中心，点E 为边
上的动点，连接
并延长交
于点F．将四边形
沿着
翻折，
得到四边形
，边
交边
于点G，连接
，则
的面积的最小值为（ ）
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A．18－3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在
上截取
，连接
，证明
，所以
，即可得
最短时，
也就最短，而当
时，
最短，且
，再过点
作
，得
，又因为
，就可以根据勾股定理计算
、
的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在
上截取
，连接
，
由折叠得：
，又
，
，
，
最短时，
也就最短，而当
时，
最短，
此时，
点
为矩形
的对称中心，
，即
的最小值是4，
在
中，
点
为矩形
的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，
度数也不变，是定值，
当
最小值时，
面积最小．过点
作
，
点
为矩形
的对称中心，
，
中，
，
中，
，
，
面积的最小值是
．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到
最小
值．
例5．（2023 春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片
中，
，
，点E、G 分
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别在
上，将
、
分别沿
翻折，翻折后点C 与点F 重合，点B 与点P 重合．当
A、P、F、E 四点在同一直线上时，线段
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】据矩形的性质得到
，
，
，据折叠的性质得到
，
，
，根据勾股定理得到
，设
，由勾股定理列方程
得到
，由折叠的性质得到
，
，
，求得
，设
，则
，据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：在矩形纸片
中，
，
，∴
，
，
，
∵将
沿
翻折，翻折后点C 与点F 重合，
∴
，
，
，∴
，
设
，∴
，
，
∵
，∴
，解得：
，∴
，
∵将
沿
翻折，翻折后点B 与点P 重合，
∴
，
，
，∴
，设
，则
，
∵
，∴
，∴
，∴线段GP 长为
，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键．
例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片
先沿对角线
折叠，展开后再折叠，使点
落在对角线
上，点
的对应点记为
，折痕与边
，
分别交于点
，
.
【活动猜想】（1）如图2，当点
与点
重合时，四边形
是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当
，
，
时，求证：点
，
，
在同一条直线上.
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【深入探究】（3）如图4，当
与
满足什么关系时，始终有
与对角线
平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设
与
，
分别交于点
，
，试探究三条线段
，
，
之间满足
的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3）
，证明见解析；（4）
，理由
见解析
【分析】（1）由折叠可得：
，
，再证得
，可得
，利用菱形
的判定定理即可得出答案；（2）设
与
交于点
，过点
作
于
，利用勾股定理可得
，再证明
，可求得
，进而可得
，再由
，可求
得
，
，
，运用勾股定理可得
，运用勾股定理逆定理可得
，进而可得
，即可证得结论；
（3）设
，则
，利用折叠的性质和平行线性质可得：
，再运用三角形内角和定理即可求得
，利用解直角三角形即可求得答案；
（4）过点
作
于
，设
交
于
，设
，
，利用解直角三角形可得
，
，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点
与点
重合时，四边形
是菱形．
理由：设
与
交于点
，如图，
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由折叠得：
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
四边形
是菱形．故答案为：菱形．
（2）证明：
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，设
与
交于点
，过点
作
于
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点
，
，
在同一条直线上．
（3）当
时，始终有
与对角线
平行．
理由：如图，设
、
交于点
，
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四边形
是矩形，
，
，
，
设
，则
，由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
；
（4）
，理由如下：如图，过点
作
于
，设
交
于
，
由折叠得：
，
，
，设
，
，
由（3）得：
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等
腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉
及知识点多，综合性强，难度较大．
模型2.正方形中的翻折模型
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【模型解读】
例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形
的边长为4，点F 为
边的中点，点P 是
边上
不与端点重合的一动点，连接
．将
沿
翻折，点A 的对应点为点E，则线段
长的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定线段EF 的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可
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求出答案．
【详解】连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F 在同一条直线上时，EF 的长度有最小值，如图
由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD 中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵点F 为
边的中点，∴CF=2，∴
，
∴
；故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，
正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题．
例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E，连接CE，将△BCE 沿CE
翻折，点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF 的面积是（ ）
A．1
B．3
C．6
D．
【答案】B
【分析】由折叠可得EF＝BE＝2，∠CFE＝∠B＝90°，且∠FAE＝45°可得AF＝2，AE＝2
，即可求对角线
BD 的长，则可求△CDF 面积.
【详解】如图连接BD 交AC 于O，
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ABCD
∵
为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，AC BD
⊥
，DO＝BO，∠BAC＝45°，
BCE
∵△
沿CE 翻折，∴BE＝EF＝2，BC＝CF，∠EFC＝90°，
BAC
∵∠
＝45°，∠EFC＝90°，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝2，∴AE＝2
，
AB
∴
＝2
+2＝BC＝CF，∴BD＝
AB＝4+2
，∴OD＝2+
，∵S△CDF＝
×CF×DO＝3
+4，故选B．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
熟练应用所学知识解决问题．
例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形
中，
，点E 在边
上，且
．将
沿
对折至
，延长
交边
于点G，连接
，则下列结论：①
；
②
③
；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明
Rt△ABG Rt
≌
△AFG，即可判断①正确；根据
，进而可得
，根据
三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF
＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt△EGC 中，根据勾股定理建立方程（x+2）
2＝（6﹣x）
2+42，
解方程可得
，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出
∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即
可判断④正确
【详解】∵四边形
是正方形，∴
，AB＝BC＝CD=AD＝6，
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∵
，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，
在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，
，∴Rt△ABG Rt
≌
△AFG（HL），∴①正确；
∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE，∴
，∵Rt△ABG Rt
≌
△AFG，∴
，
∵
，∴
，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵CE＝4，∴（x+2）
2＝（6﹣x）
2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；
∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF
④
∴
正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，
勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形
的边长为1，点E、F 分别在边
上，将正方形沿着
翻折，点B 恰好落在
边上的点
处，如果四边形
与四边形
的面积
比为3 5∶，那么线段
的长为 ．
【答案】
【分析】连接
，过点
作
于点
，设
，则
，则
，根据已知条件，
分别表示出
，证明
，得出
，在
中，
，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
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【详解】解：如图所示，连接
，过点
作
于点
，
∵正方形
的边长为1，四边形
与四边形
的面积比为3 5∶，
∴
，设
，则
，则
∴
即
∴
∴
，∴
，
∵折叠，∴
，∴
，∵
，∴
，
又
,
∴
，∴
在
中，
即
解得：
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为
（
为正整数）的矩
形称为
阶奇妙矩形．（1）概念理解：当
时，这个矩形为1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学
习过的黄金矩形，它的宽（
）与长
的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片
进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为
，连接
；
第二步：折叠纸片使
落在
上，点
的对应点为点
，展开，折痕为
；
第三步：过点
折叠纸片，使得点
分别落在边
上，展开，折痕为
．
淘宝：学思创想
试说明：矩形
是1 阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片
折叠出一个2 阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作
简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个
阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图
（4），点
为正方形
边
上（不与端点重合）任意一点，连接
，继续（2）中操作的第二步、
第三步，四边形
的周长与矩形
的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
，理由见解析
【分析】（1）将
代入
，即可求解．（2）设正方形的边长为
，根据折叠的性质，可得
，设
，则
，在
中，勾股定理建立方程，解方程，即可求
解；（3）仿照（2）的方法得出2 阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形
的周长与
矩形
的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当
时，
，故答案为：
．
（2）如图（2），连接
，
淘宝：学思创想
设正方形的边长为
，根据折叠的性质，可得
设
，则
根据折叠，可得
，
，
在
中，
，∴
，
在
中，
∴
解得：
∴
∴矩形
是1 阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片
进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为
，再对折，折痕为
，连接
；
第二步：折叠纸片使
落在
上，点
的对应点为点
，展开，折痕为
；
第三步：过点
折叠纸片，使得点
分别落在边
上，展开，折痕为
．
矩形
是2 阶奇妙矩形，
理由如下，连接
，设正方形的边长为
，根据折叠可得
，则
，
设
，则
根据折叠，可得
，
，
在
中，
，∴
，
在
中，
∴
解得：
∴
当
时，
∴矩形
是2 阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶
，设正方形的边长为1，设
，则
，
设
，则
根据折叠，可得
，
，
在
中，
，∴
，
在
中，
∴
整理得，
淘宝：学思创想
∴四边形
的边长为
矩形
的周长为
，∴四边形
的周长与矩形
的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形
中，
，将菱形折叠，使点
恰好落在
对角线
上的点
处不与
、
重合，折痕为
，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
淘宝：学思创想
【分析】作
于
，根据折叠的性质得到
，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到
为等边三角形，得到
，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作
于
，由折叠的性质可知，
，由题意得，
，
四边形
是菱形，
，
，
为等边三角形，
，设
，则
，
在
中，
，
，在
中，
，
即
，解得，
，即
，故答案为：
．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对
称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，点M 是AD 边的中点，点N 是
AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C 长度的最小值是（ ）.
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N 的运动过程中A′在以M 为圆心、AD 为直径的圆上的弧AD 上运动，当A′C 取最小
值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C 三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出
A′C 的长即可．
【详解】如图所示：
淘宝：学思创想
MA′
∵
是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF DC
⊥
于点F，
∵在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
FMD=30°
∴∠
，∴FD=
MD=
，∴FM=DM×cos30°=
，
MC=
∴
，∴A′C=MC-MA′=
-1．故选B．
例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片
中，
，
，将菱形
纸片翻折，使点A 落在
的中点
处，折痕为
，点
，
分别在边
，
上，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
、
，根据菱形的性质可知
是等边三角形，由
是
中点，可求得
，
，
又因为CD AB
∥
，可得
，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接
、
，
四边形
为菱形，
，
，
，
是等边三角形，
是
中点，
，
，
，
，
∵CD AB
∥
，
，由折叠可得
，
淘宝：学思创想
，
，
．故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意作
出辅助线得到等边三角形再由勾股定理求解．
例4．（2023 春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片
中，
，E 是
边的中
点，将菱形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在直线
上的点G 处，折痕为
，
与
交于点
H，有如下结论：①
；②
；③
；④
，上述结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】连接
，得到
是等边三角形，根据三线合一的性质得到
，由折叠得
，求出
的度数即可判断①；利用30 度角的性质求出
，勾股定理求出
，
即可判断②；连接
，由折叠得
，根据等边对等角求出
，得到
，即可判断③；过点F 作
于点M，先求出
，由折叠得
，
，设
，则
，求出
，再得到
，根据
求出四边形
的面积，即可判断④．
【详解】解：连接
，∵四边形
是菱形，∴
，
，∴
是等边三角
形，
∵E 是
边的中点，∴
，∴
，
由折叠得
，∴
，∵
，∴
，故①正确；
淘宝：学思创想
∵
，∴
，∴
，
∴
，即
，故②正确；连接
，由折叠得
，∴
，
∵
，∴
，∴
，故③正确；
过点F 作
于点M，∵
，
∴
，由折叠得
，∴
，∴
，
∵
，∴
，设
，则
，
∴
，
，∵
，∴
，∴
，
∴四边形
的面积
，
∴
，故④错误；故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30 度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的
判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6 和8 的菱形
如图所示，点O 为对角线的交点，过
点O 折叠菱形，使B，
两点重合，
是折痕．若
，则
的长为 ．
淘宝：学思创想
【答案】4
【分析】连接
、
，如图，利用菱形的性质得
，
，
，再利
用勾股定理计算出
，接着证明
得到
，然后根据折叠的性质得
，
从而有
，于是计算
即可．
【详解】解：连接
、
，如图，
点
为菱形
的对角线的交点，
，
，
，
在
中，
，
，
，
在
和
中
，
，
，
过点
折叠菱形，使
，
两点重合，
是折痕，
，
，
，故答案为：4．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．
例6．（2023 秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形
中，
，
，点
是
的中点，
点
是
上一点，以
为对称轴将
折叠得到
，以
为对称轴将
折叠得到
，
使得点
落到
上，连接
．下列结论错误的是（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】A.由折叠的性质可以知道
和
分别是
和
的平分线，同时
是平角，所以
可知
，故选项A 正确；B.由题意和折叠的性质可以知道
、
，就可以得到
，选项B 正确；C 和D.过点
作
于点
，
，可得
，
．
设
，可以得到
，
．根据折叠的性质可得
，根据勾
股定理，求得
，即可得到
，
，所以
．故选项C 正确，选项D 错误．
【详解】解：A.由折叠可知
和
分别是
和
的平分线．
又
，
，故选项A 正确．
B.又
点
与点
关于
对称，
，又
，
，故选项B 正确．
C 和D.如答图，过点
作
于点
．
，
，
，
易知
，
，
设
，
，
，
点
是
的中点，折叠后点
落到
上，
点
与点
重合，
．
易知点
共线，
．
，
，解得
．
，
，
淘宝：学思创想
，故选项C 正确，选项D 错误．综上，故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关
键．
模型4.三角形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC 的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D 在边BC 上，
以AD 为折痕将ADB 折叠得到ADB
，AB与边BC 交于点E．若
DEB
△
为直角三角形，则BD 的长是
_____．
淘宝：学思创想
【答案】17 或
75
4
【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB
为直角三角形时，
可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．
【详解】解：在Rt ABC
中，
2
2
625
49
24
BC
AB
AC
，
（1）当
90
EDB
时，如图1，过点B′ 作B F
AC
，交AC 的延长线于点F ，
由折叠得：
25
AB
AB
，BD
B D
CF
，设BD
x
，则B D
CF
x
，
24
B F
CD
x
，
在Rt AFB
中，由勾股定理得：
2
2
2
(7
)
(24
)
25
x
x
，
即：
2
17
0
x
x
，解得：
1
0
x
（舍去），
2
17
x
，因此，
17
BD
．
（2）当
90
DEB
时，如图2，此时点E 与点C 重合，
由折叠得：
25
AB
AB
，则
25
7
18
B C
，设BD
x
，则B D
x
，
24
CD
x
，
在Rt △B CD
中，由勾股定理得：
2
2
2
(24
)
18
x
x
，解得：
75
4
x
，因此
75
4
BD
．故答案为：17 或
75
4 ．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应
用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
例2．（2023 年四川省成都市数学中考真题）如图，在
中，
，
平分
交
于点
，过
作
交
于点
，将
沿
折叠得到
，
交
于点
．若
，则
．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】过点
作
于
，证明
，得出
，根据
，得
，设
，
，则
，则
，在
中，
，在
中，
，则
，解方程求得
，则
，
，勾股定理求得
，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点
作
于
，
∵
平分
交
于点
，
∴
,
∴
∴
∵折叠，∴
，∴
,又∵
∴
∴
∴
∵
，
，则
，∴
∴
，
，
∵
设
，
，则
，则
，
∵
∴
在
中，
在
中，
∴
即
解得：
∴
，
淘宝：学思创想
则
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在
中，
，点
是
的中点，将
沿
折叠得到
，连接
.若
于点
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，作
于点
．设
，由折叠可
知
则
，得到
，从而推导出
，由三角形中位线定理得到
，从而推导出
，得到四边形
是正方形，
，
，最后利
用勾股定理解答即可．
【详解】解：取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，作
于点
．
∵
，
为
的中点，∴
，
，
．
∵点
是
的中点，∴
是
的中位线，∴
，则
于点
，
设
，由折叠可知
则
，∵
，∴
，
，
淘宝：学思创想
又由折叠得
，
，∴
，
∴
，即
，∴
，解得：
，∴
，
∵
是
的中位线，∴
，
，∴
，由折叠知
，
，
在
和
中，
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
又∵
，且
，∴
，∴
，
∴
，∴四边形
是正方形，∴
，∴
．
在
中，
，∴
，解得：
，
∴
，
，即
，
，
在
中，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质
等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，
平分等边
的面积，折叠
得到
分
别与
相交于
两点．若
，用含
的式子表示
的长是 ．
【答案】
【分析】先根据折叠的性质可得
，
，从而可得
，再根据
淘宝：学思创想
相似三角形的判定可证
，根据相似三角形的性质可得
，
，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：
是等边三角形，
，
∵折叠
得到
，
，
，
，
平分等边
的面积，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
解得
或
（不符合题意，舍去），故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O 的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠后与弦AB 交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC 折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
淘宝：学思创想
例1．（2022 秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图，
是
的外接圆，
，把弧
沿弦
向下折叠交
于点D，若点D 为
中点，则
长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质可得
，由折叠的性质和圆周角定理可得
可得
，可证
，可得
，即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
∵
，∴
，∵点D 为
中点，∴
，
∵弧
沿弦
向下折叠交
于点D，∴
，∴
，
∵
，∴
，又∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
（负值舍去），故选：C．
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，
证明三角形相似是解题的关键．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，
为
的直径，点
为圆上一点，
，将劣弧
沿弦
所在的直线翻折，交
于点
，则
的度数等于( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，根据直径所对的圆周角是直角求出
，根据直角三角形两锐角互余求出
，再根
据优弧
所对的圆周角为
，得到
，然后根据
，计算求得
的度数．
【详解】解：如图，连接
，
是直径，
，
，
．
根据翻折的性质，
所对的圆周角为
，优弧
所对的圆周角为
，
，
，
，故选:B．
【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，
构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解
.
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，
的半径为4．将
的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过
圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】过O 作垂直于AB 的半径OC，设交点为D，连接
,根据折叠的性质可求出OD 的长；根据
勾股定理可求出AD 的长，由垂径定理知AB=2AD，解
，求得
,即可求得
，
进而求得劣弧
的长．
【详解】解：过O 作OC⊥AB 于D，交⊙O 于C，连接OA，
Rt△OAD 中，OD=CD=
OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD=
=2
，
故答案 ：
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例4．（2022 春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，
为
的直径，将
沿
翻折，翻折后的弧交
于D．若
，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．8
D．10
【答案】C
【分析】连结AC，DC，过点C 作CE⊥AB 与E，点D 关于BC 的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根
据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出
，然后利用勾股定理构建方程
，即
，求出
，
，利用面积桥求出斜边上高CE 与
AE，根据BC 为折痕，点D 与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC，
，可得AC=CD，利用等腰
三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC 进行面积转化求即即可．
【详解】解：连接AC，DC，过点C 作CE⊥AB 与E，点D 关于BC 的对称点D′，连接CD′，BD′
设AC=x，∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，
∵
，∴
，
∴
，即
，解得
，
，
∴
，∴
，∴AE=
，
∵BC 为折痕，点D 与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，
，
∴
，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，
∴S 阴影=S△ACD=
．故选：C．
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆
周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键．
例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形
中，
，点C，D 分别是
和
上的点，
且
，将扇形沿
翻折，翻折后的
恰好经过点O．若
，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】
【详解】过点O 作
交
于点E，连接OC，CE，由折叠的性质结合所作辅助线可得出
为
等边三角形，即
．再根据平行线的性质可求出
，从而可求出
，进而
可求出
，利用锐角三角函数可求出
，最后根据
，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【分析】解：过点O 作
交
于点E，连接
，如图，
淘宝：学思创想
∴
，∴
为等边三角形，∴
．
∵
，
，∴
．
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查折叠的性质，扇形的面积公式，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角
形等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O 中，点C 在优弧
上，将
沿BC 折叠后刚好经过
AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③
+
＝
；④CD 平分∠ACB
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延
长OD 交⊙O 于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【详解】过D 作DD' BC
⊥
，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，
淘宝：学思创想
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；
∵点D 是AB 的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；
∴
，由折叠得：
，∴
；故③正确；
延长OD 交⊙O 于E，连接CE，∵OD AB
⊥
，
ACE
∴∠
＝∠BCE，∴CD 不平分∠ACB，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，
是
的直径，
是
的弦，先将
沿
翻折交
于点
．再将
沿
翻折交
于点
．若
，设
，则
所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同
圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明
，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度
数可求得∠B 的度数．
【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
淘宝：学思创想
∵⊙O 与⊙O′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为∠ABC，∴
．同理：
．
又∵F 是劣弧BD 的中点，∴
．∴
．
∴弧AC 的度数=180°÷4=45°．∴∠B=
×45°=22.5°．
∴
所在的范围是
；故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、
圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P 是优
弧
上的一个动点（与A、B 两点不重合），若⊙O 的半径是2cm，则△APB 面积的最大值是
cm2
【答案】
【分析】过点P 作
于点T，过点O 作
于点H，交
于点K，连接AO，AK，PO，解直
角三角形求出AB，求出PT 的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，过点P 作
于点T，过点O 作
于点H，交
于点K，连接AO，
AK，PO．
淘宝：学思创想
由题意得AB 垂直平分线段OK，∴
．
∵
，∴
，∴
．
∴
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴PT 的最大值为3，
∴
的面积的最大值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT 的最大
值．
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形
中，
，点E 为
的中点，点F 在
上，连
接
，将
沿
翻折，使点B 的对应点恰为点E，则
的长为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质、折叠性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形
是矩形，∴
，
，
，
由折叠性质得
，∵点E 为
的中点，∴
，
在
中，
，
，
由勾股定理得
，解得
，
在
中，
，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理建立方程思想是解答
的关键．
2．（2023 年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片
．先对折矩形
，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点
落在
上，并使折痕经过点
，得到折
痕
﹐同时得到线段
，
．观察所得的线段，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得出
，
，进而得到
，
在
中，由特殊锐角的三角函数可求
即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：
，
，
，
，∴
淘宝：学思创想
∵四边形
是矩形，∴
，
，
∴
，在
中，
，
∴
，∴
∴
，
在
中，
，∴
，∴
，故选：
．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形
的边角关系是解题的关键．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形
的边
，将
矩形
沿直线
折叠到如图所示的位置，线段
恰好经过点
，点
落在
轴的点
位置，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先证明
，求出
，连结
，设
与
交于点F，然后求出
，可得
，再用含
的式子表示出
，最后在
中，利用勾股定理
构建方程求出
即可解决问题．
【详解】解：∵矩形
的边
，
，
∴
，
，
，由题意知
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
由折叠知
，
，∴
，∴
，即
，
连接
，设
与
交于点F，∴
，
∵
，∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，∴
，
由折叠知
，
，∴
，
∵在
中，
，∴
，
解得：
，∴点
的坐标是
，故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知
识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出
的长是解题的关键．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在
中，点
在优弧
上，将弧
沿
折叠后刚好经
过
的中点
．若
的半径为5，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
淘宝：学思创想
【分析】连接AC、OB、OD、CD，作
于点F，作
于点E，由垂径定理可知
于点
D，由勾股定理可知OD 的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出
，再证明四边形ODFE 为正方形，得到△CFB 为等腰三角形，计算出弧AC 所对圆
周角度数，进而得弧AC 所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【详解】解：连接AC、OB、OD、CD，作
于点F，作
于点E，
由垂径定理可知
于点D，
又
CA、CD 所对的圆周角为
、
，且
，△CAD 为等腰三角形
又
四边形ODFE 为矩形且OD=DF=
四边形ODFE 为正方形
故△CFB 为等腰三角形，
所对的圆心角为
故选A．
【点睛】本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公
式是解题的关键．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，
是半径为4 的
的弦，且
，将
沿着弦
折叠，点
C 是折叠后的
上一动点，连接并延长
交
于点D，点E 是
的中点，连接
.则
的最小值为
．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O 作AB 的垂线交AB 于点F，过点C 作AB 对称点C’，连结
EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EO
EF - OF，根据当E、O、F 三点共线时，EO 的值最小为EF-OF，求出
EF 的长，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】解：连结AD、AC，过点O 作AB 的垂线交AB 于点F，过点C 作AB 对称点C’，连结EF、AC’，
则AC’=AD=AC，EO
EF - OF，∴EO 的最小值为EF - OF，
当E、O、F 三点共线时，EO 的值最小为EF-OF，
∵AD=AC，且E 为DC 的中点，∴AE
DC，
∴EF=
AB= ，OF=
，∴OE 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是
添加辅助线．
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
．点E 为边
的中
点，点F 为边
上一点，将四边形
沿
折叠，点A 的对应点为点
，点B 的对应点为点
，过点
作
于点H，若
，则
的长是 ．
淘宝：学思创想
【答案】
或
【分析】分两种情况：当点
在点
左侧时，设
交
于点
，过点
作
于点
，则四边
形
为矩形
，
，由折叠可知
，
，由平行线的性
质可得
，于是
，
，利用勾股定理求得
，证明
，利用相似三角形的性质求得
，
，于是
，
，则
，代入计算即可得到答案；当点
在点
右侧时，设
交
于点
，过
点
作
于点
，同理可得
，
，四边形
为矩形，
，利用相似三
角形的性质求得
，
，进而去除
，则
，
代入计算即可求解．
【详解】解：当点
在点
左侧时，如图，设
交
于点
，过点
作
于点
，
则
，
点
为边
的中点，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
；
当点
在点
右侧时，如图，设
交
于点
，过点
作
于点
，
同理可得：
，
，四边形
为矩形，
，
，
在
中，
，
，
，即
，
，
，
，
．
综上，
的长是
或
．故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判
定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片
沿过点
的直线折叠，使点
落在射线
上的点
处，折痕
交
于点
．若
，
，则
的长等于 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】过点A 作
于点Q，根据菱形性质可得
，根据折叠所得
，结合
三角形的外角定理得出
，最后根据
，
即可求解．
【详解】解：过点A 作
于点Q，∵四边形
为菱形，
，
∴
，
，∴
，
∵
由
沿
折叠所得，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，则
，
∴
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的
性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将
斜边
翻折，使点B 落在直角边
的延长线上的点E 处，折痕为
，则
的长是 ___________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出
，根据折叠的性质可知：
，
，进一步求出
淘宝：学思创想
，设
，则
，由勾股定理得
，解得
，则
．
【详解】解：在
中，由勾股定理得
，
根据折叠的性质可知：
，
，∵
，∴
，
设
，则
，在
中，由勾股定理得
∴
，解得
∴
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
9．（2023 秋·四川雅安·八年级统考期末）在
中，
，点D 在边
上，连接
，将
沿直线
翻折，点A 恰好落在
边上的点E 处，若
，
，则
的长是 ．
【答案】
【分析】过点
作
于
，
于
，由折叠的性质可得
，
，由勾股定理可求
，由面积法可求
的长，由勾股定理可求
的长．
【详解】解：如图，过点
作
于
，
于
，
淘宝：学思创想
将
沿直线
翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出
的长是
本题的关键．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点
落在长边
上的点
处，并得到折痕
，小宇测得长边
，则四边形
的周长为 ．
【答案】
【分析】可证
，从而可得
，再证四边形
是平行四边形，可得
，即可求解．
【详解】解：
四边形
是平行四边形，
，
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
． 故答案：
．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，点
是
上一
动点，将
沿
折叠得到
，当点
恰好落在
上时，
的长为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
/
【分析】过点
作
交
的延长线于点
，根据平行四边形的性质以及已知条件得出
，进而求得
，根据折叠的性质得出
，进而在
中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点
作
交
的延长线于点
，
∵在
中，
，
，
，
∴
，∴
，
在
中，
∵将
沿
折叠得到
，当点
恰好落在
上时，∴
又
∴
∴
∴
设
，∴
在
中，
∴
解得：
（负整数）故答案为：
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关
键．
12．（2023 春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形
中，
，
，现将矩形沿
折叠，点C 翻折后交
于点G，点D 的对应点为点H，当
时，线段
的长为
．
淘宝：学思创想
【答案】5
【分析】由矩形的性质可知
，由折叠可知
，
，易得
，设
，则
，由勾股定理可得
，即
，可得
，
，可证
，可得
．
【详解】解：由矩形的性质可知：
，
由折叠可知：
，
，则
，∴
，
∵
，
，
，∴
，
设
，则
，
由勾股定理可得：
，即
，解得
，
∴
，
，∴
，∴
，故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定及性质，证明
是解决问题关键．
13．（2023 春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形
沿着对角线
翻折，点C 落在点
处，
与
相交于点E，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，证明
，然后求出
，最后根据勾股定理即可求出结果．
淘宝：学思创想
【详解】由翻折的性质可知，在
与
中，
，
，
，
，
，
长方形
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
14．（2023 春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片
中，
，
，点D，E 分别为
上的动点，将纸片沿
翻折，点B 的对应点
恰好落在边
上，如
图（2），再将纸片沿
翻折，点C 的对应点为
，如图（3）.当
，
的重合部分（即阴影
部分）为直角三角形时，
的长为______．
【答案】1 或
【分析】分两种情况：当
时，此时可得E 是
的中点，得
；当
时，此时D、A
重合，
是
的平分线，由勾股定理易得结果．
【详解】解：∵
，
，∴
；
①如图，当
时，由折叠性质得：
，
，
∴
；
∵
，
，
∴
，∴
，∴
，
此时B、
重合，则
，即点E 是
的中点，∴
；
淘宝：学思创想
②如图，当
时，
所在直线重合，
∴
，∴
，此时D、A 重合，
在
边上，
∴
是
的平分线，∴
，
由勾股定理
，∴
．
在
中，
，由勾股定理得：
；故答案为：1 或
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟
练掌握这些知识是关键，注意分类讨论．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形
中，点C，D 在
上，将
沿弦
折叠后恰
好与
，
相切于点E，F．已知
，
，则
的度数为 ；折痕
的长为
．
淘宝：学思创想
【答案】 60°/60 度
【分析】根据对称性作O 关于CD 的对称点M，则点D、E、F、B 都在以M 为圆心，半径为6 的圆上，再
结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O 关于CD 的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO 交CD 于N
∵将
沿弦
折叠∴点D、E、F、B 都在以M 为圆心，半径为6 的圆上
∵将
沿弦
折叠后恰好与
，
相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB∴
∵
∴四边形MEOF 中
即
的度数为60°；∵
，
∴
（HL）∴
∴
∴
∵MO⊥DC∴
淘宝：学思创想
∴
故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是
解题的关键．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
的半径为
，
为
的弦，点
为
上的一点，
将
沿弦
翻折，使点
与圆心
重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留
与根号）
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出
是等边三角形，则
，
，根据阴影部分面积
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
，设
交于点
∵将
沿弦
翻折，使点
与圆心
重合，∴
，
又
∴
，∴
是等边三角形，
∴
，
，∴
,
∴阴影部分面积
故答案为：
．
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形
沿直线
折叠，使点
的对应点
落
淘宝：学思创想
在边
上（点
不与点
重合），点
落在点
处，
与
交于点
，折痕分别与边
，
交
于点
，连接
．
(1)求证：
；(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到
，则
，进而证
明
，再由平行线的性质证明
即可证明
；
（2）如图，延长
交于点
．证明
得到
，
，
设
，则
，
．由
，得到
．则
．由勾股定理建立方程
，解方程即可得到
．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，
．
∴
．∴
，即
，
∵四边形
是正方形，∴
．∴
．∴
．
（2）解：如图，延长
交于点
．∵
，∴
．
又∵
，正方形
边长为3，∴
∴
，
∴
，
，设
，则
，∴
．
∵
，即
，∴
．∴
．
在
中，
，∴
．解得：
（舍），
．∴
．
淘宝：学思创想
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究．
探究发现：如图1，在
中，
，
．
（1）操作发现：将
折叠，使边
落在边
上，点
的对应点是点
，折痕交
于点
，连接
，
，则
_______ ，设
，
，那么
______（用含
的式子表示）；
（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的
是黄金三角形．如图2，在菱形
中，
，
．求这个菱形较长对角线的长．
淘宝：学思创想
【答案】（1）
（2）证明见解析，拓展应用：
【分析】（1）利用等边对等角求出
的长，翻折得到
，
，利用三角形内角和定理求出，
，
，表示出
即可；
（2）证明
，利用相似比进行求解即可得出
；
拓展应用：连接
，延长
至点
，使
，连接
，得到
为黄金三角形，进而得到
，求出
的长即可．
【详解】解：（1）∵
，
，∴
，
∵将
折叠，使边
落在边
上，
∴
，
，
∴
，
；故答案为：
；
（2）证明：∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，整理，得：
，解得：
（负值已舍掉）；
经检验
是原分式方程的解．∴
；
拓展应用：如图，连接
，延长
至点
，使
，连接
，
淘宝：学思创想
∵在菱形
中，
，
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，∴
为黄金三角形，
∴
，∴
．即菱形的较长的对角线的长为
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解
并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为
．
19．（2023 秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形
中，E 为
边上一点，F 为
边上一点，连接
、
，分别将
和
沿
、
翻折，点D、B 的对应点分别为点G、H，且C、H、G 三点共线．
(1)如图1，若F 为
边的中点，
，点G 与点H 重合，则
＝ °，
＝ ；
(2)如图2，若F 为
的中点，
平分
，
，
，求
的度数及
的长；
(3)
，
，若F 为
的三等分点，请直接写出
的长 ．
淘宝：学思创想
【答案】(1)45；2(2)
；
(3)2 或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出
；设
，用x
表示出
的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出
的长；（2）如图，由折叠性质和
平分
，得出
，即可求出
的度数；先证明
和
是等腰直角三角
形，得出
，
，即可求出
的长； （3）根据F 为
的三等分点，分两种情况：
当
时，过点E 作
，交
的延长线于点P，连接
，证明
，得出
，进而求出
的长；当
时，点E 作
，交
的延长线于点P，连接
，根
据
，计算即可求出
的长．
【详解】（1）∵
，四边形
是矩形，
∴四边形
是正方形，∴
，
，
∵将
和
沿
、
翻折，点D、B 的对应点分别为点G、H，
∴
，
，∵
，∴
，
∵F 为
的中点，∴
，
∵将
和
沿
、
翻折，点D、B 的对应点分别为点G、H，
∴
，
，设
，则
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长
，交
于点M，
∵
平分
，∴
，由折叠的性质可知，
，
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
和
均为等腰直角三角形，
淘宝：学思创想
∴
，
，∴
，即
，解得
．
（3）分两种情况：①当
时，如图3，过点E 作
，交
的延长线于点P，连接
，则
四边形
为矩形，
，
，
由折叠的性质可知，
，
，∴
，
∵
，∴
，
，∴
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
设
，
，
，∴
，解得
，∴
．
②当
时，如图4，过点E 作
，交
的延长线于点P，连接
，则四边形
为矩
形，
，
，
由折叠的性质可知，
，
，∴
，
∵
，∴
，
，设
，
，
，
∵
，∴
，解得
，∴
．
综上可知，
的长为2 或
．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行
分类讨论是解题的关键．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问
题：如图1，同学们先画出半径为
的
，将圆形纸片沿着弦
折叠，使对折后劣弧
恰好过圆心
，同学们用尺子度量折痕
的长约为
，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
淘宝：学思创想
验证如下：如图1，过点
作
于点
，并延长
交虚线劣弧
于点
，∴
，
由折叠知，
，连接
，在
中，
，
根据勾股定理得，
，
∴
，
通过计算：
，同学们用尺子度量折痕
的长约为
是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2，
的半径为
，
为
的弦，
，垂足为点
，劣弧
沿弦
折叠后经过
的中点
，求弦
的长（结果保留根号）；(2)如图3，在
中劣弧
沿弦
折叠后与直径
相
交于点
，若
，
，求弦
的长（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接
，延长
交
于点
，求出
，再根据勾股定理可得出结论；
（2）作点
关于弦
的对称点
，连接
并延长与
的延长线相交于
，连接
，先证明
，可得
，
，
再证明
，根据相似三角形的性质求出
，利用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）解：连接
，延长
交
于点
，由题意可知
，
淘宝：学思创想
∵
是
的中点，∴
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，∴
；
（2）解：作点
关于弦
的对称点
，连接
并延长与
的延长线相交于
，连接
，
，
，
，
有折叠性质可知：
，
，
，∴
，
∴
，
，∴
，
．
∵四边形
是圆内接四边形，∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
即
．则
，
又∵
，∴
，∴
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的
判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
淘宝：学思创想
