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专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何
变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是
解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.矩形的翻折模型...................................................................................................................2
模型2.菱形的翻折模型.................................................................................................................30
模型3.正方形的翻折模型..............................................................................................................54
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【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有
了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量
关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊
平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
模型1.矩形的翻折模型例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿
翻折得到 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．3
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图， 是一张长方形纸片，且 ．沿过点D的
折痕将A角翻折，使得点A落在 上（如图中的点 ），折痕交 于点G，则 （ ）A． B． C． D．
例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ，翻折 ，使点
落在对角线 上 处．(1) __________； 是 的__________．（中线、角平分线、高线）
(2)求 和 的长．
例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点M在 边上，连
接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点N，若点N为 的中点，则 的长度为
．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，将矩形折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形 中， ， ，E，F分别为边 和
上的两个动点，满足 ．将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，其中G为A的对
称点．当点G落在直线 上时， 的长为 ．例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P，Q分别为
AB，AD上的动点，将 沿 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 在动点P，Q所有位
置中，当F，E，P三点共线， 时， ．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、
翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ；(2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长；
(3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ．
模型2.菱形的翻折模型
例1．（2023春·重庆八年级专题练习）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点
恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ， ，则的长为 ．
例2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱形对角线
的交点O处，折痕为 ，则点E、F分别为边 、 的中点．若 ， ，则
．
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片 ， ，将该菱形纸片折叠，
使点B恰好落在 边的中点 处，折痕与边 分别交于点M、N．则 的长为 ．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片 中， ，P为 中点．折叠该纸
片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交
点，过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为（ ）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片
分别沿 ， 所在直线进行折叠，使得菱形的两边 ， 重合于 ．若此时 ，
则 ．
模型3.正方形的翻折模型例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形 中， ， 是 的中点，将
沿 翻折至 ， 是 的中点，连接 ，则 的长度是 ．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻
折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4 ＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD
的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形 中， ，将其沿 翻折，使
，顶点 恰好落在线段 上的点 处，点 的对应点为点 ．则线段 的长为 ．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形 中， ，将 沿 翻折，使点 对应点
刚好落在对角线 上，将 沿 翻折，使点 对应点落在对角线 上，求 .
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形 中， ，点 是边
上一点（点 不与 重合），将 沿直线 翻折，点 落在点 处．(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长．(2)如图3，连接 分别交 于点 ，
点 ，连接 并延长交 于点 ，当 为 中点时，试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段 上取一点 ，且使 ，连接 ，则在点 从点 运动到点 的过程中，
的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片 ，使得 对应边过点C，若
，当 时， 的长是（ ）A． B． C． D．
2．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸
片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
3．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， 为 的中点，连接 ，
将 沿 所在直线翻折至四边形 所在平面内，得 ，延长 与 交于点 ，若
，则四边形 的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
4．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，
将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片 中， ，E是 边的中点，
将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线 上的点G处，折痕为 ， 与 交于点H，有
如下结论：① ；② ；③ ；④ ，上述结论中，所有
正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
6．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形 中，点P在 边上，连接 ，将
沿 翻折得到 ， 沿 翻折得到 ， 与 交于点E．若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形 的边长为10，点 是边 的中点，点 是边 上一
动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边、 分别交于点 、 将矩形纸片 沿着 翻折，使点 与点 重合，点 与点 重合，连
接 ，①如图1，若 ， ，则 ；②如图2，直线 分别交平行四边形
的边 、 于点 、 ，将平行四边形 沿着 翻折，使点 与点 重合，点 与点 重合，
连接 ，若 ， ， ，则四边形 的面积是 ．
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上的点
处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ．
10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边
上，将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积
比为3∶5，那么线段 的长为 ．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片 ， ， ，点P在边 上，连接
，将 沿 所在的直线折叠，点B的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直
角三角形时，线段 的长为 ．
12．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿 的方向在DC和CB上
运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为 ，当点G恰好落在MN上时，点F运动
的距离为 ．
13．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形纸片翻
折，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，点 、 分别在边 、 上，则 的值为 ．
14．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在
轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．
15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在对
角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．16．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点 在正方形 的 边上（不与点 重合），
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．(2)过点 作 交射线 于点 ．①求 的度数；②直接写出线段
与 之间的数量关系．
17．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】
如图，在正方形 中，点 在 边上，点 在 边上．将四边形 沿直线 翻折，得到四边
形 ，顶点 落在 边上的点 （不与点 、 重合）处，点 落在正方形右侧的点 处， 与
相交于点 ．
（1）在图1中，若 ， ，则 ______ ， 的度数为____________
【操作体验】（2）当 时，如图2，求证： ．
【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕 的变化， 的周长是否会发生
变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与 的周长的关系．18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形
称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习
过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作
简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图
（4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、
第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
