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专题02.勾股定理中的翻折模型
翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的
有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相
等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注
意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕
还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其
他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一
未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出
要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得
到△EBD，DE与BC交于F， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在 处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，
边 在 轴上，点 的坐标为 .将矩形沿对角线 翻折， 点落在 点的位置，且 交 轴于点
，那么点 的坐标为 .
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使 的对应点 落在对角线 上，折痕为 ，则 的长为______．
例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上F
处，已知 ， ，则 ______．
例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿 折叠
后得到 ，延长 交 于点 点，若 ， ，则 的长为______．
例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形 中，点 、 在 上，将 ， 分别
沿着 ， 翻折， 点 的对应点和点 的对应点恰好重合在点 处，则 的值是（ ）
A． B． C． D．例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 在矩形的边
上由点 向点 运动.沿直线 翻折 ，形成如下四种情形，设 ， 和矩形重叠部分
（阴影）的面积为 .（1）如图4，当点 运动到与点 重合时，求重叠部分的面积 ；（2）如图2，当
点 运动到何处时，翻折 后，点 恰好落在 边上？这时重叠部分的面积 等于多少？
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片 中，， ， ，点E
是 的中点，点F是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，连接 ，
则当 是直角三角形时， 的长是 ．
例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．
若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形 是一张长方形纸片，将该纸片沿
着 翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点 ，若 ， ，则 的面积为
_________．
例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的
中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，点
A、D关于直线 的对称点分别是点M、N．如果直线 恰好经过点C，那么 的长是__________．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ．
(1) 的长为 ．(2)把 沿着直线 翻折，使得点C落在 边上E处，求 的长．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 为
的平分线，将 沿 向上翻折得到 ，使点 在射线 上，则 的长为（ ）A． B． C． D．
例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， 为边 上
一点，将 沿着直线 翻折，点 恰好落在边 上的点 处，连接 ．如果 ，那么
的长为 ．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE
翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在 中， 是 上
的中线，如果将 沿 翻折后，点 的对应点 ，那么 的长为__________．
例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点 是 的边 的中点，将 沿直线
翻折能与 重合，若 ， ， ，则点 到直线 的距离为_______
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南·八年级期末）如图， 中， ，M，N分别是边 上
的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点A的对应点D落在 边的三等分点处，则线段 的长为
（ ）A．3 B． C．3或 D．3或
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在 中， ，点D，E分别在边 ， 上，且
，将 沿 折叠，点C恰好落在 边上的F点，若 ， ， ，则
的长为______．
模型7其他三角形翻折模型
例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边
上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点△F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，
以AD为折痕将ADB折叠得到ADB，AB与边BC交于点E．若△DEB为直角三角形，则BD的长是
_____．例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝ ，D是BC上一
点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（
）
A． B．3 C．2 D．
例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在RtABC中，∠A＝90°，AC＝2 ，AB＝2，D、E分
别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点 恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在RtABC中， ， ,
，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形
FGDE，当点G恰好落在线段AC上时， ，则 ．
例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ， ，
将边 沿 翻折，使点 落在边 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的
点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 、 ，则 的长为 ．课后专项训练
1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知 中， ，将它的锐角 翻
折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形 ， 点D是 边上一点，
连接 ，把 沿着 翻折，得到 ，连接 交 于点F．若 ， ，则点E到
的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中， ， ，P为AD上一点，将
沿BP翻折至 ，PE与CD相交于点O，且 ，则AP的长为（ ）
A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5
4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，
CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形 中， ， ，先将矩形沿着直线 翻折，使点 落在 边上的点 处，再将 沿着直线 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，则线段
的长为( )
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片 中， ，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在
对角线交点O处，折痕为 ，点E在边 上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的 处，
若 ， ， ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片 ，使得点 与点 重合，折痕为 ．
若 ， ，则 的长是______．9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，点D
在边 上，连接 ．将 沿 翻折后得到 ，若 ，则线段 的长为______．
10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形 中，E为 上一点，将 沿 翻
折，点D恰好落在 边上的点F处．若 ，则 的长为____________．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片 沿 翻折后，点C与E重合，
交 于点H，若 ， ，则 的长度为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进
行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为
；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为
．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点E在 边上，连
接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点F，连接 ．若点F为 的中点，则 的
长度为 ．
14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是AB边上的动点
（不与点A，B重合），连接CE，将 沿直线CE翻折得到 ，连接 ．当点 落在边AD上，
且点 恰好是AD的三等分点时， 的周长为 ．
15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB
与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为
．16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将 DCE沿
着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________． △
17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，
，将斜边 翻折使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则
的长为
18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形
沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形 沿对角线 翻折，点B落在点F处，
交 于E．(1)求证： 是等腰三角形；(2)若 ， ，求图中 的面积．21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP
沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开
展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用
同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形 ， ， ，将 延对角线 翻折得到
，点 的对应点为点 ， 与 交于点 ，则有 ______，
，且 ，易得 ______；(2)在（1）的条件下，若要求
线段 的长度，令 ，则 ______ (用x表示)，在 中利用勾股定理列出方程______
（不用化简）；
(3)如图2，对矩形 进行如下操作：①分别以点 ， 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧
相交于点 ， ，作直线 交 于点 ，连接 ；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点处，作射线 交 于点 ．若 ， ，求线段CQ的长．
23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学
们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，
连接 ， ，分别将 和 沿 ， 翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点
共线．
观察发现：（1）如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 _____°，
_____；
问题探究：（2）如图2，若 ， ， ，求 的长；
拓展延伸：（3） ， ，若F为 的三等分点，请求出 的长．
24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探
究活动．如图，四边形 为矩形， ．将矩形沿着过点 的直线 翻折，点 的对应点为点
．(1)若直线 与线段 交于点 ．①如图1，当点 正好落在对角线 和 的交点 处时，则 的
度数是______；②如图2，若点 是 的中点，点 落在矩形 内部时，延长 交 边于点 ．
若 ，请探究 ， 之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知 ， ，若直线 与射线 交于点 ，且 是直角三角形时，求 的长．
