专题02勾股定理中的翻折模型（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的 有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相 等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注 意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕 还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其 他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 【知识储备】 勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一 未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出 要求的线段的长度。 模型1.折痕过对角线模型 【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’. 结论1： ≌ ； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： AEC是等腰三角形。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得 到△EBD，DE与BC交于F， ，则 （ ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF= -EF，在Rt 中，由勾股定理得： ，由 此即可求得EF值．【详解】解：∵ ， ，∴AD= ， ， 由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED= ， ， ， ∵ ，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF= -EF， ∴在Rt 中，由勾股定理得： ， ∴ ，解得：EF= ，故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键． 例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC 折叠，点D落在 处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积． 【答案】(1)5(2)10 【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以 ， ， ，可得 ，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案； （2）直接根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有： 以 ， ， ，∴ （AAS），∴CF＝AF. 设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中， ，即 ，解得x＝5．所以 CF=5； （2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据 全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键． 例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 边 在 轴上，点 的坐标为 .将矩形沿对角线 翻折， 点落在 点的位置，且 交 轴于点，那么点 的坐标为 . 【答案】（0， ）． 【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x= ，即可解决问题． 【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC， ∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2， 解得：x= ，∴OE=3- = ，∴E点的坐标为（0， ）．故答案为（0， ）． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、 推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 模型2.折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 结论1： ≌ ； 折在矩形内 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 结论1： ≌ ； 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 结论1：四边形 ≌四边形 ； 折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： AEF是等腰三角形。 例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使 的 对应点 落在对角线 上，折痕为 ，则 的长为______．【答案】 . 【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由 FB2=EF2+BE2，列出方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°， ∵AB=4，AD=3，∴BD= ， ∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x， 在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x）2=x2+22，∴x= ，∴AF= ，故答案为： ． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，利用法则不变性，设未知数列方程是解题的 关键，是中考常考题型． 例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上F 处，已知 ， ，则 ______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质， ，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质， ，在 中，由勾股定理得： ，故答案是： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质． 例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿 折叠 后得到 ，延长 交 于点 点，若 ， ，则 的长为______． 【答案】 【分析】连接 ，根据翻折的性质，矩形的性质和 是 的中点，可得： ， ， ， ，可证 ，得 ；再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，再根据勾股定理可求出 的 长． 【详解】解：连接 ， 则在矩形 中，根据翻折的性质和 是 的中点，可得： ， ， ， ， 在 与 中， ∴ ；∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ∴ ， 在 中， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知 识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键．例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形 中，点 、 在 上，将 ， 分别 沿着 ， 翻折， 点 的对应点和点 的对应点恰好重合在点 处，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、G共 线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出 的值． 【详解】解：矩形 中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG， ∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG； 在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE， ∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE +∠EGF=90°，∴∠FEG=90°， ∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°， ∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x ∴ ∴ ∴ ；故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键 例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 在矩形的边 上由点 向点 运动.沿直线 翻折 ，形成如下四种情形，设 ， 和矩形重叠部分 （阴影）的面积为 .（1）如图4，当点 运动到与点 重合时，求重叠部分的面积 ；（2）如图2，当 点 运动到何处时，翻折 后，点 恰好落在 边上？这时重叠部分的面积 等于多少？【答案】（1） ；（2）当 时，点 恰好落在 边上,这时 . 【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; （2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; 【详解】解：（1）由题意可得, ∴ 设 ,则 在 中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得 ∴ 在 中∵ ∴ ∴ 在 中 解得： 此时 ∴当 时，点 恰好落在 边上 这时 . 【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理 解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 模型3.折痕任意两点模型 【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论1： ≌ ； 折在矩形内 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 结论1：四边形 ≌四边形 ； 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形 ≌四边形 ；结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： GC’F是直角三角形。 例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片 中，， ， ，点E 是 的中点，点F是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，连接 ， 则当 是直角三角形时， 的长是 ． 【答案】 或7 【分析】根据题意，分 及 两种情况进行讨论求解．其中，当 时， ， ， 三点共线，由矩形性质及已知条件，有 ， ，在 中，运用勾股定理求得 的长，再根据翻折性质，在 中，运用勾股定理求得FD的长；当 ，运用翻折性 质，证得 是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长． 【详解】解：分两种情况进行讨论， ①当 时，∵矩形 中， 沿 所在直线翻折，得到 ， ∴ ，∴ ， ， 三点共线． ∵矩形 ， ，∴ ．∵ ，点E是 的中点，∴ ． ∴在 中， ．∵ 沿 所在直线翻折，得到 ， ， ∴ ，∴ ． 设 ，则 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴在 中， ，即 ，解得， ∴ ． ②当 时，∵ ， ∴ ．∴ 沿 所在直线翻折，得到 ，∴ ． ∵矩形 ， ∴ ．∵ ，∴ 是等腰直角三角形． ∵ ，点E是 的中点，∴ ， ∵矩形 ， ，∴ ，∴ ． 综上所述， 的长为 或7． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键． 例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合． 若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________． 【答案】 【分析】设 ，在 中利用勾股定理求出x即可解决问题． 【详解】解：∵ 是 的中点， ， ，∴ ， 由折叠的性质知： ，设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理得： ， 即： ，解得 ，∴ ．故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用 方程的去思考问题，属于中考常考题型． 例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形 是一张长方形纸片，将该纸片沿 着 翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点 ，若 ， ，则 的面积为 _________．【答案】 【分析】根据长方形得到 ， ，根据折叠的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ，由勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴ ， ,如图所示： ∵将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，∴A'D ， ， ∴ ， ， ，∴ ，∴ ， ，∴ ，解得 ， ∴ ，∴过 作 于H，∴ ， ∴ AA'E的面积为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是 解题的关键． 例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______ 【答案】4 【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的 长，即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°； ∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x， 由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4． 【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点 为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键． 例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，点 A、D关于直线 的对称点分别是点M、N．如果直线 恰好经过点C，那么 的长是__________． 【答案】 【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图， 连接 ，则有四边形 ，四边形 相当于四边形 沿 边对折得到． 已知 ， ，则 ， ，在 中，，则 ， 设 ，则 ， ，在 中， ， 即 ，解得 ，故答案为： ． 【点睛】考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点． 模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ． (1) 的长为 ．(2)把 沿着直线 翻折，使得点C落在 边上E处，求 的长． 【答案】(1)20(2)6 【分析】（1）在 中利用勾股定理即可求出 的长； （2）首先根据折叠的性质可得 ， ，则 ，设 ， 则 ，根据勾股定理得出 即可求出． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ，∴ 故答案为： ； （2）根据折叠可得： ， 则 ， 设 ，则 ，∵ ∴ 解得： ， ∴ 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 为 的平分线，将 沿 向上翻折得到 ，使点 在射线 上，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得 ，进而根据折叠的性质可得 ，可得 ，设 ，表示出 ，进而在 中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在 中， ， ， ，∴ ， ∵将 沿 向上翻折得到 ，使点 在射线 上，∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中， ，即 ，解得： 即 的长为 ，故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， 为边 上 一点，将 沿着直线 翻折，点 恰好落在边 上的点 处，连接 ．如果 ，那么 的长为 ．【答案】 / 【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出 ，进而根据含30度角的直 角三角形的性质，勾股定理求得 ，进而得出 ． 【详解】解：如图，∵ ，∴ ，∴ ，∵折叠，∴ ，∴ ， ∵ 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出 是解题的关键． 模型5.过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE 翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到 ，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理可得到 ，求解即可． 【详解】解：∵ 沿DE翻折，使点A与点B重合， ，∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ 在 中，∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在 中， 是 上 的中线，如果将 沿 翻折后，点 的对应点 ，那么 的长为__________． 【答案】 ． 【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未 知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可． 【详解】如图所示，∵ ，∴BC= =8， ∵CD是 上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y， 根据题意，得 ， ，解得x= ，y= ,∴ ,故答案为： ．【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质， 正确构造方程组计算是解题的关键． 例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点 是 的边 的中点，将 沿直线 翻折能与 重合，若 ， ， ，则点 到直线 的距离为_______ 【答案】 【分析】连接 ，延长 交 于点G，作 于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得 三角形 为直角三角形，且G为 中点，从而 ，由勾股定理可得 的长，再根据 ，即 ，从而可求得 的长． 【详解】解：连接 ，延长 交 于点G，作 于点H，如图所示， 由折叠的性质可得： ，则 为 的中垂线，∴ ， ∵D为 中点，∴ ，∴ ， ∵ ，即 ，∴ ，即 ，在直角三角形 中，由勾股定理可得： ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解 决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长． 模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图， 中， ，M，N分别是边 上的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点A的对应点D落在 边的三等分点处，则线段 的长为（ ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】根据题意，分 和 两种情形，设 ，在 中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解： ，点A的对应点D落在 边的三等分点处，设BN＝x， 则 和 ， ，在 中， ， 当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得： ，故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． 例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在 中， ，点D，E分别在边 ， 上，且 ，将 沿 折叠，点C恰好落在 边上的F点，若 ， ， ，则 的长为______． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可求得 ，由折叠的性质可得 ，由直角三角形的性质可得 ， ，即可求得AB． 【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE， ∵ ，∴ ，∴ ，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B， ∴∠A＝∠ACF，∴ ，同理可求： ，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题． 模型7其他三角形翻折模型 例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边 上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点△F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____． 【答案】2 【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x， 在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可． 3242 【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB= =5， 12 8 1 1 ∴S = ACBC ABCH ，即 ，∴CH= ，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH= ， ABC 2 2 345CH 5 5 △ 16 16 在△BCH中，BH= BC2CH2  ，设BE=EF=x，则EH= -x， 5 5 16  2 8 2  x   x2 在△EHF中，EH2FH2 EF2，∴ 5  5 ，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理 列出方程．例2．（2022·内江九年级期中）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上， 以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB，AB与边BC交于点E．若△DEB为直角三角形，则BD的长是 _____． 75 【答案】17或 4 【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB为直角三角形时， 可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长． RtABC BC AB2AC2  6254924 【详解】解：在 中， ， （1）当EDB90时，如图1，过点B′作BF  AC，交AC的延长线于点F ， 由折叠得：ABAB25，BDBDCF，设BDx，则BDCF x，BF CD24x， RtAFB (7x)2(24x)2 252 在 中，由勾股定理得： ， 即： x217x0 ，解得： x 1 0 （舍去）， x 2 17 ，因此， BD17 ． （2）当DEB90时，如图2，此时点E与点C重合， 由折叠得：ABAB25，则BC25718，设BDx，则BDx，CD24x， 75 75 75 在 Rt △ B�CD 中，由勾股定理得： (24x)2182 x2，解得： x 4 ，因此BD 4 ．故答案为：17或 4 ． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复． 例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝ ，D是BC上一 点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定 理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD， 在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案． 【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H， ∵AB＝BC＝5，∴ ， 在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+( )2＝52，解得BH＝ ， 解得：AG＝3， 在 中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝ ，解得：CG＝1， 由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2， 设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2， x2+22＝（4﹣x）2，解得 ，∴DE＝CD＝ ，BD＝BC﹣CD＝ ， 设点E到BC的距离为d， 解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解 是解决本题的关键． 例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2 ，AB＝2，D、E分 别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点 恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ． 【答案】 /1.75 【分析】根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在 中，勾股定理 列出方程即可求得 的长，进而求得BD的长． 【详解】 把△BDE沿DE翻折，B的对应点 恰好落在AC的中点处， , 设 ，则 ， 在 中， 即 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中， ， , ，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形 FGDE，当点G恰好落在线段AC上时， ，则 ．【答案】1 【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾 股定理即可得解． 【详解】解：如下图，连接BE，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG， ∵ ， ，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中， ， ， ∴AE2+AB2=BE2即 ，∴AE=1，故答案为：1． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键． 例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ， ， 将边 沿 翻折，使点 落在边 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的 点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 、 ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】首先证明 是等腰直角三角形，利用面积法求出 ，可得 ，由勾股定理求出 ，即可求得 的长． 【详解】解：根据折叠的性质可知： ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理得： ， ， ， ， ，故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性 质，由直角三角形的性质和勾股定理求出 、 是解决问题的关键． 课后专项训练 1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知 中， ，将它的锐角 翻 折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点 为边 的中点，可求CD= ，设 DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理 解方程即可． 【详解】解：∵将它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于 点 ，∴ AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点 为边 的中点，∴CD= ，设DE=x，CE=6-x， △ 在Rt△CDE中由勾股定理， 即 ，解得 ．故选择：C． 【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾 股定理构造方程．2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形 ， 点D是 边上一点， 连接 ，把 沿着 翻折，得到 ，连接 交 于点F．若 ， ，则点E到 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作 于点M，先根据勾股定理求出 的长度，再根据翻折的性质得出 ，继而利用三角形的面积公式求出 ，再求出 , ，利用 三角形的面积求解即可． 【详解】过点E作 于点M， ∴ ，在直角三角形 ， ， ， ，∴ ， ∵把 沿着 翻折，得到 ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ， 解得 ，∴ , ， ∵ ，∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解 题的关键． 3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中， ， ，P为AD上一点，将沿BP翻折至 ，PE与CD相交于点O，且 ，则AP的长为（ ） A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明 ODP≌△OEG，得出OP=OG， PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定△理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是长方形， ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得： ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在 ODP和 OEG中△， △ △ ，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP， 设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x， 根据勾股定理得： ，即 ，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选A． 【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌 握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8， CD＝4，则折痕EF的长为（ ）A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】作 于 ，则 ，由四边形 为矩形，得 ，由折叠的性质 及等量代换得 ，设 ，则 ，由勾股定理解得 ，所以 ， ，根据矩形的判定可证四边形 是矩形，可得出 ，在 由勾股定理得 即可计算出． 【详解】解：如图，作 于 ，则 ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， 矩形沿 折叠，使 点与 点重合， ， ， ， ， ，设 ，则 ， 在 中， ， ，解得： ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ，在 中， ，故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化． 5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形 中， ， ，先将矩形沿着直线 翻折， 使点 落在 边上的点 处，再将 沿着直线 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，则线段的长为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，设 ， ，由勾股定理计算出 ，进而得到 ， 在 中，根据勾股定理得 ，故可求解． 【详解】解：由翻折得 ， ． ∵ 四边形 是矩形，∴ ， ． 在 中，根据勾股定理，得 ， ∴ ．设 ，则 ， 由翻折得 ， ， ， 在 中，由勾股定理，得 ．∴ ．解得 ．故选A． 【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用． 6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片 中， ，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在 对角线交点O处，折痕为 ，点E在边 上，则 的长为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题； 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO， ∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°， ∴BE=2CE根据勾股定理得：EC= = ，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形． 7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的 处， 若 ， ， ，则四边形 的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质结合矩形的性质得到 ， ， ，利用勾股 定理求得 ，过 作 ⊥ 于 ，设 ，在 中，再利用勾股定理列式求得 ， 根据梯形面积公式即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴ ，根据折叠的性质，得： ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ，∴ ， ∴ ，过 作 ⊥ 于 ，则 ， 设 ，则 ， ，在 中， ， 即 ，解得： ，即 ， ∴四边形 的面积是 ，故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，梯形的面积公式，解本题的关键是 利用勾股定理分别求出 ， 的长． 8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片 ，使得点 与点 重合，折痕为 ． 若 ， ，则 的长是______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得 ，然后在 中，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵折叠直角三角形纸片 ，使得点 与点 重合， ∴ ， 又∵ ， ， ，∴ ，∵在 中， ，∴ ，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键． 9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，点D 在边 上，连接 ．将 沿 翻折后得到 ，若 ，则线段 的长为______． 【答案】 【分析】 与 交于点F，设 ，则 ，据勾股定理得出 ， ，再 由翻折的性质得出 ， ，设 ，则 ，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 与 交于点F，设 ，则 ， ∵ ， ， ， ， ∴ 即 ，解得： ， ∴ ，∴ ， ∵将 沿 翻折后得到 ，∴ ， ，∴ ，设 ，则 ， ∴ 即 ，解得： 线段 的长为 故答案为： 【点睛】本题考翻折变换，勾股定理知识，解题关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型． 10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形 中，E为 上一点，将 沿 翻 折，点D恰好落在 边上的点F处．若 ，则 的长为____________． 【答案】5 【分析】设 ，由 ，利用勾股定理可得 的长，在 中，利用勾股定 理列式，即可解得 ，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形 是长方形，∴ ， 设 ，则 ，∵ ， ∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ ，解得： ， ∴ ，∴ ，故答案为：5． 【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键． 11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片 沿 翻折后，点C与E重合， 交 于点H，若 ， ，则 的长度为 ．【答案】6 【分析】由翻折得到 ， ，利用长方形的性质得到 ，推出 ，证明 ，得到 ，求出 ，由此求出 ，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得 ， ， 在长方形 中， ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，故答案为：6． 【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质， 熟练掌握各性质是解题的关键． 12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进 行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着 直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ； （2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ． 【答案】 8 【分析】（1）过F点作FM⊥AB于M点，易证明四边形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根据 ∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得 ，即 ，则 ，根据翻折的性质有 ，即可得∠MFE=∠CAB=30°，则在Rt△MFE中，得，问题得解； （2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1， ，在 和 中，利用勾股定理有 ， ，即有 ，可得到 ，进而可得 ， 在 中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）过F点作FM⊥AB于M点，如图， 在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°， ∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°，∴四边形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM， ∵∠CAB=30°，AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC， 即 ，得 ，解得， ，即 ， ∴ ，根据翻折的性质有 ， ∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°， ∴∠MFE=∠CAB=30°， ∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即 ，得 ， 解得EF=8，即ME=4，故答案为：8． （2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图， 根据翻折的性质有， ， ， ， ， ， ∵ME=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1， ∴ ， ， ，∴ ，根据折叠的性质有：GH垂直平分EF， ∴FG=GE= EF=4，∵在 和 中， 利用勾股定理有 ， ， ∴ ，解得 ，∴ ， ∵在 中， ，故答案为： ． 【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等 知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题． 13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点E在 边上，连 接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点F，连接 ．若点F为 的中点，则 的 长度为 ． 【答案】 【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可 求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长． 【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H， ∵点F为AD的中点，AD＝BC＝ ，∴AF＝DF＝ ， ∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，在Rt△DC'F中，C'F＝ ＝1，∵S CDF＝ ×DF×C'H＝ ×C'F×C'D， ' △ ∴ ×C'H＝1×3，∴C'H＝ ，∴FH＝ ， ∴AH＝AF+FH＝ ，在Rt△AC'H中，AC'＝ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求C'H的长是本题的关键． 14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是AB边上的动点 （不与点A，B重合），连接CE，将 沿直线CE翻折得到 ，连接 ．当点 落在边AD上， 且点 恰好是AD的三等分点时， 的周长为 ． 【答案】 或 【分析】分以下两种情况进行讨论．①当点 恰好是AD的三等分点且靠近A点时；②当点 恰好是AD 的三等分点且靠近D点时，根据折叠性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ ， ． 由题意，可知需分以下两种情况进行讨论． ①当点 恰好是AD的三等分点且靠近A点时，如图1所示． 又∵ ，∴ ， ．由折叠的性质，可知 ， ， ∴ ．∴ ．∴ ． ②当点 恰好是AD的三等分点且靠近D点时，如图2所示．又∵ ，∴ ， ．由折叠的性质，可知 ， ， ∴ ．∴ ．∴ ． 综上所述，当点 落在边AD上，且点 恰好是AD的三等分点时， 的周长为 或 ． 故答案为： 或 【点睛】本题考查矩形及其折叠问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形性质和折叠的性质，对点 位置进行分情况讨论． 15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别 为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的 值为 ． 【答案】 【分析】过点 作 的垂线段，交 于点 ，根据题意，可得 为等腰直角三角形，再根据翻折 可得 ， ， ，求出 ，再设 ，根据勾股定理求出 的长，即可得 到 的长． 【详解】解：如图，过点 作 的垂线段，交 于点 ， ， ， 为等腰直角三角形， , ， ，设 ，则根据翻折 ， ，在 中， ，可得方程 ，解得： ， 将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处， ， ， ， ， ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助 线，一步一步推论是解题的关键． 16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将 DCE沿 着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________． △ 【答案】 【分析】由对折先证明 再利用勾股定理求解 再证 明 从而求解 于是可得答案. 【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3， 由折叠可得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解 是解本 题的关键.17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ，将斜边 翻折使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为 【答案】4cm 【分析】根据勾股定理可将斜边 的长求出，根据折叠的性质知， ，已知 的长，可将 的长 求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到 的长． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ，由题意得， ， ∴ ．设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理得 ， 即 ，解得 ，即 长为 ． 【点睛】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的． 18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形 沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ． 【答案】3.4 【分析】由折叠的性质得 ，设 ，后在 中，由勾股定理得出方程，求出x即 可． 【详解】解：由折叠的性质得： ，设 ，在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关 键． 19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形 沿对角线 翻折，点B落在点F处， 交 于E． (1)求证： 是等腰三角形；(2)若 ， ，求图中 的面积． 【答案】(1)见解析(2)40 【分析】（1）根据矩形的性质得到 ，得到 ，根据折叠的性质得到 ，进而得到 可得到结论；（2）设 ，则： ，在 中，利用勾股定理求出 的值，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是长方形即矩形，∴ ， ∴ ， ∵将长方形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是等腰三角形； （2）解：∵ ， ，∴ ， ， 设 ，则： ， 在 中， 即 ，解得： ， ∴ ，∴ ．∴图中 的面积为 ． 【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判 定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP 沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，再利用勾股定理，即可求解； （2）过点 作 于点M，延长 交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC， ，AD=BC=10，再设 ，则 ， ， 在 和 中，根据勾股定理可得 ， ，从而得到 ， ，进而得到 ，再由勾股定理，即可求解． (1)解：根据题意得： ，∴ ； (2)解：如图，过点 作 于点M，延长 交BC于点N， 根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC， ，AD=BC=10，∴DP=4， ∵ ，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ，在 中，由勾股定理得 ，即 ， 由①②联立得： ，把 代入②得： 或 （舍去）， ∴ ， ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键． 22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开 展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用 同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形 ， ， ，将 延对角线 翻折得到 ，点 的对应点为点 ， 与 交于点 ，则有 ______， ，且 ，易得 ______；(2)在（1）的条件下，若要求 线段 的长度，令 ，则 ______ (用x表示)，在 中利用勾股定理列出方程______ （不用化简）； (3)如图2，对矩形 进行如下操作：①分别以点 ， 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧 相交于点 ， ，作直线 交 于点 ，连接 ；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点 处，作射线 交 于点 ．若 ， ，求线段CQ的长．【答案】(1) ， ， (2) ， (3) 【分析】（1）由矩形的性质得出 ， ，由折叠的性质得出 ， ，证出 ，则可得出结论；（2）由勾股定理可得出答案； （3）连接 ，由翻折的不变性，知 ， ，证明 ，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∵将 延对角线 翻折得到 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ；故答案为： ， ， ； （2）∵ ，∴ ，设 ，则 ， 在 中， ，∴ ．故答案为： ， ； （3）连接 ，如图， ∵四边形 是矩形，∴ ， ，由作图知 ， 由翻折的不变性，知 ， ， ，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ，设 ，则 ， ， 在 中， ，即 ，解得 ，∴线段 的长为 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学 们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点， 连接 ， ，分别将 和 沿 ， 翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点 共线． 观察发现：（1）如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 _____°， _____； 问题探究：（2）如图2，若 ， ， ，求 的长； 拓展延伸：（3） ， ，若F为 的三等分点，请求出 的长． 【答案】（1）45， （2） （3）9或 【分析】（1）根据折叠重合部分全等得到角度关系求出即可；设长度利用直角三角形勾股定理列方程即 可． （2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其边长特点进行计算即可； （3）构造矩形，根据两个共边直角三角形设元列方程进行计算即可，但要区分三等分点的位置分别计 算． 【详解】由折叠可知 ， ， ， 矩形 ， ， ，设 ， 则 ， ， ， 中 ， ，解得 ，故 ；故答案为： ； （2）延长 交 于K，由折叠可知 ， ， ， ， 又 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 由 得 为等腰直角三角形， ， ， ； （3）过F做 的垂线交 于点I，连接 ， 由 得四边形 为矩形， 中， ， 中， ， ， 当点F是靠近D的三等分点时， ， ， 设 ，则 ， ， 由 得 ，解得 ， 当点F是靠近A的三等分点时， ， ， 设 ，则 ， ， 由 得 ，解得 ， ．综上， 的长为9或 ． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，包含角度和边长计算，需要根据实际情况寻找直角三角形，利用设 元列方程进行求解．通常遇到两个点有垂直折线进行矩形构造来求两点间距离．实际问题中如果遇到特殊 角度可利用特殊三角形进行快速求解． 24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探 究活动．如图，四边形 为矩形， ．将矩形沿着过点 的直线 翻折，点 的对应点为点 ． (1)若直线 与线段 交于点 ．①如图1，当点 正好落在对角线 和 的交点 处时，则 的 度数是______；②如图2，若点 是 的中点，点 落在矩形 内部时，延长 交 边于点 ． 若 ，请探究 ， 之间的数量关系，并说明理由； (2)已知 ， ，若直线 与射线 交于点 ，且 是直角三角形时，求 的长． 【答案】(1)① ；② ，理由见解析；(2) 或 【分析】（1）①：先据已知条件判断 是等边三角形，得到 ，即可计算 的度数； ②：连接 ，根据已知条件证 是含 角的直角三角形，即可得到 ， 之间的数量关系； （2）分情况讨论，当点 在线段 上， 时，根据已知条件证 ，得到 ，再根据勾股定理计算 的长，最后根据 计算即可；当当点 在线段 上， 时，据已知条件证 ，得到 ，再据勾股定理计算 的长，后据 计算即可． 【详解】（1）①： 点 正好落在对角线 和 的交点 处，四边形 为矩形， ， ， 是等边三角形， ， ，故答案为： ②：如下图，连接 四边形 为矩形，点 是 的中点，点 落在矩形 内部，延长交 边于点 ， ， ， ， , ， ， ， ，即 ， ∵ ， ， ， ，即 （2）情况一：如下图，当点 在线段 上， 时． 四边形 为矩形，矩形沿着过点 的直线 翻折，点 的对应点为点 ， ， ， ， ， ， ， ， 点 、 、 三点共线， ， 在 和 中， ， ， ， ， 情况二：如下图，当点 在 延长线上， 时，此时点 、 、 三点共线． 四边形 为矩形，矩形沿着过点 的直线 翻折，点 的对应点为点 ， ， ， ， ， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， 综上所述， 的长为 或 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、 折叠问题，综合运用知识点、画出图象分析、分类讨论是解题的关键．