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专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何
变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是
解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
................................................................................................................................2
模型1.矩形的翻折模型...................................................................................................................2
模型2.菱形的翻折模型.................................................................................................................30
模型3.正方形的翻折模型..............................................................................................................54
..............................................................................................................................74
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有
了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量
关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊
平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
模型1.矩形的翻折模型例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿
翻折得到 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】连接 ， 为矩形，
是 的中点 由 翻折得到，
， ，
，设 ，则 .在 和 中
在 中 即 解得： 故选A
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图， 是一张长方形纸片，且 ．沿过点D的
折痕将A角翻折，使得点A落在 上（如图中的点 ），折痕交 于点G，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：取 的中点E，连接 ，∵四边形 为矩形，∴ ， ，
根据折叠的性质可得， ，
∵ ，∴ ，在 中， ，
∵点E为 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．故选：B．
例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ，翻折 ，使点
落在对角线 上 处．(1) __________； 是 的__________．（中线、角平分线、高线）
(2)求 和 的长．【答案】(1) ，角平分线(2) ，
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形，∴ ，
∵ ，∴在 中， ，
∵翻折 ，使点 落在对角线 上 处，∴ ,
∴ 是 的角平分线,故答案为： ，角平分线；
（2）解：由折叠知： ， ∴
设 ，在 中，运用勾股定理得： 解得： 即：
例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点M在 边上，连
接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点N，若点N为 的中点，则 的长度为
．
【答案】
【详解】解：点N为 的中点，∴ ，
∵ 是矩形，∴ ， ，∴ ，
又∵ 沿 翻折，得到 ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，在 中， ，
∴ ，故答案为： ．例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，将矩形折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【答案】D
【详解】解：设 ，则 ，∵沿 翻折后点C与点A重合，∴ ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ，由翻折的性质得， ，
∵矩形 的对边 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选：D．
例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形 中， ， ，E，F分别为边 和
上的两个动点，满足 ．将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，其中G为A的对
称点．当点G落在直线 上时， 的长为 ．
【答案】2
【详解】解：连接 交 于点O，连接 、 、 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，且 ，
∵点G和点A关于 对称，∴ 垂直且平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴点O是矩形 的中心，∴ ，∴ ，∴当点G落在直线 上时，点D与点G重合，∴ ， ，
∵ ,∴ ，故答案为：2．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P，Q分别为
AB，AD上的动点，将 沿 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 在动点P，Q所有位
置中，当F，E，P三点共线， 时， ．
【答案】3
【详解】解：在矩形 中， ， ，∴ ， ，
∵翻折，∴ ， ， ， ，∴ ，
又 ，∴ ，设 ，则 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：3．例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、
翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ；
(2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长；
(3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ．
【答案】(1)45；2(2) ； (3)2或
【详解】（1）∵ ，四边形 是矩形，∴四边形 是正方形，∴ ，
，
∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∵F为 的中点，∴ ，
∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴ ， ，设 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长 ，交 于点M，∵ 平分 ，∴ ，由折叠的性质可知， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，即 ，解得 ．
（3）分两种情况：①当 时，如图3，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则
四边形 为矩形， ， ，
由折叠的性质可知， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
设 ， ， ，∴ ，解得 ，∴ ．
②当 时，如图4，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则四边形 为矩
形， ， ，由折叠的性质可知， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，设 ， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
综上可知， 的长为2或 ．
模型2.菱形的翻折模型例1．（2023春·重庆八年级专题练习）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点
恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ， ，则
的长为 ．
【答案】 /
【详解】解：过点 作 于 ，则 由折叠性质得 ，
∵在菱形 中， ，∴ , ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，即 ，
∴ ， ，设 ，则 ， ， ，在 中， ，由 得 ，
解得 ，∴ ．
例2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱形对角线
的交点O处，折痕为 ，则点E、F分别为边 、 的中点．若 ， ，则
．
【答案】
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
∵点O为对角线的交点，∴ 、 交于点O，∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ， ， ，
∵ 为 的中点，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵点E、F分别为边 、 的中点，∴ ．故答案为： .
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片 ， ，将该菱形纸片折叠，
使点B恰好落在 边的中点 处，折痕与边 分别交于点M、N．则 的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点 作 与 的延长线交于点E，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，设 ，则 ，
由折叠的性质知： ，在 中， ，
∴ ，解得： ， ，即 的长为 ，故答案为： ．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片 中， ，P为 中点．折叠该纸
片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在菱形纸片 中， ，∴ ，连接 ，
∴ 为等边三角形，∵P为 中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵折叠该纸片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，
∴ ，∴ ；故选D．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交
点，过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
【答案】A
【详解】解：连接 、 ，如图，
∵点O为菱形 的对角线的交点，∴ ， ， ，在 中， ，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕，∴ ，
∴ ，∴ ，故选：A．
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片
分别沿 ， 所在直线进行折叠，使得菱形的两边 ， 重合于 ．若此时 ，
则 ．
【答案】30°/30度
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN= ∠BAD，
∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON= (360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．
模型3.正方形的翻折模型例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形 中， ， 是 的中点，将
沿 翻折至 ， 是 的中点，连接 ，则 的长度是 ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是正方形， ， ，
是 的中点， ，在 中，由勾股定理，得 ，
是由 翻折得到的， 是直角三角形， ，是 的中点， ，故答案为： ．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻
折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4 ＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，AC x，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（ ﹣x）2，
解得x＝2 2，∴FC＝ x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG ，∴BG 2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（ 2）2+2＝8+4 ，故选：D．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD
的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．【答案】
【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm，
∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm，
在Rt△DFA′中， ，∴ ，
在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm， ，
即 ，解得 ．故答案为： ．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形 中， ，将其沿 翻折，使
，顶点 恰好落在线段 上的点 处，点 的对应点为点 ．则线段 的长为 ．
【答案】
【详解】解：设 ， 正方形 中， ， ， ，
， ， 四边形 是四边形 折叠得到，
， ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，经检验 是原方程的解， 原方程的解为 ， ，故答案为： ．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【详解】∵四边形 是正方形，∴ ，AB＝BC＝CD=AD＝6，
∵ ，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将 ADE沿AE对折至 AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE△＝2，∴∠AFG＝∠△ABG＝90°，AF＝AB，
在Rt ABG和Rt AFG中， ，∴Rt ABG≌Rt AFG（HL），∴①正确；
△ △ △ △
∵将 ADE沿AE对折至 AFE，∴ ，∵Rt ABG≌Rt AFG，∴ ，
△ △ △ △
∵ ，∴ ，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；
∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；
故答案为：①②③④．
例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形 中， ，将 沿 翻折，使点 对应点
刚好落在对角线 上，将 沿 翻折，使点 对应点落在对角线 上，求 .【答案】
【详解】作 于点 ，由折叠可知： ， ，
∴正方形边长
∴ .故答案为 .
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形 中， ，点 是边
上一点（点 不与 重合），将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长．(2)如图3，连接 分别交 于点 ，
点 ，连接 并延长交 于点 ，当 为 中点时，试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段 上取一点 ，且使 ，连接 ，则在点 从点 运动到点 的过程中，
的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) ，理由见解析．(3)
【详解】（1）根据折叠的性质可知 ， ，∴ ．
∵ ，∴ 为等腰直角三角形．∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．∴ ．∴ ．
（2） ，理由如下：如图所示，连接 ，交 于点 ．
根据题意可知 为线段 的垂直平分线，∴ ．
∵ 为 中点，∴ ，即 ．
（3）如图所示，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， ．
在 和 中， ∴ ．∴ ．∴ ．
观察图形可知，当点 ， ， 在同一条直线上时， 最小，最小值为 ．
∴ ．
1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片 ，使得 对应边过点C，若
，当 时， 的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，延长 交于点G，
∵四边形 是菱形， ，∴ ，∴
由折叠的性质可知 ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
在 中，依据勾股定理可得 ，∴ ，
解得 ，（负值已舍去）∴ ，故选B．
2．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸
片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°【答案】C
【详解】解：如图：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选C．
3．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， 为 的中点，连接 ，
将 沿 所在直线翻折至四边形 所在平面内，得 ，延长 与 交于点 ，若
，则四边形 的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【答案】A
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∵ 为 的中点，∴ ，
∵ 沿 所在直线翻折至四边形 所在平面内，得 ，
∴ ， ， ，连接 ，如图：∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ,， ， ，
在 中， ，即 ，解得： （负值舍去），
∴ ，∴ ，∴ ．故选：A．
4．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，
将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝5，
∵DE＝2，∴CE＝3，由折叠的性质得：ME＝DE＝2，∠AME＝∠D＝90°，AM＝AD，
∴∠AMF＝90°，AB＝AM，在Rt ABF和Rt AMF中， ，
△ △
∴Rt ABF≌Rt AMF（HL），∴BF＝MF，设BF＝MF＝x，则CF＝5﹣x，EF＝2+x，
△ △
在Rt CEF中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝ ，∴BF＝ ，故选：D．
△5．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片 中， ，E是 边的中点，
将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线 上的点G处，折痕为 ， 与 交于点H，有
如下结论：① ；② ；③ ；④ ，上述结论中，所有
正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：连接 ，∵四边形 是菱形，∴ ， ，∴ 是等边三角
形，∵E是 边的中点，∴ ，∴ ，
由折叠得 ，∴ ，∵ ，∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，故②正确；连接 ，由折叠得 ，∴
，∵ ，∴ ，∴ ，故③正确；
过点F作 于点M，∵ ，
∴ ，由折叠得 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，设 ，则 ，
∴ ， ，∵ ，∴
，∴ ，
∴四边形 的面积 ，∴ ，故④错误；故选：B．
6．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形 中，点P在 边上，连接 ，将
沿 翻折得到 ， 沿 翻折得到 ， 与 交于点E．若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵矩形 中，∴ ，∴ ，
由折叠的性质得 ，∴ ，
∴ ，由折叠的性质得 ，
∴ ，故选：A.
7.（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形 的边长为10，点 是边 的中点，点 是边 上一
动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 正方形 的边长为 ， ， ，
点 是边 的中点， ，连接 ，
， 将 沿 翻折得到 ， ，
， 当点 、 、 三点共线时， 最小，
∴ 的最小值为 故选：A．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边
、 分别交于点 、 将矩形纸片 沿着 翻折，使点 与点 重合，点 与点 重合，连
接 ，①如图1，若 ， ，则 ；②如图2，直线 分别交平行四边形
的边 、 于点 、 ，将平行四边形 沿着 翻折，使点 与点 重合，点 与点 重合，
连接 ，若 ， ， ，则四边形 的面积是 ．【答案】 15
【详解】解：①如图，连接 ，则 ， 四边形 为矩形， ， ，
， ， ， ，
在 中， ，
根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， 四边形 为菱形，设 ，则 ，
在 中， ， ，解得： ， ，
， ；故答案为： ；
②如图，过点 作 的延长线于点 ，
四边形 为平行， ， ， ， ， ， ，
根据折叠的性质可得， ， ， ， ，
， ， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ，
， 四边形 为菱形， ， ， ， ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
，解得： ， ， ．故答案为：15．
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上的点
处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，
由折叠得： ， ， ， ，
， ， ， ，
四边形 是平行四边形， ． 故答案： ．
10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边
上，将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积
比为3∶5，那么线段 的长为 ．【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
∵正方形 的边长为1，四边形 与四边形 的面积比为3∶5，
∴ ，设 ，则 ，则
∴ 即 ∴
∴ ，∴ ，
∵折叠，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又 , ∴ ，∴
在 中， 即 解得： ，故答案为： ．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片 ， ， ，点P在边 上，连接
，将 沿 所在的直线折叠，点B的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直
角三角形时，线段 的长为 ．
【答案】 或2
【详解】解：∵四边形 为矩形，∴ ， ，
，当 时，如图所示：∵ ，∴点 在 上，根据折叠可知： ， ，
设 ，则 ，∴ ，
，在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，解得： ，即 ；
当 ，如图所示：根据折叠可知： ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；综上分析可知： 或2．故答案为： 或2，
12．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形翻折，使边AD与边
BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿 的方向在DC和CB上
运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为 ，当点G恰好落在MN上时，点F运动
的距离为 ．
【答案】 或
【详解】解 ：①当点 再线段 上运动时：由题意得： ∴∵ ∴四边形 为矩形
∴ ∴ ，
设 ，则 在
∴ 解得： 点F运动的距离为：
②当点 再线段 上运动时：
由题意得： ∴ ∵
∴ ， ∴
设 ， ，则 在 ∴
在 ∴ 解得：
点F运动的距离为： ，故答案为： 或9
13．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形纸片翻
折，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，点 、 分别在边 、 上，则 的值为 ．
【答案】
【详解】连接 ， ，∵ 为 中点， ，∴ 为等边三角形，∴ ， ．
设 ，则 ， ，在 中， ，
，解得 ，∴ ， ，∴ ．
14．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在
轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵折叠，∴ ，在 中，
∴ ，∴设 ，则 ，
∵折叠，∴ ，在 中， ，
∴ ，解得： ，∴ ，∴ 的坐标为 ，故答案为： ．
15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在对
角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【详解】解：作 于 ，由折叠的性质可知， ，由题意得， ，
四边形 是菱形， ， ，
为等边三角形， ，设 ，则 ，
在 中， ， ，在 中， ，
即 ，解得， ，即 ，故答案为： ．
16．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点 在正方形 的 边上（不与点 重合），
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．(2)过点 作 交射线 于点 ．①求 的度数；②直接写出线段
与 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)① ；②
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）①如图，∵点D与点F关系 对称，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
②过点A作 点P，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
17．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】
如图，在正方形 中，点 在 边上，点 在 边上．将四边形 沿直线 翻折，得到四边
形 ，顶点 落在 边上的点 （不与点 、 重合）处，点 落在正方形右侧的点 处， 与
相交于点 ．
（1）在图1中，若 ， ，则 ______ ， 的度数为____________
【操作体验】（2）当 时，如图2，求证： ．
【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕 的变化， 的周长是否会发生
变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与 的周长的关系．【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）不会，三角形 的周长是正方形周长的一半，证明
见解析
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴在 中， ，
由折叠的性质可知： ，∴ ，
∴ ，由折叠的性质可知： ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为 ， ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
由折叠的性质可知： ， ，
∵ ，∴在 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，由折叠的性质可知： ， ，
∴在 中， ，∴ ，
（3）解： 的周长不会发生变化，理由如下：
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
设正方形边长为 ， ，∴ ， ，∴ 周长为 ，设 周长为 ，
由折叠的性质可得： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，，得 ，
∵四边形 的周长为 ，∴ 的周长是四边形 的周长的 ，
∴当正方形边长不变时，随着折痕 的变化， 的周长不会发生变化， 的周长是正方形周长
的 ．
18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形
称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习
过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作
简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、
第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
【详解】解：（1）当 时， ，故答案为： ．
（2）如图（2），连接 ，
设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得
设 ，则 根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ∴
解得： ∴ ∴矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
矩形 是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ，
设 ，则 根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，∴ ，在 中，
∴ 解得： ∴
当 时， ∴矩形 是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ，
设 ，则 根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，∴ ，
在 中，
∴ 整理得，
∴四边形 的边长为
矩形 的周长为 ，∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值
