专题02勾股定理中的翻折模型解读与提分精练（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2025版

专题02 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的 有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相 等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注 意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕 还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其 他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中 某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而 得出要求的线段的长度。 .........................................................................................................................................2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型.....................................................................................................2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型..................................................................................................4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型..........................................................................................9 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型..............................................12 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型.............................................................................14 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型..............................................16 模型7.三角形中的其他翻折模型...........................................................................................................19 .......................................................................................................................................22模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型: 如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’. 结论：① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’；③ AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证： ≌ ；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴ AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若 ，则 的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明 ，则 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线 折叠， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ∴ ，解得 ，∴ ． 例2．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处， FC交AD于F．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B， AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF， 根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折， 点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D， ∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF， ∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S ACE﹣S AEF= △ △ ×4×8﹣ ×4×3=10． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 边 在 轴上，点 的坐标为 .将矩形沿对角线 翻折， 点落在 点的位置，且 交 轴于点 ，那么点 的坐标为 .【答案】（0， ）． 【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x= ，即可解决问题． 【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC， ∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2， 解得：x= ，∴OE=3- = ，∴E点的坐标为（0， ）．故答案为（0， ）． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、 推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形 ≌四边形 ；②折痕AC垂直平方BB’；③ AEF是等腰 。证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴ AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠 该纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出 ，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ． 【详解】解：∵ ， ， ，∴ ， 由折叠得： ， ， ， ∴ ， ， 在 中， ，∴ ，∴ ，故答案为：3． 例2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上的 一个动点，把 沿 折叠，若点 的对应点 刚好落在边 上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得： ， ，计算出 ， ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，，求出 的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解： 在长方形 中， ， ， ， ， ，由折叠的性质可得： ， ， ， ， 设 ，则 ，由勾股定理可得 ， ，解得： ， ，故答案为： ． 例3．（23-24八年级上·山东·期末）如图，已知长方形纸片 ，点 在边 上，且 ， ， 将 沿直线 翻折，使点 落在点 ，延长 交 于点 ，则线段 的长为 ． 【答案】 【分析】由将 沿直线 翻折，使点 落在点 ，可得 ， ， ， ，设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，即可解得答案． 【详解】解：∵将 沿直线 翻折，使点 落在点 ， ∴ ， ， ， ∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，设 ，则 ， 在 中， ，∴ ， 解得 ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了长方形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，得出 ． 例4．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形 中， ， ， 为 上一点， 将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．(1)求证： ；(2)求 的长． 【答案】(1)见解析(2) ． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得 ， ， ，结合 ，可证明 ，得到 ， ；（2）推出 ，设 ，则 ， ，推出 ，在 中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明： 四边形 是长方形， ， ， ， 将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， ， 在 和 中， ， ， ， ； （2）解：∵ ， ，即 ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 在 中，根据勾股定理得： ， 即 ，解得： ， ． 例5．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片 可以进行如下操作：①把 翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为 ，点F在 边上； ②把 翻折，点D落在 边上的点G处，折痕为 ，点H在 边上，若 ，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折不变性可得 ，推出 ， ，设 ，在 中， ，可得 ，设 ，在 中， ，可得 ，由此即可 解决问题． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， 由翻折不变性可知： ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 设 ，在 中有： ， ， 设 ，在 中， ， ， ， ，故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问 题，属于中考常考题型． 例6．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 在矩形的边 上由点 向点 运动.沿直线 翻折 ，形成如下四种情形，设 ， 和矩形重叠部分 （阴影）的面积为 .（1）如图4，当点 运动到与点 重合时，求重叠部分的面积 ；（2）如图2，当点 运动到何处时，翻 折 后，点 恰好落在 边上？这时重叠部分的面积 等于多少？ 【答案】（1） ；（2）当 时，点 恰好落在 边上,这时 . 【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; （2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; 【详解】解：（1）由题意可得, ∴ 设 ,则 在 中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得 ∴ 在 中∵ ∴ ∴ 在 中 解得： 此时 ∴当 时，点 恰好落在 边上 这时 . 【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理 解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.结论：如图1，折在矩形内，① ≌ ；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形 ≌四边形 ；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形 ≌四边形 ；②折痕AC垂直平方BB’；③ GC’F是 。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴ GC’F是直角三角形。 例1．（23-24八年级上·广东·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 为 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为 （ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由折叠性质得到 ， ， ，进而得到 三点共线， 根据等面积法可求得 的长，再利用勾股定理求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 沿 折叠得到 ，∴ ， ， ， ∵ 是直角三角形，点E在线段 上，即 ∴ 三点共线， ∴ ，又 ，∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ ，故选：A． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质，会利用等面积法求出 是解答的关键．例2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点 和点 重 合，折痕为 ．若 ，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理求出 的长，设 ，在 中，利 用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵把一张长方形纸片按如图方式折叠， ∴ ， ∴ ，∴ ，设 ，则： ， 在 中， ，解得： ，∴ ；故答案为：7． 例3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，将边长为 的正方形纸片 折叠，使点D落在 边中点E处，点C落在点Q处，折痕为 ，则线段 的长是 ． 【答案】 /3厘米 【分析】根据 是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得 ，设 ，则 ， ，E为 边中点， ， ， ，解得 ， 线段 的长是 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 例4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形 是边长为 的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落在 边上的 处，点 对应点为 ，且 ，则 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 连接 ， ，由于 ，则 ，在 和 中由勾股定理求得 的值． 【详解】解：设 ，则： ，连接 ， ， 在 中， ，在 中， ， ∵折叠， ， ， 即 ，解得 ，即 ，故选：B． 例5．（2024·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，点 A、D关于直线 的对称点分别是点M、N．如果直线 恰好经过点C，那么 的长是__________． 【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图， 连接 ，则有四边形 ，四边形 相当于四边形 沿 边对折得到． 已知 ， ，则 ， ，在 中， ，则 ， 设 ，则 ， ，在 中， ， 即 ，解得 ，故答案为： ． 【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2024·山东青岛·一模）如图， 中， ， ， ，点D为边 上一点，将 沿 折叠后，点A的对应点 恰好落在 边上，则线段 的长为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ， ，∴ ， ∵折叠，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 即 ，解得 ，故选：B． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 为 的平分线，将 沿 向上翻折得到 ，使点 在射线 上，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∵将 沿 向上翻折得到 ，使点 在射线 上，∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中， ，即 ， 解得： 即 的长为 ，故选：B．例3．（2023·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将 △ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点 作 于 ， 于 ， 将 沿直线 翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设 ，则 ， 是 翻折而成， ， 在 中， ，即 ，解得 ．故选：C． 例2．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在 中，点D是边 上的中点，连接 ，将 沿着 翻折，得到 ， 与 交于点F，连接 ．若 ，则点C到 的距 离为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示 由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE ∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG= BE ∵D点是AB的中点∴BD=AD， ∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA ∵BD=ED∴ ∠DEB=∠DBE ∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180° 即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90° 在Rt△AEB中，由勾股定理得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长， 关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积． 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 斜边 的中点，连接 ，将 沿 翻折，使 落在点 处，点 为直角边 上一点，连接 ， 将 沿 翻折，使点 与点 重合，则：(1) °；(2) 的长为 ． 【答案】(1)90(2)【详解】（1）解：由翻折可知： ， ， ，即 ；故答案为：90； （2）解： ， ， 由翻折可知： ， ∴ ， 设 ，则 ， ，解得 ，即 ． 【点睛】本题考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ， ， 、 分 别是边 、 上的点，把 沿直线 折叠，顶点 的对应点 恰好落在 的中点，则 的长度 为 . 【答案】 【详解】解：在 中， ， ， ，点 是直角边 的中点， ，根据折叠的性质，得 ， ，设 为 ，则： ， 在 中： ，解得： ，故答案为： ． 例2．（23-24八年级下·福建南平·阶段练习）在 中， ，将 沿直 线DE折叠，使B落在 的三等分点 处，求 的长． 【答案】 的长度为 或3 【详解】解：设 ，则 ， 沿直线 折叠B落在 处， ， 点 为 的三等分点， ， 或 ， 当 时，在 中， ，即 ，解得： ； 当 时，在 中， ，即 ，解得： ， 综上所述， 的长度为 或3． 例3．（2022·重庆市七年级期中）如图，在 中， ，点D，E分别在边 ， 上，且 ，将 沿 折叠，点C恰好落在 边上的F点，若 ， ， ，则 的长为______．【答案】 【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B， ∴∠A＝∠ACF，∴ ，同理可求： ，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片 中，点D是 边上一点，连接AD，把 沿着直线AD翻折得到 ，DE交 于点G，连接 交AD于点F，若 ， ， ， 的面积为 ，则BD的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵ ， 的面积为 ，∴ ∴∵ 沿着直线AD翻折得到 ，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ∵ ，∴ ∴ ∴ 故答案为： 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点D在边 上，将 沿直线 翻折后，点A落在点E处．如果 ，那么线段 的长为 ． 【答案】 【详解】连接 ，如图 ∵ 沿直线 翻折后点A落在点E处，∴ ， ， ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，∴ ，在 中，∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知 为等腰直角三角形， ，点 为边 上一点，点 为 的中点，连结 ，将 沿 折叠得到 ，若 的延长线恰好经过点 ，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵点 为 的中点，∴ ， 在 中， ∴ ，∴ , 设 ，由折叠得， ， ，∴ ， 在 中，由勾股定理得 ∴ ， 解得， ，∴ ，故答案为： 例4．（23-24八年级下·重庆丰都·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 斜边 上一点，连接 ，将 沿 翻折，使 落在点 处，点 为直角边 上一点，连接 ， 将 沿 翻折，使点 与点 重合，则 的长为 ．【答案】 【详解】解： ， ， ， ， 由翻折可知： ， ， ， ， ， ，即 设 ，则 ， ，解得： ，故答案为： ． 1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 在 上， 将 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，则 的长为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求出 的长，设 ，则 ，在 中根据勾股定理列方 程求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 根据折叠可得： ， ， 设 ，则 ， ，在 中： ，解得： ，故选： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 2．（2023春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形 是一张矩形纸片， ，若沿过点 的折痕将 角翻折，使点 落在 上的 处，折痕交 于点 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得 ， ， ，由折叠的性质可得 ， ，进而得到 ，根据含 度角的直角三角形性质得 ，由平行线的性 质得 ，以此即可求解． 【详解】解： 四边形 为矩形， ， ， ， 根据折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， ．故选： ． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，解题关键在于熟知折叠的性质：折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出 值，根据折叠的性质可得出 值，在 中根据 运用勾股定理可求 出 长． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ，由折叠知， ．∴ ， ∵ ， ， ∴ ，解得： ， 的长为 ．故选：B． 4．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折，使点A与点B重合，则 的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，首先求出 ，设 ，在 中，利用勾股 定理求出x，再在 中求出 即可． 【详解】解：在 中， ，∴ ，∵ ，设 ， 在 中，∵ ，∴ ，∴ ， 在 中， ．故选：B 5．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出 的长，利用翻折得到 ，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ，∴ ， 由翻折得 ， ∴ ，故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 6．（2024·河南鹤壁·八年级期末）如图， 中， ，M，N分别是边 上的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点A的对应点D落在 边的三等分点处，则线段 的长 为（ ）A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】根据题意，分 和 两种情形，设 ，在 中，勾股定理建立方程，解方 程即可求解． 【详解】解： ，点A的对应点D落在 边的三等分点处，设BN＝x， 则 和 ， ，在 中， ， 当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得： ，故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． ABCD AB 8cm AD6cm 7．（23-24·四川初二期末）如图，在长方形纸片 中， ， . 把长方形纸片沿直 线AC 折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点F ，则AF 的长为（ ） 25 15 13 cm cm cm A． 4 B． 2 C．7cm D． 2 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8- x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 25 x cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， x2 (8x)2 62 4 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.8．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形 沿 折叠，点D恰好落在 边的F点上，已知 ， ，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出 ，设 ，则 ，根据勾股定理得出 ，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质， ，长方形 中 ， 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ， 即 ，解得： ，∴ ，故答案为：10． 9．（2023·海南海口·八年级校考期中）如图，将矩形纸片 沿EF对折，使得点C与点A重合，若 AB4cm， ，则线段EC ______． 【答案】 EC xcm ABE 【分析】由折叠的性质可知 ，设 ，则 ，在直角三角形 中用勾股定理 求解即可． 【详解】解： 矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合， BE8xcm AECE EC xcm , 为直角三角形，设 ，则 ， AE2  AB2BE2 ， ，解得 x5 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查的是图形的折叠问题，折叠前后图形的形状和大小不变，以及熟练掌握勾股定理是解题 的关键． 10．（2023春·江苏八年级课时练习）如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把沿 折叠，当点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为______． 【答案】 或 【分析】连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交 于点 ，先利用 勾股定理求出 ，再分两种情况利用勾股定理求出 ． 【详解】解：如图，连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交 于点 点 的对应点 落在 的角平分线上， ， 设 ，则 ， ， 又折叠图形可得 ， ，解得 或 ，即 或 ． 在 中，设 ， 当 时， ， ， ， ，解得 ，即 ， 当 时， ， ， ， ，解得 ，即 ．故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的． 11．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中， ，E是 上一个动点，F是 上一点（点F不与点D重合）．连接 ，将 沿 翻折，使点A的对应点 落在边 上， 连接 ，若 ，则 的面积为 ． 【答案】3 【分析】过点E作 于H，在 中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作 于H． 由折叠的性质得 ， ∵四边形 是矩形，∴ ， ，设 ，则 ， 在 中，则有 ，解得 ，∴ ， ∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ 的面积为 ．故答案为：3． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵 活运用所学知识解决问题． 12．（2023春·广西·八年级期中）如图，在矩形ABCD中， ， ，把矩形折叠，使点D与点B 重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________．【答案】 【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ABF中运用勾股定理求得BF的长，即可得到 DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD， 在Rt△ABD中，BD＝ ，∴DO＝ ， 由折叠可得，∠BFO＝∠DFO，由AD BC可得，∠DFO＝∠BGO， ∴∠BFO＝∠BGO，∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG， 设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，解得 ，即DF＝10， ∴Rt△DOF中，OF＝ ，∴FG＝2FO＝ ．故答案为： ． 【点睛】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关 键是根据勾股定理列方程求解． 13．（2023·浙江·八年级期中）如图，在矩形纸片 中， 点为 边上的中点， 点G沿 运动（不含端点），将矩形纸片沿直线 翻折，使得点B落在 边上，则折痕 长度为 ．【答案】 或 【分析】过F作ME⊥AD于E，可得出四边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE=BF，AB=EM，分两 种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G， 在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE-B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB-AG表示出 BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定 出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当 G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在 直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE- AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题 意的折痕MG的长． 【详解】解：如图1所示，过 作 于 ， 在 上， 落在 上，可得四边形 为矩形， ， ， 又 ， 为 的中点， 由折叠可得： ， 在 中，根据勾股定理得： ， ，设 ，则有 ， 在 中，根据勾股定理得： ， 即 ，解得： ， 在 中，根据勾股定理得： ；如图2所示，过 作 于 ， 在 上， 落在 上，可得四边形 为矩形， ， ，又 ， 为 的中点， 由折叠可得： ， 在 中，根据勾股定理得： ， ， 设 ，则 ， ， 在 △ 中，根据勾股定理得： ， 即 ，解得： ， ， ， 在 中，根据勾股定理得： ， 综上，折痕 或 ．故答案为： 或 ． 【点睛】此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转 化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题． 14．（2025·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边 上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与△点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____． 【答案】2 【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x， 在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．3242 【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB= =5， 1 1 12 8 ∴S = ACBC ABCH ，即 ，∴CH= ，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH= ， ABC 2 2 345CH 5 5 △ 16 16 在△BCH中，BH= BC2CH2  ，设BE=EF=x，则EH= -x， 5 5 16  2 8 2  x   x2 在△EHF中，EH2FH2 EF2，∴ 5  5 ，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理 列出方程． 15．（2023春·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ，将 沿 翻 折，使点 与点 重合．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得 ，根据勾股定理求得 ，设 ，则 ， ， 根据勾股定理即可求解． 【详解】解 ：∵ ， ， ，∴ ， 设 ，则 ， ，在 中， ， 即 ，解得： ，即 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 的对应点是 ，当点 恰好落在 的边上时， 的长 是 ． 【答案】1或 【分析】 本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．分点 在 ， 讨论即可． 【详解】解：当点 在 上时， 此时 ，设 ， ∵ ，∴ ，解得 ，即 ； 当点 在 上时，过B作 于H，过点D作 于点G，做 于点N， ∵ ，∴ ，解得 ，∴ ， ∵翻折，且点 在 上，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ，解得 ， 设 ， ，∵ ，∴ ， 化简得 ，∴ ，解得 ， ，即 或 （不合题意，舍去）． 综上， 的值为1或 ． 17．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图 中， ，点E和F是AB上的 点，将边 沿CE翻折，点A落在AB边上的点D处，将 沿CF翻折，点B落在CD延长线上点 处， 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题) 、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的 性质可知 为 ，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解. 【详解】 ， ， 根据两次翻折可知： ， ， ， ，∴ ， ， ， ， ， 在 中 ， ， ，故答案为： ． 18．（2024·广东汕头·一模）如图，在 中， ， ，点 在线段 上，且 ， 是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点恰好落在线段 上时， 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换，勾股定理，等面积法求高，正确添加辅助线是解题的关键． 过点 作 于 ，根据折叠的性质，结合对 运用勾股定理求得 ，由 ，求出 即可． 【详解】解：如图，过点 作 于 ， 将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 19．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片 中， ， ，点D，E分别为 上的动点，将纸片沿 翻折，点B的对应点 恰好落在边 上，如图 （2），再将纸片沿 翻折，点C的对应点为 ，如图（3）.当 ， 的重合部分（即阴影部 分）为直角三角形时， 的长为 ．【答案】1或 【分析】分两种情况：当 时，此时可得E是 的中点，得 ；当 时，此时D、A 重合， 是 的平分线，由勾股定理易得结果． 【详解】解：∵ ， ，∴ ； ①如图，当 时，由折叠性质得： ， ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 此时B、 重合，则 ，即点E是 的中点，∴ ； ②如图，当 时， 所在直线重合， ∴ ，∴ ，此时D、A重合， 在 边上， ∴ 是 的平分线，∴ ，由勾股定理 ，∴ ． 在 中， ，由勾股定理得： ；故答案为：1或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟 练掌握这些知识是关键，注意分类讨论． 20．（2023·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在Rt△ABC 中，BAC90，C 30，将边 沿着 AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF 翻折，使得C落在AD延长线上的点C处，两 条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论①EAF 45；② ；③EC 3BE；④ ．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据将边 沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF 翻折，使得C落在 1 1 延长线上的点 处，可得BAE EAD BAD，CAF DAF  DAC ，即得 AD C 2 2 B60BDACDF BAC90 C 30，可判断①正确，由 ， ，得 BAC90 C 30 B60BDACDF ， ，即知△ABD是等边三角形， ，设DF m，则   ADCD 31 mBD ，CF  3mCF，而 ，有 ，即得   3 31 CE CDDE  m ，可判断②错误，又 可判断③正确，根据 2   3 31 3 AE  CE  m ， ，得 ，可判断④正确． C 30 3 2 【详解】解：∵将边 沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF 翻折，使得C落 1 1 在 延长线上的点 处，∴BAE EAD BAD，CAF DAF  DAC ， AD C 2 2 1 1 1 ∴EAF EADDAF  BADDAC BAC  9045，故①正确， 2 2 2 ∵BAC90，C 30，∴B60BDACDF ，C30，   CD 31 m ∴△ABD是等边三角形，CFD90，设DF m，则CD2m，CF  3mCF，∴ ，   ADCD 31 mBD ∵ ，C 30，∴DAC 30C，∴ ， 1 31 ∴BEDE BD m，而 ，∴ ，故②错误， 2 2 CF  3m 31 ∵CD  31  m， BEDE m ，∴ ，故③正确， 2     3 31 3 31 3 3 AE CE  m m ∵ ， ，∴ ， AEC90 C 30 3 3 2 2   ∴ ，∴FC  31 AE，故④正确， ∴正确的有①③④，故答案为：①③④． 【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系是解题的关键． 21．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形 中， 为 边上的点， ． 若沿 折叠，点 恰好落在 边上的 点处，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，先求出 ，根据勾股定理得出 ，进 而求出 长，即可求出面积． 【详解】解：由折叠可知， 和 关于直线 成轴对称，所以， ． 因为 ，所以 ． 在 中，由勾股定理，得 ．设 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得 ，即 ．解得 ． 所以阴影部分的面积为： ． 22．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其对角顶点A与C重 合，D与G重合．若长方形的长 为8，宽 为4，求： (1) 的长；(2)求阴影部分三角形 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）设 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理 即可求解；（2）根据折叠的性质和 ，可得 ， ， ，然后过G点作 于H，则 ，可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：设 ，则 ， ， 在 中， ，∴ ，解得： ，∴ ； （2）解：∵ ，∴ ，∴ ， ， 过G点作 于H，则 ， ，∴ ，∴ . 23．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1， 中， ，D，E是直线 上两 动点，且 ．探究线段 、 、 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将 沿 折叠，得 ，连接 ，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思 路，探究并解决下列问题： (1)猜想 、 、 三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点 在线段 上，动点 运动在线段 延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结 论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变， ，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．（1）通过 证明 ，得到 ，在 中，有 ，即 ； （2）作 ，且截取 ，连接 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，则 ，在 中， ，即 ． 【详解】（1）解： ， ∵ 中， ，∴ ， 将 沿 折叠，得 ，连接 ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴在 中，有 ，即 ． （2）解：结论不变， 作 ，且截取 ，连接 ，连接 ， ∵ ，∴ ， ， 又 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ，在 中， ，即 ．