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专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何
变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是
解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有
了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量
关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊
平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿
翻折得到 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据题意连接 ，证明 ，得出 ，在 中运用勾股定理
即可解答；
【详解】连接 ， 为矩形，
是 的中点 由 翻折得到，
， ，
，设 ，则 .
在 和 中
在 中 即 解得： 故选A
【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ， 是 上一个动
点， 是 上一点 点 不与点 重合 ．连接 ，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在边
上，连接 ，若 ，则 的面积为( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠可知 ， ，设 则 在 中，利用
勾股定理可建立方程 ，解得 ，则 ， ，再根据等腰三角形的
性质得到 ，进而算出 ，设 则 在 中，利用勾股
定理可建立方程 ，解得 ，则 ，再利用三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
四边形 为矩形， ， ， ， ， ，
由折叠可知， ， ， ， ，
设 则 在 中， ，
，解得： ， ， ，
， 四边形 为矩形， ，
， ， ， ，
设 则 在 中， ，
，解得： ， ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以
及勾股定理是解题的关键．例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形 沿着对角线 翻折，点C落在点
处， 与 相交于点E，若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，证明 ，然后求出 ，最后根据勾股定理即可求出结果．
【详解】由翻折的性质可知，在 与 中，
，
， ， ， ，
长方形 ， ， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形 中， ， ， 为 上一点，将
沿 翻折至 ， ， 与 分别相交于点 ， ，且 ．则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质得出 ， ， ，证明 ，得出
， ，设 ，则 ， ，求出 ，，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
根据题意得： ，∴ ， ， ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
设 ，则 ， ，∴ ， ，
根据勾股定理得： ，即 ，解得： ，∴ ，故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握
翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，将矩形折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【答案】D
【分析】设 ，则 ，根据勾股定理列出关于x的方程 ，据此
即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，∵沿 翻折后点C与点A重合，∴ ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ，由翻折的性质得， ，
∵矩形 的对边 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠
的性质和矩形的性质．
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点O为矩形的对称中心，点E为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折，
得到四边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
【答案】D
【分析】在 上截取 ，连接 ，证明 ，所以 ，即可得 最短时，
也就最短，而当 时， 最短，且 ，再过点 作 ，得 ，又因为
，就可以根据勾股定理计算 、 的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，
由折叠得： ，又 ， ，
， 最短时， 也就最短，而当 时， 最短，
此时， 点 为矩形 的对称中心， ，即 的最小值是4，
在 中， 点 为矩形 的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值， 度数也不变，是定值，
当 最小值时， 面积最小．过点 作 ，
点 为矩形 的对称中心， ， 中， ，
中， ， ，面积的最小值是 ．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到 最小
值．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P，Q分别为
AB，AD上的动点，将 沿 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 在动点P，Q所有位
置中，当F，E，P三点共线， 时， ．
【答案】3
【分析】利用矩形和翻折的性质求出 ， ， ， ，在
中利用勾股定理求出 ，设 ，则 ， ， ，根据 可构建关于x
的方程，然求解即可解答．
【详解】解：在矩形 中， ， ，∴ ， ，
∵翻折，∴ ， ， ， ，∴ ，
又 ，∴ ，设 ，则 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、
翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ；
(2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长；
(3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ．
【答案】(1)45；2(2) ； (3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出 ；设 ，用x
表示出 的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出 的长；（2）如图，由折叠性质和
平分 ，得出 ，即可求出 的度数；先证明 和 是等腰直角三角
形，得出 ， ，即可求出 的长； （3）根据F为 的三等分点，分两种情况：
当 时，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，证明 ，得出
，进而求出 的长；当 时，点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，根
据 ，计算即可求出 的长．
【详解】（1）∵ ，四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，∴ ， ，
∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∵F为 的中点，∴ ，
∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴ ， ，设 ，则 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长 ，交 于点M，
∵ 平分 ，∴ ，由折叠的性质可知， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，即 ，解得 ．
（3）分两种情况：①当 时，如图3，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则
四边形 为矩形， ， ，
由折叠的性质可知， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
设 ， ， ，∴ ，解得 ，∴ ．
②当 时，如图4，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则四边形 为矩
形， ， ，由折叠的性质可知， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，设 ， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
综上可知， 的长为2或 ．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在
对角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作 于 ，由折叠的性质可知， ，由题意得， ，
四边形 是菱形， ， ，
为等边三角形， ，设 ，则 ，
在 中， ， ，
在 中， ，即 ，
解得， ，即 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对
称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是
AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小
值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出
A′C的长即可．
【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，∴FD= MD= ，∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= ，∴A′C=MC-MA′= -1．故选B．
例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落
在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ， ，证明 是等边三角形，证得 ，由折叠可得 ，由
可求出 的长，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，
四边形 为菱形， ， ， ， 是等边三角形，
是 中点， ， ， ， ，
， ，由折叠可得 ，设 ，∴ ， ，
，即 ，
， ．故答案为：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的
性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片 中， ，P为 中点．折叠该纸
片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，易得 为等边三角形，根据三线合一，易得 ，利用菱形的性质，易得：
，根据折叠的性质，易得 ，再利用三角形的内角和求出
的度数即可．
【详解】解：∵在菱形纸片 中， ，∴ ，连接 ，
∴ 为等边三角形，∵P为 中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵折叠该纸片使点C落在点 处且点P在 上，折痕为 ，∴ ，∴ ；故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌
握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交
点，过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5
【答案】A
【分析】连接 、 ，利用菱形的性质得 ， ， ，再利用
勾股定理计算出 ，由 证得 得到 ，然后根据折叠的性质得
，则 ，即可得出结果．
【详解】解：连接 、 ，如图，
∵点O为菱形 的对角线的交点，∴ ， ， ，
在 中， ，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵过点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕，∴ ，∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠
的性质是解题的关键．
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片
分别沿 ， 所在直线进行折叠，使得菱形的两边 ， 重合于 ．若此时 ，
则 ．
【答案】30°/30度
【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，
∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN= ∠BAD，所以∠AOM=∠AON= (360°-∠MON )=140°，所以
∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN= ∠BAD，
∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON= (360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．
【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解
题的关键．3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，
将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝ AD＝2＝DE，∠A
＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝
2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝ AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，
∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，
又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG，
设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，
EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝ ，即CG＝ ，故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻
折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）A．4 ＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则AC x，由折叠可知，DE＝EF，AD＝
AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，AC x，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2
＝4+（ x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为2 2，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝
CG ，BG 2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（ 2）2+2＝8+4 ．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，AC x，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（ ﹣x）2，
解得x＝2 2，∴FC＝ x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG ，∴BG 2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（ 2）2+2＝8+4 ，故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD
的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．【答案】
【分析】由ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，可得AE=DF=2cm，
EF=AD=4cm，由翻折的性质可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′与Rt△A′EG中，用勾股定理可求得答案．
【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm，
∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm，
在Rt△DFA′中， ，∴ ，
在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm， ，
即 ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是
正确解答本题的关键．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形 中， ，将其沿 翻折，使
，顶点 恰好落在线段 上的点 处，点 的对应点为点 ．则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】设 ，则 ，由翻折性质，得 ， ，所以，在 中，利用三角函数可求出 ，从而得到线段 的长．
【详解】解：设 ， 正方形 中， ， ， ，
， ， 四边形 是四边形 折叠得到，
， ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
经检验 是原方程的解， 原方程的解为 ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明
Rt ABG≌Rt AFG，即可判断①正确；根据 ，进而可得 ，根据
△ △
三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF
＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解方程可得 ，即可判断③正确；根据BG△=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出
∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即
可判断④正确
【详解】∵四边形 是正方形，∴ ，AB＝BC＝CD=AD＝6，
∵ ，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将 ADE沿AE对折至 AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE△＝2，∴∠AFG＝∠△ABG＝90°，AF＝AB，在Rt ABG和Rt AFG中， ，∴Rt ABG≌Rt AFG（HL），∴①正确；
△ △ △ △
∵将 ADE沿AE对折至 AFE，∴ ，∵Rt ABG≌Rt AFG，∴ ，
△ △ △ △
∵ ，∴ ，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；
∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，
勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形 沿着 、 翻折，点 、 的对应点分别是点
、 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得 ， ， ，利用角之间
的和差关系可得 ，进而求得 ，再利用
即可求得结果．
【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ，
由折叠可知， ， ，
∵ ， ，
∴ ，即： ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到 的度数是解决问题的
关键．例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形 中， ，点 是边
上一点（点 不与 重合），将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长．(2)如图3，连接 分别交 于点 ，
点 ，连接 并延长交 于点 ，当 为 中点时，试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段 上取一点 ，且使 ，连接 ，则在点 从点 运动到点 的过程中，
的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) ，理由见解析．(3)
【分析】（1）可证得 为等腰直角三角形， ，结合 ，可得
．（2）连接 ，交 于点 ，可知 ，根据三角形的中位线定理，
即可求得 与 的位置关系．（3）在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， ，可证得
，则 ，观察图形可知，当点 ， ， 在同一条直线上时， 最
小，最小值为 ．
【详解】（1）根据折叠的性质可知 ， ，∴ ．
∵ ，∴ 为等腰直角三角形．∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ．
（2） ，理由如下：如图所示，连接 ，交 于点 ．根据题意可知 为线段 的垂直平分线，∴ ．∵ 为 中点，∴ ，即 ．
（3）如图所示，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， ．
在 和 中， ∴ ．∴ ．∴ ．
观察图形可知，当点 ， ， 在同一条直线上时， 最小，最小值为 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、
三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使
点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】连接BE，BD，则△BCD是等边三角形，则求出BE的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出
EF的长度．
【详解】解：如图，连接BE，BD，∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE= CE=2 ，
∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，∴EF= ．故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用
勾股定理求线段长度．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形 的边长为6，点 是 上的一点，连接
并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处， 的延长线交 于点 ，
当 时，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得 ， ，再由平行线的性质得到 ，则可证
明 得到 ，设 ，则 ， ，在 中，由勾股定
理得 ，解方程求出 ，则 ．【详解】解：∵ 沿直线 翻折，点 落在点 处，∴ ， ，
∵正方形 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，∵ ，∴ ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，∴ ，∴ ．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明 是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且
CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把 沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列
结论：①AE=BF；②AD=3DF；③ ；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【答案】B
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据
DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S ABF求出即可求得③正确；根
△
据S ABF＝ AB•AF＝ BF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
△
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，∴DE＝3，由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，∴AD＝4DF，故②错误；在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝ ＝5∴S ABF＝ AB•AF＝ ×4×3＝6，故③正确；
△
∵S ABF＝ AB•AF＝ BF•AH，∴4×3＝5AH，∴AH＝ ，∴AG＝2AH＝ ，
△
∵AE＝BF＝5，∴GE＝AE﹣AG＝5﹣ ＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是
掌握翻折的性质．
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ，将边 沿 折叠得到
交 于点 ，当 为 中点时， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，可证 ，故
，即 ，即可求解．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ，过点 作 于点
∵ ，∴ ，∵ 为 中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∵在菱形 中，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴在 中： ，∴ ，∴ ，由折叠可知： ，
∴ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含 角的直角三角形以及折叠的性质．掌
握相关几何结论是解题关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片 按如图所示的方式折叠， 、 为折
痕， ， ，折叠后，点C落在AD边上的 处，并且点B落在 边上的 处．则BC的
长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由勾股定理得出 ，求出 ， ，根据翻折和对边平行可得
和 为等边三角形，那么就得到 ，相加即可．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，∴ 为等边三角形，
同理 也为等边三角形，∴ ，∴ ，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作
出辅助线是解题的关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形 沿 折叠，点B的对应点为F，若E、F、
D刚好在同一直线上，设 ， ， ，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求 ， ，可求 ，可证
，即可求解．
【详解】解： ， ， ，
根据折叠可知， ， ， ，
，在菱形 中， ， ，
， ， ，
， ， ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关
的性质是解题的关键．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片 中，边 ， ，将矩形片 沿 折
叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形 是菱形；②
的长是1.5；③ 的长为 ；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE
=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质
并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的
一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴AB∥CD， ∴∠AEF=∠CFE，
由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，∴∠CFE =∠CEF，
∴CF=CE，∴CF=CE = AE =AF，∴四边形 是菱形；故①正确；
∵四边形 是菱形，∴CF =AE，∵四边形 是矩形， ， ，
∴AB =CD=4，∠D=90°，∴AB-CF =CD-AE，即DF=BE，
设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，
即 的长是1.5；故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形 是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，
∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得 ；故③正确；
∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF= ，∴S =S BCFE+S CGF，
阴影部分 四边形
△
= S ABCD+S CGF，= AB•AD+ CG•GF，= ×4×2+ ×2× ，=4+ = ；故④正确．故选：D．
矩形
△【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等
知识是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重
叠的四边形EFGH， cm， cm，则边AB的长度等于 ．
【答案】
【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB=2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长
度，即可求出AB的长度．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA=EM，BE=EM，∠AEH=∠HEM，∠BEF=∠FEM，∠EMH=∠A=90°，∴AB=AE+EB=2EM，
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°，同理，∠EFG=∠FGH=90°，∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=3cm，EF=4cm，∴ ，
∵EM·HF=EH·EF，∴ ，∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的规律，矩形的判定与性质，勾股定理，
等积法是解决问题的关键．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，将矩形沿 向上翻折，点 落在点 处，点 落在点 处， 与 交于点 ，设 的长为 ．
（1）当点 与点A重合时， 的长为 ；（2）当 时， 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】（1）当点 与点A重合时，BP平分∠ABC，则∠ABP= ∠ABC=45°，进而得 即可
求解；（2）当 时，AM=0；当 时，F、P、D重合，此时AM最大，再由勾股定理列方
程求解即可．
【详解】解：（1）如图，当点 与点A重合时，BP平分∠ABC，
则∠ABP= ∠ABC=45°，∵∠BAP=90°，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
（2）由（1）可知，当 时，AM=0；
当 时，F、P、D重合，此时AM最大，如图：
在矩形ABCD中，∵AD//BC，∴∠BPM=∠PBC，∵BP平分∠MBC，∴∠BPM=∠PBM，∴BM=PM，
设AM=x， ，在RT 中， ，∴ ，解得： ，∴AM的长m的取值范围是： ，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解
决问题．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片 ， ， 、 分别是边 、 的
中点，把 边向上翻折，使点 恰好落在 上的 点处， 为折痕，且 交 于点 ，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质得出BP=BC=AB=2 ，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，得出BN=
BC= BP，证出∠BPN=30°，∠PBN=60°，根据翻折不变性得出∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，证出 PEQ是等
△
边三角形，由直角三角形的性质得出BC= CQ=2
，得出CQ=2，BQ=2CQ=4，求出BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，PF= BP= ，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】根据折叠的性质知：BP=BC=AB=2 ，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，
∴BN= BC= BP，∵∠BNP=90°，∴∠BPN=30°，∴∠PBN=90°-30°=60°，
根据翻折不变性，∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，∴∠QPE=∠PEQ=60°，∴△PEQ是等边三角形，
∵∠C=90°，∴BC= CQ=2 ，∴CQ=2，BQ=2CQ=4，
∵MN∥CD，BN=CN，∴BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，如图所示：则PF= BP= ，∴△PEQ的面积= ×2× = ；故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定、三角形面
积公式等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠BPN=30°是解题的关键．
11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，连接
并延长交射线 于点 ，将 沿直线 翻折到 延长 与直线 交于点 ，则 的
长为 ．
【答案】
【分析】根据中点的性质 ，根据利用矩形的性质 ，
， ，推得 ，根据折叠的性质可得 ，推
得 ，根据等角对等边可得 ，根据全等三角形的判定和性质可得 ，设
，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点 是边 的中点，∴ ，∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，设 ，
∴ ， ，在 中， ，∴ ，解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了中点的性质，利用矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，M为 的三等分
点（ ），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿 方向运动的动点，点N运动t秒后
沿 所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边 上，则t的值为 ．
【答案】 或7
【分析】分两种情况进行讨论：①点 在 上；②点 在 上，结合折叠的性质，可得直角三角形，
再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①如图，过点 作 交 于点 ， 在 上，
可得四边形 是矩形， ， ，
是 的三等分点， ， 由折叠性质得 ，
在 中， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，解得： ， ，即 ；
②如图，过点 作 交 于点 ， 在 上，∴四边形 是矩形， ， ，
在 中， ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得： ，即 ， ．
综上所述， 或7．故答案为： 或7．
【点睛】本题考查矩形性质，翻折变换的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论及方程思想是解题关键．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，将 沿
翻折，使得点D落在 边上 处，则（1） 的长是 ；（2）折痕 的长是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）根据矩形的性质及折叠的性质可得 ， ，然后利用勾股定理求出
的长，进而求出 的长；（2）设 ，在 中利用勾股定理即可求出 的值，继而再利
用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1） 四边形 是矩形， ， ， ，
将 沿 翻折，点D落在 边上 处， ， ，
， ；故答案为：2；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，即 ，，故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握折叠前后对应
边相等．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使
点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
【答案】
【分析】过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt HGE
中，由勾股定理可求出答案． △
【详解】解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE＝ ，
△
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，
在Rt HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．
【点睛△】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用
勾股定理求线段长度．
15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形 边长为6，点 为 边的中点，连接 ，
将 沿 翻折得到 ，延长 交 于点 ，则 长为 ．【答案】
【分析】先判定 ，即可得出 ，设 为 ，则 ， ，
，由勾股定理得： ，解方程得出 的值，即可得到 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
由折叠可得， ， ， ， ，
是 的中点， ， ，
又 ， ， ，
设 为 ，则 ， ， ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得 ． ， ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．解题时，我们常常
设要求的线段长为 ，然后根据折叠和轴对称的性质用含 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直
角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，E为 边上一点，将 沿 翻折，点B落在点F处．当 为直角三角形时， ．
【答案】2或5/5或2
【分析】分 三种情形计算．
【详解】解：当 时，连接 ，∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ 三点共线，
根据折叠的性质，得 ，∴ ，
设 ，则 ，根据勾股定理，得 ，解得 ，故 ；
当 时，∵四边形 是矩形， ， ，∴ ， ，
∵ ，∴四边形 是矩形，根据折叠的性质，得 ，
∴四边形 是正方形，∴ ，∴ ，故 ；
当 时，∵ ， ∴ 点不可能落到 上，
故 不成立，故 或 ，答案：2或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩
形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形 中， 为 上一点，连接 、
，将四边形 沿 翻折，使点 恰好落在 上的 处，若 ，则 的长为 ．【答案】2
【分析】连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，根据 ， ，构建
方程求出x即可解决问题．
【详解】解：如图，连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，
∵ ，∴ ，∵∠D＝∠C＝90°，∴ ， ，
∴ ，解得： ，∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折变换的性质，通
过勾股定理构建出方程是解题的关键．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图， 中，已知 ， 于 ，
， ，把 、 分别以 、 为对称轴翻折变换， 点的对称点为 ， ，延长
、 相交于 点．（1）求证：四边形 是正方形；（2）求 的长．【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，
从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6．
【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52，解得：x＝6或−1（舍去）．∴AD＝6．
【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握
翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相
等的矩形是正方形．
19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活
动．
(1)操作与证明：①小李将矩形 沿 折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若 ，则
__________；②小张将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：
是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接 ，如图3所示，若 ，
，求 的长．
【答案】(1)① ，②见详解(2)
【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等即可作答；②根据 ，可得 ，根据
折叠的性质有： ，即有 ，问题得证；（2）在（1）②中已经证明 ，结合 ， ，可得 ，即 ，进
而可得 ，再证明 ，即有 ，可得 ，
问题随之得解．
【详解】（1）解：①∵在矩形 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ；
②证明∵在矩形 中， ，∴ ，
根据折叠的性质有： ，∴ ，即 ，∴ 是等腰三角形；
（2）在（1）②中已经证明 ，
根据折叠的性质有： ， ， ，
∵在矩形 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵在（1）②中已经证明 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵在矩形 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质，平行线的性质等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点 在正方形 的 边上（不与点 重合），
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．(2)过点 作 交射线 于点 ．①求 的度数；②直接写出线段
与 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)① ；②【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，然后利用 证明 ；
（2）①根据轴对称得到 ，求出 ，利用 ，求出 ，即可根据
四边形内角和求出 ，进而得到 ，然后利用平行线的性质求解即可；
②过点A作 于点P，得到 是等腰直角三角形，求出 ，证明 ，得
到 ，由 ，即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）①如图，∵点D与点F关系 对称，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
②过点A作 点P，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边对等角求角度，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识并应用是解题的关键．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中， 为 边上一点， 为 边上一点，连接 ，分别将 和 沿
翻折， 的对应点分别为 ，且 三点共线．
观察发现：（1）如图1，若 为 边的中点， ，点 与点 重合，则 __________
， __________．问题探究：（2）如图2，若 ，求 的长．
拓展延伸：（3） ，若 为 的三等分点，请直接写出 的长．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）6或
【分析】（1）由折叠得 ，即可求出 ；在 中，由勾股定理得
，列得 ，即可求出 ；
（2）延长 交 于点 ，由折叠的性质得到 ，推出 和 均为等腰直角三角形，
求出 ，根据 求出 ，再利用 求出 ；（3）分两
种情况：①当 ，②当 求解即可．
【详解】解：（1）在矩形 中， 为 边的中点， ，
∴ ， ，∵折叠后点 与点 重合，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 在 中， ，∴ ，解得 ；故答案为: ； ．
（2）如图1，延长 交 于点 ，
由折叠的性质可知 ， ．
∵ ，
和 均为等腰直角三角形， ．
，即 ，解得 ， ．
（3）6或 ．分两种情况：①当 时，
如图2，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，
则四边形 为矩形， ，
由折叠的性质可知 ， ．
．
在 和 中， ，∴ ,∴ ．
设 ， ，
解得 ．∴ ， ；
②当 时，如图3，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，则四边形 为矩形， ．由折叠的性质可知 ，
． ．设 ，则 ．
， ，
解得 ， ．综上， 的长为6或 ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
判定和性质，正确理解矩形的性质掌握各定理是解题的关键．
