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专题40 重要的几何模型之12345 模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
【模型解读】
模型1、12345 模型及其衍生模型
【模型来源】2019 年北京市中考
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P 是网格交点）．
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB=
，tan∠PBA=
，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】下面模型中
，
，2，3，
，
均为对应角的正切值。
∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
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∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用
来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙
的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是AC 上一点，连接
BD．若
，
，则CD 的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】C
【分析】法1：先根据
，
，再由12345 模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．
法2：先根据锐角三角函数值求出
，再由勾股定理求出
过点D 作
于点E，依据三角
函数值可得
从而得
，再由
得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=
，从而可求出CD．
【详解】解法1：∵
，
，∴根据12345 模型知：∠BDC＝45°，
∵
，∴三角形BCD 为等腰直角三角形，∵
，∴CD=
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解法2（常规解法）：在
中，
，
，∴
∴
由勾股定理得,
过点D 作
于点E，如图，
∵
，
，∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
,
在
中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关
键．
例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形
，
，点E 为
上一动点，将三角形
沿
折叠，点A 落在点F 处，连接
并延长，与边
交于点G，若点G 为
中点，则
．
【答案】
【详解】解法1：延长EF 至H,易证△BFH
BCH(HL),
△
≌
则∠EBH=45°，
又因为HF=HC=HD，所以∠CFD=90°，则∠CBH=∠FBH=∠FCD= ADG
∠
，
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因为
，根据“12345”模型，易知故
α
α
α
β
α
H
解法2（常规解法）：如图，过点
作
的平行线，分别交
于点
，
四边形
是正方形，
，
，
，四边形
是矩形，
，
点
为
中点，
，
，
，
，即
，
设
，则
，
，
由折叠的性质得：
，
，
又
，
，
，
在
和
中，
，
，
，即
，解得
，
，
，
又
，
，解得
或
，
经检验，
是所列方程的解，
不是所列方程的解，
例 3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形
中，
，以点B 为圆心，适当长为半径画
弧，分别交
，
于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于
长为半径画弧交于点P，作射线
，过点C 作
的垂线分别交
于点M，N，则
的长为（ ）
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A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【详解】解法1：因为
，所以
，
如图，根据“12345”模型，易知
，故
。
α
αα
解法2（常规解法）：如图，设
与
交于点O，与
交于点R，作
于点Q，
矩形
中，
，
，
．
由作图过程可知，
平分
，
四边形
是矩形，
，
又
，
，在
和
中，
，
，
，
，设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，即
，
解得
，
．
．
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，
．
，
，
，
，即
，解得
．
例4.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点
，点
，点
在
轴
上，且点
在点
右方，连接
，
，若
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【详解】解法1：因为点
，点
，所以
因为
，根据“12345”模型，易知
,故
.
解法2（常规解法）：∵点
，点
，∴
，
，
∵
，∴
，过点
作
于点
，
∵
，
是
的角平分线，∴
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∵
∴
设
，则
，
，
∴
解得：
或
（舍去），∴
例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3 的正方形
中，点
是边
上的点，且
，过点
作
的垂线交正方形外角
的平分线于点
，交边
于点
，连接
交边
于点
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【详解】解法1：因为AB=AD=3,
，所以AE=1,BE=2,所以
根据“12345”模型，易知
，
，因为∠DEF=90°，所以
，
所以
，故
，故
2
3
2
3
2
3
1
解法2（常规解法）：在AD 上截取AH＝AE，连接HE．
则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝
∠EBF．
F
G
H
M
N
E
B
A
D
C
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A
∠
∵
＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE
BEF
≌△
，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．
BE
∵
＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan ADE
∠
＝
，∴tan CDN
∠
＝
，BN＝CN＝
BC＝
．
A
∵∠＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE
BEM
≌△
，∴BM＝
BE＝
，∴MN＝BN－BM＝
．
例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在
中，
，将
绕点A 逆时针
方向旋转
，得到
．连接
，交
于点D，则
的值为 ．
【答案】5
【详解】解法1：因为
，根据“12345”模型，易知
，故
。
45°
α
解法2 （常规解法）：解：过点D 作
于点F ，∵
，
，
，∴
，
∵将
绕点A 逆时针方向旋转
得到
，
∴
，
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
又∵
，∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，即
，
∵
，
，∴
，∴
，即
，
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又∵
，∴
，
∴
，
，∴
，故答案为：5．
例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形
的边长为
，点
是
的中点，
与
交于点
，
是
上一点，连接
分别交
，
于点
，
，且
，连接
，则
，
．
【答案】 2
【详解】解法1：易知
，
，接下来对△AME 分析，如图易知
，
过M 作AE 的垂线段，设EM=5x，则
，
，则
2
5x
12x-2
4x
3x
H
E
A
M
解法2（常规解法）：如图，证明
，得到
，勾股定理求出
的长，等积法求出
的长，证明
，相似比求出
的长，证明
，求出
的长，证明
，求出
的长，再利用勾股定理求出
的长．
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【常规法】解：∵正方形
的边长为
，点
是
的中点，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
；
∵
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，
故点
作
，则：
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
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课后专项训练
1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形
中，
是
中点，连接
，
，作
交
于
，交
于
，交
于
，延长
交
延长线于
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【简证】
1
2
45°
5m
5m
5m
10m
3m
m
M
【常规法详解】解：∵四边形
是正方形，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
是
中点，∴
，
∵
，∴
，∴
，
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∵
，∴
，
∴
，设
，则
，
∴
，∴
；故选：C.
2.（2018 湖北中考真题）如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点，将△ABG 沿AG 对折至
△AFG，延长GF 交DC 于点E，则DE 长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】根据BG 是AB 的一半，可得tan∠BAG=
，
连接AE，易证△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根据12345 模型知：tan∠DAE=
，∴DE=2，故此题选C
3.（2021 宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E，F 分别在边AB，AD 上，将矩形纸片沿CE，CF
折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C，H，G 恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF
的长是（ ）．
A．2 B．
7
4 C．
3 2
2
D．3
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【答案】A
【解析】由题意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．
tan BCE
∵
∠
＝
＝
＝
，∴tan DCF
∠
＝
，∴
＝
，∴DF＝
CD＝2
4.（2023.湖北 九年级期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE＝2，F 是
AB 边上一点，将△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H，则FH 的长
是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【简证】易知
，故
，
5m
3m
4m
5m
【常规法详解】解：∵四边形
是边长为
的正方形，
∴
，
，∴
，
由翻折得
，
，
垂直平分
，
H
G
F
E
A
B
D
C
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在
和
中，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，且
，∴
，解得
，
∵
，∴
，解得
5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D 是边长为1 的小正方形组成的6×5 网格中的格点，连接
交
于点E，连接
．给出4 个结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【简证】易知
，
，
，故③错误，选B
【详解】解：连接
，
，
为格点，如图，
由题意得：
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
①的结论正确；
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，
，
．
，
，
．
②的结论正确；
，
，
，在
中，
，
，
③的结论不正确；
，
，
，
，
，
④的结论正确．综上，正确的结论有：①②④．
6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记
为点B'，折痕为CE，再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B'C 上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝
1
3 BC
，则矩形纸片ABCD 的面积为_________．
【答案】15
【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．
∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．
∵BE＝
，∴tan∠BCE＝
，∴tan∠D'CF＝
，tan∠B'CB＝
．
∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝
，
∴DF＝D'F＝
BD’＝
，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，
∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S 矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15．
B′
D′
F
E
C
B
D
A
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7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片
，折痕是
，点
落在点
处，分
别延长
、
交
于点
、
，若点
是
边的中点，则
cm．
【答案】
【简证】连接
易知△ADF≌△EDF（HL），记
，
，则
故
,
【常规法】解：连接
如图，
∵四边形ABCD 是正方形，∴
∵点M 为BC 的中点，∴
由折叠得，
∠
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∴∠
，
设
则有
∴
又在
中，
，
∵
∴
∴
在
中，
∴
解得，
（舍去）∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴
即
∴
8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，∠EAF＝45°，连
接AE 与BF 交于点G，连接AF 与DG 交于点H，则
DH
HG 的值为_________．
【答案】
【解析】过点G 作GM⊥AF 于点M，过点D 作DN⊥AF 于点N．
∵四边形ABCD 是正方形，点F 是CD 的中点，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝
．
∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2( 90°－∠AFD )＝2∠DAF，∴
＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝
．
设AM＝GM＝4a，则FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，
H
G
F
E
C
B
D
A
N
H
G
M
F
E
C
B
D
A
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FN＝
AF＝
，DN＝2FN＝
，∴
＝
＝
＝
．
9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4 2 ，对角线AC，BD 相交于点O．点E 是对角
线AC 上一点，连接BE，过点E 作EF⊥BE，分别交CD，BD 于点F，G，连接BF 交AC 于点H，将△EFH 沿EF
翻折，点H 的对应点H′ 恰好落在BD 上，得到△EFH′．若点F 为CD 的中点，则△EGH′ 的周长是
_________．
【答案】5＋
5
【解析】过点E 作EP⊥AC，交CB 的延长线于点P．
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．
∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．
∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵点F 为CD 的中点，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝
．
∵AB＝
，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，
∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝
，∴tan∠H′EO＝
，
∴OG＝
OE＝1，OH′＝
OE＝
，EH′＝
OE＝
，∴EG＝
5 ，GH′＝
－1＝
，
∴△EGH′ 的周长＝EH'＋EG＋GH'＝
＋
＋
＝5＋
10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在BC、CD 上，若
C
B
O
H
G
F
H′
E
D
A
C
P
B
O
H
G
F
H′
E
D
A
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AE=√5 ，∠EAF=45°，则AF 的长为 .
【答案】
【解析】根据AB=2，AE=√5 ，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=
，
∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
根据12345 模型知：tan∠DAF=
，∴DF=
，
再根据勾股定理求得：AF=
，故答案为：
11.（2019 盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点A、B，
将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C，则直线BC 的函数表达式是_______________．
【答案】
【解析】∵一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点A、B。
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∴A（
，0）B（0，-1），AO=
，BO=1，可得tanα=
，
∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根据12345 模型知：tanβ=
，∴OC=3，C（3，0）
∵B（0，-1），C（3，0），∴直线BC 的函数表达式为：
，故答案为：
。
12.（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D 都
在格点处，AB 与CD 相交于O，则tan∠BOD 的值等于__________．
【答案】3
【解析】如图所示，取点E，设∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=
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∵根据外角定理：∠BOD=α+45°，根据12345 模型知：tan∠BOD=3，故答案为：3。
13.（2023 甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x
轴、y 轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A’位置，OB=
，tan∠BOC=
，则点
A’的坐标为____________．
【答案】（-
，
）
【解析】设∠OAB=α，过点A’作A’H⊥AB. ∵OB=
，tan∠BOC=
，∴OA=1，AB=2.
根据翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=
，A’B=AB=2.
根据12345 模型知：tan∠ABA’=
，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=
，BH=
，A 坐标（-
，
）．
14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C 落在点E 处，
分别延长ME，DE 交AB 于点F，G，若点M 是BC 边的中点，则FG＝_________cm．
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【答案】
【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．
∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．
∵tan∠CDM＝
＝
，∴tan∠ADF＝
＝
，tan∠DGA＝tan∠CDG＝
．
∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝
cm，∴FG＝
＝
cm．
15.（2017 浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+m 分别交x 轴、y 轴于A、B 两
点，已知点C（2，0），点P 为线段OB 的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m 的值是
__________．
【答案】2
【解析】∵一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
G
E
M
F
B
A
C
D
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∵点P 为线段OB 的中点，∴P（0，
），PO=
，可得tanα=
，
根据12345 模型知：tanβ=
，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OA=12，m=12．
16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD 的边长为 6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线
AE 折叠后，点B 落在点F 处，AF 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________．
G
F
E
B
C
A
D
【答案】
【解析】∵E 为BC 的中点，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=
，由翻折知：tan∠FAE=
，
根据12345 模型知：tan∠GAD=
，过点G 作GH⊥AD，∵ABCD 是正方形，∴DH=GH
设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。
∵AB=6，∴7x=6，x=
，GH=
，故答案为：
。
17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别在边BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF 的长为_________．
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【答案】2
【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
tan
∵
∠BAE＝
＝
＝
，∴tan∠DAF＝
，∴
＝
，∴DF＝
＝2．
18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点
，
，
为坐标原点，点
关于直线
的对称点
恰好落在反比例函数
的图象上，则
．
【答案】
【详解】法一：易知
，故
.
5m
4m
3m
D
法二：常规法解：作
轴于点
，连接
，如图所示，
点
，
，
，
，
点
关于直线
的对称点为点
，
，
，即
F
E
C
B
D
A
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，设
，
，
，解得：
，
，
19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点A 的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A 在反比例函数y
的图象上．作射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转
，交y 轴于C 点，则△ABC 面积为
．
【答案】20
【分析】过B 作BF⊥AC 于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过A 作AE⊥DF 延长线于E，证明△AEF≌△FDB
（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得
，可得F（3，
1），进而求得直线AC 的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A 在反比例函数y
的图象上，且点A 的横坐标与纵坐标相等，∴A（4，4），
过B 作BF⊥AC 于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过A 作AE⊥DF 延长线于E，
淘宝：学思创想
∵
，则△ABF 为等腰直角三角形，∴
在△AEF 与△FDB 中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，∵点A（4，4）和点B（0，2），∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，∴4﹣a+2﹣a＝4，解得a＝1，∴F（3，1），
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，则
，解得
，
∴y＝3x﹣8，令x＝0，则y＝﹣8，∴C（0，﹣8），∴BC＝10，
∴
20，故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角
形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
20．（2023 上·绍兴·期中）如图，已知点A（3，3
），点B（0，
），点A 在二次函数y＝
x2+
x
9
﹣
的图象上，作射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C
的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点B 作
轴，过点A 作
于点E，
交
于点
，过
点作
于点
，根
淘宝：学思创想
据勾股定理求出
的长度，设
，则
，则
，
根据三角函数得出
，则
，解之可得
，求得直线
的解析式，与
抛物线解析式联立可得点C 的坐标．
【详解】解：过点B 作
轴，过点A 作
于点E，
交
于点
，过
点作
于点
，
根据题意可得
,∴
,设
，则
，
∴
，∴
,
∴
，∵
,∴
，
∴
，两边平方得：
，
解得：
(舍)，∴
,
，∴
,
∴
,∴点
的坐标为：
，
设直线
的解析式为：
，则
，解得
，
∴
表达式为
，将其代入抛物线方程y＝
x2+
x
9
﹣
，
解得
或
，
即为点A，将
代入直线AC 得
，
淘宝：学思创想
∴点C 坐标为：
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据题意求得一次函数解析式
与二次函数解析式联立是解题的关键．
21．（21·22 下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系
中，直线
的解析式为
分别交
轴，
轴于
，
两点，已知点
．（1）当直线
经过点
时，
；
（2）设点
为线段
的中点，连接
，
，若
，则
的值是 ．
【答案】
【分析】（1）将点点
代入直线
的解析式即可求解；
（2）如图所示（见详解），作
，连接
．则
，由（1）可知
，
，
由此得
，
，当
时，
，由此即可求解．
【详解】解：（1）当直线
经过点
时，点
与点
重合，
当
时，
，即
，故答案为2．
（2）如图所示，
作
，连接
．则
， 且又
可得
，
．
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∴
，
，则
，
当
时，
，∴
，不符合题意；
当
时，∵
，
∴
，即
，
∴
，∴
，即
，解得
．故答案是：12．
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的特点，几何图像的变换是解题的关键．
22．（22·23 下·泰安·一模）如图，把一个矩形纸片
放入平面直角坐标系中，使
分别落在x
轴，y 轴上，连接
，将纸片
沿
翻折，点A 落在点
位置，若
，
，直线
与y 轴交于点F，则点F 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意首先求出
的长度，再证
，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
∵
由
翻折得到，
，
，
又
，
，
，
，
，解得：
，
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点F 的坐标为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理，三角形全等，解题的关键是求出
．
23．（22·23 上·齐齐哈尔·期末）如图，在
中，
，点
是
边的中点，
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB 的值，然后证明
，求DE 的长，再利用三
角函数定义求解即可．
【详解】过点D 作
于E
∵点
是
边的中点，
∴
，
在
中，由
∴
∴
由勾股定理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
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24．（2023·运城·期末）仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为，点
,
,
,
都在格点上，
与
相交于点
，求
的值.
解析：连接
,
，导出
，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问
题.具体解法如下：连接
,
，则
，
，根据勾股定理可得：
,
,
,
，
是直角三角形，
，
即
.
任务：（1）如图2，
,
,
,
四点均在边长为的正方形网格的格点上，线段
,
相交于点
，求
图中
的正切值；（2）如图3，
,
,
均在边长为的正方形网格的格点上，请直接写出
的值.
【答案】（1）2；（2）1.
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【分析】（1）如图所示，连接
,
,
与
交于点
，则
，可得出
，再
证明
是直角三角形即可得出；
（2）连接BC，根据勾股定理可得AB,AC,BC 的值，可判断
为等腰直角三角形，即可得出.
【详解】解：（1）如图所示，连接
,
,
与
交于点
，则
,
，根据勾股定理可得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
,
.
（2）连接BC，根据勾股定理可得：AC=
=
，BC=
=
，AB=
=
.
,
.
为等腰直角三角形
.
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
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