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淘宝：学思创想
专题38 重要的几何模型之中点模型（一）
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四
边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中
点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着
十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全
等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC 中，DE⊥BC，且D 为BC 中点，则BE=EC。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形
中，连接对角线
，作
边的垂直平分线
，分别交
、
、
于点
、
、
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知
，以A，B 两点为
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圆心
的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则
的周长为（ ）
A．8
B．
C．
D．
例3．（2023·山东济南·统考二模）如图，在
中，
，
，分别以
、
为圆
心，大于
的长为半径画弧，两弧交于
、
两点，作直线
交
于
点，若
，则
的面积为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
例4．（2023 上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在
中，
，
，
，
平分
，点
分别是
，
边上的动点，则
的最小值是 ．
例5．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，
中，
，点D 在
边上，连接
，点
E 是
的中点，
交
于点F，
，若
，
，则
的长为 ．
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例6．（2023 上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在
中，
为钝角，边
的垂直
平分线分别交
于点D，E．(1)若
，求
的大小；(2)若
的平分线
和边
的垂直平分线
相交于点F，过点F 作
垂直于
的延长线于点G，求证：
．
模型2：等腰三角形的“三线合一”
定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 为BC 边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。
模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。
例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在
中，分别以点A，C 为圆心，以大于
的长为半径
作弧，两弧相交于点M，N，作直线
交
于点D，交
于点E，连接
．则下列结论不一定正确
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的是( )
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·山东济宁·统考二模）如图，
中，
，
平分
，点E 是
的中点．若
，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．7
例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知
，点
在边
上，
，点
，
在边
上，
，若
，则
．
例4．（2023 上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰
中，
，延长
至点
，使得．
，过点
作
，垂足为
，延长
至点
，连接
，若
，则
．
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例5．（2023 上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在
中，
，
，点
为
的
中点，
于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2023·黑龙江·统考三模）如图，在四边形
中，
，
，作
于点E，
，连接
，
，则
的长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点 .处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，
即“延长中线交平行”
如图，AB//CD，点E 是BC 的中点，可延长DE 交AB 于点F。
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模型运用条件：构造8 字型全等（平行线夹中点）。
例1．（2023 上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边
，过
边上一点P 作
于点
E，点Q 为
延长线上一点，取
，连接
，交
于M，已知
的长为2，则等边三角形
的边长为 ．
例2．（2023·山东济南·校联考一模）如图，在菱形ABCD 中，E、F 分别是AB、BC 边的中点，EP CD
⊥
于点
P，∠BAD=110°，则∠FPC 的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
例3．（2023·天津·中考真题）如图，
的顶点C 在等边
的边
上，点E 在
的延长线
上，G 为
的中点，连接
．若
，
，则
的长为 ．
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例4．（2023 下·重庆黔江·八年级统考期末）矩形
与矩形
，如图放置，点
，
，
共线，点
，
，
共线，连接
，取
的中点
，连接
．若
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
例5．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在平行四边形
D 中，CD＝2AD，BE 垂直AD 于点E，F
为DC 的中点，连接EF，BF，下列结论（1）
；（2）
；（3）
四边形
DEBC
三角形EFB；（4）
， 其中正确结论的个数共有（ ）
A．个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例6．（2023·吉林长春·统考三模）【感知】如图①，正方形
中，点
在
边上，
平分
．若我们分别延长
与
，交于点
，则易证
．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形
中，点
在
边的中点，点
在
边上，
平分
．求证：
．【应用】在【探究】的条件下，若
，
，直接写出
的长．
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课后专项训练
1．（2023 上·河北张家口·八年级统考期中）如图，在
中，
，依据尺规作图痕迹，下列判断
正确的是( )
结论Ⅰ：
； 结论Ⅱ：
．
A．Ⅰ，Ⅱ都对
B．Ⅰ对，Ⅱ错
C．Ⅰ错，Ⅱ对
D．Ⅰ，Ⅱ都错
2．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，
是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，
，
过O 作
交
于点E，则
的长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2022·安徽·合肥校考模拟预测）如图，矩形
的对角线交于点
，
经过点
且
，
分别与
，
交于点
，
，若
，
，则
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3
4．（2023·重庆九龙坡·校考三模）如图，正方形
的边长为12，点E 为
边上一点，
，点F
为
边上一动点，连接
交于点G，连接
，当
时，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．5
5．（2023·陕西西安·校考三模）如图，在等腰
中，
，
，点
为
的中点，
于点E，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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6．（2023·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AD＝2AB，F 是BC 的中点，作AE⊥CD 于
点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝
3∠CEF．其中一定成立的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知
于点B，
于点A，点E 是
的中点，
，若
，
，则
的长是 ．
8．（2023·山东临沂·统考一模）如图，
的顶点
在等边
的边
上，点
在
的延长线
上，
为
的中点，连接
，若
，
，则
的长为 ．
9．（2023 上·山西大同·八年级校考阶段练习）如图，在
中，
边的垂直平分线
与
的平
分线
交于点
．
交
的延长线于点
，
交
于点
．
，
．则
的长是 ．
10．（2023·山东临沂·统考二模）在
中，
，
，将
沿
翻折到
，
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的垂直平分线与
相交于点E．若
，则
的长为 ．
11．（2023·山东泰安·统考二模）在
中，
，D 为
中点，
，
，
，则
12．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图，
是等边三角形，
，
是
边上的高，点
是
射线
上的动点，连接
，交直线
于点
，当
是等腰三角形时，
的长为 ．
13．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别为边CD，AD 的中点，
CF 与EA、EB 分别交于点M，N．已知AB＝8，BC＝12，则MN 的长为 ．
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14．（2023 上·浙江绍兴·八年级校考期中）两个同样大小的含
角的三角尺，按如图所示的方式放置，其
中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点
，且另三个锐角顶点
，
，
在同一直线上，
为
中点，已知
．(1)求
的长．(2)求
的长．
15．（2023 上·浙江丽水·九年级统考期中）已知：如图，在
中，
，以边
为直径作半圆
，分别交
于点
．(1)求证：
；(2)若
，求
的度数．
16．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，
中，
，点
、
分别在
、
边上，
．
(1)求证：
；(2)若
，
，当
时，求
的长．
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17．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）
中，
，
垂直平分
，交线段
于点E
（点E 与点C 不重合），点F 为直线
上一点，点G 为边
上一点（点G 与点A 不重合），且
．(1)如图1，当
时，求证：线段
；
(2)如图2，当
时，猜想线段
和
的数量关系，并说明理由；
(3)若
，
，
，求线段
的长．
18．（2022 上·辽宁沈阳·八年级校考期末）【问题】：如图1，等腰直角三角形
中，
，
，
是
的角平分线，点E 为
上一点，
交
延长线于点F，连接
，探
究
，
，
之间的数量关系．
【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出
，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模
型，便尝试着过点E 作
的垂线与
相交于点G（如图2），通过证明
，最终探究出
，
，
之间的数量关系．（1）请根据小明的思路，补全
的证明过程；
（2）请直接写出
，
，
之间的数量关系；
【应用】（3）当
时，请直接写出
的长为
；
【拓展】（4）若
的中点为点M，当B，E，M 三点共线时，请直接写出
的长为
．
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19．（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在
中，
，垂足为B，且
．求证：
．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在
上截取
，连接
，将线段
与
，
之间的数量关系转化为
与
之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从
这个条件出发给出另一种解题思路：作
的垂直平分线，分别与
，
交于F，E 两点，连接
，将
转化为
与
之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线
段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1 进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在
中，
，过点A 作
（点D 与点C 在
同侧），若
．求证：
．
【学以致用】（3）如图5，在四边形
中，
，求四边形
的面积．
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20．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形
和正三角形
中，
，
是
的中
点，连接
、
．(1)如图1，当点
在
边上时，写出
与
的数量关系 ．（不必证明）
(2)如图2，当点
在
的延长线上时，线段
、
有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
(3)如图3，当点
在
的延长线上时，线段
、
又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证
明）．
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