文档内容
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模块二 图形与几何基础
第 08 讲 图形的几何变化
（思维导图+2考点+13种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 图形的几何变化基础部分
►题型01 常见几何变化的识别
►题型02 与几何变化的性质求解（线段长，周长，面积）
►题型03 与几何变化的性质求解（坐标）
►题型04 与几何变化有关的规律探索问题
►题型05 与几何图形有关的折叠问题
►题型06 坐标与图形变化综合
►题型07 与几何变化的作图题
►题型08 与几何图形变化有关的多结论问题
考点二 图形的几何变化综合部分
►题型01 几何变化与全等/相似三角形综合
►题型02 几何变化与最值问题
►题型03 几何变化与面积问题
►题型04 几何变化与动态问题
►题型05 几何变化与函数综合
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
中考数学中的图形几何变化部分，是考查学生空间想象能力、逻辑推理能力及动手
操作能力的重要环节。这一部分内容不仅涵盖基础的几何知识，还融合了图形的运动变
化，如平移、旋转和翻折等。近年来，随着中考命题改革的深入，图形几何变化的题目
在题型设计、考点分布及考查方式上均呈现出一定的规律和趋势。
【考情分析】
1. 基础知识的考查：中考图形几何变化的题目始终围绕基础知识的考查展开，如基本
图形的性质、图形的运动规律及坐标系的应用等。学生需熟练掌握这些基础知识，才能
在考试中游刃有余。
2. 动态思维的考查：随着新课改的推进，图形几何变化的题目越来越注重考查学生的
动态思维能力，即在图形运动变化中分析和解决问题的能力。这类题目通常要求学生具
备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。
3. 综合能力的考查：中考图形几何变化的题目往往与其他知识点相结合，如函数、方
程等，形成综合性较强的题目。这类题目要求学生具备较强的知识整合能力和问题解决
能力。
图形的几何变化 4. 创新与实践能力的考查：近年来，中考图形几何变化的题目中还出现了一些开放
性、探究性的题目，要求学生进行猜想、验证和探究。这类题目注重考查学生的创新意
识和实践能力，体现了新课改对学生综合素质的培养要求。
【备考建议】
1. 夯实基础知识：学生应系统复习基本图形的性质、图形的运动规律及坐标系的相关
知识，确保熟练掌握这些基础知识。
2. 注重动态思维训练：学生应多做一些涉及图形运动的题目，培养自己的空间想象能
力和逻辑推理能力，学会在动态变化中把握图形关系。
3. 加强知识整合：学生应注重将图形几何变化的知识与其他知识点相结合，进行综合
性题目的训练，提高自己的知识整合能力和问题解决能力。
4. 培养创新实践能力：学生应积极参与一些开放性、探究性的题目，培养自己的创新
意识和实践能力，学会从多角度思考问题并寻找解决方案。
中考图形几何变化的题目虽然具有一定的难度，但只要学生掌握了基础知识，培养
了动态思维能力，并加强了知识整合和创新实践能力的培养，就能够在考试中取得好成
绩。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 图形的几何变化基础部分
►题型01 常见几何变化的识别
1．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是
中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． 山西煤炭化学研究所 B． 东北地理与农业生态研究所
C． 西安光学精密机械研究所 D． 生态环境研究中心
3．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，
并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
4．（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ）
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
►题型02 与几何变化的性质求解（线段长，周长，面积）
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点
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N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值
为（ ）
A．15 B．5+5√5 C．10+5√2 D．18
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底
1
边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足A A'= AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
3
AC 5
7．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， = ．线段AB与
BD 3
A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形
OB'ED的面积比为
8．（2024·四川广安·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线
BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
9．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是 ．
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10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2，
若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．
►题型03 与几何变化的性质求解（坐标）
11．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点
3
B在直线y= x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（ ）
4
A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A(0,−2)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
13．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在反比例函数
k
y= (x>0)的图像上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在
x
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该反比例函数的图像上，则k的值为 ．
14．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4)，点
B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
15．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点
A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的式
子表示）
►题型04 与几何变化有关的规律探索问题
16．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0
的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数
（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位
长度．
例：“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点P (2,2)，其平移过程如
3
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下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
17．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A
3
逆时针旋转到△AB O 的位置，使点B的对应点B 落在直线y=− x上，再将△AB O 绕点B 逆时针旋
1 1 1 4 1 1 1
3
转到△A B O 的位置，使点O 的对应点O 也落在直线y=− x上，如此下去，……，若点B的坐标为
1 1 2 1 2 4
(0,3)，则点B 的坐标为（ ）．
37
A．(180,135) B．(180,133) C．(−180,135) D．(−180,133)
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如
“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的
坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC=120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依
次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A ，称点
1
A 为第一个“花朵”的花心，点A 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停
1 2
止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
19．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O
顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转
1 1 1 2 1 2 2
45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ，
3 2 3 4 3 4 4 5
扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；……；按此规律，则S 的值为 ．
3 5 6 5 6 2024
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20．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0,0)、C(1,0)．将线
段CA 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP ；将线段BP 绕点B按顺时针方向旋转120°至BP ；将线
1 1 2
段AP 绕点A按顺时针方向旋转120°至AP ；将线段CP 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP ；……以
2 3 3 4
此类推，则点P 的坐标是 ．
99
21．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为
(1,1)，A´A 是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A´A 是以点O为圆心，OA 为半径的圆弧，A´A 是
1 1 2 1 2 3
以点C为圆心，C A 为半径的圆弧，A´A 是以点A为圆心，A A 为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A
2 3 4 3
为圆心按上述作法得到的曲线A A A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点A 的坐标是 ．
1 2 3 4 5 2023
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►题型05 与几何图形有关的折叠问题
22．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点
A，B分别落在边AD、BC上的点A'，B'处，EF，A'F分别交AC于点G，H．若GH=2，HC=8，则
BF的长为（ ）
20√2 20√3 5√3
A． B． C． D．5
9 9 2
23．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在△ABD中，∠ABD=30°，∠A=105°，将△ABD沿BD翻折
180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．
若EF=1，则△BED的面积是（ ）
1+√3 2+√3 2+√3 1+√3
A． B． C． D．
4 4 2 2
24．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为
(−2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的
坐标为 ．
k
25．（2024·四川广元·中考真题）已知y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，
x
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k
将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y= (x>0)上点C处，则B点坐标为 ．
x
26．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦
DE⊥AB，将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
27．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在
AC，AB边上，AE=√5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF
的面积是△BEC面积的2倍，则AD= ．
►题型06 坐标与图形变化综合
28．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正
方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
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A．(−1,−2) B．(−2,−1) C．(2,1) D．(1,2)
29．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(−2,0)，
∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形
OA'B'C'，其中点B'的坐标为（ ）
A．(−2,√3−1) B．(−2,1) C．(−√3,1) D．(−√3,√3−1)
3
30．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，直线y=− x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点
2
A顺时针旋转90∘得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
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A．(2,5) B．(3,5) C．(5,2) D．(√13,2)
31．（2023·四川巴中·中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函
k
数”．例如：函数y=x+3与y=−x+3互为“Y函数”．若函数y= x2+(k−1)x+k−3的图象与x轴只
4
有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
32．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位
长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y
轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现
6
A，B两点恰好都落在函数y= 的图象上，则a的值为 ．
x
►题型07 与几何变化的作图题
33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长
度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,1)，B(−2,3)，C(−5,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB C ，并写出点B 的坐标；
2 2 2
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(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）
2
34．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)．
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)直接写出以B，C ，B ，C为顶点的四边形的面积；
1 1
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
35．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列
要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
(1)在图①中，四边形ABCD面积为2；
(2)在图②中，四边形ABCD面积为3；
(3)在图③中，四边形ABCD面积为4．
►题型08 与几何图形变化有关的多结论问题
1
36．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=− x2+bx与
2
1
y= x2−bx的图像均过点A(4,0)和坐标原点O，这两个函数在
2
0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与
x轴不重合的直线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：①b=2；
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②PB=PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，
B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+√13．其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
37．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k>0)
2
与双曲线y= 交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，
x
结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；
2
③在y= 的图象上任取点P(x ,y )和点Q(x ,y )，如果y >y ，那么x >x ；
x 1 1 2 2 1 2 1 2
1
④ S = ．其中正确结论的个数是（ ）
△BOD 2
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P
作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．
96
下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S = ；④
△MPE 25
BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
39．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB
延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，
15
AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP= ，④BD∥FQ．正确的是（ ）
8
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A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
1. 平移的性质：
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
2.轴对称与中心对称
类别 轴对称 中心对称
性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称
中心平分；
2）成轴对称的两个图形全等；
2）成中心对称的两个图形全等；
3）只有一条对称轴.
3）只有一个对称中心.
3.轴对称图形与中心对称图形
类别 轴对称图形 中心对称图形
性质 1）有对称轴; 1) 有对称中心;
2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图
全重合. 形能与原来的图形重合.
4. 旋转的性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
1．（2025·江西·模拟预测）下列乐谱符号，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西西安·一模）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，
其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
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3．（2025·天津·模拟预测）如图，在△ABC中，∠CAB=20°,∠ABC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋
转60°得到△AB'C'，点B,C的对应点分别为B',C'，连接CC'交AB'于点E，下列结论一定正确的是
（ ）
A．∠CC'B'=70° B．C'A⊥AB C．B'C'=B'E D．C'B'∥AC
4．（2025·陕西西安·一模）直线l :y=x−2与x轴交于点A，将直线l 绕点A顺时针旋转15°，得到直线l ，
1 1 2
则直线l 对应的函数表达式是（ ）
2
√3 √3
A．y= x−√3 B．y= x+√3
2 2
√3 2√3 √3 2√3
C．y= x− D．y= x+
3 3 3 3
5．（2025·江西·模拟预测）关于二次函数L :y=x2与L :y=−x2−2，若在同一平面直角坐标系内画出它
1 2
们的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线L 与L 的对称轴都是y轴 B．抛物线L 与L 关于直线y=−1成轴对称
1 2 1 2
C．抛物线L 向下平移2个单位得到L D．抛物线L 与L 关于点(0,−1)成中心对称
1 2 1 2
6．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．如果
∠BAF=55°，那么∠DAE= ，∠AEF= ，∠EFC= ．
7．（2024·甘肃兰州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C
逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 ．
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8．（2024·辽宁抚顺·二模）△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转
60°，得到线段DE，连BD，CE．当∠DAC=30°，AB=2√3，AD=4时，CE= ．
9．（2025·河南周口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=3，D是平面内一点，BD=1，
连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转90∘，得到线段CD'，连接BD'，则BD'的最大值为 ，最小值
为 ．
10．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，△ABC（顶点均在正方形网
格的格点上），已知点A的坐标为(2,3)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
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(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A B C ，使△A B C 与△A B C 位似，并且点A 的坐标
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2
为(4,−6)；
(3)△A B C 与△A B C 的相似比是______．
1 1 1 2 2 2
考点二 图形的几何变化综合部分
►题型01 几何变化与全等/相似三角形综合
1．（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D
不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；
如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连
接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．
2．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
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关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
3．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践
(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边
形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHJK为矩形．则
△EDK≌______．
(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5
中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为______．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的
方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E
作EF∥BC，交直线AB于点F．
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（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，
连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接
写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC=6√3，CD=2BD，则EF=______．
►题型02 几何变化与最值问题
5．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN=BM．
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到
MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．
试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，连接
BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
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【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所
示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为
端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存
在最大值．若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD的最小值．
7．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
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(1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
8．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直
线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里
拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
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PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
9．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连
接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=3√10．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相
等．请予以证明．
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10．（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边
DE，AB的中点，DE=2,AB=4．
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
►题型03 几何变化与面积问题
11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，
P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB'C'C的面积；
(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．
12．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC
边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交
AB,AC,BC于点E，G，F，H．
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猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交
AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
13．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中
心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方
形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S ，在旋转过程中S 与S的关系为______．
1 1
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方
形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=√2OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，
当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．
√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2−√3）
4 4
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解
《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角
模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB
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交AB的延长线于点E．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；
BN
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 =______；
BC
2
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP= ，请直接写出线段AP的长度．
3
15．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，
AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．
【初步感知】
BD
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究 的值．
CE
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED
交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直
角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
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►题型04 几何变化与动态问题
16．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rt△EDF
中，∠EDF=90°,DE=DF=6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合，如图②，
△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB
( 16)
方向匀速运动，速度为2cm/s，EF与BC交于点P，连接OP，OE，设运动时间为t(s) 090°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
19．（2023·重庆·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点D为线段AB上一动点，连接
CD．
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(1)如图1，若AC=9，BD=√3，求线段AD的长．
(2)如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点
G． 若∠G=∠BCE，求证：GF=BF+BE．
(3)在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将
△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM． 连接AN，点P为AN的中点，连接CP，
当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出
NQ
此时 的值．
CP
►题型05 几何变化与函数综合
20．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点
A(3,0)，点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60∘．
(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在
x轴的正半轴上，点C的对应点为C'．设OP=t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO'C'Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O'C'
与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
2 11
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3 4
k
21．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点
x
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A(4,n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D
k
的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求n,k的值；
(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
1
22．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点
3
A(0,2)，与x轴的交点为点B(√3,0)和点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=√3OE．以线段OD，OE为邻边作矩
形ODFE，连接GD，设OE=a．
①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；
②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将
△GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，点G，H的对应点分别为G'、H'，连
接DE．当△G'FH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点H'的横坐标．
23．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A(2,4)，
D(6,0)，点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，CF∥AO，¿⊥DO于点E，交AD
于点I，AH平分∠OAD，C(−2,−4)，AH⊥CH于点H，连接FH．
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(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；
(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
FG
(3)试探究 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
GI
【考情分析】中考数学中，涉及图形几何变化的题目常常是考试的难点和重点，主要考察学生对图形平移、
旋转、轴对称等变换的理解和应用能力。
【解题思路】
1. 构造基本图形或定理所需图形：在解题过程中，有时需要通过添加辅助线来构造全等三角形、相似三角
形等基本图形，以便应用相关定理。例如，在证明线段相等时，常通过构造全等三角形来得出结论。
2. 寻找相似三角形：当题目涉及比例关系或角度相等时，寻找相似三角形往往是解题的关键。通过相似三
角形的性质，可以推导出所需的比例关系或角度。
3. 利用不变量：在图形变换过程中，某些线段、角度或三角形的性质保持不变。例如，在旋转变换中，对
应线段的长度和对应角的大小均保持不变。利用这些不变量，可以简化问题的分析。
4. 注意多解情况：图形的几何变化可能导致多种符合条件的答案。因此，在解题过程中，需要仔细审题，
全面考虑各种可能的情况，避免漏解。
【解题技巧】
1. 逆向思维：从结论出发，逆向推导所需的中间条件和步骤，有助于找到解题的突破口。
2. 正逆结合：结合已知条件和结论，双向思考，往往能找到解题的捷径。
3. 灵活运用图形变换：根据题目特点，灵活运用平移、旋转、轴对称等变换，将分散的条件集中，或将复
杂的问题转化为简单的问题。
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1．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原
多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所
得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，记为O(k,逆θ)，如果是顺时针旋转一个角度θ，则
记为O(k,顺θ)，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫
做相似比，θ叫做旋转角．
(1)填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个
旋转相似变换记为A（___________，___________）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A(√3,逆90°)，得到△ADE，则线
段BD的长为___________cm；
(2)如图3，△ABC经过B(k ,逆α)得到△EBD，又将△ABC经过C(k ,顺β)得到△FDC，连接AE，
1 2
AF，求证：四边形AFDE是平行四边形．
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(3)如图4，在△ABC中，∠A=150°，AB=6，AC=3，若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形
AFDE恰好是正方形时，则AE的长为___________．
k
2．（2024·浙江金华·二模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C(3,4)，反比例函数y= (k≠0)的
x
图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D．
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y= (k≠0)的图象上时，求平移的距离．
x
3．（2025·河南郑州·一模）下面是人教版八上的一道复习题：
如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B
处，请画出最短路径．
王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究．
【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于MN的对称点A'，作点B关于直线l的对称点
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B'，连接A'B'，分别交MN，直线L于点P，Q，连接PA,QB，则最短路径为折线APQB．请同学们研讨：
王老师判定折线APQB是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长．
【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是∠MON内一点，在OM,ON上分别找点A，B，使
△PAB的周长最小．
解决方法：分别作点P关于OM，ON的对称点P ,P ，连接P P ，分别交OM于点A，交ON于点B，连
1 2 1 2
接PA,PB，则此时△PAB的周长最小，最小值为P P 的长．若∠MON=60°，OP=6，则△PAB周长的
1 2
最小值为③ ．
【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从△ABC的边BC上的一点D出发，沿直线匀速
到达AC上，然后到AB上，最后回到点D（机器人的速度为0.5m/s）．请你完成以下任务．
(1)【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ．
(2)在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出△PAB；③处应填 ．
(3)若AB=30m,∠B=60°,∠A=45°，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间．
4．（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，
∠CAB=30°，∠CBA=120°．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？
5．（2025·陕西西安·一模）在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板ABCD，用于制作零件．
金属板的长AD=5米，宽AB=2米．工人在AD边上确定了一个点P，使得AP=1米．
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(1)为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接PB和PC，并将∠BPC绕点P逆时针旋转一定角度进行
加工．旋转后PB与金属板的边BC相交于点E，PC与金属板的边CD所在的直线相交于点F，如图1所示．
由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究BE和CF之间的数量
关系．
(2)为了进一步组装零件，工人以PE、PF为边构造矩形PEQF，如图2，在组装过程中发现，当△PDQ的
周长最小时，最省材料，求此时tan∠PQC的值．
6．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，
能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转位似图形”（填
“是”或“不是”）；
②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= °；
③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC= ，若连
BD
接BD,CE，则 = ．
CE
(2)知识运用：
如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：△ACD和
△ABE互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E
在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC=6,AD=2√2，求DE和BD的长．
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