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专题 12 多边形与四边形
考情概览
考点1 多边形
考点2 四边形
考点 1 多边形
1．（2025·北京·中考真题）若一个六边形的每个内角都是 ，则x的值为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，即 ，其中 为边数，利用多边形内角
和公式及正多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是 ，
∴每个内角的度数为： ，
故选：C．
2．（2023·北京·中考真题）正十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于
．
【详解】解：因为多边形的外角和为 ，所以正十二边形的外角和为 ．
故选：C．
3．（2021·北京·中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
考点 2 四边形
4．（2025·北京·中考真题）如图，在 中，D，E分别为 的中点， ，
垂足为F，点G在 的延长线上， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 和 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟
知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得 ，即 ，则可证明四边形 是平行四
边形，再由 ，即可证明平行四边形 是矩形；
（2）求出 ，解 得到 ，则 ；由线段中点
的定义可得 ；过点A作 于H，解 得到 ，则 ，再利用勾股定即可求出 的长．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵点D为 的中点，
∴ ；
如图所示，过点A作 于H，
在 中， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
5．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形 中， 是 的中点， ， 交于点， ， .
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长.
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到 ，而 ，即可求证；
（2）解 求得 ，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到
，最后对 运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾
股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键．6．（2023·北京·中考真题）如图，在 中，点E，F分别在 ， 上， ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2) ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出 ，证明四边形 是平行四边形，
然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；
（2）证明 是等腰直角三角形，可得 ，然后再解直角三角形求出 即
可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟
练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 交于点 ，点 在 上，
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出 ， ，再根据
，得出 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，得出 ，证明四边形ABCD为菱形，得出 ，
即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴ ，∵
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为菱形，
∴ ，
即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，
熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
8．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形 中， ，点 在
上， ，垂足为 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由 可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角
函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是
解题的关键．
1．（2025•密云区一模）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的 2倍，则这个多边形的
边数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设多边形的一个外角是 ，则相邻的内角是 ，根据邻补角的定义得出
，即可求出 ，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角是 ，则相邻的内角是 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以多边形的每个内角是 ，
设这个多边形的边数为 ，
则 ，
解得 ．
故选： ．
2．（2025•顺义区一模）每一个外角都是 的正多边形为
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】根据多边形的外角和公式，即可得出答案．【解答】解： （条 ．
故选： ．
3．（2025•石景山区一模）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的 2倍，则这个多边形
的边数为
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】设多边形的一个外角是 ，则相邻的内角是 ，根据邻补角的定义得出
，即可求出 ，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角是 ，则相邻的内角是 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以多边形的每个内角是 ，
设这个多边形的边数为 ，
则 ，
解得 ，
故选： ．
4．（2025•西城区一模）若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形是
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】根据正多边形的外角和是 和正多边形的每个外角都相等，列出算式求出边数
即可．
【解答】解： 正多边形的外角和是 ，每个外角都是 ，
这个正多边形的边数是： ，
这个正多边形是正五边形，
故选： ．
5．（2025·北京顺义·二模）内角和是 的多边形为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．根据n
边形的内角和公式为 ，进行求解即可．【详解】解：∵n边形的内角和公式为 ，
∴当 ，
则 ．
∴内角和等于 的多边形为五边形．
故选：B．
6．（2025·北京朝阳·二模）如图， 是一个正多边形相邻的四个顶点，若
，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是
关键．
如图所示，设这个正 边形内接于 ，连接 ，则 ，根据正多边形的
每条边所对圆心角相等即可求解．
【详解】解：如图所示，设这个正 边形内接于 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即这个多边形的边数为 ，
故选：D ．
7．（2025·北京密云·一模）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形
的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出外角的度数，进而得
到边数．设多边形的每个外角的度数为 ，则内角为 ，根据一个正多边形的内角和外角
互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于 即可求出正多边
形的边数．
【详解】解：设多边形的每个外角的度数为 ，则内角为 ，
根据题意，可得 ，
解得 ，
∴这个多边形的数是 ．
故选：A．
8．（2025•密云区一模）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 为
的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，菱形 的周长为40，求 的值．
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再由菱形的性质得出 ，即可
得出结论；
（2）由菱形的四边相等可得菱形边长 ，由勾股定理得 ，由直角三角形斜边中
线的性质得 ，最后由勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明： 为 的中点，
．
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解：过点 作 于点 ，设 ，
，菱形 的周长为40，
， ，
在 △ 中， ，
在 △ 中， 是 的中点，
， ，
，
由（1）知：四边形 是矩形，
，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
．
9．（2025•东城区一模）如图，矩形 的对角线 与 交于点 ， 为 的中点，
连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的长．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ △ ，得 ，进而可以证明
四边形 是平行四边形；
（2）结合（1）证明四边形 是菱形，得 ， ，再证明△ 是等
边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
是 的中点，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形， ，
，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
△ 是等边三角形，， ，
， ，
， ，
，
，
．
10．（2025•朝阳区一模）如图，在△ 中， 为 中点，延长 至点 ，使
，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）利用 证明△ △ ，根据全等三角形的性质求出 ，
，则 ，根据中点定义求出 ，再根据“一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形”；
（2）根据角平分线定义求出 ，则 ，即可判定 ，根据
等腰三角形的性质求出 ，再根据正切定义求解即可．
【解答】（1）证明：在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
为 中点，，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
在 △ 中， ， ，
．
11．（2025•平谷区一模）矩形 中，点 是 上一点，连接 、 ，过点 作
的平行线，过点 作 的平行线，两条平行线交于点 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由 ， ，证明四边形 是平行四边形，由矩形的性质
得 ， 由 ， 推 导 出 ， 则
，即可证明四边形 是矩形；
（2）连接 ，由 ， ，推导出 ，
则 ，所以 ，因为四边形 是矩形，所以 ．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，，
，
，
四边形 是矩形．
（2）解：连接 ，
， ， ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
的长为4．
12．（2025•大兴区一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，延长
至点 ，使 ，连接 交 于点 ， 是 中点，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求△ 的面积．
【分析】（1）由菱形的性质得 ， ，得 为△ 中位线，得
；再证明 ，从而可得结论；（2）由菱形的性质得 ，由 ，设 ，则 ，
由勾股定理得 ， ，设△ 斜边上的高为 ，根据等积关系得 ，
由 ，可求△ 的面积．
【解答】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
为 的中点，
又 是 中点，
为△ 中位线，
，
在 △ 中， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 △ 中， ，
，解得， （负值舍去），
， ，
设△ 斜边上的高为 ，
则 ，
，
，
．
13．（2025•门头沟区一模）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点
作 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，如果 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质求解即可；
（2）过点 作 于点 ，根据矩形的性质，得到 为 的中点，由（1）知四边
形 是平行四边形，则 ，由三角形中位线定理可得 ，再利
用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：过点 作 于点 ，则 为 的中点．四边形 是矩形， ， ，
， ，
，
由（1）知四边形 是平行四边形，
，
， ，
， ．
在 △ 中， ．
14．（2025•顺义区一模）如图，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上，
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）根据矩形的性质证明 ，利用一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形即可解决问题；
（2）过点 作 于点 ，四边形 是矩形，得△ 是等腰直角三角形，进
而即可解决问题．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
，
，四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
由（1）知：四边形 是平行四边形，
，
，
，
△ 是等腰直角三角形，
．
15．（2025•丰台区一模）如图，在四边形 中， ， 为 中点，
， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得 ，从而可得 ，
然后利用平行四边形的判定即可解答；
（2）利用（1）的结论可得： ， ，然后在 △ 中，利用锐角三
角函数的定义求出 的长，从而利用勾股定理求出 的长，最后进行计算即可解答．【解答】（1）证明： ， 为 中点，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
在 △ 中， ，
，
，
，
．
16．（2025•房山区一模）如图， ， 平分 ，交 于点 ， 平分
，交 于点 ，连接 ， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出 ，证出 ，同理：
，得出 ，证出四边形 是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得到 ， ，即 ，根据平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形，求得 ，得到 ，根据勾股定理
即可得到结论．
【解答】（1）证明： ，
，
又 平分 ，
，
，
，
同理： ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ，
即 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
．
17．（2025•通州区一模）如图，在△ 中， ， 是 边上的中线，过
点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；（2）若 ，求 的长．
【分析】（1）先根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用
平行四边形的判定即可解答；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得 ，然后在 △
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用勾股定理求出 的长，再利用
（1）的结论可得 ，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得 ，从而
可得 是△ 的中位线，进而可得 ，即可解答．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ， 是 边上的中线，
，
在 △ 中， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，是△ 的中位线，
，
．
18．（2025•西城区一模）如图，在四边形 中， ，对角线 ，过点
作 于点 ，交 于点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，若点 是 的中点， ， ，求 的长．
【分析】（1）证明 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，再由直角三角形斜边上的中线性质得
，则 ， ，进而由锐角三角函数定义得 ，设
，则 ，然后在 △ 中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，由（1）可知，四边形 是平行四边形，
，
，
，
点 是 的中点， ，
， ，
，
，
，
，，
，
设 ，则 ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
解得： （负值已舍去），
，
即 的长为 ．
19．（2025•海淀区一模）如图．在△ 中， ，点 在 上， ．
过点 ， 分别作 ， 的平行线交于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形，根据等腰三
角形的判定和性质得到 ，根据菱形的判定定理得到结论；
（2）过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据菱形的性
质得到 ，求得 ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解：过 作 于 ，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2025•北京一模）如图，在四边形 中， 为一条对角线， ，
， ， 为 的中点，连接 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 平分 ， ，求 的长．【分析】（1）由 ， ，推出四边形 是平行四边形，再证明
即可解决问题；
（2）在 中只要证明 ， 即可解决问题；
【解答】（1）证明： ， 为 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 是菱形．
（2）解：连接 ．
， 平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
在 中， ，
， ．21．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，连接
并延长交 的延长线于点 ，连接 ，且 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的
性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）先证明 ，进而得出 ，根据平行四边形的性质可得
，根据等腰三角形的性质可得 ，进而证明四边形 是矩形；
（2）根据正切的定义得出 ，进而在 中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
，
，
点 是 的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形．
（2）解： ，
．
．
四边形 是矩形，
．
，
．
在 中， ，
22．（2025·北京大兴·二模）如图，在 中， ， 是 中点，
， 是 的角平分线，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（ ）由平行线的性质可得 ，又 是 的角平分线，则，故有 ，所以 ，然后通过直角三角形的性质得
，再证明四边形 是平行四边形，又 从而求证；
（ ）先证明 是等边三角形，则 ，由平行四边形的性质得 ，所
以 ，然后得出 是等边三角形，则有 ，
，再通过角度和差求出 ，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的
中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的
关键．
23．（2025·北京石景山·二模）如图，在 中， ， 于点D，O为
的中点，作点D关于点O的对称点E，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，中心对称的性质，解题关键是熟
悉上述知识点，并能熟练运用求解．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再证明它有一个角是直角，从而可得四边形
是矩形．
（2）先根据矩形的性质证得 ， ， ，再利用正切求出
，设 ，接着用 表示出 ， ，再用 表示出 与 ，
根据 ，可求得 ，再利用勾股定理求得 ．
【详解】（1）证明：∵点 关于点 的对称点为点 ，
∴ 必过点 且 ．
∵ 为 的中点，∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∵ 于 ，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ．
在 中， ．
设 ，则 ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴在 中， ．
24．（2025·北京西城·二模）如图，在 中， ， 的平分线交
于点 ，过点 作 ，交 于点 ，点 是 上一点，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到 ，再结合 推出
，从而得出 ．已知 ，可得到 ，根据一组对边平
行且相等判定四边形 是平行四边形．最后由 ，根据矩形的判定定理
（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形 是矩形．（2）利用矩形的性质得到 ，进而推出 ， ．已
知 ，则 ，在 中，根据正弦值和 求出 和 的长度，
进而得到 的长度．最后在 中，根据勾股定理 求出 的长．
【详解】（1）证明：∵ 的平分线交 于点 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴四边形 为平行四边形．
∵ ，
∴四边形 为矩形．
（2）解：如图所示，
∵在矩形 中， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ， ．∴ ．
∵在矩形 中， ，
∴在 中， ．
【点睛】平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的
判定与性质、三角函数以及勾股定理．解题关键在于利用已知条件逐步推导边与角的关系，
通过角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，利用矩形性质找到角的等量关系，再结合
三角函数和勾股定理求解边长．
25．（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ， ，
点 在 上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用平行线的性质得到 ， ，结合 推出
，得到 ，再利用平行四边形的判定即可证明；
（2）在 中利用正切的定义得到 ，利用平行四边形的性质得到
，由 得到 ，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： ，
， ．
又 ，
，
，又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）解： ， ，
在 中， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
又 ，
，
，
．
26．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形 中， ，点E在 上，
， 平分 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)连接 交 于点 ．若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关
运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合 ， ，证明四边形 为平行四边形，根据 平分
，以及 ，得 ，即 ，进行作答即可．（2）结合菱形的性质得 ， ，因为 ，所以 ，得
，代入数值得 ， ，运用 ，得
，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，点E在 上，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）解：依题意，如图所示：
由（1）得四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，∵ ，
∴在 中， ．
27．（2025·北京丰台·二模）如图，在四边形 中， ， ， 是
的中点， 是对角线 的中点， ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线的性质得出 ， ，根据 ，得出
，即可得出答案；
（2）根据菱形性质得出 ， ， ，解直角三角形得出
，求出 ，根据F为 中点，得出
，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， 是对角线 的中点，
∴ ， 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ 是菱形．
（2）解：∵四边形 是菱形 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
又在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查中位线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形的相关计
算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，中位线的性质．
28．（2025·北京海淀·二模）如图，在 中， ， 于点 ，点 在
上，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，再证明 ．则
．即可证明四边形 是平行四边形；
（2）证明 是直角三角形， ．即可证明四边形 是矩形．
【详解】（1）证明： ，
．
，
．
，
．
．
四边形 是平行四边形．
（2） 点 在线段 的垂直平分线上，
．
，
．
是直角三角形， ．
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、
勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，证明四边形是平行四边形是关键．
29．（2025·北京密云·一模）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，点E
为 的中点，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，菱形 的周长为40，求 的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱
形的性质、矩形的判定与性质是解题关键．
（1）首先根据菱形的性质可得 ，结合“对角线相互平分的四边形为平行四边
形”可证明四边形 为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩
形”，即可证明结论；
（2）过点 作 于点 ，首先确定菱形的边长，在 中利用勾股定理解得
的长度，在由矩形的性质可得 ， ， ，
，利用面积法求得 的值，然后在 中，由正弦的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，即 ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）如下图，过点 作 于点 ，∵四边形 为菱形，且周长为40，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，可有 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴在 中，可有 ．
30．（2025·北京昌平·二模）如图，在平行四边形 中， 于点 ，延长
到点 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ．若 ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质与判定以及解直角三角形等知识，熟
练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．（1）先证明四边形 为平行四边形，再证明四边形 为矩形即可；
（2）过点 作 于点 ，求出 ， ，再根据勾股定理可求出 ．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
．
，
．
四边形 为平行四边形．
，
平行四边形 为矩形．
（2）解：过点 作 于点 ．
四边形 是矩形，
，
．
．
在Rt 中， ，
，
．
在Rt 中，
，
．
