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专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二
类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
题型二、全等三角形之倍长中线模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【截长补短模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等。
【倍长中线模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。 结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
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2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
典例1 （25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，AD
BC
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
、BCD
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD = ，
2
BC =
，求CD的长．
【答案】(1) DE
CE
⊥
，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得2
,2
EDC
ADC
DCE
BCD
=
=
，再根据AD
BC
就可得出
90
EDC
DCE
+
=
∠
∠
，
即可得出结论；
（2）在DC 上截取
3
DF
AD
=
= ，先证
ADE
FDE
△
≌△
，再证BCE
FCE
≌
，即可得出答案．
【详解】（1）解：DE
CE
⊥
，理由如下：
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
2
,
2
ADC
EDC
BCD
DCE
=
=
，
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AD
BC
，
180
ADC
BCD
+
=
，
2
2
180
EDC
DCE
+
=
，
90
EDC
DCE
+
=
，
90
DEC
=
，
DE
CE
⊥
；
（2）解：如图，在DC 上截取
3
DF
AD
=
= ，连接EF ，
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
,
EDC
ADE
DCE
BCE
=
=
，
在ADE
和FDE
中，
AD
FD
ADE
FDE
DE
DE
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
FDE
≌
，
A
DFE
=
，
AD
BC
，
180
A
B
+
=
，
180
DFE
CFE
+
=
，
B
CFE
=
，
在BCE
和
FCE
△
中，
BCE
FCE
B
EFC
CE
CE
=
=
=
，
(
)
AAS
BCE
FCE
≌
，
2
BC
CF
=
= ，
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2
3
5
CD
CF
DF
=
+
=
+ = ．
题型模版
1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。
2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转化证
明。
变式1-1（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，
可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系
问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，
在四边形ABCD中，AB
AD
=
，E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
(1)如图①，若
90
ABC
ADC
=
=
，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
=
，试探究线
段EF ，BE，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
+
=
，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，请探究
EAF
与
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
解：线段EF
BE
DF
，
，
之间的数量关系为：EF
BE
DF
=
+
，理由：
如图，延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
∵
90
ABC
ADC
=
=
，
∴
90
ABG
ADF
=
=
，
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又∵AB
AD
=
，BG
DF
=
，
∴
(
)
SAS
ABG
ADF
≌
，
∴
BAG
DAF
AF
AG
=
=
，
，
∴
FAG
DAB
=
，
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
2
EAF
FAG
=
，
∴
EAF
EAG
=
，
在AEF
和AEG
中，
AE
AE
EAF
EAG
AF
AG
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEF
AEG
≌
，
∴EF
EG
BE
BG
=
=
+
，
∴EF
BE
DF
=
+
；
(2)
解：
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，理由：
如图，在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
ADC
ABE
=
，
AB
AD
=
，DG
BE
=
，
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
，
AG
AE
DAG
BAE
=
=
，
，
EF
BE
DF
DG
BE
=
+
=
，
，
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EF
DG
DF
GF
=
+
=
，
在AEF
和AGF
中，
AE
AG
FA
FA
EF
GF
=
=
=
，
(
)
SSS
AEF
AGF
≌
，
FAE
FAG
=
，
360
FAE
EAG
FAG
+
+
=
，
EAG
BAE
BAG
=
+
，
(
)
2
360
FAE
BAE
BAG
+
+
=
，
=
DAG
BAE ，
(
)
2
360
FAE
DAG
BAG
+
+
=
，
即2
360
EAF
DAB
+
=
，
(
)
1
1
360
180
2
2
EAF
DAB
DAB
=
−
=
−
．
【分析】（1）延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，通过证明ABG
ADF
≌
，得到对应角、对应边相等，
继而得证AEF
AEG
≌
，得到EF
EG
BE
DF
=
=
+
．
（2）在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，通过证明ABE
ADG
≌
，得到对应角、对应
边相等，继而得证AEF
AGF
≌
，得到
FAE
FAG
=
，根据圆周角为360，得到
1
180
2
EAF
DAB
=
−
．
【详解】（1）略
（2）略
变式1-2（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
+
=
，E 、
F 分别是边BC 、CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．
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(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当
90
B
ADC
=
=
时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
请你在图1 中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明ABE
≌_____；再证明了
AEF≌
△
_____，即可得出BE，EF ，FD之间的数量关
系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当
180
B
ADC
+
=
时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你
的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF ，BE，FD之间
的数量关系为_____．（不用证明）
【答案】(1)图见解析，
ADG
△
，AGF
，EF
BE
FD
=
+
(2)成立，证明见解析
(3) EF
BE
DF
=
−
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出结论；
（2）延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出
结论；
（3）在BC 上取一点G ，使BG
DF
=
，先证明ABG
ADF
≌
，再证明AEG
AEF
≌
，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
解题思路为：先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出
,
,
BE EF FD 之间的数量关系为
EF
BE
FD
=
+
；
故答案为：
ADG
△
，AGF
，EF
BE
FD
=
+
；
（2）解：成立，证明如下：
延长FD到点G ，使DG
BE
=
，则
180
ADF
ADG
+
=
，
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∵
180
B
ADC
+
=
，
∴
B
ADG
=
，
∵AB
AD
=
，
∴ABE
ADG
≌
，
∴AG
AE
=
，1
3
= ，
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
1
2
2
BAD
=
+
，
∴
1
3
2
2
BAD
=
+
，即：
1
2
FAG
BAD
=
，
∴
EAF
FAG
=
，
又AF
AF
=
，
∴AEF
AGF
≌
，
∴EF
GF
=
，
∵GF
DF
DG
=
+
，
∴EF
DF
BE
=
+
；
（3）解：在BC 上取一点G ，使BG
DF
=
，
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∵
180
ADF
ADC
=
+
，
180
B
ADC
+
=
，
∴
B
ADF
=
，
又AB
AD
=
，
∴ABG
ADF
≌
，
∴AG
AF
=
，
1
2
= ，
∴
1
1
3
2
3
2
EAF
BAD
+ = + =
=
，
∴
1
2
GAE
BAD
EAF
=
=
，
又AE
AE
=
，
∴AGE
AFE
≌
，
∴EF
EG
BE
BG
BE
DF
=
=
−
=
−
．
故答案为：EF
BE
DF
=
−
．
题型二、全等三角形之倍长中线模型
典例2 （25-26 七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
=
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
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(3)如图②，AD是ABC
的中线，BE交AC 于E，交AD于F，AE
EF
=
．若
6
EF =
，
4
EC =
，求线段BF
的长．
【答案】(1)B
(2)2
8
AD
(3)
10
BF =
【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长AD到M，使AD
DM
=
，连接BM ，由SAS证得
ADC
MDB
△
△
≌
，根据全等三角形的性质即可
得出答案．
【详解】（1）解：∵AD是BC 边上的中线，
∴CD
BD
=
，
在ADC
和EDB
中，
CD
BD
CDA
BDE
AD
DE
=
=
＝
，
∴
(SAS)
ADC
EDB
≌
；
（2）解：∵AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，即10 6
10
6
AE
−
+ ，
∴4
16
AE
，
∵
1
2
AD
AE
=
，
∴2
8
AD
；
（3）解：延长AD到M，使AD
DM
=
，连接BM ，如图2 所示：
∵AE
EF
=
，
6
EF =
，
∴
6
4
10
AC
AE
EC
=
+
= +
=
，
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∵AD是ABC
的中线，
∴CD
BD
=
，
∵在ADC
和MDB
中，
CD
BD
ADC
MDB
AD
DM
=
=
＝
，
∴
(SAS)
ADC
MDB
≌
，
∴BM
AC
=
，
CAD
M
=
，
∵AE
EF
=
，
∴
CAD
AFE
=
，
∵
AFE
BFD
=
，
∴
BFD
CAD
M
=
=
，
∴BF
BM
AC
=
=
，
即
10
BF =
．
题型模版
1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。
2.方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。
变式2-1（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，AD是ABC
的中线，
8,
5
AB
AC
=
=
，求AD的取值范围．
我们可以延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE，根据SAS可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
=
．接下
来，在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述
思路，写出求解AD的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，ABC
中，AD是中线，分别以
,
AB AC 为腰向外作等腰Rt ABE
和等腰Rt ACF
，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
=
=
=
=
，连接EF ．求证：
2
EF
AD
=
；
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(3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点
,
180
E
BAC
BAD
+
=
，点F 是BC
的中点，
CEF
ADB
=
，当
6
EF =
时，求BD的长．
【答案】(1)
解：如图，延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE，
AD
是ABC
的中线，
,
CD
BD
=
,
ADC
EDB
=
DE
AD
=
，
(SAS),
ADC
EDB
≌
5,
BE
AC
=
=
,
8,
AB
BE
AE
AB
BE AB
−
+
=
8
5
8
5,
AE
−
+
3
13,
AE
,
DE
AD
=
2
,
AE
AD
=
3
2
13,
AD
解得：3
13,
2
2
AD
即AD 的取值范围为：3
13
2
2
AD
；
(2)
证明：如图2，延长AD至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，则
2
AG
AD
=
，
D
为BC 的中点，
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,
CD
BD
=
,
ADC
GDB
=
DG
AD
=
，
(SAS),
ADC
GDB
≌
,
,
C
GBD AC
BG
=
=
,
AC
BG
∥
180
ABG
BAC
+
=
，
,
AC
AF
=
,
BG
AF
=
90 ,
BAE
CAF
=
=
180
EAF
BAC
+
=
，
,
ABG
EAF
=
在EAF
和ABG
中，
EA
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
=
=
(
),
EAF
ABG SAS
≌
,
AG
EF
=
2
;
EF
AD
=
(3)
12
BD =
【分析】（1）先推导出
(SAS),
ADC
EDB
≌
得到
5,
BE
AC
=
=
再根据三角形的三边关系，得到
,
AB
BE
AE
AB
BE
−
+
求出3
13,
AE
则3
2
13,
AD
解得3
13,
2
2
AD
即可解答；
（2）延长AD至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，则
2
AG
AD
=
，推导出
(SAS),
ADC
GDB
≌
得到
,
,
C
GBD AC
BG
=
=
推导出
,
BG
AF
=
,
ABG
EAF
=
证明
(SAS),
EAF
ABG
≌
得到
2
EF
AG
AD
=
=
，即
可解答；
（3）延长EF 到G ，使得EF
FG
=
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
=
，连接BH ，推导出
(SAS),
BEF
CGF
≌
得到
,
,
BE
CG
G
BEF
=
=
继而证明
(SAS),
BAH
BAD
≌
得到
,
,
BH
BD
H
ADB
=
=
推导出
,
H
CEF
=
证明出
(AAS),
HBE
EGC
≌
可求出
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
=
=
=
=
=
即可解答．
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【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图3，延长EF 到G ，使得EF
FG
=
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
=
，连接BH ，
F
是BC 的中点，
,
CF
BF
=
,
EFB
CFG
=
EF
FG
=
，
(
),
BEF
CGF SAS
≌
,
,
BE
CG
G
BEF
=
=
,
CG
BE
,
BEH
GCE
=
180 ,
180 ,
BAC
BAH
BAC
BAD
+
=
+
=
,
BAH
BAD
=
在BAH
和BAD
中，
AB
AB
BAH
BAD
AH
AD
=
=
=
(
),
BAH
BAD SAS
≌
,
,
BH
BD
H
ADB
=
=
,
ADB
CEF
=
,
H
CEF
=
又∵
,
BAH
BAD
=
,
BE
CG
=
(
),
HBE
EGC AAS
≌
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
=
=
=
=
=
即
12
BD =
．
变式2-2（25-26 七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
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【阅读材料】已知：如图，ABC
（AB
AC
）中，D、E 在BC 上，且DE
EC
=
，过D 作DF
BA
∥
交AE 于
点F，DF
AC
=
．求证：AE 平分
BAC
．
结合此题，DE
EC
=
，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转
移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC
中，AD是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，
90
BAE
CAF
=
=
，AE
AB
=
，AC
AF
=
，证明：
⊥
AD
EF ；
(3) ABC
与AEF
面积之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，
在
DFE
△
和CGE
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
=
=
=
，
(
)
SAS
DFE
CGE
≌
，
DF
CG
=
，
DFE
G
=
，
DF
AC
=
，
CG
AC
=
，
CAG
G
=
，
DF
AB
∥
，
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BAE
DFE
=
，
BAE
CAG
=
，
AE
平分
BAC
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
=
=
=
，
(
)
SAS
ACE
GDE
≌
，
AC
DG
=
，
CAE
G
=
，
DF
AC
=
，
DG
DF
=
，
DFG
G
= ，
DF
AB
∥
，
DFG
BAE
=
，
BAE
CAE
=
，
AE
平分
BAC
；
(2)如图，延长AD至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，
AD
是BC 边上的中线，
BD
CD
=
，
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在ACD
和GBD
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
GBD
≌
，
BG
AC
=
，
ACD
GBD
=
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
+
=
，
AC
AF
=
，
BG
AF
=
，
90
BAE
CAF
=
=
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
=
−
−
−
=
−
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
=
+
=
+
=
−
，
EAF
ABG
=
，
在AEF
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
=
=
，
(
)
SAS
AEF
BAG
≌
，
∴
AEF
BAG
=
，
设AD与EF 交于点H，
∵
90
BAE
=
，
∴
90
BAG
EAH
+
=
，
又∵
AEF
BAG
=
，
∴
90
AEF
EAH
+
=
，
∴
90
AHE
=
，
即
⊥
AD
EF ．
(3) ABC
与AEF
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
≌
，
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∴
ACD
GBD
S
S
=
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
=
+
，
∴
ABC
ABG
S
S
=
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
=
，
∴
AEF
ABC
S
S
=
．
【分析】（1）方法①：延长FE至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，证明
(
)
SAS
DFE
CGE
≌
，得到DF
CG
=
，
DFE
G
=
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
=
，即可证明；方法②：延长
AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，证明
(
)
SAS
ACE
GDE
≌
，得到AC
DG
=
，
CAE
G
=
，再根据等
边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
=
，即可证明；
（2）延长AD至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，证明
(
)
SAS
ACD
GBD
≌
，得到BG
AC
=
，ACD
GBD
=
，
进而推出BG
AF
=
，EAF
ABG
=
，再证明
(
)
SAS
AEF
BAG
≌
，即可得出
AEF
BAG
=
，设AD与EF
交于点H，由
90
BAE
=
，即可得出
90
BAG
EAH
+
=
，等量代换可得出
90
AEF
EAH
+
=
，由三角
形内角和定理即可得出
90
AHE
=
．
【详解】（1）证明：略；
（2）证明：略；
（3）解：略；
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（2026·江苏无锡·一模）已知ABC
中，
6
AB =
，
7
AC =
，则中线AD的长可以是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中
线AD的取值范围，即可选出正确答案．
【详解】解：延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE
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∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
又∵
ADC
EDB
=
，AD
DE
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
7
BE
AC
=
=
∵
2
AE
AD
DE
AD
=
+
=
，
在ABE
中，由三角形三边关系得BE
AB
AE
AB
BE
−
+
，
代入
6
AB =
，
7
BE =
得：
7 6
2
6 7
AD
−
+
，
即1
2
13
AD
，
∴0.5
6.5
AD
．
只有选项A 的6 在该范围内．
2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC
中，
8
AB =
，
14
AC =
，
30
C
=
，P 是BC 上的任意
一点，连接AP ，将AP 绕点A按顺时针方向旋转至AQ ，使
PAQ
BAC
=
，连接BQ ，则线段BQ 长度的
最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4 3
3
D．4
【答案】B
【分析】在AC 上截取
8
AB
AD
=
= ，利用全等三角形的判定和性质，可得
(
)
ABQ
ADP SAS
≌
，QB
PD
=
，
当DP
PC
⊥
时，DP的长度最小，此时QB 的长度最小，根据直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的
一半，进行解答，即可．
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【详解】解：在AC 上截取
8
AB
AD
=
= ，
∵
PAQ
BAC
=
，
∴
QAB
BAP
BAP
CAP
+
=
+
，
∴
CAP
QAB
=
，
由旋转可得，AP
AQ
=
，
在ABQ
和ADP
中，
AB
AD
QAB
CAP
AQ
AP
=
=
=
，
∴
(
)
ABQ
ADP SAS
≌
，
∴QB
PD
=
，
当DP
PC
⊥
时，DP的长度最小，此时QB 的长度最小，
∵
14 8
6
DC
AC
AD
=
−
=
−=
，
30
C
=
，
∴
1
3
2
PD
CD
=
=
．
∴
3
QB =
．
3．
（25-26 七年级下·重庆奉节·期末）如图，在ABC
中，点D 为AC 的中点，点E 是AC 下方一点，连接BE，
CE ．BD平分
ABE
，CE
AB
．若
3
CE =
，
8
BE = ，则AB 的长为（ ）
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A．8
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】连接ED并延长，交AB 于点F ，利用ASA证明
ADF
CDE
△
≌△
，得出
3
AF
CE
=
=
，DF
DE
=
，
再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明
8
BF
BE
=
= ，最后由AB
AF
BF
=
+
求解．
【详解】解：连接ED并延长，交AB 于点F ，
∵CE
AB
，
∴
A
DCE
=
，
∵点D为AC 的中点，
∴AD
CD
=
，
在ADF
和
CDE
△
中，
A
DCE
AD
CD
ADF
CDE
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ADF
CDE
≌
，
∴
3
AF
CE
=
=
，DF
DE
=
，
延长BD至点G ，使DG
BD
=
，连接EG ，
在BDF
和
GDE
△
中，
BD
GD
BDF
GDE
DF
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BDF
GDE
≌
，
∴BF
GE
=
，
FBD
G
=
，
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∵BD平分
ABE
，
∴
FBD
EBD
=
，
∴
G
EBD
=
，
∴BE
GE
=
，
8
BF
BE
=
= ，
∴
3 8
11
AB
AF
BF
=
+
= + =
．
二、填空题
4．
（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC
中，
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD
至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ．依据小明的方法，可求得AD的取值范围是____________．
【答案】1
7
AD
【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ，
根据SAS证明ABD
ECD
≌
，即可得到
8
AB
CE
=
=
，然后根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD
DC
=
，
又∵
ADB
EDC
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ECD
≌
，
∴
8
AB
CE
=
=
，
∴CE
AC
AE
AC
CE
−
+
，
即2
14
AE
，
∴1
7
AD
，
5．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
⊥
，
CM
CA
=
，连接BM 交CD于点N ，若
15
BD =
，
7
AD = ，则CN =____________．
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【答案】4
【分析】在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE，由题意易得
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，则有AC
EB
=
，
ACD
EBD
=
，然后可得
(
)
AAS
BEN
MCN
≌
，则有EN
CN
=
，进而问题可求解．
【详解】解：在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE，如图所示：
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADC
EDB
=
=
，
∵CD
BD
=
，
∴
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，
∴AC
EB
=
，
ACD
EBD
=
，
∵CM
CA
⊥
，CM
CA
=
，
∴
90 ,
ACM
EB
CM
=
=
，
∴
BEN
EDB
EBD
ACM
ACD
MCN
=
+
=
+
=
，
∵
BNE
MNC
=
，
∴
(
)
AAS
BEN
MCN
≌
，
∴EN
CN
=
，
∵
15
CD
BD
=
=
，
∴
8
CE
CD
DE
=
−
=
，
∴
1
4
2
CN
CE
=
=
．
6．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，连接CE
交AD于点F ，连接BD交CE 于点G ，连接BE，CD，点H 是CD的中点，延长HA交BE于点K ，下列结
论：①CE
BD
=
；②
ADC
是等腰直角三角形；③
ADB
AEB
=
；④
2
BE
AH
=
；⑤HK
BE
⊥
；其中正
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确的是______．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌
握倍长中线辅助线做法是解题的关键．
①由ABC
和ADE
都是等腰直角三角形得AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，进而得
BAD
CAE
=
，可证
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，即可得BD
CE
=
，故结论①正确；
②题目中没有给出证AD
AC
=
的条件，故结论②错误；
③点E 的位置不一定使得
AEC
AEB
=
，故结论③错误；
④延长AH 到M ，使HM
AH
=
，连接DM ，可证
(
)
SAS
AHC
MHD
≌
，可得AC
MD
=
，HAC
HMD
=
，
AH
MH
=
，进而得AC
MD
，AB
AC
MD
=
=
，
2
AM
AH
=
，得
180
CAD
ADM
+
=
，由
180
BAE
CAD
+
=
得
BAE
ADM
=
，可证
(
)
SAS
BAE
MDA
≌
，得BE
AM
=
，等量代换即可得
2
BE
AH
=
，故结论④正确；
⑤由BAE
MDA
≌
，得
ABE
DMA
=
，而
DMA
HAC
=
，由
180
90
HAC
BAK
BAC
+
=
−
=
，得
90
ABE
BAK
+
=
，可得
90
AKB
=
，即HK
BE
⊥
，故结论⑤正确．
【详解】解：∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，
即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
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∴ BD
CE
=
，
∴结论①正确；
∵题目中没有给出AD
AC
=
的条件，只有ABC
和ADE
是等腰直角三角形，即 AB
AC
=
，AD
AE
=
，
∴AD和AC 不一定相等，
∴ADC
不一定是等腰直角三角形，
∴结论②错误；
∵点E 的位置不一定使得
AEC
AEB
=
，
∴结论③错误；
如图，延长AH 到M ，使HM
AH
=
，连接DM ，
∵H 是CD的中点，
∴CH
DH
=
，
在AHC
和MHD
中，
AH
MH
AHC
MHD
CH
DH
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AHC
MHD
≌
，
∴ AC
MD
=
，
HAC
HMD
=
，AH
MH
=
，
∴AC
MD
，AB
AC
MD
=
=
，
2
AM
AH
=
，
∴
180
CAD
ADM
+
=
，
∵
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
360
90
90
180
BAE
CAD
+
=
−
−
=
，
∴
BAE
ADM
=
，
在BAE
和MDA
中，
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AB
MD
BAE
ADM
AE
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAE
MDA
≌
，
∴BE
AM
=
，
∴
2
BE
AH
=
，
∴结论④正确；
∵BAE
MDA
≌
，
∴
ABE
DMA
=
，
∵
HAC
DMA
=
，
∴
HAC
DMA
=
，
∵
180
90
HAC
BAK
BAC
+
=
−
=
，
∴
90
ABE
BAK
+
=
，
∴
90
AKB
=
，
∴ HK
BE
⊥
，
∴结论⑤正确．
综上，正确的是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题：
(1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
ADC
=
=
，点E 、F 分别在边BC 、CD上，
连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，试说明：
2
BAD
EAF
=
；
(2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
，点E 在CB 的延长线上，
点F 在CD的延长线上，连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长DC 至点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
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请探究
BAD
与
EAF
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明：在ABE
和
ADG
△
中，AB
AD
=
，
90
B
ADG
=
=
，BE
DG
=
，
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，
BAE
DAG
=
，AE
AG
=
，
EF
BE
DF
=
+
，DG
BE
=
，
EF
BE
DF
DG
DF
GF
=
+
=
+
=
，
AF
AF
=
，
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
=
=
+
=
+
，
BAE
FAD
EAF
+
=
，
2
BAD
BAE
FAD
EAF
EAF
=
+
+
=
；
(2)解：
1
180
2
EAF
DAB
=
−
（形式不唯一）．
理由：
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
ADC
ABE
=
，
又AB
AD
=
，DG
BE
=
，
(
)
SAS
ADG
ABE
≌
，
AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
，
EF
BE
FD
=
+
，DG
BE
=
，
EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，
AF
AF
=
，
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
FAE
FAG
=
，
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，
(
)
2
360
FAE
GAB
BAE
+
+
=
，
(
)
2
360
FAE
GAB
DAG
+
+
=
，
即2
360
FAE
DAB
+
=
，
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1
180
2
EAF
DAB
=
−
．
【分析】（1）证明ABE
ADG
≌
得到
BAE
DAG
=
，AE
AG
=
，推出EF
GF
=
，证明AEF
AGF
≌
得
到
EAF
GAF
=
，推出
BAE
FAD
EAF
+
=
，根据角的和差即可得证；
（2）证明
ADG
ABE
△
≌△
得到AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
，推出EF
GF
=
，证明AEF
AGF
≌
得到
FAE
FAG
=
，结合
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
8．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，
5
3
AB
AC
=
=
，
，中线AD的取值范围是多少？
【探究方法】
（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD到E ， 使得DE
AD
=
； ②连接BE， 通过三角形全等把AB 、AC 、2AD转化在ABE
中； ③
利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
−
+
， 从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2） 如图②，OA
OB
OC
OD
=
=
，
，
AOB
与
COD
互补， 连接AC ， BD， E 是AC 的中点，求证：
1
;
2
OE
BD
=
（3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若
90
AOB
=
， 延长EO交BD于点F ，
2
5
OF
OE
=
=
，
，求AOC
的面积．
【答案】（1）1
4
AD
＜
＜（2）见解析（3）10
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键；
（1）根据提示证ADC
EDB
≌
即可求解；
（2）延长OE 到H ，使得HE
OE
=
，连接CH ，通过论证两组三角形的全等即可得出结论；
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（3）由前一问可得：BD
OH
=
，
2
10
OH
OE
=
=
，进一步得
AOC
BOD
S
S
=
；根据题意可证OF
BD
⊥
，据此
即可求解．
【详解】（1）解：∵
,
,
AD
DE
ADC
EDB CD
BD
=
=
=
，
∴ADC
EDB
≌
（SAS ）
∴
3
BE
AC
=
=
，
∵AB
BE
AE
AB
BE
−
+
∴5 3
5 3
AE
−
+
即：2
8
AE
∵
1
2
AD
AE
=
∴1
4
AD
故答案为：1
4
AD
；
（2）证明：延长OE 到H ，使得HE
OE
=
，连接CH ，
∵E 是AC 的中点，
∴EC
EA
=
，
∵
CEH
AEO
=
，
∴CEH
AEO
≌
（SAS ），
HCA
CAH
=
，CH
AO
=
，
∴
HCA
ACO
CAO
ACO
+
=
+
，即
CAO
ACO
HCO
+
=
，
∵
180
AOB
COD
+
=
，
∴
180
AOC
BOD
+
=
，
∵
180
AOC
CAO
ACO
+
+
=
，
∴
BOD
HCO
=
，
∵
,
OA
OB OC
OD
=
=
，
∴CH
OB
=
，
∴HCO
BOD
≌
（SAS ），
∴OH
BD
=
，
∴
1
2
OE
BD
=
；
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（3）解：由（2）可得：
2
10
BD
HO
OE
=
=
=
，
H
B
=，
,
CHE
AEO
HCO
BOD
S
S
S
S
=
=
，
∴
AOC
AOE
COE
HCO
BOD
S
S
S
S
S
=
+
=
=
，
∵
90
AOB
=
，
∴
90
AOE
BOF
+
=
，
∵
AOE
H
=
，
∴
90
B
BOF
+
=
，即：OF
BD
⊥
，
∴
1
1 10 2
10
2
2
BOD
S
BD OF
=
=
=
，
∴
10
AOC
S
=
．
9．（25-26 八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题：
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
D
=
=
，E，F 分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系：______；
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
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1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD所在直线上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系： ．
【答案】(1) EF
BE
FD
=
+
(2)（1）中的结论EF
BE
FD
=
+
仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．
180
ABC
D
+
=
，
180
ABG
ABC
+
=
，
ABG
D
=，
在ABG
与ADF
中，
AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
AG
AF
=
，
1
2
= ，
1
1
3
2
3
2
BAD
EAF
+ = + =
=
．
GAE
EAF
=
．
又AE
AE
=
，
AEG
AEF
≌
．
EG
EF
=
．
EG
BE
BG
=
+
．
=
+
EF
BE
FD
(3) EF
BE
FD
=
+
或EF
BE
FD
=
−
或EF
FD
BE
=
−
【分析】（1）延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．AG
AF
=
，1
2
= ，证明
AEG
AEF
≌
．则EG
EF
=
．即可得到答案；
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（2）延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，则AG
AF
=
，
1
2
= ，证明
AEG
AEF
≌
，则EG
EF
=
．即可得到答案；
（3）在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．则
BAG
DAF
=
，AG
AF
=
．证
明
(SAS)
AEG
AEF
≌
．则EG
EF
=
，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．
在ABG
与ADF
中，
90
AB
AD
ABG
ADF
BG
DF
=
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
AG
AF
=
，
1
2
= ，
1
1
3
2
3
2
BAD
EAF
+ = + =
=
．
GAE
EAF
=
．
又AE
AE
=
，
∴AEG
AEF
≌
．
EG
EF
=
．
EG
BE
BG
=
+
．
=
+
EF
BE
FD；
（2）略
（3）当（1）的结论EF
BE
FD
=
+
成立，
当图3 中，EF
BE
FD
=
−
或EF
FD
BE
=
−
．
证明：在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ．
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180
B
ADC =
+
，
180
ADF
ADC
=
+
，
B
ADF
=
．
在ABG
与ADF
中，
AB
AD
ABG
ADF
BG
DF
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
BAG
DAF
=
，AG
AF
=
．
1
2
BAG
EAD
DAF
EAD
EAF
BAD
+
=
+
=
=
．
GAE
EAF
=
．
AE
AE
=
，
(SAS)
AEG
AEF
△
≌△
．
EG
EF
=
EG
BE
BG
=
−
EF
BE
FD
=
−
．
同理可得：EG
EF
=
EG
BG
BE
=
−
EF
FD
BE
=
−
．
10．（25-26 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ABC
中，若
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2 ，延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE．请
根据小明的方法思考并解答：
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（1）①由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是 ；
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ；
【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【类比运用】
（2 ）如图3，E 是BC 中点，点A在DE 上，且
BAE
CDE
=
，求证：AB
CD
=
；
【拓展运用】
（3）如图4 ，已知直线
//
m n ，点A、D 是直线m 上两点，点B 、C 是直线n 上两点，点P 是线段CD中点，
且AP
BP
⊥
，两平行线m 、n 间的距离为4 ．求证：
·
2
PAPB
AB
=
．
【答案】（1）①B，②1
7
AD
；
（2 ）证明见解析；
（3）证明见解析
【分析】（1）①延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE，利用全等三角形的判定定理解答即可；
②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可；
（2 ）延长DE 至点F ，使FE
ED
=
，连接BF ，利用全等三角形的判定与性质得到DC
FB
=
，
D
F
= ，
再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可；
（3）延长BP交AD于点H ，过点P 作EF
m
⊥
于点E ，EF
n
⊥
于点F ，利用全等三角形的判定与性质得
到
1
2
2
FP
EP
EF
=
=
=
，BP
HP
=
，利用线段的垂直平分线的性质得到AB
AH
=
，再利用三角形的面积公式
解答即可得出结论．
【详解】（1）解：①延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接BE，如图，
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∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
在ADC
和EDB
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
，
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，
ADC
EDB
≌
的依据是SAS B ；
②
ADC
EDB
≌
，
6
AC
BE
=
=
，
8
AB =
，
8 6
8 6
AE
−
+
，
2
2
14
AD
，
1
7
AD
；
（2 ）证明：延长DE 至点F ，使FE
ED
=
，连接BF ，如图，
∵E 是BC 的中点，
∴BE
CE
=
，
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在EDC
和EFB
中，
DE
FE
DEC
FEB
CE
BE
=
=
=
，
(
)
EDC
EFB SAS
≌
，
DC
FB
=
，
D
F
= ，
BAE
CDE
=
，
F
BAE
=
，
BA
BF
=
，
AB
CD
=
；
（3）证明：延长BP交AD于点H ，过点P 作EF
m
⊥
于点E ，EF
n
⊥
于点F ，如图，
则
4
EF =
，
//
m n
，
EDP
FCP
=
，
在CPF
和DPE
中，
CPF
DPE
CP
DP
FCP
EDP
=
=
=
(
)
CPF
DPE ASA
≌
，
1
2
2
FP
EP
EF
=
=
=
，
在BPF
和HPE
中，
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90
BFP
HEP
PE
PE
BPF
HPE
=
=
=
=
，
(
)
BPF
HPE ASA
≌
，
BP
HP
=
，
AP
BP
⊥
，
AP
为BH 的垂直平分线，
AB
AH
=
，
1
1
·
·
2
2
APH
S
AH PE
AP PH
=
=
，
·
·
AH PE
AP PH
＝
，
2
?
AB
PAPB
=
，
·
2
PAPB
AB
=
．
