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专题05 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中含参数的图象和性质
题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题
题型三、二次函数与几何图形中的动点问题
题型四、二次函数图像与各项系数符号问题
题型五、二次函数中含参数的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c 及组合式（如a+b+c、b2-4ac、2a+b）的正负性或取值
个数。
- 解题方法：开口定向判a，交点（与y 轴）判c，对称轴位置判a,b 同异号；代入特殊点（±1、±2）判
组合式；与x 轴交点个数判判别式∆。
- 易错提醒：混淆a+b+c 与a-b+c 的代入点（分别对应x=1 与x=-1）；判断2a+b 符号时忽略对称轴与1
的大小比较；未注意开口大小与|a|的关系（|a|越大开口越小）。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中含参数的图象和性质
典例1 （25-26 九年级上·安徽亳州·期末）已知抛物线
的顶点为
，
有下列结论：
①
；②当
时，
随
的增大而增大；③抛物线
是由抛物线
向右平移2
个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到的；④若关于
的方程
的一个根为3，则
．其
中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
目 录
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【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、平移规律及方程根的应用，先将抛物线化为顶点式，再逐一分析每个
结论的正误，统计正确结论的个数即可．
【详解】解：∵抛物线顶点为
，
，
∴抛物线可写为顶点式
，展开得
，
∴
，
．
①判断
：
∵
，
，
的符号不确定（如
时
，
时
），
∴
的符号无法确定，故①错误．
②判断
时
的增减性：
∵
，抛物线开口向上，对称轴为
，
∴当
时，
随
的增大而增大，故②正确．
③判断平移是否正确：
原抛物线顶点为
，向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位后，顶点为
，
而
的顶点为
，二者顶点不匹配，故③错误．
④判断
的值：
将
代入方程
，即
，
解得
，故④正确．
综上所述，正确的结论有2 个，故选B．
题型模版
1.特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。
2.方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x 轴交点、过定点）列方程或不等式求解。
变式1-1（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列关于二次函数
（
为常数）
的结论：①该函数的图象与函数
的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点
；③当
时，
随
的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数
的图像上，其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③⑤
D．②④
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【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，通过分析二次函数的性质，判断各结论的正误．结论①中，形
状由二次项系数的绝对值决定，但开口方向不同，故错误；结论②代入点
验证；结论③依赖对称轴位
置，不一定成立；结论④通过顶点坐标验证．
【详解】解：∵二次函数
的二次项系数为
，函数
的二次项系数为 1，两者绝
对值相等但开口方向不同，
∴图象形状不同，故①错误；
当
时，
，
∴图象经过点
，故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为
，
∴当
时，y 随x 增大而减小，当
时， y 随x 增大而增大，
∵ m 为常数，可能小于0，
∴ 当
时， y 不一定随
的增大而减小，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为
，把
代入
得
，
∴ 顶点在函数
图象上，故④正确．
∴ 正确结论为②④，
故选D．
变式1-2（甘肃省酒泉市2025-2026 学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知：二次函数
，
下列说法正确
．．的是（ ）
A．当
时，
随
的增大而减小
B．若图象与
轴有交点，则
C．当
时，不等式
的解集是
D．若将图象向上平移1 个单位，再向左平移3 个单位后过点
，则
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，包括单调性、判别式、不等式解集和平移变换．根据二次函数的基本
性质逐项判断．
【详解】解：∵ 二次函数
，开口向上，对称轴
．
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∴ A∶ 当
时，
随
增大而减小，正确，符合题意．
B∶ 图象与
轴有交点时，判别式
，解得
，但选项要求
，
错误，不符合题意．
C∶ 当
时，不等式
的解集为
或
，不是
，错误，不符合题意．
D∶ 平移后函数为
，过点
时，代入得
，
解得
，但选项要求
，错误，不符合题意．
故选 A．
变式1-3（25-26 九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数
（
，
，为常数，且
）
的图象经过
，
两点，则下列说法中错误的是（）
A．该函数图象的对称轴为直线
B．无论
取何值，均满足
C．函数
在
处取得最值
D．若
为该函数图象上的点，则当
时，
一定成立
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图像与性质．根据两点纵坐标相同，可得对称轴；代入点坐标和对称轴关系
可推导出系数关系；最值在顶点处取得；函数值大小比较需考虑开口方向．
【详解】解：∵二次函数图像经过点
和
，
∴对称轴为直线
，故A 正确．
∵对称轴
，
∴
，
代入点
得
，即
，
∴
，即
，故B 正确．
∵对称轴为
，
∴函数在
处取得最值，故C 正确．
对于D，当
时，开口向上，
时
；当
时，开口向下，
，故不一定成立，D 错误．
故选：D．
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题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题
典例2 （25-26 九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判
断即可．
【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧，
∴
和
异号，
当
时，则
，
对于直线
经过一、三、四象限，则选项B 正确，符合题意；
当
时，则
，
对于直线
经过一、二、四象限，则没有选项符合题意；
故选：B．
题型模版
1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。
2.方法：先由一次函数图象位置判断k、b 符号，再由二次函数开口、对称轴、与y 轴交点验证是否一致。
变式2-1（25-26 九年级上·上海·课后作业）二次函数
与一次函数
在同一坐标系中的大致
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数
之间的关系是解题的关键．由一次函数
可知，一次函数的图象与
轴交于点
，即可排除A，
然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断．
【详解】解：由一次函数
可知，一次函数的图象与
轴交于点
，排除A；
当
时，二次函数
开口向上，一次函数
经过一、二、三象限，排除B；
当
时，二次函数
开口向下，一次函数
经过二、三、四象限，排除C．
故选：D．
变式2-2（25-26 九年级上·全国·单元测试）当
时，
和
大致图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，可先根据一次函数的图象判断a、b 的符号，再判断二
次函数图象是否相符即可．
【详解】解：A、由一次函数的图像可知
，则二次函数对称轴应为
，该选项图像错误，
不符合题意；
B、由一次函数的图像可知
，则二次函数对称轴
，该选项图像错误，不符合题意；
C、由一次函数的图像可知
，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意；
D、由一次函数的图像可知
，而二次函数的图像开口向上，即
，故图像错误，不符合题意．
故选：C．
变式2-3（25-26 九年级上·北京东城·期中）抛物线
和直线
在同一坐标系的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可．
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【详解】解：根据题意，得
，
令
，得
，解得
，
，
A．根据一次函数的图象，得
，
，根据二次函数图象，得
，
，
，
，符合要求；
B．根据一次函数的图象，得
，
，根据二次函数图象，得
，
，
，
，不符合要求；
C．根据一次函数的图象，得
，
，根据二次函数图象，得
，
，
，
，不符合要求；
D．根据一次函数的图象，得
，
，根据二次函数图象，得
，
，
，
，不符合要求．
题型三、二次函数与几何图形中的动点问题
典例3 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，点P ，Q 分别从A点、B 点出发沿矩形ABCD的边运动，点P
以1cm / s 的速度按AD
DC CB
−
−
运动，点Q 以0.5 cm / s 的速度向点C 处运动．同时出发，当点P ，Q 相遇
时停止运动．设运动的时间为x（s），
DPQ
△
的面积为y（
2
cm ），y 关于x 的函数图象如图2 所示，当
6
x
时，图象的高点为E ．下列选项错误的是（ ）
A．
4
AB =
B．
6
BC =
C．F 的坐标为(
)
0,2
D．点31,1
3
在该函数图象上
【答案】C
【分析】根据点P 在线段AD上，点P 在线段DC 上和点P 在线段AD上分三种情况分别算
DPQ
△
的面积，
再结合图2 的函数图像求解．
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【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
,
AD
BC AB
DC
=
=
，
当点P 在线段AD上时，
,
0.5
AP
x BQ
x
=
=
，
此时
(
)
1
1
2
2
DPQ
y
S
DP AB
AD
x AB
−
=
=
=
，y 随x 的增大而减小，
当AD
x
=
时，
0
y =
，
根据图2 可知，
6
x =
，
∴
6
AD
BC
=
=
，B 选项正确；
当点P 在线段DC 上时，
6,
6
0.5
DP
x
CQ
BC
BQ
x
=
−
=
−
=
−
，
此时
(
)(
)
(
)
2
1
1
1
9
6
6
0.5
9
2
2
4
4
DPQ
y
S
DP CQ
x
x
x
−
−
−
=
=
=
−
=
+
，
∴点E 的坐标为
9
9, 4
，
∵
//
EF x 轴，
∴点F 与点E 的纵坐标相等，
∴点F 的坐标为
9
0, 4
，C 选项错误；
由图2 可知，当点P 与点C 重合时，
10
x =
，
∴
10
6
4
AB
DC
=
=
−
=
，A 选项正确；
当点P 在线段CB 上时，
10,
1.5
16
CP
x
PQ
CP
CQ
x
−
−
−
=
=
=
，
1
1
41.5
16
21.5
16
2
2
DPQ
y
S
CD PQ
x
x
−
−
=
=
=
=
∵31
10
3
，
∴当
31
= 3
x
时，
31
2 1.5
16
2 1.5
16
1
3
y
x−
=
=
−
= ，
∴点31,1
3
在该函数图象上，选项D 正确．
题型模版
1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。
2.方法：设动点坐标 (x, ax2+bx+c)，用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。
变式3-1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在
中，
，
，动点
从点
，
出发以
的速度沿折线
方向运动到点
停止，动点
以
的速度沿
方向运动到点
停止．设
的面积为
，运动时间为
．表示
与
之间关系的图象如图2 所示，则当面积
时，
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对应的运动时间
的值是_________．
【答案】4
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质.
分别求出
，
，求出直线
的解析式，将
代入即可.
【详解】如图，
∵
，
，
∴
∵
，
∴动点
到达点
时，动点
到达点
，
此时
，
∴
∵
，
∴
的面积降为0 时，
，
∴
设直线
的解析式为
，
将
，
代入
得
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解得
∴直线
的解析式为
，
当
时，
解得：
∴当面积
时，对应的运动时间
的值是4
故答案为：4
变式3-2（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观
测点之间距离的平方．如图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路
向目的地B
处运动．设
为x（单位：
）
，
为y（单位：
）．如图2，y 关于x 的函数图象与y
轴交于点C，最低点
，且经过
和
两点．请回答下列问题：
（1）
___________；
（2）当
时，则
的长度为___________
．
【答案】 13
【分析】（1）如图1，作
，在
上取点H，使
，连接
，
，
，当
时，动点Q
运动到点H 的位置，得到
，当点Q 运动到点G 的时候，
最小为81，
，再由勾股
定理求出m 的值；
（2）求抛物线的解析式，将
代入即可解答．
【详解】解：（1）如图1，过点P 作
于G，在
上取点H，使
，连接
，
，
，
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∵
，
∵当
时，动点Q 运动到点H 的位置，
则由题意和图象可知
，
当点Q 运动到点G 的时候，
最小，即：
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
；
故答案为：13；
（2）由（1）得：
，
∴
，
，
，
当
时，点Q 运动到点B，则
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴抛物线的对称轴是直线
，
∴顶点坐标为
，
当
，即点Q 在A 点时，
∴
，
∴点C 的纵坐标为250，
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设抛物线的解析式为：
，
把
代入得：
，
，
∴抛物线的解析式为：
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
变式3-3（2026·湖北十堰·一模）如图1，在
中，
，点D 在
上，
．动点P
在
的边上沿
方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，到达点A 时停止，以
为边
作正方形
．设点P 的运动时间为t 秒，正方形
的面积为S．当点P 由点B 运动到点A 时，如图
2，S 是关于t 的二次函数．则①当
时，
________；②
________．
【答案】 3 11
【分析】先由函数图象可得当点
运动到
点时，
，由此求出
，当
时，点
的运动
路程为1，即此时点
在
上，求出
，再利用勾股定理求出
，最后根据正方形面积公式求
出
，当点
在
上时，由图2 可知，对应的二次函数的顶点坐标为
，可设关于的函数解析式
为
，利用待定系数法求出
，当
时，
．
【详解】解：由函数图象可得当点
运动到
点时，
，
，
∵
，
，
∴
,
∴
，
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当
时，
，此时点
在
上，
∴
，
∴
；
当点
在
上时，
由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为
，
∴设
，
把
代入，得
,
解得，
，
∴
，
当
时，
，
即
．
题型四、二次函数图像与各项系数符号问题
典例4 （25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数
的图象与x轴交于点
，
与y 轴的交点B 在
和
之间（不包括这两点），对称轴为直线
．下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序
号）．
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【答案】①③⑤
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与
轴交点位置判断
、
、的符号及关系；利用抛物线的
对称性求出与
轴的另一个交点，进而判断
时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取
值范围判断不等式；将
、用
表示，结合的范围求
的范围；计算
，根据
的范围即可比较
与
的大小．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴
，
∵对称轴为直线
，
∴
，
即
，
∵抛物线与
轴交点在
轴负半轴，
∴
，
∴
，故①正确；
②∵抛物线与
轴交于点
，对称轴为直线
，
∴抛物线与
轴的另一个交点为
，
∴当
时，
，
即
，故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，函数取得最小值
，
∵
时，
，且
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，故③正确；
④∵抛物线过点
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
，故④错误；
⑤∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，故⑤正确；
综上所述，正确结论有①③⑤．
题型模版
1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y 轴交点判断a、b、c 及代数式（如a+b+c）的符号。
2.方法：开口定a，对称轴位置定ab 符号，与y 轴交点定c；特殊点（如x=1）代入判断a+b+c 等组合符号。
变式4-1（25-26 九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数
的部分图象如图所示，
已知图象过点
，对称轴为直线
，有下列结论：①
，
，
；②
；③
；
④若点
、点
、点
在该函数图象上，则
．其中正确的结论有______个．
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【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是
解答关键．
①根据二次函数图象的开口方向，与
轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点
得
，再结合对称轴得
来求解；③利用当
时，
来求解；④利用A、B、C 到对
称轴的距离分别为4，0，1 进行判定求解．
【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与
轴交于正半轴，
∴
，
，
∵对称轴为直线
，
∴
，故结论①正确；
②∵对称轴为直线
，
即
，
∴
，故结论②正确；
③∵图象过点
，对称轴为直线
，
∴当
时，
，
即
，故结论③错误；
④∵点
，点
、点
在该函数图象上，对称轴为直线
，
∴A、B、C 到对称轴的距离分别为4，0，1，
，故结论斯正确．
综上所述，正确的结论共3 个．
故答案为：3．
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变式4-2（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）如图是二次函数
的图象，直线
（
）
与抛物线交于
，
两点，
，
两点横坐标分别为
，
，根据函数图象信息有下列结论：
①
；②
；③
；
④若对于
的任意值都有
，则
；
⑤当为定值时，若
变大，则线段
变长；其中正确的结论是______．
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关
键．根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可；
【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在
轴右侧，与
轴的交于负半轴；
∴
，
，
∴
；①正确；
∵该二次函数图像经过点
，
∴该二次函数的对称轴为直线
∴
解得：
；②正确
∵
∴
由图像可知：
∴
即：
；③错误；
∵对于
的任意值都有
∴该抛物线与
轴负半轴的交点的临界点为
，此时抛物线开口最小，
最大；
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∵该二次函数的对称轴为直线
∴
，即：
∵二次函数图像经过点
∴
∴该二次函数的表达式可化为：
将
代入得：
解得：
，此时
最大，
∴
；④错误；
∵当
变大时，抛物线的开口变小
∴线段
变短；⑤错误
综上，正确的有①②；
故答案为：①②．
变式4-3（25-26 九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线
与x 轴交于
，
，
交y 轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，则下列结论：
①
；
②
；
③
；
④当点C 坐标为
时，抛物线顶点
；
⑤若点
是抛物线上第一象限上的动点，当
最大时，
．
其中正确的有______．（只填序号）
【答案】①②⑤
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题
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的关键．
根据已知点的特点可求对称轴为直线
，则
；根据函数图象可得
时，
；由函
数的图象可知
，
，再由
可知
；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求
的面积，
从而确定当
时，三角形面积有最大值．
【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线
，即
，得到
，故①正确，符合题
意；
②当
时，
，
由图象可得
，故②正确，符合题意；
③
抛物线开口向下，交
轴的正半轴于点
，
，
，
，
故
，③错误，不符合题意；
④根据题意可设二次函数解析式为
，
把
代入可得
，
解得
，
，
当
时，
，
即抛物线顶点
，故④错误，不符合题意；
⑤根据
，可设函数解析式为
，
将点
代入
，
可得
，
，
如图，过点
作
轴交
于点
，
设直线
，过点
，
，
则
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解得：
，
直线
，
直线
．
由条件可知：
，
，
，
当
时，
的面积最大，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②⑤．
题型五、二次函数中含参数的综合问题
典例5 （25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
顶点为
．
(1)请用含a 的式子表示b，c；
(2)过点
作x 轴的垂线，交抛物线于点M，交直线
于点N，若点M、N 重合，规定
；
①若
，
，求t 的值；
②当点P 从点
运动到点
的过程中（不包含点B 与点C），
的长存在最大值，求a 的取值
范围．
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【答案】(1)
；
(2)①
或
；②
【分析】（1）由抛物线
顶点为
，可得
，
，进一步可得
答案；
（2）①由
，可得抛物线
，直线为：
，可得
，进一步求解即可；
②由①同理可得：
，当
时，可得
，
，函
数的对称轴为直线
，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：抛物线
顶点为
，
∴
，
，
∴
；
．
（2）解：①∵
，
∴
，
直线为：
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
或
，
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∴
或
，
当
时，
解得：
或
，
当
时，
此时
，方程无解．
综上：
或
．
②由①同理可得：
，
当
时，
∴
，
解得：
，
，
∴函数的对称轴为直线
，
如图，
当
或
时，
随的增大而增大，
当
或
时，
随的增大而减少，
当
时，
，
∴
，
∴点P 从点
运动到点
的过程中，增大，
开口向上的抛物线的解析式为：
，
开口向下的抛物线的解析式为：
，
令
，
，
把
代入
，
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∴
，
解得：
，
∵
，
的长存在最大值，
∴
，
解得：
，
当
时，
∴
，
当点P 从点
运动到点
的过程中，减少，
此时图象不含端点，
∴
不存在最大值，
综上：
．
题型模版
1.特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。
2.方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x 轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范围
后验证。
变式5-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线
（
，为常数），经过点
，
其图象对称轴为直线
．
(1)求抛物线表达式；
(2)已知
，
在该抛物线上，且
，
①若
，对于
，都有
，求的取值范围；
②若
，
为该抛物线在
上的两点，且
，
的最大值为2，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)①
；②
．
【分析】（1）根据对称轴公式求出
，再将
代入求解即可；
（2）①求出
关于对称轴直线
的对称点，根据二次函数的图象列不等式组求解即可；
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②先求出
最大时，
，进而求出
，求出
时
的值即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴对称轴为直线
，
∵对称轴为直线
，
∴
，
解得：
，
∵抛物线经过点
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线表达式为
；
（2）解：①设
关于对称轴直线
的对称点为
，
∴
，
解得：
，
∴
关于对称轴直线
的对称点为
，
∵
，
∴抛物线开口向下，
∵
，对于
，都有
，
∴
，
解得：
；
②∵
，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线
，
，
∴在
内，抛物线在
取得最大值
，
即
最大时，
，
∵
的最大值为2，
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∴
最大时，
，
解得：
，
当
时，解得
（舍去）或
．
即
．
变式5-2（2026·河南三门峡·三模）已知二次函数
（
为常数，且
）．
(1)若该二次函数的图象经过点
，求该二次函数的顶点坐标；
(2)当
时，
的最大值是
，求
的值；
(3)当
时，若点
，
，
在函数图象上，且
，请直接写出
的取
值范围．
【答案】(1)该二次函数的顶点坐标为
(2)
的值为
或
(3)
的取值范围为
【分析】（1）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再配方求解顶点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再分
两种情况，根据二次函数的性质求解即可；
（3）先求出该二次函数图象的对称轴为直线
，可知当
时，随
的增大而减小，
时，随
的增大而增大，由于
，且
，故点
距离对称轴最远，点
距离对称轴最近，据
此求解即可．
【详解】（1）解：把
代入
，得
，
解得
．
∴
，
∴该二次函数的顶点坐标为
．
（2）解：该二次函数图象的对称轴为直线
．
①当
时，
∵当
时，
的最大值是
，
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又∵
∴当
时，
，
∴
，
∴
；
②当
时，
∵当
时，
的最大值是
，
∴当
时，
，
∴
，
∴
．
综上所述，
的值为
或
．
（3）解：∵
，
∴该二次函数图象的对称轴为直线
．
∵
，
∴当
时，
随
的增大而减小，
时，
随
的增大而增大．
∵
，且
，
∴点
距离对称轴最远，点
距离对称轴最近，
∴
且
，
解得
，
∴
的取值范围为
．
变式5-3（25-26 八年级下·北京·期末）已知抛物线C：
（
）．
(1)直接写出抛物线C 的对称轴；
(2)若点
和
均在抛物线C 上，且
，直接写出n 的取值范围；
(3)将抛物线C 在y 轴右侧的部分关于直线
翻折，y 轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知
点
和
均在图象G 上，求
的最小值．
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【答案】(1)直线
(2)
或
(3)解：
，
则抛物线
的顶点坐标为
，
根据翻折规则可得，当
时，设原抛物线上一点
，
则翻折后点的纵坐标为
，
则
，
则图象G 的解析式为
，
∵
，
∴
，
，
又∵点
和
均在图象G 上，
∴
，
，
∴
，
∵
，开口向上，对称轴为
，
∴当
时，
最小，最小值为
．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式
求解即可；
（2）先求得点
关于对称轴的对称点，根据
可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根
据
确定出
的取值范围即可；
（3）先求抛物线C 的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据
的横坐标确定
出
的位置，从而求出
，表示出
，利用二次函数的性质，求得最小值即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得，
抛物线
的对称轴为
；
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（2）解：由（1）得，对称轴为
，
则点
关于对称轴的对称点为
，
由
可得，抛物线开口向下，
根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小，
由
可得，
到对称轴的距离大于
点到对称轴的距离，
可得
或
；
（3）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 九年级上·四川自贡·期末）若
为二次函数
图像上
的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
由二次函数
可知抛物线对称轴为
，开口方向向上，则点C 关于对称轴
的对称点
，且当
时，y 随x 的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵二次函数
，
∴抛物线对称轴为直线
，开口方向向上，
∴点C 关于对称轴
的对称点
，且当
时，y 随x 的增大而减小，
∵
，
∴
．
故选A．
2．（25-26 九年级上·陕西西安·期末）当
时，二次函数
（
为常数，且
）
有最小值
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．4 或
【答案】D
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【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线
，再分两种情况：当
时，当
时，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵二次函数
，
∴二次函数的对称轴为直线
，
∵当
时，该二次函数有最小值
，
∴当
时，当
时，
，
∴
，
解得：
；
当
时，对称轴为直线
，
故当
时，
取得最小值为
，
∴
，
解得：
；
综上所述，
的值为4 或
，
故选：D．
3．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数
与二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图
象的关系．
根据一次函数的
和二次函数的
即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过
轴正半轴，从而
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排除
和
，分情况探讨
的情况，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数为
．
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C 选项．
∵一次函数
，
，
∵一次函数经过
轴正半轴，
∴排除A 选项，
当
时，则
，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数
经过
轴正半轴，
∴排除B 选项，
当
时，则
，
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数
经过
轴负半轴，
∴D 选项符合题意．
故选：D．
4．（25-26 九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数
的图象经过点
，且与
轴交
点的横坐标分别为
，其中
，下列结论：①
；②
；③
；
④
．其中正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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由抛物线开口向下，结合图知，当
时，
得
即可判断①，由对称轴直线
的取值范围，可得
的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线
，得
，进而
得
，即可判断③；由
，
，可得
，即可判断④．
【详解】解：①∵
，
，
当
时，
，
∴
，结论①正确；
②∵抛物线与
轴交点的横坐标分别为
、
，其中
，
，
∴
，
∵对称轴直线
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；故②正确；
③∵抛物线的对称轴直线
，
∴抛物线的顶点纵坐标大于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故③错误；
④观察图形可知：
，
∵
，
∴
．
∴
，结论④正确．
正确的结论有①②④共个．
故选：C．
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5．（25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B 位于A
地正东方向，C 地位于A 地的北偏东
，5 海里处．船只P 从A 地出发，驶向C 地，在行驶过程中，设
的长为x，
为y，y 关于x 的函数图象（如图2 所示），最低点
，且经过
．则下列选项正
确的是（ ）
A．
的面积是
B．
C．点
在该函数图象上
D．
【答案】C
【分析】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通
过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可．
【详解】解：如图，过点B 作
于点D，
，
，
∵图2 中图形的最低点
，
∴
，
，
∴在
中，
，
∴
，故B 错误，不符合题意；
∴
，故A 错误，不符合题意；
∵图象经过点
，
∴
，
，
∵在
中，
，
，
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∴
，
即
，故D 错误，不符合题意；
如图，当
时，
，
∵在
中，
，
∴
，即点
在该函数图象上，故C 正确，符合题意，
故选：C．
二、填空题
6．（25-26 九年级上·山东德州·期中）已知点
，
在二次函数
（a 为常数）的图
象上．若
，则m____n．（填“
”、“
”或“
”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解
题关键．通过计算点对应的函数值，结合条件比较大小即可．
【详解】解：当
时，
，
当
时，
。
，
，即
，
，
故答案为：
．
7．（25-26 九年级上·北京·期末）已知二次函数
，当
时，相应的函数值的最大
与最小值之差为0.75，则
_______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，
分2 种情况进行讨论求解即可．
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【详解】解：∵
，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线
，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵
，
∴
，解得
，
①当
，即
时，
则当
时，函数值最大为
；
当
时，函数值最小为
，
∴
，解得
或
（舍去）；
②当
时，即
时，
∵
，
∴当
时，函数值最小为
，
当
时，函数值为
，当
时，函数值为
，
∵
，
∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75；
综上：
；
故答案为：
．
8．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数
，当
时，函数值为
，当
时，函数值为
，且
，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
先得到
和
关于
的表达式，再利用
，解不等式即可．
【详解】解：当
时，
，
当
时，
，
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由于
，
则
，
解得
，
故答案为：
．
9．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）点
，
，是抛物线
（
是常数，
且
）上的两个点．下列结论：①抛物线与
轴的交点是
；②抛物线的对称轴是直线
；③当
时，
；④当
时，
；⑤当
时，
有最大值是1，其中正确结论的是
_________．
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数开口方向，与
轴的交点，与
轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到
结果．
【详解】解：
抛物线
是常数，且
，
当
时，
，
抛物线与
轴的交点是
，
故结论①正确，此结论符合题意；
抛物线的对称轴为
，
故结论②错误，此结论不符合题意；
当
时，代入抛物线方程得
解得：
或
、
两点坐标为
和
故结论③正确，此结论符合题意；
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抛物线
是常数，且
，
抛物线的开口向上，
在对称轴的右侧的函数图像，
随
的增大而增大，
，
，
两点位于对称轴的右侧，
，
故结论④错误，此结论不符合题意；
当
时，
随
的增大而减小，
当
时，
有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故答案为：①③⑤
10．（25-26 九年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点
，
，在抛物线
上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线
．
（1）当
时，
与
满足的等量关系为__________；
（2）已知点
在该抛物线上，若对于
，都有
，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）由题意可知点
在对称轴的左侧，点
，
在对称轴的右侧，点
到对称轴的距离
大于点
到对称轴的距离，据此即可得到
，解得
．
【详解】解：（1）
，
∴
；
故答案为：
；
（2）由题意可知，点
在对称轴的左侧,点
，
在对称轴的右侧，
，都有
，
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∴点
到对称轴的距离大于点
到对称轴的距离，
，解得
，
故答案为：
．
三、解答题
11．（21-22 九年级下·山东泰安·期中）已知抛物线
的对称轴是直线
．
(1)求证：
；
(2)若关于
的方程
的一个根为2，求此方程的另一个根．
【答案】(1)
已知抛物线
的对称轴是直线
，
∴
，
∴
，
∴
．
(2)
方程的另一个根为
【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到
，由此即可求解；
（2）把
代入，结合（1）得到，
，
，则
，由此解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵关于
的方程
的一个根为2，
∴
，
∵
，
∴
，
解得，
，
∴
，
∴
，
整理得，
，
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解得，
，
∴方程的另一个根为
．
12．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数
，
为常数．
(1)当
时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点
，且点
到
轴的距离为21，求点
到对称轴的距离．
【答案】(1)直线
(2)
(3)
【分析】（1）把
代入
，进一步求解即可；
（2）求解抛物线的对称轴为直线
，结合题意可得
，进
一步求解即可；
（3）解方程
或
，结合抛物线的性质可得答案．
【详解】（1）解：当
时，
二次函数为：
，
∴二次函数的对称轴为直线
．
（2）解：∵
，
抛物线的对称轴为直线
，
∵当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，
∴
，
解得：
，
∴
的取值范围为：
．
（3）解：∵
的对称轴为直线
，
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而该二次函数的图象上有一点
，且点
到
轴的距离为21，
∴
，
当
时，
∴
，即
，
∴
，
解得：
，
，
∴
或
，
∴点
到对称轴的距离为：
．
当
时，
，即
，
∴
，
∴方程无解，
综上：点
到对称轴的距离为：
．
13．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数
（a 为常数且
）
(1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点
，求a 的值；
(2)若
，当
时，该函数的最大值为8，求a 的值；
(3)在（2）的条件下，设点
和点
都在该二次函数的图像上，且
在
（其
中
）的范围内，求
的最大值．
【答案】(1)
对称轴为直线
，
(2)
(3)
的最大值为
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【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出
的值即可；
（2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可；
（3）根据增减性，将
转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：∵
，
∴对称轴为直线
，
当该函数图像经过点
时，则
，解得
；
（2）解：由（1）知抛物线的对称轴为
，
∵
，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵
，
∴当
时，函数值最大为
，
解得
；
（3）解：由（2）可知，
，对称轴为直线
，抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧，
随着
的增大而增大，
∵
，
∴
，
∴
在对称轴的右侧，
∴当
时，函数值最小为
，
当
时，函数值最大为
，
∴
的最大值
，
设
，
则该函数开口向上，对称轴为直线
，
∵
，
∴
在
上随的增大而减小，
∴当
时，
取得最大值，为
，
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故
的最大值为
.
14．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2 倍，则称这
个点为“友好点”，如：
，
，
等都是“友好点”．已知二次函数
（c 为
常数）．
(1)若该函数经过点
，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
(2)在（1）的条件下，当
时，函数的最小值为
，求t 的值；
(3)在
的范围内，若二次函数
的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c
的取值范围．
【答案】(1)函数表达式为
，“友好点”坐标为
(2) 的值为
或
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与
轴交于
；抛物线与
轴交点个数由
决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
（1）把
代入
即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可；
（2）由（1）可知
，分当
，当
时，两种情况下的最小值，令最小
值等于
，分别求解即可．
（3）由题意得，“友好点”所在的直线为
，将在
的范围内，二次函数
的图象上
至少存在一个“友好点”，转化为在
的范围内，二次函数
和
至少有一个交点，
即可求解．
【详解】（1）解：把
代入
，得
，
解得：
，
∴抛物线解析式为
；
根据“友好点”的定义可设
，
把
代入
，得
，
整理得：
，
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解得
，
∴“友好点”坐标为
；
（2）解：由( )可知为
，其中
，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线
，
当
，即
时，
∴当
时，
取得最小值
，即
，
解得
或
，
∵
，
∴
；
第二种情况：
当
，即
时，
∴当
时，
取得最小值
，即
，
解得
或
，
∵
，
∴
；
综上，的值为
或
．
（3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为
，
在
的范围内，二次函数
的图象上至少存在一个“友好点”，
即在
的范围内，二次函数
和
至少有一个交点，
令
，整理得，
，
则
，
解得
；
由方程
可变形为
，则问题等价于二次函数
与直线
在
范围
内至少有一个交点，
∴由
可知：开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，则有
，当
时，则有
，
即在
上，
的取值范围为
，即
，
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综上所述：的取值范围为：
．
