文档内容
第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南开封·统考三模）过抛物线 的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限
分别交于A，B两点，若 ，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直
线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线 焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，
且 ，圆 ，若抛物线C与圆 交于P，Q两点，且 ，则线段 的中点
D的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡
远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直径为
，碗体口直径为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和
碗盖的厚度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点 ， ，若直线上存在点 ，使得
，则称该直线为“ 直线” 给出下列直线：① ，② ，③ ，则这
三条直线中有几条“ 直线”（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与交于 ， 两点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上一点，
且 ，直线 交 于另一点 ，记坐标原点为 ，则 （ ）
A．5 B．-4 C．3 D．-3
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 在椭圆 ： 上，且在第一象
限，直线 ， 过原点 ，且 ，过点 分别作直线 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，若
，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 为抛物线 ： （
）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
10．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，
点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右顶点分别为A，B，M是
双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（ ）
A． B．
C． 的面积为3ab D．若MA垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3
12．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，
过点 与圆 分别切于 ， ，两点，交 于点 ， 和 ， ，则（ ）A． 与 没有公共点
B．经过 ， ， 三点的圆的方程为
C．
D．
13．（2023·四川成都·统考一模）已知直线l过抛物线C： 的的焦点且与C交于A，B两点，线段
AB中点的横坐标3，则 ．
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 为抛物线 的焦点，
过点 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，若 ，则 .
15．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ）的离心率为3，
焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上.若 的周长为 ，则 的面积是 .
16．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知 在椭圆 上运动，且 ，
延长 至 ，使得 为 与椭圆 的交点，则 ．
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）设椭圆 的左、右焦点
分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆
经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.19．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 为 的右焦点，过点
作与 轴不重合的直线 ，交 于 两点，当 与 轴平行时， .
(1)求 的方程；
(2) 为 的左顶点，直线 分别交直线 于 两点，求 的值.
20．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知 分别为椭圆 的左，右
顶点， 为其右焦点， ，且点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 与以 为直径的圆交于 两点，证明： 为
定值．
21．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，
直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 的中点为 ，直线 ： 被以 为直径的圆截得的弦长为 ，被抛物线 截得的弦
长为 ，求 的最小值.22．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆 过点 两点，
椭圆的离心率为 ， 为坐标原点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设P为椭圆 上第一象限内任意一点，直线 与y轴交于点M，直线 与x轴交于点N，求证：四边
形 的面积为定值.
1．（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
2．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的
轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
4．（2023•甲卷）设抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
（1）求 的值；（2） 为 的焦点， ， 为抛物线上的两点，且 ，求 面积的最小值．
5．（2023•天津）设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ，
．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若△ 的面积是△
面积的二倍，求直线 的方程．
6．（2023•上海）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标为 ．
（1）若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
（2）当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；
（3）直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线
的交点为 ．若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围．
7．（2023•北京）已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为 的上、下顶点， 、
分别为 的左、右顶点， ．
（1）求 的方程；
（2）点 为第一象限内 上的一个动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
求证： ．8．（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直
线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
9．（2022•北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点
， ．当 时，求 的值．
10．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
11．（2022•天津）椭圆 的右焦点为 、右顶点为 ，上顶点为 ，且满足
．
（1）求椭圆的离心率 ；（2）直线 与椭圆有唯一公共点 ，与 轴相交于 异于 ．记 为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
12．（2022•浙江）如图，已知椭圆 ．设 ， 是椭圆上异于 的两点，且点 在线
段 上，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点．
（Ⅰ）求点 到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
