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重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
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1、已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且
，则直线 斜率为定值 ．
2、已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且
，直线 斜率为定值 ．
3、已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若
，则直线 斜率为定值 ．
4、 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭
圆交于 两点．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．5、设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆
于 、 、 、 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，弦 ， 的中点记
为 ， ．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
6、过抛物线 上任一点 引两条弦 ， ，直线 ， 斜率存在，分别记
为 ，即 ，则直线 经过定点 ．
题型一：斜率和问题
例1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是异于A，
的动点， ， 分别是直线 ， 的斜率，且满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)在线段 上是否存在定点 ，使得过点 的直线交 的轨迹于 ， 两点，且对直线 上任意一点
，都有直线 ， ， 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 ，若不存在，请说明理由.
例2．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线 与抛物线
在第一象限交于点 .
(1)已知 为抛物线 的焦点，若 的中点坐标为 ，求 ；
(2)设 为坐标原点，直线 的斜率为 .若斜率为 的直线 与抛物线 和 均相切，证明 为定值，
并求出该定值.
例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线 ，渐近线方程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一
动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ，
， ，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，
请说明理由．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设 是抛物线 上一点，不过点A的直线l交E于M，
N两点，F为E的焦点．
(1)若直线l过F，求 的值；
(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为 ， 和k，若 ，求k的值．变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．过点
的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为 和 ，求 的值．
变式4．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点 为双曲线
上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
变式5．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内
切圆与直线 相切于点 ，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线 的
斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
变式6．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆 的离心率为
分别为椭圆 的左右顶点， 分别为椭圆 的左右焦点， 是椭圆 的上顶点，且 的外
接圆半径为 ．(1)求椭圆 的方程；
(2)设与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点（ 在 轴的两侧），记直线 的斜率分
别为 ．
（i）求 的值；
（ii）若 ，则求 的面积的取值范围．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与
E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
变式8．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，
点 在椭圆 上，且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，记直线 与直线 的斜
率分别为 ，当 时，求：
①直线 的方程；
② 的面积．
变式9．（2023·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知圆心
为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；
(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
变式10．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C： 过点
，且C的右焦点为 ．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分
别为 ， ， ，证明： ．
变式11．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
变式12．（2023·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点 ，定直线 ，
动圆 过点 ，且与直线 相切．
(1)求动圆的圆心 所在轨迹 的方程；
(2)已知点 是轨迹 上一点，点 是轨迹 上不同的两点（点 均不与点 重合），设直线
的斜率分别为 ，且满足 ，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C： 的离心率 ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD
交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．
例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知定点A(1，0)，点M在 轴上运动，点
N在 轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆 上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记 分别为切线QS，QT的斜
率，当Q运动时，求 的取值范围.
例6．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设 、 为抛物线 上的两点，
与 的中点的纵坐标为4，直线 的斜率为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ， 、 为抛物线 （除原点外）上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ， ，
且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若
，求 的值.变式13．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知点 是抛物线 ： 的焦点,点 在抛物线
上,且 .
（1）若直线 与抛物线 交于 两点,求 的值;
（2）若点 在抛物线 上,且抛物线 在点 处的切线交于点 ,记直线 的斜率分别为 ,且
满足 ,求证： 的面积为定值.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别
是椭圆 的左、右顶点，右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
在 轴上方．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
变式15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆 的两焦点分
别为 ，A是椭圆 上一点，当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，过 作垂直 轴的直线
在第二象限交椭圆 于点S，过S作椭圆 的切线 ， 的斜率为 ，求 的取值范围.
题型三：斜率积问题
例7．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线 ( ， )的两条
渐近线互相垂直，且过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴
上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两
点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．
例8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆 的左、右顶点分别为 ，
， 为椭圆上的动点且在第一象限内，线段 与椭圆 交于点 （异于点 ），直线 与直
线 交于点 ， 为坐标原点，连接 ，且直线 与 的斜率之积为 ．(1)求椭圆 的方程．
(2)设直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
例9．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆 的离心率 ，过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直线 与直线 的
斜率之积.
变式16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，
椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．变式17．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆 的离心率
为 ，以C的短轴为直径的圆与直线 相切．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且
平分 ，设直线 的斜率为 （O为坐标原点），判断 是否为定值？并说明理由．
变式18．（2023·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知椭圆 ： 的右顶点为 ，
点 在圆 ： 上运动，且 的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过点 的直线 与 交于 ， 两点，且直线 和 的斜率之积为1.求直线 被圆 截得的弦长.
变式19．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线 的左、
右顶点分别为A、B，渐近线方程为 ，焦点到渐近线距离为1，直线 与C左右两支分
别交于P，Q，且点 在双曲线C上.记 和 面积分别为 ， ， ， 的斜率
分别为 ，
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问是否存在实数 ，使得 ， ， .成等比数列，若存在，求出 的值，不存在说
明理由.变式20．（2023·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆 的右顶点为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过点 的直线 与 交于 两点，且直线 和 的斜率之积为1，证明：直线 过定点.
变式21．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点 ， ，动点 满足直线
与 的斜率之积为 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程，并说明 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线 于 ， 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长交
曲线 于点 .
（ⅰ）证明：直线 与 的斜率之积为定值；
（ⅱ）求 面积的最大值.
变式22．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点 ，动点 满足直线PM与
PN的斜率之积为 ，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交
曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
变式23．（2023·山西大同·高三统考开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，且
过点 ．(1)求C的方程；
(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，试判断
直线 是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
变式24．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知 是椭圆 上的两点， 关于原点
对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线 和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的
面积最大时，求 的值.
变式25．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 ：
的距离之比为 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过 上两点 ， 作斜率均为 的两条直线，与 的另两个交点分别为 ， .若直线 ， 的斜
率分别为 ， ，证明： 为定值.
变式26．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知椭圆 的离
心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线 相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有
两交点A，B，线段 的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线 的斜率与l的斜率的乘积为定值；(3)延长线段 与椭圆C交于点P，若四边形 为平行四边形，求此时直线l的斜率．
变式27．（2023·四川泸州·统考三模）已知椭圆 的右焦点为 ，短轴长等
于焦距．
(1)求 的方程；
(2)过 的直线交 于 ，交直线 于点 ，记 的斜率分别为 ，若
，求 的值．
题型四：斜率商问题
例10．（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线 的实轴长为 ，
左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线 交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当
轴时， .
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线 的斜率之比为定值.
例11．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图， 为抛物线 上
四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点 ，直线AN过点(1)记A，B的纵坐标分别为 ，求 ；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在
说明理由
例12．（2023·广东·高三校联考阶段练习）过原点O的直线交椭圆E： （ ）于A，B两点，
， 面积的最大值为 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又 （ ），分别记PA，PR，PC的斜率为 ， ， ，求
的值.
变式28．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆 的左､右焦点分别为
点 在 上， 的周长为 ，面积为 .
(1)求 的方程.
(2)设 的左､右顶点分别为 ，过点 的直线 与 交于 两点（不同于左右顶点），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则是否存在实常数 ，使得 恒成立.
变式29．（2023·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线 实轴左右两个顶点分别
为 ，双曲线 的焦距为 ，渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于 两点．设 的斜率分别为 ，且 ，求 的方程．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦距为 ， 为坐标原点，椭
圆的上下顶点分别为 ， ，左右顶点分别为 ， ，依次连接 的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求 的方程；
(2)过点 的任意直线与椭圆 交于 ， （不同于 ， ）两点，直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ．求证： ．
变式31．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为
， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
变式32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线
MA与直线 垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线 垂直，B为垂足且位于第二象限.
四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点 ，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为 ， ， .若
，求△PQE周长的取值范围.变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆E： 的左、右顶点，直线 过定
点 ，记直线 的斜率为 ，求 的值．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交
C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C另一个交点分别为A，B，记直线 的斜率为 ，求 的值．
变式35．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，抛物线 的焦点为
F，M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，直线ME，NE分别交抛物线C于
点P，Q．
(1)当 轴时，求直线PQ与x轴的交点坐标；
(2)设直线MN，PQ的斜率分别为 ， ，试探究 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由．
