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格致课堂
第八章 章末测试题
一、选择题
1．如图所示， ，则平面 与平面 的交线是（
）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】由题意知， ， ，∴ ，又∵ ，∴ 平面 ，即 在平面 与
平面 的交线上，又 平面 ， ，∴点 在平面 与平面 的交线上，
∴平面 平面 ，故选 ．
2．正方体内切球与外接球体积之比为 ( )
A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9
【答案】C
【解析】
设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为 a，它的外接球的半径为 a，故所求体积之比为1︰3
.
故答案为C．
3．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直格致课堂
径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O，则OO ⊥平面ABC，
1 1
延长CO 交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO= ，
1 1
∴ ，
∴高SD=2OO = ，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S = ，
1 ABC
△
∴ ．
4．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于 ，当 为 内与 垂直的直线时，不满足 ， 错误；
对于 ，设 ，则当 为 内与 平行的直线时， ，但 ， 错误；格致课堂
对于 ，由 ， 知： ，又 ， ， 正确；
对于 ，设 ，则当 为 内与 平行的直线时， ， 错误.
故选： .
5．已知直线a，b分别在两个不同的平面 ， 内 则“直线a和直线b相交”是“平面 和平面 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；
当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.
故选A.
6．如图所示，在长方体 中， ，则 与平面 所成角
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
A B C D
【解析】如图所示，在平面 1 1 1 1内过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 .
平面 ， 的正弦值即为所求. ，格致课堂
， .
7．已知正四棱柱 中， ，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余
弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于 ,故选C.
取DD 中点F，则 为所求角, ，选C.
1
8．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二
面角大小是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【解析】因为AD是等腰直角 ABC斜边BC上的高，所以
△
，因此 是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以 是等边三角形，因此 ，在 中格致课堂
.
故选：C
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
【答案】BD
【解析】A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；
B选项就是面面垂直的判定定理，正确；
C错，比如 ， ， ，显然有 ， ，但b与c也可能相交；
D利用反证法证明，假设这条直线与另一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任何一条直线，当然就
垂直于这条交线，与已知条件矛盾，所以原说法正确.
故选：BD.
10．如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, , 分别为侧棱 , 的中
点,有下列结论正确的有：( )
A． ∥平面 B．平面 ∥平面
C．直线 与直线 所成角的大小为 D．
【答案】ABD
【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以 ∥ON,由线面平行的判定定
理可得， ∥平面 ；选项B, 由 , 分别为侧棱 , 的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，格致课堂
所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得 ∥平面 ，由面面平行
的判定定理可得，平面 ∥平面 ；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线 与直线
所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC= ，故直线 与直线 所成角的大小为 ；选
项D，因底面为正方形，所以 ,又所有棱长都相等，所以 ,故
,又
∥ON，所以 ，故ABD均正确.
11、正方体 的棱长为2, 分别为 的中点,则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点 与点 到平面 的距离相等
【答案】BC
【解析】A．若 ，又因为 且 ，所以 平面 ，
所以 ，所以 ，显然不成立，故结论错误；
B．如图所示，取 的中点 ，连接 ，格致课堂
由条件可知： ， ，且 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故结论正确；
C．如图所示，连接 ，延长 交于点 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 四点共面，
所以截面即为梯形 ，又因为 ， ，
所以 ，所以 ，故结论正确；
D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ，
因为 ，格致课堂
又因为 ，
所以 ，故结论错误.
故选：BC.
12．正方体 的棱长为2，已知平面 ，则关于 截此正方体所得截面的判断正
确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，
如图设截面为多边形 ，
设 ，则 ，
则
所以多边形 的面积为两个等腰梯形的面积和，
所以
因为 ，格致课堂
，
所以
当 时， ，故D成立。
故选：ACD．
三、填空题
13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．
【答案】
【解析】依题意可得，圆柱的高为1，底面周长为1，则底面半径为 ，
所以圆柱体积为 .
故答案为： .
14．如图，在正方体ABCD-ABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面ABC，
1 1 1 1 1
则线段EF的长度等于________．
【答案】
【解析】如图:格致课堂
因为 平面 , 平面 ,且平面 平面 ,
所以 ,
又因为 为 的中点,所以 为 的中点,
所以 ,
因为正方体的棱长为2.所以 ,
所以 .
故答案为: .
15．如图所示，在正方体 中， 分别是棱 和 上的点，若 是直角，
则 ________.
【答案】90°
【解析】
因为正方体ABCD-A B C D 中，M、N分别是棱AA 和AB上的点，若∠B MN是直角，
1 1 1 1 1 1格致课堂
所以MN⊥MB ，因为B C 是棱，所以MN⊥B C ，所以MN⊥平面MB C ，
1 1 1 1 1 1 1
所以∠C MN=90°
1
故答案为90°
16．在棱长为a的正方体ABCDABC D 中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的
1 1 1 1
动点，则三棱锥Q DEF的体积为________．
1
【答案】
【解析】
V ＝V ＝ S ·DD
QD1EF D1QEF QEF 1
△
＝ b×a×a＝ a2b.
四、解答题
17．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求
此旋转体的表面积和体积．
【答案】表面积为 π，体积为 π.
【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D．△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底
面重合的圆锥，如图所示，
这两个圆锥高的和为AB＝5，格致课堂
底面半径DC＝ ＝ ，
故S ＝π·DC·(BC＋AC)＝ π.
表
V＝ π·DC2·AD＋ π·DC2·BD＝ π·DC2(AD＋BD)＝ π.
即所得旋转体的表面积为 π，体积为 π.
18．如图是一个以 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知
， ， ， ， ，求：
（1）该几何体的体积；
（2）截面△ABC的面积.
【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）过C作平行于ABC 的截面ABC，交AA，BB 分别于点A，B.
1 1 1 2 2 1 1 2 2
由直三棱柱性质及∠ABC ＝90°可知BC⊥平面ABBA，
1 1 1 2 2 2
则该几何体的体积V＝格致课堂
＝ ×2×2×2＋ × ×(1＋2)×2×2＝6 ，
（Ⅱ）在 ABC中，AB＝ ＝ ，
△
BC＝ ＝ ，
AC＝ ＝2 .
则S ＝ ×2 × ＝
ABC
△
19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面） 中，AC=9，BC=12，AB=15，AA =12，点D是
1
AB的中点
（1）求证： ；
（2）求证： 平面
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1） 直三棱柱
面
又 AC=9，BC=12，AB=15
面格致课堂
（2）
取 的中点 ，连结 和
// ，且 =
四边形 为平行四边形 ∥
面
∥ ，且 =
四边形 为平行四边形 ∥
面
面 ∥面 平面
20．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为
，点 ， 分别是棱 ， 的中点．
（ ）求证：平面 平面 ．
（ ）求证： ．格致课堂
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
[证明] （1）∵ ， ，垂足为 ，∴ 是 的中点，又因为 是 的中点，
∴ ∥ ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ；
同理 ∥平面 . 又 ，∴平面 ∥平面 .
（2）∵平面 平面 ，且交线为 ，又 平面 ， ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ .
21．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且
C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求点A到平面BC′D的距离．
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)证明 ∵点 在平面 上的射影 在 上，格致课堂
∴ 平面 ， 平面 ， ∴ ．
又∵ ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ．
又∵ ，∴ ．
∵ ，∴ 平面 ．
(2)
如图所示，过 作 ，垂足为 ，连接 ．
∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ，又 ，
∴ 平面 ．
故 的长就是 点到平面 的距离．
∵ ， ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ．
在 中， ．
在 中， ．
在 中，由面积关系，得
．
∴点 到平面 的距离是 ．
22．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．格致课堂
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】(1)证明:
连接 ，如图所示．∵ 分别为 中点，∴ ．
∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ．
∵ 面 ， 面 ， ∴ ．
在正方形 中， ，又∵ ，∴ 面 ．
又∵ 面 ，∴面 面 ．
(2)取 中点 ，连接 ．∵ 为 中点，∴ 为 的中位线，∴ ．
又∵ 面 ，∴ 面 ，
由（1）可知 面 ，而 面 ，所以 ，∵ ，
∴ 为二面角 的平面角，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，∴ ．
∴ ．
